Luận văn sư phạm Định lý Cayley - Hamilton và ứng dụng

Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy côtrong tổ Hình Học và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khoá luận này.Tron

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phạm Thanh Tâm Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thànhkhoá luận của mình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy côtrong tổ Hình Học và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khoá luận này.Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thờigian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa họccho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy,

-em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Trần Thị Minh

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập

và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáotrong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Thầy PhạmThanh Tâm

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bài khoá luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Định lí Cayley-Hamilton

và ứng dụng” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Trần Thị Minh

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1 Ánh xạ tuyến tính 4

1.1 Định nghĩa, tính chất 4

1.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 7

1.3 Ảnh, hạt nhân của ánh xạ tuyến tính 8

1.4 Bài tập 15

Chương 2 Cấu trúc tự đồng cấu tuyến tính 17

2.1 Trị riêng, vectơ riêng và đa thức đặc trưng 17

2.2 Không gian con bất biến 21

2.3 Dạng chuẩn Jordan 26

2.4 Bài tập 30

Chương 3 Định lí Cayley- Hamilton và ứng dụng 35

3.1 Định lí Cayley- Hamilton 35

3.2 Ứng dụng của định lí Cayley- Hamilton 37

3.2.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông cấp 2 37

3.2.2 Tìm ma trận nghịch đảo 41

3.2.3 Ứng dụng định lí Cayley- Hamilton để tính giới hạn 42

3.2.4 Ứng dụng vào lũy thừa của ma trận 44

3.2.5 Ứng dụng cho vết của ma trận và định thức 45

3.3 Bài tập 46

Kết luận 50

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Định lí Cayley-Hamilton là một định lí hoàn toàn mới trong chươngtrình đại số tuyến tính ở bậc đại học khối ngành sư phạm Nó là mộttrong những định lí đóng vai trò quan trọng bậc nhất trong đại số tuyếntính

Sau khi học xong chương trình toán dành cho cử nhân sư phạm, đặcbiệt là sau khi học xong môn đại số tuyến tính Em mong muốn học hỏi

và tìm hiểu sâu thêm về định lí Cayley-Hamilton, và một số ứng dụngcủa nó nhằm giải quyết một số vấn đề của đại số tuyến tính Đồng thời,

có thể dùng làm tài liệu cho các bạn sinh viên khóa sau tham khảo mởrộng kiến thức của mình

Đồng thời rèn luyện tư duy logic, tính chính xác và cẩn thận chongười học

Dưới góc độ một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trongkhuôn khổ của bài khoá luận tốt nghiệp, đồng thời được sự hướng dẫnnhiệt tình của thầy Phạm Thanh Tâm tôi đã chọn đề tài “Định líCayley-Hamilton và một số ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu về định lí Cayley-Hamilton và một số ứng dụng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Định lí Cayley- Hamilton và một số dạng bài có thể giải nhờ ứng dụngđịnh lí

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu định lí Cayley- Hamilton và một số dạng bài tập ứng dụngcủa nó trong phạm vi của môn đại số tuyến tính

5 Giả thuyết khoa học

Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng định lí Cayley- Hamilton làm thànhtài liệu giúp các bạn sinh viên khóa sau có thể thấy được vai trò của nótrong môn đại số tuyến tính

6.Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến định lí Hamilton

Cayley-7 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo

Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất

8 Cấu trúc khóa luận

Khoá luận gồm 3 chương:

Chương 1 Ánh xạ tuyến tính

Chương 2 Cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính

Chương 3 Định lí Cayley- Hamilton và ứng dụng

Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2013

Tác giảTrần Thị Minh

Chương 1 Ánh xạ tuyến tính





x1

e) Ánh xạ

f : R → R, b 6= 0

x 7→ ax + b

không phải là một ánh xạ tuyến tính

Định lí 1.1.4 Giả sử V là không gian vectơ n- chiều.Khi đó mỗi ánh xạtuyến tính từ V vào W được hoàn toàn xác định bởi ảnh của nó qua một

cơ sở của V và W Nói rõ hơn, giả sử (ǫ) = n

~

ǫ1, ~ǫ2, · · · , ~ǫno là một cơ sởcủa V và cặp ~β1, ~β2, , ~βn là n vectơ nào đó của W Khi đó tồn tại một vàchỉ một ánh xạ tuyến tính f : V → W sao cho f(~ǫi) = ~βi, i = 1, 2, , n.Chứng minh Tồn tại: Nếu

a) Một đơn cấu nếu f là đơn ánh.

b) Một toàn cấu nếu f là toàn ánh

c) Một đẳng cấu nếu f là một song ánh

Nếu f : V → W là một đẳng cấu thì f−1 : V → W cũng là một đẳngcấu gọi là phép nghịch đảo của f Do đó, ta cũng nói mỗi đồng cấu làmột đồng cấu khả nghịch

Nếu có một đẳng cấu f : V → W thì ta nói V đẳng cấu với W và viết

V ∼= W

Quan hệ đẳng cấu giữa các không gian là một quan hệ tương đương.Định lí 1.1.6 Cho V, W là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trêntrường số K Khi đó V đẳng cấu với W khi và chỉ khi dimV = dimW.Chứng minh Giả sử V ∼= W, tức là có một đẳng cấu tuyến tính f : V →

W Khi đó, nếu (~α1, , ~αn) là một cơ sở của V thì (f (~α1), , f (~αn)) làmột cơ sở của W

Thật vậy, mỗi vectơ ~β ∈ W có dạng ~β = f(~α) với ~α nào đó trong W, vì

Vì (~α1, , ~αn) là một cơ sở của V cho nên a1 = b1, , an = bn.

Vậy mỗi vectơ ~β biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ (f(~α1), , f (~αn))nên hệ này là một cơ sở của W Nói cách khác dimV = dimW

Ngược lại, giả sử dimV = dimW = n Chọn các cơ sở (~α1, , ~αn) của

V và (~β1, , ~βn) của W Ánh xạ tuyến tính duy nhất ϕ : V → W đượcxác định bởi ϕ(~α1) = ~β1, , ϕ(~αn) = ~βn là một đẳng cấu tuyến tính.Thật vậy, nghịch đảo của ϕ là ánh xạ tuyến tính ψ : W → V được xácđịnh bởi điều kiện ψ(~β1) = ~α1, , ψ(~βn) = ~αn

Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Cho f : V → W là ánh

xạ tuyến tính có ma trận A = (aij)m ×n đối với cặp cơ sở (e) và (ǫ)

Mọi vectơ ~α ∈ V có tọa độ (x1, , xn) trong cơ sở (e), viết dưới dạngcột: ~α =

1.3 Ảnh, hạt nhân của ánh xạ tuyến tính.

Mệnh đề 1.3.1 Giả sử f : V → W là một đồng cấu Khi đó ảnh bởi

f của mỗi không gian vectơ con của V là một không gian vectơ con của

W Nghịch ảnh bởi f của mỗi không gian vectơ con của W là một khônggian vectơ con của V.

Chứng minh Giả sử T là một không gian vectơ con của V Khi đó

f (T ) 6= ∅, bởi vì nó chứa một vectơ 0 Hơn nữa, nếu ~α′, ~β′ là những vectơcủa f(T ) thì chúng có dạng: ~α′ = f (~α), ~β′ = f (~β), trong đó ~α, ~β ∈ T Khi đó, vì f là một đồng cấu cho nên với vô hướng bất kì a ∈ K, ta có:

~

α′+ ~β′ = f (~α) + f (~β) = f (~α + ~β) ∈ f(T )

a ~α′ = af (~α) = f (a~α) ∈ f(T )

Vậy f(T ) là một không gian vectơ con của W

Bây giờ, giả sử U là một không gian vectơ con của W Khi đó,

f−1(U ) 6= ∅ bởi vì nó cũng chứa vectơ 0 Nếu ~α, ~β ∈ f−1(U ) thì

f (~α), f (~β) ∈ U Vì f là một đồng cấu cho nên với mọi vô hướng a ∈ K,

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử f : V → W là một đồng cấu

(i) Ker(f ) = f−1(0) = n~x ∈ V : f(~x) = 0o ⊂ V được gọi là hạt nhân(hay hạch) của f Số chiều của Ker(f) được gọi là số khuyết của f.(ii) Im(f ) = f (V) = nf (~x) : ~x ∈ Vo ⊂ W được gọi là ảnh của f Sốchiều của Im(f) được gọi là hạng của f và được kí hiệu là rank(f).Tính chất 1.3.3 a) Định lí 1 Đồng cấu f : V → W là một toàn cấunếu và chỉ nếu rank(f) = dimW

Chứng minh Theo định nghĩa, f là một toàn cấu nếu và chỉ nếu Im(f) =

W Vì Im(f) là một không gian vectơ con của W, nên đẳng thức trên

tương đương với:

rank(f ) := dimf (V) = dimW

Thật vậy, nếu f(V) = W thì hiển nhiên dimf(V) = dimW Ngược lại,giả sử dimf(V) = dimW Do f(V) là một không gian vectơ con của W,nên mỗi cơ sở của f(V) cũng là một hệ độc lập tuyến tính trong W với

số phần tử bằng dimf(V) = dimW Nói cách khác, mỗi cơ sở của f(V)cũng là một cơ sở của W Vậy f(V) = W

b) Định lí 2 Cho đồng cấu f : V → W khi đó các mệnh đề sau là tươngđương:

(i) f là đơn cấu

(vi) Rank(f ) = dimV

Chứng minh (i) → (ii): Giả sử ~α ∈ Ker(f) Khi đó, f(~α) = f(0) = 0

Vì f là đơn cấu nên suy ra ~α = 0 Do đó Ker(f) = {0}

(ii) → (iii): Giả sử (~α1, , ~αk) là hệ vectơ độc lập tuyến tính trong V.Nếu có một quan hệ tuyến tính giữa các ảnh bởi f của các phần tử đó:

vậy, (f(~α1), , f (~αk)) cũng độc lập tuyến tính.

(iii) → (iv) và (iv) → (v) là hiển nhiên

(v) → (vi): Giả sử (~α1, , ~αn) là một cơ sở của V sao cho (f (~α1), , f (~αn))

là một hệ độc lập tuyến tính Rõ ràng, hệ này sinh ra f(V) Ta có:

Rank(f ) = dimf (V) = rank(f (~α1), , f (~αn)) = n = dimV

(vi) → (i) :Giả sử (~α1, , ~αn) là một cơ sở của V Ta có:

Rank(f ) = dimf (V) = rank(f (~α1), , f (~αn)) = dimV = n

cho nên hệ vectơ (f(~α1), , f (~αn)) là độc lập tuyến tính Giả sử

c) Định lí 3 (Định lí đồng cấu các không gian vectơ) Giả sử f : V → W

là một ánh xạ tuyến tính Khi đó ánh xạ ¯f : V/Ker(f ) → W cho bởi

¯

f ([~α]) = f (~α) là một đơn cấu, lúc này nó gây nên một đẳng cấu từ

V/Ker(f ) lên Im(f )

Chứng minh Trước hết, ta cần chỉ ra ¯f hoàn toàn xác định, nghĩa là

nó không phụ thuộc vào phần tử đại diện ~α của lớp [~α] ∈ V/Ker(f).Thật vậy, nếu [~α] = h ~α′i, thì ~α − ~α′ ∈ Ker(f) nên f(~α − ~α′) = 0 suy

ra f(~α) = f(~α′) Vì f là một ánh xạ tuyến tính nên dễ dành kiểm tra ¯fcũng là một ánh xạ tuyến tính

Giả sử có ¯f [~α] = ¯f h ~βi,thì f(~α) = f(~β) nên f(~α−~β) = f(~α)−f(~β) =

0 Từ đó, ~α − ~β ∈ Ker(f) hay [~α] = h ~βi Vậy ¯f là một đơn cấu

Từ định nghĩa của ¯f ta có Im( ¯f ) = Im(f ) Cho nên, nếu xét ¯f nhưmột đồng cấu từ V/Ker(f) tới Im(f) thì nó là một đẳng cấu.

d) Hệ quả 1 Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính của không gianvectơ hữu hạn chiều V Khi đó:

dimV = dimKer(f ) + dimIm(f )

(ii) f là một đơn cấu

(iii) f là một toàn cấu

Chứng minh Theo định lí 2, thì f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f) ={0} Theo định lí 1, ta có f là đơn cấu khi và chỉ khi dimIm(f) = dimV

Mà dimV = dimIm(f) + dimKer(f) ⇒ f là đơn ánh khi và chỉ khidimKer(f ) = 0 hay dimV = dimIm(f ) tức là f là toàn cấu

⇒ (ii) tương đương với (iii), do đó chúng cùng tương đương với (i)

Mệnh đề 1.3.4 Giả sử (e) = {~e1, , ~en} và (ǫ) = {~ǫ1, , ~ǫn} là hai cơ

sở của không gian vectơ V, C là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sở(ǫ) và f : V → V là một tự đồng cấu của V Khi đó, nếu f có ma trận Atrong cơ sở (e), có ma trận B trong cơ sở (ǫ) thì ma trận A đồng dạngvới ma trận B Nói cách khác, ta có: B = C−1AC

Vậy A.C = C.B Do đó, C khả nghịch nên ta có B = C−1AC

Hệ quả 1.3.5 a) Hai ma trận đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng

là ma trận của cùng một tự đồng cấu, của một không gian vectơ trong

cơ sở tương ứng nào đó của không gian này.

b) Định thức của ma trận của một tự đồng cấu tuyến tính trong những

cơ sở khác nhau của không gian là như nhau

Định nghĩa 1.3.6 Cho f ∈ End(V) Gọi A = (aij)m ×n là ma trận của

f trong một cơ sở nào đó của V Ta gọi:

a) detA là định thức của tự đồng cấu f và kí hiệu là detf

b) Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là vếtcủa f, kí hiệu là tr(f):

Ta cũng gọi số này là vết của ma trận A, kí hiệu là tr(A)

Tính chất 1.3.7 (Tính chất của vết ma trận) a) Tuyến tính Cho

A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và c là hằng số, khi đó:

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

tr(c.A) = c.tr(A)b) Giao hoán Cho A là ma trận m hàng n cột, còn B là ma trận nhàng và m cột, thì

như vậy khi lấy liên hợp thì vết của nó không thay đổi

d) Vết của ma trận chuyển vị Cho A là ma trận vuông cáp n bất

kì, At là ma trận chuyển vị của nó Ta có:

tr(A) = tr(At)

trong cơ sở {~e1, ~e2, ~e3, ~e4} của V.

Tìm ma trận của f trong cơ sở {~e1, ~e1 + ~e2, ~e1 + ~e2 + ~e3, ~e1 + ~e2 + ~e3 + ~e4}của V

Bài tập 1.3 Trong không gian vectơ Mat(2 × 2, K) cho ma trận A =

Bài tập 1.4 Cho f : V → V là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f2 = f Chứng minh rằng V = Ker(f) + Im(f).

Bài tập 1.5 Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp Chứng minhrằng vết của AB bằng vết của BA

Bài tập 1.6 Chứng minh rằng các ma trận của một tự đồng cấu tronghai cơ sở của không gian la trùng nhau khi và chỉ khi ma trận chuyểngiữa hai cơ sở đó giao hoán với ma trận của đồng cấu đã cho trong hai

cơ sở nói trên

Bài tập 1.7 Giả sử ϕ và ψ là các tự đồng cấu của không gian vectơhữu hạn chiều V Chứng minh rằng ϕψ là một đẳng cấu nếu và chỉ nếu

ϕ và ψ là các đẳng cấu Khi đó: (ϕψ)−1 = ψ−1ϕ−1

Chương 2 Cấu trúc tự đồng cấu tuyến tính

2.1 Trị riêng, vectơ riêng và đa thức đặc trưng.

Cố định một không gian vectơ thực V có chiều ít nhất bằng 1 và một tựđồng cấu tuyến tính f : V → V

Định nghĩa 2.1.1 Số thực λ được gọi là trị riêng của f nếu tồn tạivectơ ~v 6= 0 sao cho

f (~v) = λ~v

Khi đó, ~v được gọi là vectơ riêng của f ứng với trị riêng λ

Định nghĩa 2.1.2 Số thực λ được gọi là giá trị riêng của ma trận vuông

A cấp n nếu tồn tại một vectơ ~v 6= 0 sao cho

b) Nếu f là phép quay trên mặt phẳng quanh gốc tọa độ một góc

0 ≤ α ≤ 2π, thì phép quay này không có giá trị riêng nếu α 6= π Nếu

α = π thì nó có giá trị riêng là -1 và mọi vectơ khác vectơ 0 đều là vectơriêng

Định nghĩa 2.1.3 Đa thức đặc trưng của f, kí hiệu là Pf(t), được địnhnghĩa là định thức của ánh xạ f −t· id, trong đó id là ánh xạ tuyến tínhđồng nhất Để đơn giản, ta quy ước phép vị tự · id sẽ được kí hiệu là λ

Định lí 2.1.4 Cho A ∈ Mat(n × n, K) là ma trận trên trường K Khi

đó đa thức đặc trưng của A là PA(t) có dạng:

PA(t) = |A − tI| = (−t)n + c1(−t)n−1+ c2(−t)n−2+ + c0

trong đó các ck tương ứng là các định thức con cấp k của ma trận A.Định lí 2.1.5 Số thực λ là trị riêng của f khi và chỉ khi nó là nghiệmcủa đa thức đặc trưng Pf(t)

Chứng minh Xét đa thức đặc trưng Pf(t) = 0 Cố định một cơ sở (e) ={~e1, , ~en} của V và kí hiệu A là ma trận của f, [x] là tọa độ của ~x theo

cơ sở này Khi đó det(A − λ) = 0 Từ đó hệ phương trình tuyến tínhthuần nhất

(A − λIn)[x] = 0

có nghiệm không tầm thường Nghiệm của hệ này cũng chính là vectơriêng của f ứng với trị riêng λ

Ngược lại, giả sử ~v 6= 0 là nghiệm của hệ (A − λIn)[x] = 0 ta có:

(A − λIn)[v] = 0 ⇔ A[x] − λ[v] = 0 ⇔ A[v] = λ[v]

Suy ra λ chính là giá trị riêng của f

Để đơn giản bài toán, ta chỉ xét các tự đồng cấu f mà đa thức đặctrưng của f có đủ các nghiệm thực Khó khăn duy nhất mà chúng taphải đối mặt là đa thức này có thể có nghiệm bội

Định lí 2.1.6 Giả thiết Pf(t) có đủ n nghiệm thực khác nhau λi Khi

đó, tồn tại một cơ sở mà ma trận của f là ma trận đường chéo với cácphần tử trên đường chéo là các số λi

Chứng minh Giả sử tồn tại duy nhất các vectơ riêng ~vi ứng với các λi

Ta chỉ cần chứng minh các vectơ ~vi là độc lập tuyến tính Ta sẽ chứngminh bằng quy nạp theo n

Với n = 1, vectơ riêng ~v1 6= 0 nên {~v1} độc lập tuyến tính

Giả sử định lí đúng với đối với hệ gồm n − 1 vectơ Ta phải chứng minhđịnh lí đúng với hệ gồm n vectơ.

Xét hệ vectơ riêng ~v1, , ~vn ứng với n vectơ riêng đôi một khác nhau

Vậy các vectơ ~vi độc lập tuyến tính

Định nghĩa 2.1.7 Ánh xạ f được gọi là chéo hóa được, nếu tồn tạimột cơ sở mà ứng với nó ma trận biểu diễn của ánh xạ là ma trận đườngchéo Nói cách khác, f chéo hóa được nếu có một cơ sở của V gồm toànnhững vectơ riêng của f

Định nghĩa 2.1.8 Ma trận A ∈ Mat(n × n, K) đồng dạng với một matrận chéo được gọi là ma trận chéo hóa được trên K

Như vậy A chéo hóa được thì mọi ma trận đồng dạng với nó cũngchéo hóa được Việc tìm một ma trận khả nghịch C (nếu có) sao cho

C−1AC được gọi là việc chéo hóa ma trận A

Định lí 2.1.9 Tự đồng cấu f của K- không gian vectơ n chiều V chéohóa được khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(i) Đa thức Pf(t) có đủ các nghiệm thực trên trường K Tức là, đathức Pf(t) phân tích được thành

Pf(t) = (−1)n(t − λ1)s1

(t − λm)sm

.trong đó λ1, , λm là các số đôi một khác nhau

(ii) Mỗi λi là nghiệm bội si thì hệ phương trình (f − λi)(~x) = 0 có

si nghiệm độc lập tuyến tính Tức là không gian vectơ (f − λi)(~x) = 0

có số chiều là si

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử f chéo hóa được Tức là, ma trận Acủa f trong một cơ sở nào đó của V là một ma trận chéo với si phần tửtrên đường chéo bằng λi, i = 1, , m trong đó λi đôi một khác nhau và

Tức là, không gian vectơ (f − λi)(~x) = 0 có số chiều là si

Điều kiện đủ: Chọn một hệ đầy đủ các vectơ độc lập tuyến tính đối với si

tương ứng là ~xi

1, , ~xsii, i = 1, , m Khi đó hệ vectơ ~xi

1, , ~xsii

là độclập tuyến tính hay nói cách khác là một cơ sở của không gian nghiệmcủa hệ (f − λi)(~x) = 0

Không gian nghiệm của hệ (f − λi)(~x) = 0 được gọi là không gianriêng của f ứng với trị riêng λi Kí hiệu là Vλ i Như vậy, nếu ánh xạ f

chéo hóa được thì V được triển khai duy nhất thành tổng trực tiếp

V = M

i

Vλi

sao cho khi hạn chế lên mỗi không gian Vλ i là một phép vị tự

Thật vậy, theo định lí 2.1.6 ta có các vectơ riêng ứng với các giá trịriêng đôi một khác nhau thì lập thành một hệ vectơ độc lập tuyến tínhcho nên

V ∩



X

i 6=j

Vλi



 = {0} Mặt khác s1 + + sn = n nên ta có:

V= Vλ 1 ⊕ ⊕ Vλ m.Với mỗi i = 1, , m, ta lấy {~ei1, , ~eis i} là một cơ sở của Vλ i là một cơ

sở gồm toàn những vectơ riêng

Hệ quả 2.1.10 Cho f là một tự đồng cấu của không gian vectơ V chiều

n Khi đó:

(i) f chéo hóa được khi và chỉ khi V có cơ sở gồm các vectơ riêng.(ii) Nếu f có n giá trị riêng khác nhau thì f chéo hóa được

2.2 Không gian con bất biến.

Định nghĩa 2.2.1 Không gian con U ⊂ V được gọi là bất biến đối với

f (hoặc ổn định với f) nếu f(U) ⊂ U

Ý nghĩa của không gian con bất biến nằm ở chỗ, khi tìm được mộtkhông gian con bất biến ta sẽ thu được một mô tả đơn giản hơn về f.Mệnh đề 2.2.2 Giả sử U là không gian con bất biến đối với ánh xạ f.Khi đó ta có các mệnh đề sau:

(i) Tồn tại một cơ sở của V để ma trận của ánh xạ f có dạng đườngchéo khối

A B

0 D

!

với A, B, D là các ma trận khối, trong đó A, D là các ma trận vuông và

A có kích thước bằng số chiều của U

(ii) Kí hiệu W là không gian thương của V theo U Khi đó f cảmsinh một ánh xạ:

fW : W → W

¯

v 7→ fW(¯v) = f (v)

ở đây ¯v kí hiệu lớp ghép ~v + U trong W

(iii) Kí hiệu fU là hạn chế của f trên U Khi đó đa thức đặc trưngcủa f là tích của fU và fW

Pf(t) = Pf U(t)Pf W(t)

Chứng minh (i) Chọn một cơ sở (u) = (~u1, , ~ur) của U và mở rộngthành một cơ sở của V bằng cách bổ sung các phần tử (w) = (~w1, , ~ws).Theo giả thiết f(~ui) ∈ U nên có thể biểu diễn được theo các vectơ ~uj

bởi một ma trận A Vì (u, w) là một cơ sở của V nên các f(~wk) có thểbiểu diễn theo cơ sở đó bởi một ma trận dạng B

D

! Vậy theo cơ sở(u, w), ánh xạ f có ma trận với dạng đã khẳng định

(ii) Trước hết ta chứng minh rằng ánh xạ fW được định nghĩa đúng.Thật vậy, nếu ~v1 và ~v2 có hiệu thuộc U, nghĩa là cùng xác định một phần

tử trong W, thì theo giả thiết f(~v1) − f(~v2) = f (~v1 − ~v2) cũng thuộc U ,

do đó f(~v1) và f (~v2) cũng xác định một phần tử trong W

(iii) Xét cơ sở của V như trong (i) Khi đó ma trận của fU theo cơ sở

U là A và

Pf U(t) = det(A − t)

Mặt khác, ( ¯w) = ( ¯w1, , ¯wn) là cơ sở của W Từ (i) dễ thấy ma trận của

fU theo cơ sở này là D Do đó

V(λ)

Nhận xét các vectơ riêng của f là các vectơ nghiệm.Tuy nhiên điều ngượclại nói chung không đúng Ngoài ra đối với các vectơ nghiệm ta khôngđòi hỏi chúng khác vectơ 0

Định lí 2.2.4 Cho tự đồng cấu tuyến tính f của K- không gian vectơ

n chiều V với đa thức đặc trưng có đủ các nghiệm thực λi (có thể cónghiệm bội) Với mỗi λi, kí hiệu V(λi) là không gian nghiệm của f ứngvới λi Khi đó V là tổng trực tiếp của các không gian con V(λi), tức là:

V = M

i

V(λi), i = 1, , m

Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng tổng các không gian V(λi)

là một tổng trực tiếp Nói cách khác, cho ~vi ∈ V(λi) \ {0} là các vectơứng với các λi Ta phải chứng minh hệ ~vi là độc lập tuyến tính trong

V, i = 1, , m

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo m

Với m = 1 khẳng định hiển nhiên đúng

Giả sử hệ (~vi), i = 1, , m − 1 là độc lập tuyến tính Ta phải chứng minhkhẳng định đúng với hệ (~vi), i = 1, , m là độc lập tuyến tính

Cho số nguyên dương k sao cho (f − λm)(~vm) = 0 Tác động (f − λm)k

vào hai vế của đẳng thức này ta được:

Theo giả thiết quy nạp, ta có các ~vi độc lập tuyến tính Nên từ (2) tasuy ra:

U Theo mệnh đề 2.2.2(iii), đa thức đặc trưng của ánh xạ cảm sinh fW

là ước của đa thức Pf(t), do đó nhận các λi làm nghiệm với i ≤ m