Luận văn sư phạm Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số

nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz ...

Tr ng đ i h c s ph m hƠ n i 2

Khoa toán

************

ph m th lan h ng

đ nh lý lagrange, đ nh lý stolz đ nh lý toeplitz

vƠ ng d ng trong lý thuy t gi i h n dãy s

khóa lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngƠnh: Gi i tích

HƠ N i, 2010

L I C M N

Trong quá trình nghiên c u đ tài v i s h ng d n nhi t tình c a

th y giáo: Th c s Phùng c Th ng Cùng v i s n l c c a b n thân

em đã ph n nào nghiên c u đ c đ tài trên Do h n ch v th i gian, ki n

th c nên ch c ch n khóa lu n này không tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong có đ c nh ng ý ki n đóng góp quý báu c a các th y cô và các b n quan tâm đ đ tài đ c hoàn thi n h n

Em xin trân thành c m n s nhi t tình t n tâm c a th y giáo: Th c

s Phùng c Th ng và toàn th các th y cô trong t gi i tích và các th y

cô trong khoa Toán đã quan tâm t o đi u ki n giúp đ em hoàn thành khóa

lu n này, c ng nh trong su t th i gian th c t p nghiên c u t i tr ng HSP Hà N i 2

Sinh viên

Ph m Th Lan H ng

L I CAM OAN

Tôi xin cam đoan khóa lu n t t nghi p v i đ tài: “ nh lý

Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz vƠ ng d ng trong lý thuy t

gi i h n dãy s ” là công trình nghiên c u c a riêng tôi, k t qu không

trùng v i k t qu nào N u sai tôi xin ch u hoàn toàn trách nhi m

HƠ N i, ngày 20 tháng 4 n m 2010

Sinh viên

Ph m Th Lan H ng

M C L C

L i m đ u 1

L i cam đoan 2

M đ u 4

Ch ng 1 Các ki n th c c b n v dãy s 6

1.1 Dãy s 6

1.2 Dãy s b ch n 6

1.3 Dãy s đ n đi u 6

1.4 Dãy con 7

1.5 Gi i h n các dãy s 7

1.6 Các đ nh lí 7

1.7 Các nguyên lí v tính đ y đ c a  9

1.8 Gi i h n vô c c c a dãy s 9

Ch ng 2 nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz 11

2.1 nh lý Lagrange và các h qu 11

2.2 nh lý Stolz và các h qu 14

2.3 nh lý Toeplitz và các h qu 17

Ch ng 3 ng d ng trong lý thuy t gi i h n dãy s 20

3.1 ng d ng đ nh lý Lagrange trong bài toán tìm gi i h n dãy s 20

3.2 ng d ng đ nh lý Stolz 27

3.3 ng d ng đ nh lý Toeplitz 43

K t lu n 51

Tài li u tham kh o 52

M U

1 Lý do ch n đ tƠi

Lý thuy t gi i h n là c s c a gi i tích B i v y, nghiên c u v gi i tích chúng ta th ng xuyên ph i gi i quy t bài toán tìm gi i h n, trong đó

có gi i h n dãy s Gi i bài toán gi i h n dãy s là vi c làm khó kh n đ i

v i các sinh viên và h c sinh gi i toán THPT Các bài toán gi i h n c ng

n m trong ch ng trình quy đ nh c a h i toán h c Vi t Nam đ i v i kì thi Olympic toán h c sinh viên h ng n m gi a các tr ng Cao đ ng và i

h c v gi i tích

Gi i bài toán v gi i h n dãy s có nhi u ph ng pháp khác nhau

nh lí Lagrange, đ nh lí Stolz và đ nh lý Toeplitz là m t ph ng pháp

m nh đ gi i các bài toán gi i h n dãy s khó và ph c t p Do đó, d i s

h ng d n c a th y giáo: Th c s Phùng c Th ng em đã nh n đ tài

“ nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz vƠ ng d ng trong lý

thuy t gi i h n dãy s ”

2 M c đích nghiên c u

Cung c p cho h c sinh m t ph ng pháp đ có th x lý các bài toán

gi i h n dãy s khó và đa d ng Qua đó c ng c ki n th c v gi i h n cho

h c sinh và giúp h c sinh v n d ng thành th o các đ nh lý đã bi t, đ c bi t

là đ nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz

3 i t ng vƠ ph m vi nghiên c u

+ i t ng nghiên c u: Sinh viên và h c sinh THPT

+ Ph m vi nghiên c u: nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý

Toeplitz và ng d ng trong lý thuy t gi i h n dãy s

4 Nhi m v nghiên c u

Nh c l i các ki n th c c b n v gi i h n Giúp h c sinh n m ch c

đ nh lý: Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz và kh n ng v n d ng sáng t o đ nh lí đ gi i bài toán v gi i h n

M i dãy đ u là dãy con c a chính nó

M i dãy con c a dãy b ch n (t ng ng b ch n trên, b ch n d i) thì b ch n (t ng ng b ch n trên, b ch n d i)

M i dãy con c a m t dãy đ n đi u là m t dãy đ n đi u

t và có chung m t gi i h n

c) Nguyên lý Bolzano – Weierstrass

M i dãy b ch n có ít nh t m t dãy con h i t

Ch ng 2

NH Lụ LAGRANGE, NH Lụ STOLZ, NH Lụ TOEPLITZ

2.1 nh lý Lagrange vƠ h qu

2.1.1 nh lý Lagrange

Cho hàm s f x( ) liên t c trên đo n [a b; ], có đ o hàm trên kho ng

(a b; ) Khi đó t n t i c thu c kho ng (a b ; ) sao cho

'

f b - f a = f c b- a

2.1.2 H qu (đ nh lý Rolle)

Cho hàm s f x( ) liên t c trên đo n [a b; ], có đ o hàm trên kho ng

(a b và ; ) f a( )= f b( )thì t n t i c thu c kho ng (a b sao cho ; ) f c ='( ) 0

Ch ng minh

Ta th y hàm s f x( ) th a mãn các đi u ki n đ nh lý Lagrange: '

t ng này vào dãy s k t h p v i tính đ y đ c a không gian R ta có đ nh

lý sau đây r t ti n l i cho vi c xét s h i t cho m t dãy s c

c) nh lý 2.1.5

Cho f : ;[a b] [® a b; ]th a mãn các đi u ki n c a đ nh lý Lagrange

sao cho f x'( )£ < c 1 " Îx [a b; ] Khi đó m i dãy ( )x n th a mãn

1 1

;( ), 1

ïîThì đ u h i t t i *

lim n n n

n

xay

Khi đó v i " >e 0, N$ 0 sao cho " >n N0 thì

<

-1 1

y x

xay

® + ¥ =

1

lim n n n

n nk

Ch ng 3

NG D NG NH Lụ TRONG Lụ THUY T GI I H N DÃY S

3.1 ng d ng đ nh lý Lagrange trong bƠi toán tìm gi i h n dãy s

vi trên đo n [a b , ]và ph ng trình g t( )= t có nghi m duy nh t t0Î [a b, ]

(gi i h n c a dãy s trên n u có chính là nghi m c a ph ng trình

a và t 0

Nh bi u di n này ta chuy n vi c c l ng đánh giá an+1- t0

thông qua f c '( )n đ ch ra s t n t i hay không t n t i gi i h n c a dãy

3.1.2 Các ví d minh h a

Ví d 1 Xét dãy { }x n th a mãn 1 2

1

121

n n

ï = ïïïî

Þ ê +

ê =êë

+ +

-êë

V y ta có lim n 1 1 2

n

uu

Xét dãy { }un xác đ nh b i 0

1

0( ), 0

2 ''

Ch ng minh r ng dãy { }an có gi i h n và tìm gi i h n đó

Gi i

Theo đ bài a =1 0 và an+1= 2+ an

T đó ta có an ³ 2, " În N*

Xét hàm s f x( )= 2+ x liên t c trên n a đo n th ng [0;+ ¥ )

4

f x £ , " Îx (0;+ ¥ )

Theo đ nh lý 2.1.5 thì dãy { }un có gi i h n và gi i h n c a dãy { }un

là nghi m c a ph ng trình f x( )= x

é = - +ê

Þ ê = - êë

-V y limu = -n 1+ 2= 2- 1

Ví d 6 Cho dãy s  u n xác đ nh b i

1 2 1

1ln(1 ) 2002, 12

1(0) ( 2002) 2002 ln(1 2002 ) 0

13

13

12

n n

ï = ïïïî

(n³ 1)

Nh n xét: Ta th y trong hai cách gi i trên thì cách 1 cho l i gi i ng n

g n, d hi u Nh v y, áp d ng đ nh lý Stolz vào ví d này là cách gi i hay

Ví d 2 Cho dãy (un), un > 0 n" và lim n

aan

® + ¥ =

n n

n n

yn

+

=+

n n

n

+ +

1

1 1

1 1

11

n n

n

+ + +

n n

n n

2 1

Nh n xét: Trong ví d này, s d ng đ nh lý Stolz là cách gi i hay

h n B i vì, ta có th ch n ngay các dãy th a mãn đi u ki n c a đ nh lý và tính đ c gi i h n c n tìm

T ví d 4 ta có th khái quát thành bài toán t ng quát sau:

Bài toán Tính gi i h n

2 1

1

n n

k

k kn

=+

ï =ïïî

2sin 4 sin(2 ) 2 cos(2 )

4sin(2 ) lim

2sin(2 ) 4sin(2 ) 8 cos(2 ) 4 cos(2 ) 4 sin(2 )

2sin(2 ) lim

3sin(2 ) 6 cos(2 ) 2 sin(2 )

2lim

® + ¥

an

1 1 1

ln 11

M r ng ví d 8 thành bài toán sau

Bài toán Cho dãy ( )a mà n lim n

Ví d 9 Cho dãy s d ng ( )x n (ho c cho ( )x , n ( )xn > 0," =n 1,2, )

Ch ng minh r ng: n u lim n 1 lim n

xa

Thì a >n 0 " =n 1,2,

Theo gi thi t và cách đ t ( )a ta có n lim n

n a a

® + ¥ =

n n

n

n a a ac

12

n n

n n

N u d > 0 thì 1 2

lim cn+

=

n

n n

n

n n n

n

n n

nn

n n n

n nn

n

+

-+ -

-+

=+

1 1

11

n n

x

+ -

nxn

= " =n 1,2,

2 2 1

2 2 2

1 !

n n

n n

n n

® + ¥ + b) lim ( 1)

n n

aan

® + ¥ >

c) lim loga ( 1)

n

nan

® + ¥ > d)

2 3

lim

!

n

nn

-ì >

ïïïíï

1

1

01

Tính

3

lim n n

un

Tìm

a) lim n n

un

® + ¥

b) lim 1

n i i n

xn

® + ¥

Bài 9 Tìm gi i h n c a dãy s v i s h ng t ng quát a n cho b i

Gi i

Xét

112

2

1lim

n

aab

k nk

n

bP

1 1 1 2

1

k nk

bP

n

bP

k nk

bP

kk

n n n

Áp d ng đ nh lý Stolz v i 2 b s (pnk) và ( )x ta có n

2 2 3 3

1 1

n

n n n

n

bb

K T LU N

nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz và Toeplitz là m t ph ng pháp m nh x

lý các bài toán gi i h n ph c t p và đa d ng H n n a nó còn giúp cho giáo viên sang t o ra các bài toán v gi i h n dãy s cho h c sinh rèn luy n

Hy v ng các v n đ mà em đ c p đ n trong đ tài này s giúp ich đáng

k cho các sinh viên,c ng nh các em h c sinh PTTH, đ c bi t là h c sinh khá gi i và nh ng ai mu n tìm hi u, quan tâm đ n khía c nh này trong d y toán h c

V i th i gian chu n b ch a nhi u, c ng v i v n ki n th c c ng nh kinh nghi m nghiên c u c a b n thân còn h n ch nên đ tài không tránh kh i

nh ng thi u sót Em r t mong đ c s giúp đ góp ý c a th y cô giáo cùng các b n đ tìm đ c ý t ng t t h n b sung cho đ tài hoàn thi n h n

M t l n n a em bày t lòng bi t n t i các th y cô giáo trong khoa Toán

TÀI LI U THAM KH O

1.Tô V n Ban, Gi i tích -Nh ng bài t p nâng cao, NXB Giáo d c, 2004

2 Nguy n V n M u, Gi i h n dãy s và hàm s ,NXB Giáo d c, 2000

3 Nguy n V n M u- Nguy n Thu Thanh, Chuyên đ b i d ng h c

sinh gi i toán THPT Gi i h n dãy s và hàm s , NXB Giáo d c, 2004

4 Sách giáo khoa Gi i tích và đ i s 11_b giáo d c và đào t o, tái b n

n m 2009