Luận văn sư phạm Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Chúng ta đi xét.

L i nói đ u

L ng giác là m t trong nh ng v n đ r t quan tr ng c a Toán h c,

vi c v n d ng các h th c l ng giác trong tam giác đ đ a ra và ch ng minh các đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác trong tam giác gi vai trò đ c bi t trong gi i toán l ng giác nh lý côsin và đ nh lý sin trong tam giác là hai

h th c quan tr ng, là công c r t có hi u l c đ gi i quy t công vi c đó H c sinh đ c rèn luy n nhi u v các bài toán ch ng minh các đ ng th c, b t d ng

th c l ng giác không ch giúp cho h hi u rõ h n nh ng ng d ng c a các

đ nh lý này trong tính toán c ng nh trong th c t mà còn giúp h luy n t p các k n ng gi i toán l ng giác

góp ph n làm rõ tính u vi t c a hai đ nh lý này trong vi c gi i các bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác không có đi u ki n

và có đi u ki n c ng nh v i mong mu n c a b n thân đ c n m ch c và sâu

h n v ki n th c l ng giác b c THPT đ sau này ra tr ng d y h c đ c

t t h n M t khác, v i mong mu n giúp các em h c sinh không ch đào sâu

ki n th c, mà còn th y đ c vai trò h t s c quan tr ng c a ki n th c l ng giác trong Toán h c Chính vì nh ng lí do k trên, d i s h ng d n c a

th y giáo Phan H ng Tr ng, em đã nh n đ tài: “ nh lý côsin và đ nh

lý sin trong tam giác ” làm khoá lu n t t nghi p cho mình

Trong khoá lu n này, em xin đ c trình bày m t s v n đ quan tr ng sau đây:

L i cam đoan

Tôi xin cam đoan Khoá lu n là công trình nghiên c u c a riêng tôi Trong quá trình nghiên c u, tôi đã k th a, v n d ng nh ng thành qu nghiên c u c a các nhà khoa h c, nhà nghiên c u v i s trân tr ng và bi t n

Nh ng k t qu nêu trong khoá lu n ch a đ c công b trên b t k công trình nào khác

Hà N i, tháng 05 n m 2007

Tác gi

Th Ph ng

Các kí hi u dùng trong khoá lu n

Trong tam giác ABC, ta kí hi u:

a, b, c: đ dài các c nh c a tam giác (a = BC, b = CA, c = AB);

la, lb, lc: đ dài các đ ng phân giác trong c a các góc A, B, C t ng ng;

R, r: bán kính đ ng ngo i ti p và n i ti p tam giác;

M c l c

Trang

L i nói đ u 1

L i cam đoan 2 Các kí hi u dùng trong khoá lu n 3

Ch ng I: M t s ki n th c c n thi t 4

Ch ng II: Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác không có đi u ki n 10

I Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác không có đi u ki n 10

II Gi i bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác không có đi u ki n nh s d ng đ nh lý côsin, đ nh lý sin và đ nh lý côsin m r ng trong tam giác 10

III M t s ví d 11

IV Bài t p đ ngh 32

Ch ng III: Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác có đi u ki n 35

I Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác có đi u ki n 35

II Gi i bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác có đi u ki n nh s d ng đ nh lý côsin, đ nh lý sin và đ nh lý côsin m r ng trong tam giác 35

III M t s ví d 36

IV Bài t p đ ngh 45

K t lu n 48

Tài li u tham kh o 50

 Bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác:

4 2sin 2sin 2sin

      

 Bán kính đ ng tròn bàng ti p tam giác:

;2

2 2 2 2

;

b

a c b

m   

2 2 2 2

;

c

a b c

m   

4 Công th c phân giác trong c a tam giác:

2

a

bc l

b c



 cos2

A

= 2 bc p p ( a );



2

b

ac l

a c



 cos2

B

= 2 ac p p b ( );



2

c

ab l

a b



 cos 2

C

= 2 ab p p c ( );



5 M t s đ ng th c l ng giác c b n trong tam giác:

a, sinA + sinB + sinC = 4cos

2

A

cos

2

B

cos

2

C

(1)

b, sin2A + sin2B + sin2C = 4 sinA sinB sinC (2)

c, cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C (3)

d, cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4 cosA cosB cosC (4)

e, tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC (฀ ABC không vuông) (5)

f, cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA = 1 (6)

g, cotg 2 A + cotg 2 B + cotg 2 C = cotg 2 A cotg 2 B cotg 2 C (7)

h, tg 2 A tg 2 B + tg 2 B tg 2 C + tg 2 C tg 2 A = 1 (8)

Ch ng minh:

a, Ta có: sinA + sinB + sinC = 2sin

2

A B

cos

2

A B

+ sinC

= 2cos

2

C

cos

2

A B

+ 2 sin

2

C

cos

2 C

= 2cos

2

C

( cos

2

A B

+ cos

2

A B

)

= 4 cos

2

C

cos

2

A

cos

2 B

V y công th c (1) đúng

b, Ta có: sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A+B) cos(A-B) + 2sinC cosC

= 2sinC cos(A-B) - 2sinC cos(A+B)

d, Ta có: cos2A + cos2B + cos2C = 2cos(A+B) cos(A-B) + 2cos2C – 1

= -2cosC cos(A-B) – 2 cosC cos(A+B) – 1



 ) + tg( )

2 2B



 + tg( )

2 2C



 = tg(

2 2A



 ) tg( )

2 2B



 tg( )

2 2C





h, Ch ng minh t ng t công th c (7), t công th c (6) ta suy ra công th c (8)

6 M t s b t đ ng th c l ng giác c b n trong tam giác:

a, sinA + sinB + sinC 3 3

T đó suy ra: sinA + sinB + sinC  3 sin

e, Ta có: cotgA + cotgB + cotgC  3

 (cotgA + cotgB + cotgC)2  3

 cotg2A + cotg2B + cotg2C + 2(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA)

3

cotg2A + cotg2B + cotg2C + 2  3

 cotg2A + cotg2B + cotg2C -10

 cotg2A + cotg2B + cotg2C -(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA) 0

 (cotgA -cotgB)2 + (cotgB – cotgC)2 + (cotgC – cotgA)2 0: luôn đúng

V y b t đ ng th c (13) đúng

Các b t đ ng th c còn l i đ c suy ra t (13)

Ch ng II: bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng

Th c l ng giác không có đi u ki n

I Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác không

có đi u ki n:

1 Bài toán ch ng minh đ ng th c l ng giác không có đi u ki n:

 Bài toán có d ng: Cho tam giác ABC cùng m t s y u t trong tam giác

Ch ng minh r ng tam giác ABC tho mãn h th c: X = Y (trong đó X,

Y là các bi u th c l ng giác trong tam giác)

2 Bài toán ch ng minh b t đ ng th c l ng giác không có đi u ki n:

 Bài toán có d ng: Cho tam giác ABC cùng m t s y u t trong tam giác

Ch ng minh r ng: X  Y (*) (ho c X  Y, ho c X >Y, ho c X <Y) Trong đó:

X, Y là các bi u th c l ng giác trong tam giác

 ch ng minh (*) ta c ng s d ng các ph ng pháp ch y u sau đây: 1) Bi n đ i X thành Z sao cho Z  Y (ho c Y thành T sao cho X  T) 2) Bi n đ i X thành Z, Y thành T sao cho Z  T

3) Bi n đ i X  Y t ng đ ng v i m t b t đ ng th c đúng

Hoàn toàn t ng t v i các b t đ ng th c: X  Y (ho c X >Y, ho c X <Y)

II Gi i bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác

không có đi u ki n nh s d ng đ nh lý côsin, đ nh lý sin và đ nh lý

côsin m r ng trong tam giác:

N u trong các đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác c n ch ng minh có các

c nh hay các hàm s l ng giác c a các góc thì ta s d ng các đ nh lý đó đ bi n

đ i các bi u th c đã cho thành các bi u th c ch có hàm s l ng giác c a các góc (hay ch có các c nh) đ vi c ch ng minh đ c d dàng h n

Ta ti n hành gi i bài toán này theo các thao tác sau:

1) Xác đ nh đ nh lý c n áp d ng

2) áp d ng đ nh lý đó k t h p v i các phép bi n đ i l ng giác, các h

th c l ng giác khác trong tam giác đ ch ng minh

3) K t lu n

Nh các đ nh lý nêu trên, ta có th ch ng minh đ c r t nhi u đ ng th c, b t

đ ng th c l ng giác quan tr ng bi u th m i liên h gi a các y u t trong m t tam giác

III M t s ví d :

Tr c h t, ta đi ch ng minh các đ ng th c l ng giác bi u th m i liên h

gi a các c nh và các hàm s l ng giác c a các góc trong m t tam giác b ng vi c

s d ng tr c ti p đ nh lý côsin và đ nh lý sin trong tam giác

Ví d 1: Cho ฀ ABC Ch ng minh các h th c sau:

+ b3)

= (a + b) [ab + c2 (a2– ab + b2

)]

= (a + b) [c2– (a – b)2]

c sC

ac

 

 ; Khi đó:

V y (3) đúng

Nh n xét: B ng vi c s d ng đ nh lý côsin và đ nh lý sin trong tam giác ta còn có

th ch ng minh các đ ng th c bi u th m i liên h gi a n a chu vi, di n tích tam giác và các c nh, các hàm s l ng giác c a các góc Ta xét ví d sau đây:

Ví d 2: Ch ng minh các h th c sau trong ฀ ABC:

a, abc (cosA + cosB + cosC) = a2 (p – a) + b2

S a B b A (3)

Gi i

a, áp d ng đ nh lý côsin trong ฀ ABC, ta có:

VT (1) = abc (cosA + cosB + cosC)

= a.bccosA + b.accosB + c.abcosC

áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABC, ta có:

a = 2RsinA; b = 2RsinB; c = 2RsinC Theo công th c tính bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác, ta có:

Do đó: VP (2) = 4 ( cot 2 cot 2 cot 2)

2 sin 2 sin 2 sin

Rp

R A R B  R C

= 2 cot 2 cot 2 cot

Qua các ví d trên ta th y đ nh lý côsin và đ nh lý sin trong tam giác là hai

công c r t có hi u qu trong vi c ch ng minh các đ ng th c l ng giác không có

đi u ki n Tuy nhiên, c n ph i v n d ng linh ho t hai đ nh lý này cùng v i vi c bi n

đ i thành th o các bi u th c l ng giác thì m i có đ c m t l i gi i nhanh, g n và

đúng

Trong ฀ ABC, n u D là trung đi m c nh BC thì chúng ta có ngay công th c

tính trung tuy n AD quen thu c N u đi m D thu c c nh BC sao cho AD là đ ng

phân giác thì công th c phân giác trong c ng đ c xác đ nh V y trong tr ng h p

t ng quát D là đi m b t kì trên c nh BC thì đ dài AD s đ c xác đ nh nh th

nào? Chúng ta s đi ch ng minh đ nh lý sau đây:

áp d ng đ nh lý côsin trong ฀ABD, ta có:

Nh n xét: ây là m t đ nh lý r t quan tr ng, mà trong m t s tr ng h p c th nó cho ta nh ng công th c quen thu c th ng hay s d ng trong tính toán c ng nh trong ch ng minh các đ ng th c và b t đ ng th c l ng giác C th :

 Khi D là trung đi m c a BC thì (*) cho ta công th c trung tuy n quen thu c:

2 2 2 2

Ví d 4: Cho ฀ ABC và I là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác Ch ng minh r ng:

a, 4 sin sin sin

sin sin

B Cr

T đó suy ra: 2.sin 2

2

asinr

rIA

A

 ;

sin2

rIC

Ngoài ra, v i vi c s d ng đ nh lý sin trong tam giác, ta d dàng ch ng minh

đ c công th c bi u di n kho ng cách gi a hai tâm đ ng tròn ngo i ti p và n i

ti p m t tam giác theo bán kính c a hai đ ng tròn đó C th , ta xét ví d sau đây:

฀ ฀

2

BABI CBI 

Do đó: ฀ ฀ ฀

2

A BIBDIBCCBD 

  (2)

T (1) và (2) suy ra: ฀ ฀

2

A BIBDBID 

hay ฀IBD cân đ nh D

V y công th c Euler đ c ch ng minh

Nh n xét: Nh có đ nh lí sin trong tam giác cùng v i vi c k t h p khéo léo các ki n

th c c a hình h c ph ng giúp ta ch ng minh công th c Euler m t cách nhanh

chóng

Ví d 6: Cho ฀ ABC và H là tr c tâm c a tam giác Gi s R1, R2, R3 t ng ng là

bán kính các đ ng tròn ngo i ti p các tam giác HBC, HCA, HAB Ch ng minh

BHC

Mà ฀ 0

180 BHC   A

Nh n xét: Ta thay vi c xét tr c tâm H b i tâm I c a đ ng tròn n i ti p ฀ ABC, ta

đ c bài toán sau đây:

Ví d 7: Cho ฀ ABC và I là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác Gi s R1, R2, R3 l n

l t là bán kính các đ ng tròn ngo i ti p các tam giác IBC, ICA, IAB Ch ng

B

c s

 ; 3

22

cR

L i áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABC, ta có:

a = 2RsinA; b = 2RsinB; c = 2RsinC

8 sin sin sin

8 sin sin sin

Nh n xét: N u ta chuy n vi c xét tam giác ABC sang xét t giác ABCD n i ti p

m t đ ng tròn v i M là giao đi m c a hai đ ng chéo V y thì bán kính c a

đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD s đ c xác đ nh nh th nào n u bi t bán

kính các đ ng tròn ngo i ti p các tam giác MAB, MBC, MCD, MDA? gi i

quy t đ c bài toán đó thì ta c n ph i ch ng minh đ nh lý quan tr ng sau đây:

AC.BD = AB.CD + AD.BC

T ng t trong ฀ ACD có: CD  2 sin R 

Và trong ฀ ABC có: BC  2 sin R 

2 (2 sin sin 2 sin sin )

Ví d 9: Cho t giác ABCD n i ti p m t đ ng tròn và M là giao đi m c a hai

đ ng chéo AC, BD Gi s R1, R2, R3, R4 l n l t là bán kính các đ ng tròn ngo i ti p các tam giác MAB, MBC, MCD, MDA và R là bán kính đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD Ch ng minh r ng:

2 1 4 2 3 1 2 3 4

1 3 2 4

( R R R R )( R R R R ) R

AC.BD = AB.CD + AD.BC

Hay AC.BD = ac+bd

R R R R R R R R

R R R RR

Ví d 10: Ch ng minh các h th c sau trong ฀ ABC:

a, áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABC, ta có:

a  2 RsinA b ;  2 sin ; R B c  2 sin R C

VT(1) = c sA c sB c sC

cc sB bc sC cc sA ac sC ac sB bc sA

          

2 sin( ) 2 sin( ) 2 sin( )

(cot cot cot )

2

sCC

1.24

4

2(1)

a b c

a b cabcR

R

a b cabcVP

2 sin (2 sin 2 sin )

2 sin (2 sin 2 sin )

sin sincotcot

A Cc sB

B Cc sAgB

Nh n xét: Qua ví d này cho chúng ta th y r ng không ch có hai đ nh lý côsin và

đ nh lý sin trong tam giác m i là công c có hi u qu cao trong vi c ch ng minh các h th c l ng giác mà hi u qu c a đ nh lý côsin m r ng c ng vô cùng to l n

minh ho cho nh n đ nh trên, ta xét ti p ví d sau đây:

Ví d 11: Cho ฀ ABC và AM, BN, CP là các đ ng trung tuy n c a tam giác, G là

tr ng tâm c a tam giác t ฀AMB,฀AGB Ch ng minh r ng:

a, 2 cot g cot gC  cot gB (1)

2 2 2

cot4

a b c

gCS

 

 ;

2 2 2

cot4

a c b

gBS

b, áp d ng đ nh lý côsin m r ng cho ฀ ABC, ta có:

cot

124

Ví d 12: Cho ฀ ABC và M là m t đi m trong tam giác sao cho

MAB  MBC  MCA  Ch ng minh r ng:

cot g  cot gA  cot gB  cot gC (*)





  (5)

T (4) và (5) suy ra: .sin

sin

ABB

sin

A C  a A

Do đó: (6) sin sin sin2

 Nh v y, qua các ví d v a xét trên cho chúng ta th y hi u l c c a các

đ nh lý côsin, đ nh lý sin và đ nh lý côsin m r ng trong tam giác đ i v i

vi c ch ng minh các h th c l ng trong tam giác Vi c s d ng các đ nh lý này trong ch ng minh giúp cho ta có m t l i gi i ng n g n, đ n gi n và d

hi u i v i các b t đ ng th c l ng giác trong tam giác thì vi c s d ng các đ nh lý này đ ch ng minh c ng có hi u qu t ng t Chúng ta đi xét

V y b t đ ng th c (1) đúng

b, Theo đ nh lý sin trong ฀ ABC, ta có:

a  2 RsinA b ;  2 sin ; R B c  2 sin R C

Do đó:

B T (2) 2 sin 2 sin 2 sin 1

2 (sin sin sin ) 2

Nh n xét: Ngoài vi c k t h p gi a các đ nh lý côsin, đ nh lý sin và đ nh lý côsin

m r ng trong tam giác v i vi c bi n đ i l ng giác thì trong ch ng minh b t đ ng

th c l ng giác ta còn v n d ng linh ho t các b t đ ng th c quen thu c nh b t

đ ng th c Côsi, b t đ ng th c Bunhiac pxki, …

Ví d 15: Ch ng minh b t đ ng th c sau đây trong ฀ ABC:

a b c

a b cSS

c s



b, S  Rr (sin A  sin B  sin ) C

c, a cot gA b  cot gB c  cot gC  2( R r  )

Bài 3 V i m i tam giác ABC, ch ng minh r ng:

p b p c

 



 





Bài 6 Cho ฀ ABC và AM, BN, CP là các đ ng trung tuy n c a tam giác

t฀AMB, BNC฀ , CPA฀ . Ch ng minh r ng:

a, cot sin( )

2sin sin

B Cg

B C

  

b, cot g cot g cot g  0

Bài 7 Cho ฀ ABC và M là m t đi m b t kì trong tam giác G i A1, B1, C1 l n

l t là hình chi u c a M trên BC, CA, AB Ch ng minh r ng:

cotg AABcotg BBCcotgCC A0

Bài 8 Cho ฀ ABC, trên c nh BC l y ba đi m M, N, P sao cho BM = MN = NP

t BAM฀  , MAN฀ ,฀NAC  Ch ng minh r ng:

2

(cot g cot g)(cot g cot g)  4(1 cot  g )

Bài 9 Cho ฀ ABC v i B > C G i O, I, O1 l n l t là tâm các đ ng tròn ngo i

2 2 3 cot

Bài 16 Cho ฀ ABC và M là m t đi m b t kì trong tam giác đó t x = AM, y =

BM, z = CM và g i kho ng cách t đi m M đ n các c nh BC, CA, AB l n l t là