Luận văn sư phạm Đại số Tenxơ và đại số ngoài

Tenx mêtric ..... Toán t thay phiên ..... Khi đó, các tích:... tr thành không gian Euclid... Khi đó, xét phép chuy n trí sao cho.

c bi t, em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y Nguy n Huy H ng,

ng i đã tr c ti p h ng d n, ch b o và đóng góp nhi u ý ki n quý báu trong th i gian em th c hi n khoá lu n này

Hà N i, ngày 10 tháng 5 n m 2009

Sinh viên

C n Th Nga

L i cam đoan

Khoá lu n này là k t qu c a b n thân em trong quá trình h c t p và nghiên

c u Bên c nh đó, đ c s quan tâm t o đi u ki n c a các th y cô giáo trong khoa Toán, đ c bi t là s h ng d n t n tình c a th y giáo Nguy n Huy H ng

Trong quá trình nghiên c u hoàn thành b n khoá lu n em có tham kh o m t

s tài li u đã ghi trong ph n tài li u tham kh o

Em xin cam đoan k t qu c a đ tài “ i s tenx và đ i s ngoài” không

M c l c

M đ u 5

Ch ng 1 Ki n th c b tr ……….6

Ch ng 2 đ i s tenx 13

2.1 nh ngh a 13

2.2 i s tenx 14

2.3 Tính ch t ph d ng c a  E 15

2.4 C p ph d ng 17

2.5 ng c u 19

2.6 nh ngh a 20

2.7 ng c u 21

2.8 nh ngh a 22

2.9 i s tenx h n h p 23

2.10 ánh x thu h p ……….23

2.11 ánh x tenx ………25

2.12 Tích trong 26

2.13 ng c u  26

2.14 Tenx mêtric 27

2.15 i s T E฀( ) 28

2.16 Phép th 29

2.17 ng c u p p ( ) E T E    30

2.18 i s T E฀( ) 32

2.19 Tính đ i ng u gi a Tp( ) E và T Ep( ) 32

2.20 i s T E ( ) 33

Ch ng 3 i s tenx ph n đ i x ng

i s tenx đ i x ng 35

3.1 Không gian Np( ) E 35

3.2 Toán t thay phiên 36

3.3 Không gian đ i ng u 38

3.4 Ph n t ph n đ i x ng c a m t tích 39

3.5 Iđêan N E ( ) 40

3.6 i s  E N E / ( ) 40

3.7 Các tenx ph n đ i x ng 41

3.8 Tích vô h ng 41

3.9 Không gian Mp( ) E 42

3.10 Toán t đ i x ng hoá 42

3.11 Không gian đ i ng u 44

3.12 Ph n t đ i x ng c a m t tích 45

3.13 Iđêan M E ( ) 46

3.14 i s  E M E / ( ) 46

3.15 Các tenx đ i x ng 47

3.16 Tích vô h ng 48

K t lu n ……… 49

Tài li u tham kh o 50

M đ u

1 Lý do ch n đ tài

Ngày nay, nh ng t t ng, ph ng pháp và k t qu c a i s đã thâm nh p vào h u h t các l nh v c c a toán h c, t tô pô và hình h c t i gi i tích và xác su t,

c ng nh m t s l nh v c c h c, v t lý lý thuy t, hoá h c l ng t Trong đó, đ i

s đa tuy n tính, c th là ba đ i s đa tuy n tính trên m t tr ng tu ý, đó là: đ i s tenx , đ i s đ i x ng, đ i s ngoài đóng vai trò khá quan tr ng H n n a, vi c nghiên c u v n đ còn giúp ng i h c phát tri n t duy, có t m nhìn sâu r ng h n

v toán h c

T ni m yêu thích c a b n thân v i b môn này, cùng v i s giúp đ t n tình

c a th y giáo Nguy n Huy H ng em m nh d n th c hi n khoá lu n t t nghi p v i tiêu đ : " i s tenx và đ i s ngoài"

+ Phân tích tài li u có liên quan

+ T ng h p kinh nghi m b n thân

Cho E và F là các không gian véct và  là ánh x song tuy n tính t

EF vào không gian véct T Ta nói r ng  có tính ch t ph d ng n u nó th a mãn các đi u ki n sau:

1

 : Các véct xy x E y  , F sinh ra T, ho c t ng đ ng Im   T

2

 : N u  là ánh x song tuy n tính t EF vào không gian véct b t k

H, khi đó t n t i ánh x tuy n tính f T: H sao cho bi u đ sau giao hoán:

(1.1) Hai đi u ki n trên t ng đ ng v i đi u ki n sau:

: V i m i ánh x song tuy n tính  : E F   H thì t n t i duy nh t m t ánh x tuy n tính f T: H sao cho bi u đ (1.1) giao hoán

Tích tenx là giao hoán v i ngh a là E    F F E

* Tích tenx c a không gian con:

Cho ánh x song tuy n tính  : E F   T có tính ch t ph d ng và hai không gian con E1 E vµ F1 F

Cho 'là kí hi u c a ánh x thu h p c a  lên E1 F1 và T1Im' Khi đó,

 '

1,

T  là tích tenx c a E1 vµ F1

* Tích tenx c a không gian th ng:

Cho E1 E vµ F1 F là các không gian con và

 1, 1 1 1

T E F E  F E Fánh x song tuy n tính  :E F EF /T E F1, 1 đ c đ nh ngh a

1.7 Không gian tích trong

* M t tích trong trong không gian véct E là hàm s song tuy n tính đ i

x ng (,) không suy bi n trong E

* Không gian tích trong E  Fđ c g i là tích tenx c a hai không gian tích trong E và F

   ' '    ' '

Ta có    không suy bi n khi và ch khi  vµ  đ u không suy bi n

Cho E E*, và F F*, là hai c p không gian đ i ng u và các tích vô h ng

đ c kí hi u là <, > Khi đó, t n t i duy nh t m t hàm s song tuy n tính <, > trong

(a) Phép c ng:

 

:,

các phép toán này th a mãn các đi u ki n sau:

(A1) A cùng v i hai phép toán c ng và nhân l p thành m t vành

(A2) A cùng v i phép c ng và phép nhân vô h ng l p thành m t không gian véct trên K

(A3) Hai c u trúc vành và không gian véct trên A ràng bu c nhau b i đi u ki n:

    xy  x yx  y ;   K x y; , A

Gi s A là m t đ i s trên K M t t p con c a A đ c g i là đ i s con n u

nó v a là m t vành con v a là m t không gian véct con c a A

T p con S  A Giao c a t t c các đ i s con c a A ch a S là đ i s con c a

A sinh b i S ó là đ i s con nh nh t c a A ch a S

T p con B Ađ c g i là m t iđêan c a đ i s A n u nó v a là m t iđêan

c a vành A v a là không gian véct con c a A

n n

(2) E Ei. j  Ei j

Ch ng 2 i s Tenx Các tenx

u  E vµ v  E Khi đó, t (2.1) ta có:

x 1   xp  xp1   xp q    x 1 xp q (2.2) Tenx u  v đ c g i là tích c a các tenx u vµ v Tích (2.2) có tính ch t k t h p (đi u này đ c suy ra t đ nh ngh a)

Tuy nhiên, tích trên không giao hoán tr tr ng h p dim E  1(Th t v y, n u

x  E vµ y  E là các véct đ c l p tuy n tính thì các tích x  y vµ y  xc ng đ c l p tuy n tính và do đó x  y   y x)

N u : ฀p

p

i  E   Elà phép nhúng thì ta có th vi t:

฀0

p p p

0

p p

Suy ra E1  0 hoÆc F1  0 (v× lµ tÝch tenx¬) 

Do đó E=0 (mâu thu n gi thi t)

 i u gi s là sai hay  không là m t tích tenx

Gi s A là đ i s k t h p b t k , v i ph n t đ n v e và m t ánh x tuy n tính  : E  A Khi đó, t n t i duy nh t m t đ ng c u h :   E A sao cho (1) vµ 

h e h i ; t c là bi u đ sau giao hoán:

Vì m i ph n t c a  E là t ng c a các tenx phân tích đ c và h là tuy n tính,

suy ra h b o toàn các tích h v a là đ ng c u vành v a là đ ng c u trên không

E

 là hp nên h   h

ch ng minh tính ch t T1, ta gi s không gian véct con V c a U là sinh

b i Im  và ph n t đ n v Khi đó, g i v là ánh x tuy n tính t E vào V

Do đó, t n t i đ ng c u h U :  V sao cho h(1)= 1 và h    v NÕu j V :  U là phép nhúng, ta có   j v T đó suy ra  ( ).j h 

Mà j là ánh x lên nên U= V i u ki n T1đ c ch ng minh

*Bây gi ta s đi ch ng minh đ nh lý sau:

nh lý v tính ch t duy nh t: Cho  ,U vµ  ',U' là hai c p ph d ng c a E Khi đó t n t i duy nh t m t đ ng c u f U: U' sao cho: f.  '

Vì i,E là c p ph d ng trong E nên theo đ nh lý v s t n t i duy nh t

m t đ ng c u f :  E Usao cho f i.  Vì  E là đ i s phân b c, s phân

b c đ c sinh ra trong U b i đ ng c u f V i s phân b c đó đ i s U đã cho là đ i

s phân b c và f : E U là đ ng c u thu n nh t b c không Theo đ nh lý v tính duy nh t, đ i s ph d ng U c ng đ c g i là đ i s tenx trên E và đ c ký

N u F= E và i là ánh x đ ng nh t thì i là ánh x đ ng nh t c a  E, ta có:

i i (2.5)

T (2.4) và (2.5) suy ra là đ n ánh (toàn ánh) n u  là đ n ánh (toàn ánh)

Th t v y, n u  là đ n ánh thì  m t ánh x tuy n tính  : F  E sao cho i

   

p p p

M t tenx có d ng:

w  x   x    x x x  E x  E

2.10 ánh x thu h p

Gi s p1 vµ q1 M i c p (i, j) v i 1 i p vµ 1 j q cho (p+ q) - ánh x tuy n tính

e e là c p c s đ i ng u c a E*

và E Khi đó, các tích:

1 1 1

1 1

1 1 1 1 1

, ,

= = = =

tr thành không gian Euclid

Tích trong trong các không gian pExác đ nh m t tích trong trong  E b i:

Th t v y, cho u  x1 xp vµ v  y1 yp là các tenx phân tích

T ng t , ta đ nh ngh a tenx mêtric đ i nh sau:

   x1, ,xp q   x1, ,xp . xp1, ,xp q  (2.12) Trong tr ng h p p= 0 ho c q= 0 ta đ nh ngh a tích trên là phép nhân thông th ng

nÕu nÕu

v v

v p

v v

 

1 1

 * *

,

a

f x  x a , aE

V i  p 1 tích c a p – hàm s tuy n tính trong không gian đ i ng u E*  và

q – hàm s tuy n tính  là p+ q – hàm s tuy n tính  đ c cho nh sau:

e e trong *

E và E và gi s hàm s song tuy n tính <, >: p   

 

 

1 1

1 1 1

p p

p p

v v

v

v v

e e (v=1,…,n) và nó không suy bi n Vì v y, nó là tích vô h ng gi a các không gian p 

Gi s T(E) là t ng tr c ti p c a các không gian p 

Cu i cùng, cho  : E F là đ ng c u tuy n tính Khi đó, nó c m sinh đ ng

3.1 Không gian N p ( ) E

Cho E là không gian véct và p – l y th a tenx p

E

 Sp là kí hi u nhóm hoán v c a p ph n t Khi đó, m i hoán v Spxác đ nh m t t đ ng c u c a

Và ImA Xp E (3.5)

Th t v y, cho u     x1 xp Np  E Khi đó, xét phép chuy n trí sao cho

iđêan phân b c trong đ i s phân b c E

Bây gi , gi s r ng up E và vq E là các tenx b t kì Khi đó, ta có:

T công th c (3.15) suy ra phép nhân trên có tính ch t k t h p và  1 là ph n t

đ n v Vì iđêan N E( ) đ c phân b c trong đ i s phân b c  E, s phân b c này

H n n a, A là phép chi u và  E N E X E 

N u  là ánh x thu h p c a phép chi u  lên không gian véct con X(E) thì

 X E  E N E là đ ng c u tuy n tính thu n nh t b c không

Cho X:  E X E là ánh x thu h p c a A Khi đó, bi u đ sau giao hoán:

E X X E  

   E N E/   (3.17)

Cho c p không gian vect đ i ng u E,E* Khi đó, t n t i tích vô h ng  E

và E* T (3.7) ta suy ra s h n ch c a tích vô h ng t i các không gian véct con X(E) và X(E*) là không suy bi n

Vì :X E  E N E/   là m t đ ng c u tuy n tính, tích vô h ng <,> trong c p

S E E đ c cho b i:

Trong tr ng h p này thì các công th c đ c xây d ng trên v n đúng

Bây gi , cho v u u là ph n t b t kì c a M p E p,  2 và wq E là tenx

q S

T (3.32) suy ra phép nhân trên có tính ch t giao hoán Vì M E( ) phân b c, s phân b c sinh ra trong đ i s th ng E M E/ ( )là:

( )

Y EE

3.16 Tích vô h ng

Cho E và E* là c p không gian véct đ i ng u và tích trong E vµ E* Theo

ph n 3.11, s h n ch c a tích vô h ng t i các không gian con Y E ( ) và *

( )

Y E là không suy bi n Do đó, có tích vô h ng gi a các không gian véct  E M E / ( ),

K t lu n

tài này không ch có ý ngh a v m t lý thuy t mà còn có ý ngh a c v

m t th c ti n Nó cung c p m t ph n lý thuy t v ba đ i s đa tuy n tính trên m t

tr ng, đó là: đ i s tenx , đ i s ngoài, đ i s tenx đ i x ng Qua đó, chúng ta có

nh ng ng d ng c a đ i s vào hình h c, gi i tích, c h c, v t lí,…

Tuy nhiên, do th i gian có h n và trình đ c a tôi còn h n ch nên đ tài này không th tránh kh i nh ng thi u sót Tôi r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a các th y, cô giáo cùng các b n sinh viên đ đ tài này ngày càng đ c hoàn thi n

h n