PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Phương trình tham số của đường thẳng: a Định nghĩa: Cho đường thẳng.. Chú ý: * Nếu là giao tuyến của hai mp lần lượt nhận làm VTPT thì là một véc tơ chỉ phương của.. Khi đó phương trìn

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Phương trình tham số của đường thẳng:

 a) Định nghĩa: Cho đường thẳng Véc tơ gọi là véc tơ chỉ phương của đ/t   nếu

nó nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với

Chú ý: * Nếu là giao tuyến của hai mp lần lượt nhận làm VTPT  thì  là một véc tơ chỉ phương của

* Đường thẳng có là VTCP

 b) Cho đường thẳng đi qua và có VTCP Khi đó phương trình đường thẳng có dạng:

(1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số

Nhận xét : * Để viết ptts của một đường thẳng, ta cần tìm một điểm đi qua và một VTCP Trong

hai yếu tố này, thì việc tìm VTCP gây không ít khó khăn cho chúng ta Do đó ta cần lưu ý đến một số tính chất sau :

2 Phương trình chính tắc:

Cho đường thẳng đi qua và có VTCP Khi đó phương trình đường thẳng có dạng:

(2) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng

Chú ý: Trong (2) nếu mẫu bằng 0 thì ta quy ước tử cũng bằng 0.

5 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Lập ptts, ptct của đường thẳng d biết:

1)       d đi qua và có VTCP 

Giải:

1) Phương trình tham số của d:

Phương trình chính tắc của d:

2) Vì d đi qua A và B nên d nhận là VTCP

Phương trình tham số của d:

3) Vì d vuông góc với mp(P) nên d nhận VTPT của (P) làm VTCP

Phương trình tham số của d: 

4) Vì d là giao tuyến của hai mp và nên tọa độ của mọi điểm thuộc d là nghiệm của hệ:

Cho

Phương trình tham số của d: 

Ví dụ 2: Viết phương trình của đường thẳng biết

Giải:

Cách 1: Giả sử  là một VTCP của Vì  vuông góc với d1 và d2 nên

Cách 2: Ta có

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5(x - 1) - 8y - 3(z + 1) = 0 \\  1(x - 1) - 2y = 0 \\  \end{array} \right \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\  y = t \\

 z =  - 1 + \frac{2}{3}t \\  \end{array} \right.\]

2) đi qua và song song với hai mp  và

Giải :

Gọi d là giao tuyến của hai mp(P) và (Q)

Vì

Vậy phương trình của

3)   nằm trong mp(P): và cắt hai đường thẳng :

Giải: Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (P) với d1, d2

Thay phương trình d1 vào phương trình (P) ta có :

Thay phương trình d2 vào phương trình (P) ta có :

Vì  nằm trong (P) đồng thời  cắt d1, d2 nên  đi qua A,B    nhận

làm VTCP

Vậy phương trình của đường thẳng  là:

Giải:

 Gọi A, B lần lượt là giao điểm của  và

Vì

 đi qua M nên cùng phương với hay

.Vậy phương trình

Nhận xét:  Cách giải thứ hai là ta xác định đường thẳng bằng cách xác định hai điểm thuộc

đường thẳng Để xác định một điểm thuộc đường thẳng ta chuyển phương trình  đường thẳng về phương trình tham số, việc làm này giúp chúng ta giảm bớt số ẩn cần tìm

Giải :

 Gọi N là giao điểm của  và

Vì  vuông góc với

1)      Tìm tọa độ hình chiếu của lên đường thẳng

2)      Tìm thuộc  sao cho

Giải :

1) Cách 1 : Vì

Mặt khác

Cách 2 : Gọi (P) là mp đi qua A vuông góc với  

2)

Bài tập:

 1) Viết pt mp(P) đi qua M và chứa (d1)

 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt (d1) và vuông góc với (d2)

 3) Viết pt đường thẳng đi qua M cắt (d1) và (d2)

 4) Viết pt  mp(Q) đi qua (d1) và song song với (d2)

 5) Viết pt đường thẳng đi qua M vuông và cắt (d1)

 6) Viết pt mp(R) đi qua A(1 ;2 ;3) và vuông với (d2)