chuyen de chung minh bdt (tran kim oanh)

MỘT SỐ HƯỚNG PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN VÀ SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN---19 3.1... Đề tài của bàitoán bất đẳng thức hết sức ngắn gọn dễ hiểu nhưng quá trình đi tìm lời

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU: -2

II NỘI DUNG -3

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT -3

2 SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC -5

3 MỘT SỐ HƯỚNG PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN VÀ SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN -19

3.1 Thay đổi hàm số -19

3.2 Thay đổi giả thiết -20

3.3 Dấu đi hàm đặc trưng -21

4 KẾT LUẬN -22

III TÀI LIỆU THAM KHẢO -23

CHUYÊN ĐỀ: SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TRONG

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

I Mở đầu:

Bất đẳng thức là một phần quan trọng của toán học Nó là một bài toán khó mà

ta thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi và thi đại học Mặc dù học sinh đượchọc bất đẳng thức từ các lớp trung học cơ sở và đến trung học phổ thông nhưngtrong các kỳ thi các em vẫn rất lúng túng, khó khăn ở mảng này Cả giáo viên vàhọc sinh đều mất rất nhiều thời gian ở mảng này không chỉ bởi nó khó và cótrong các kì thì mà còn bởi nó chứa nhiều sự sáng tạo và suy luận Đề tài của bàitoán bất đẳng thức hết sức ngắn gọn dễ hiểu nhưng quá trình đi tìm lời giải lạichứa nhiều suy luận và sự sáng tạo để rồi lời giải lại ngắn gọn đẹp đẽ dễ hiểu.Như chúng ta đã biết có rất nhiều phương pháp để giải quyết bài toán bất đẳngthức chẳng hạn là dùng bất đẳng thức cổ điển, dùng đạo hàm, dùng hàm lồi,dùng phương trình tiếp tuyến… Nó không như đạo hàm cứ có công thức là cóthể tìm đạo hàm của tất cả các hàm sơ cấp Đứng trước một bài toán bất đẳngthức việc khó khăn nhất là nhận ra phương pháp để giải quyết Nhiều khi ta đọclời giải của một bài bất đẳng thức và câu hỏi xuất hiện đầu tiên trong đầu là tạisao họ lại nghĩ ra cách làm như vậy nhỉ? Và câu hỏi thứ hai là tại sao họ lại nghĩ

ra đề bài hay như vậy? Có cách nào nhận dạng nhanh phương hướng giải chobài toán hay không? Có cách nào sáng tạo ra những bài toán sử dụng phươngpháp trên không? Đặc biệt là với những bài sử dụng phương pháp tiếp tuyến của

đồ thị hàm số để chứng minh bất đẳng thức Đây không phải là phương phápđược nêu ra trong sách giáo khoa chính bởi vậy việc trình bày bài toán dựa vàophương pháp này cũng không thể hiện rõ nên làm người đọc rất tò mò về quátrình suy nghĩ để tìm ra lời giải Ta chỉ dung phương pháp này để đi tìm ra biểuthức đánh giá và sau đó ta lại biến đổi đánh giá bình thường Và nội dung dưới

đây sẽ làm rõ vẫn đề này và phần nào trả lời cho bạn câu hỏi tại sao lại nghĩ nhưvậy Đồng thời trong phần này tôi cũng đưa ra một số hướng phát triển bài toán

Trong trường hợp f '' x 0 0 ta giả sử là f '' x 0 0

Khi đó tồn tại a b,  D x, 0 a b,  sao cho f '' x 0, x a b, 

Bước 1: Tìm dấu bằng xảy ra tại x0, xác định hàm số yf x( ).

Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại M x f x( ; ( )) 0 0

Bước 3: Kiểm tra f x( ) f x( ) 0  f x'( )( 0 x x 0 ) hoặc f x( ) f x( ) 0  f x'( )( 0 x x 0 ) Bước 4: Áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức và kết luận

Có thể nói phương pháp này còn mạnh hơn cả phương pháp sử dụng bấtđẳng thức Jensen – Bất đẳng thức hàm lồi Những bài toán mà sử dụng đượchàm lồi thì cũng sử dụng được tiếp tuyến nhưng điều ngược lại thì chưachắc

Ta có thể minh họa bằng đồ thị như sau:

Ta thấy hàm số yf x( ) không lồi trên

miền  p q,  nhưng vẫn nằm trên tiếp tuyến

Trong trường hợp này là dùng tiếp

tuyến mạnh hơn hàm lồi

2 Sử dụng tiếp tuyến trong việc chứng minh bất đẳng thức

Ta bắt đầu với một bài toán đơn giản sau

Bài 1: Cho bốn số thực không âm a b c d, , , thỏa mãn điều kiện a b c d    4

Phân tích tìm lời giải:

Ta nhận thấy vế trái của bất đẳng thức là tổng hàm và ta cũng nhận ngay ra

Ta dự đoán được dấu bằng xảy ra tại a b c d    1

Đặc biệt là giả thiết cho a b c d    4 nên nếu áp dụng phương pháp tiếptuyến ta sẽ đánh giá đưa về được biểu thức giống với giả thiết

Cũng tương tự bài 1 nếu ta chuyển vế bất đẳng thức thành

a b c d   

Do đó ta đi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

1 4

a b c d   

.Trên đây là hai bài tập mà ngay từ đề bài ta đã nhìn ra được có thể dungphương pháp tiếp tuyến Tuy nhiên có một số bài mà ta cần phải biến đổimột chút thì mới xuất hiện hàm số để có thể áp dụng phương pháp tiếp tuyến.Bài tập dưới đây là một ví dụ điển hình

Bài 3 (Rusia MO 2000): Cho a b c, , 0,a b c  3 Chứng minh rằng:

a b c ab bc cd  

Phân tích tìm lời giải:

Giả thiết của bài toán thì phù hợp với phương pháp tiếp tuyến rồi nhưng biểuthức yêu cầu chứng minh lại chưa có dạng tổng hàm Vậy là nếu muốn ápdụng được phương pháp này thì ta phải đưa được biểu thức đó về dạng tổngcủa các hàm Ta phải làm thế nào đó để mất được ab bc ca, , Theo suy nghĩ đó

ta có biến đổi sau:

Đến đây thì ta có thể nhìn ra ngay hàm số f x x22 x.Vậy là ta có cơ sở

để áp dụng phương pháp tiếp tuyến

Ta dự đoán được dấu bằng xảy ra khi a b c   1 Ta đi viết phương trìnhtiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1,3).

Ở bài này ta có thể làm bằng cả hai cách đều được

Có những bài toán làm ta e ngại không phải bởi chưa nhận ra hàm số mà bởigiả thiết bài cho chưa có dạng tổng các biến Tuy nhiên ta vẫn có thể áp dụngđược phương pháp này nếu biến đổi khéo léo một chút Bài toán sau là mộtminh chứng

Bài 4: Cho a b c, , 0,a2b2c2 1 Chứng minh rằng:

Phân tích tìm lời giải:

Bài này ta có thể nhận ngay ra hàm số là

1 ( )

Lời giải:

Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi

1 3

Bài 5: Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng:

 2  2  2  

9 4

Phân tích tìm lời giải:

Ta nhận thấy hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh là đồng bậc 0 và làthuần nhất nên ta có thể sử dụng kỹ thuật chuẩn hóa để làm cho bài toán đơngiản hơn Vậy để đơn giản ta đặt a b c   3 thì bất đẳng thức trở thành

 2  2  2

3 4

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b c   1 nên ta đi viết phương trình tiếp

tuyến của đồ thị hàm số tại

1 (1, ) 4

M

2 4

2 3

x x

x x



Thật vậy ta có:

Bài 6: (USA – 2003) Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức có dạng thuần nhất đối xứng 3 biến và hai vế đồng bậc 0 nêntương tự như bài 5 ta sử dụng kỹ thuật chuẩn hóa để đưa bài toán về dạngđơn giản hơn Ta giả sử a b c   3 thì bất đẳng thức trở thành:

Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c   3 a b c, , 0,3 khi đó bất đẳngthức trở thành:

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b c   1 Do đó ta đi viết phương trình tiếp

tuyến của đồ thị hàm số tại

8 1, 3

2 2

a b c  

Qua 6 bài tập trên ta đã thấy rõ được ứng dụng của phương pháp tiếp tuyếnnhưng đó chưa phải là tất cả Nếu chỉ có vậy thì nó chẳng khác gì phươngpháp hàm lồi Phương pháp tiếp tuyến còn làm được những điều tuyệt vờihơn nữa Các bài toán trên hầu hết là ta đi xét tổng của các hàm độc lập vàdấu bằng xảy ra là hằng số Dưới đây là một số bài toán sử dụng phươngpháp tiếp tuyến nhưng hàm số có chứa tham số.

Bài 7: Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng:

Phân tích tìm lời giải:

Bài toán không có dạng tổng hàm đơn giản như các ví dụ trên Cũng không

có dạng thuần nhất đồng bậc nhưng chuẩn hóa thì không làm đơn giản bàitoán được do biểu thức a2ab b 2 không đưa về một biến được Nhận thấy

vế trái của bất đẳng thức là tổng của a b c  nên nếu áp dụng được tiếp tuyến

  với b là tham số Thấy dấu bằng xảy ra khi

a b c  nên ta đi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có

tuyến thì việc tìm ra bất đẳng thức phụ rất tự nhiên và hợp lôgic Đây chính

là điều thú vị của phương pháp này Dưới đây ta xét tiếp một bài toán để chovấn đề rõ ràng hơn

Bài 8: : Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng:

Phân tích tìm lời giải:

Tương tự bài 7 ta cũng sẽ xét hàm số mà một ẩn được coi là đối số còn các

Cộng từng vế của các bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh.

3 Một số hướng phát triển bài toán và sáng tạo bất đẳng thức sử dụng phương pháp tiếp tuyến

Đối với giáo viên nói riêng và người làm toán nói chung thì việc giải đượccác bài toán là chưa thực sự thỏa mãn Người giáo viên luôn băn khoăn làmthế nào để tạo ra được những bất đẳng thức như vậy? Bài toán có thể pháttriển lên với nhiều biến hơn không? Có thể đặt được bài toán tương tự haykhông? Bất đẳng thức có thể làm chặt hơn tốt hơn nữa được không? Để giảiquyết phần nào những câu hỏi trên dưới đây tôi đưa ra một số hướng để pháttriển bài toán và tạo ra các bất đẳng thức mới

3.1 Thay đổi hàm số

Khi ta lấy một hàm số bất kỳ và đi viết phương trình tiếp tuyến của đồthị hàm số đó tại một điểm cho trước Sau đó ta kiểm tra xem đồ thịtrên một khoảng nằm trên hay nằm dưới tiếp tuyến ta sẽ có một bấtđẳng thức tương ứng

Chẳng hạn tương tự bài tập 1 ở phần trên vẫn với giả thiết

là ta có một bài toán mới Hay nếu lấy hàm đặc trưng là ( ) 4

3.2 Thay đổi giả thiết

Đôi khi ta có thể thay đổi giả thiết để có một bài toán mới Khi thayđổi giả thiết ta sẽ làm thay đổi khoảng xét của hàm số và nó có thể cho

ta hai bất đẳng thức hoàn toàn khác nhau Chẳng hạn ta xét biểu thức

thiết a b c d    1 thành ab bc cd  da 1 thì trong bài giải tacần phải đánh giá trung gian a b c d    ab bc cd  da nhờcác bất đẳng thức quen thuộc.

3.3 Dấu đi hàm đặc trưng

Ta có thể sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá trung giannhằm dấu đi hàm đặc trưng như ở bài số 3 Theo cách này ta có thể tạo

mò mẫm và bực tức khi đọc lời giải mà cứ ngỡ là từ trên giời rới xuống Nhờ

nó mà học sinh và giáo viên có một cách nhìn tổng quát toàn diện và tự tinhơn khi phải đối diện với những bài toán khó về chứng minh bất đẳngthức.Trong bài tôi cũng đã mạnh dạn đưa ra một số hướng để sáng tác ra cácbài bất đẳng thức và phát triển các bất đẳng thức đã có Tuy nhiên đây cũngkhông phải là phương pháp vạn năng có thể giải quyết mọi bài toán Để giảiquyết các bài toán ta cần sự hỗ trợ từ tất cả các phương pháp Cuối cùng mặc

dù đã cố gắng song do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn chưa nhiều nêncòn nhiều chỗ tôi chưa thực sự thể hiện được hết ý tưởng

III Tài liệu tham khảo

[1] Bài giảng của thầy Nguyễn Đức Huy

[2] Đoàn Quỳnh, Tài liệu chuyên toán giải tích 12, NXB Giáo dục

[3] Trần Phương, Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học,NXB Tri thức

[4] www.diendantoanhoc.net

[5].www.mathscope.org