Công thức lượng giác 1... Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp... Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá t
Trang 1Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác:
Bảng giá trị của các góc đặc biệt:
Góc
GTLG
00
(0)
30 0 (
6
π) 45
0 (
4
π) 60
0 (
3
π) 90
0 (
2
π)
2
2 2
3 2
1
2
2 2
1
B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:
+ α + α = ∀α ∈
π
π
α
2 2
2 2
2
sin
Hệ quả:
• sin 2 x = 1-cos 2 x ; cos 2 x = 1- sin 2 x
• tanx= 1
cot x ;
1 cot
tan
x
x
=
• Sin 4 x + cos 4 x = 1 - 2sin 2 x.cos 2 x
• Sin 6 x + cos 6 x = 1 - 3sin 2 x.cos 2 x
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch π”
D/ Công thức lượng giác
1 Công thức cộng:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) = tan tan
1 tan tan
− +
a b
tan(a + b) = tan tan
1 tan tan
+
−
a b
2 Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa ⇒ sina.cosa= sin2 1
cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a
tan2a = 2
2 tan
1 tan−
a a
3 Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin 3 a
cos3a = 4cos 3 a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:
cos 2 a = 1 cos 2
2
a
+
sin 2 a = 1 cos 2
2
a
−
tg2a =1 cos 2
1 cos 2
a a
− +
5 Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan
2
x
:
sinx = 2 2
1
t t
+ cosx =
2 2
1 1
t t
− +
tanx = 2 2
1
t t
− cotx =
2
1 2
t t
−
6 Công thức biến đổi tổng thành tích
cosa cosb 2 cos a b cos a b
cosa cos b 2sin a b sin a b
sin a sin b 2sin a b cos a b
sin a sin b 2 cos a b sin a b
±
a b
sin sin
+
sin sin
a a a π cos a π
a a a π cos a π
a a cos a π a π
7 Công thức biến đổi tích thành tổng cos cos 1[cos( ) cos( )]
2
sin sin 1[cos( ) cos( )]
2
sinα
2
π
0
π
3
2
π cosα
0
α
Trang 2[ ]
1
2
2
II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản:
2
2 c) tanu = tanv u = v + k ,k d) cotu = cotv u = v + k ,k
u v k
= + π
Chú ý: a/ Nếu cung α thoả
sin
a
α
π α π
=
− < <
thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a Khi đó phương trình
k Z
π
b/ Nếu cung α thoả cos
0
a
α
α π
=
< <
thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a Khi đó phương trình
cos x = a ⇔ arccos 2
arccos 2
k Z
π π
c/ Nếu cung α thoả
tan
a
α
π α π
=
− < <
thì α gọi là arctana cung có tan bằng a Khi đó phương trình
tanx = a ⇔ x=arctana k+ π, k Z∈
d/ Nếu cung α thoả cot
0
a
α
α π
=
< <
thì α gọi là arccota cung có cot bằng a Khi đó phương trình
cotx = a ⇔ x=arc cota k+ π, k Z∈
Một số phương trình đặc biệt:
2
2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: sina x b+ cosx c=
Phương pháp giải: asinx bcosx c 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
Đặt
sin
cos
a
b
α
α
đưa phương trình về dạng:cos(x ) 2c 2
−β =
+ rồi tiếp tục giải
Điều kiện có nghiệm a2+ ≥b2 c2
3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác.
Dạng: a t 2 + b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx
Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp.
Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện t ≤1
4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx:
* Dạng:asin2x b+ sin cosx x c+ cos2x d= (1)
* Cách giải:
Trang 3Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
TH1: Xét xem cosx = 0 ⇔
2
x= +π kπ
có là nghiệm của (1) hay không ? TH2: cosx ≠ 0 chia cả 2 vế phương trình chocos x , thay 2 ( 2 )
cos
d
x = + , sau đó đặt tan
t= xrồi đưa về phương trình bậc 2 theo biến t rồi tiếp tục giải.
5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng:A(sinx±cosx)+B(sin cosx x)+ =C 0
Cách giải: Đặt (sin cos ); 2 2 sin cos 2 1
2
t
t= x± x − ≤ ≤t ⇒ x x= ± − Đưa phương trình về
phương trình đại số theo t:
2 1
0 2
t
At B+ ± − + =C
BÀI TẬP:
I – Phương trình lựơng giác cơ bản :
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1 sin 2x−cos 2x=0
2 sin 3x+2 cos3x=0
3 4sin2x=1
4 sin2 x+sin 22 x=1
5 sin 4 1
cos6
x
x =
6 sin 2x = 2cos x
7 sin cot 5 =1 cos9
x
8 tan3x=tan 5x
9 ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1
10 sin 2 2 cos
1 sin
x
x
x = − +
Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm 3 ;
2
x − π π
∈ của phương trình sin cosx π8 +cos sinx π8 =12
II - Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lương giác
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1 cos2x+3sinx=2
4sin x+12 cos x=7
3 2
25sin x+100 cosx=89
sin 2x+cos 2x=sin 2 cos2x x
−
tan 2
x
cos
x
x
Bài 2 : Giải các phương trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1
1 cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số )
2 sin 2x – ( 2m -1) sin x + m 2-1 = 0 ( m là tham số )
Bài 3 : Giải các phương trình
1) 2+cos2x = -5sinx
2) sin3x+2cos2x-2 = 0 (ĐH Đà Nẵng 97)
3) 2+cosx = 2tg
2
x
(Học viện ngân hàng98)
4) cosx = cos2(
4
3x
) (ĐH hàng hải97)
5) tg2x + sin2x =
2
3
cotgx (ĐH Thương mại 99) 6) 2 + 3tgx – sin2x = 0 (ĐH Thủy lợi 99)
7)
x
x
sin 5
5 sin
=1 (ĐH Mỏ địa chất 97)
8) 3cos4x – 2cos2(3x) = 1 (ĐH Đà nẵng 98)
9) 2sin3x + cos2x = sinx (ĐH Huế 98)
10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) (ĐH Luật99)
11)3(tgx + cotgx) = 2(2+sin2x) (ĐH Cần Thơ 99-D)
Trang 412)cho phương trình :sin4x + cos4x -
4
1
sin2(2x) + m = 0 a.Giải phương trình khi m= 2
b.tìm m để phương trình có nghiệm
(Trường Hàng không VN 97
13) 3cos6(2x) + sin4(2x) + cos4x = 0 (ĐH CT 99)
14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0 ( ĐH QG TP.HCM 98)
15) 1 + 3tgx = 2sin2x (ĐH QGHN 2000-D)
16) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx (ĐH SPHN 2000 B+D)
17) sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin2x + 1 = 2cos2(
2 3
x
−
π ) (ĐHSP TP.HCM 2000)
x
x x
cos 4 sin
2 sin 1 2
sin 1
= +
+
−
(ĐH luật HN 2000)
19) sin4x = tgx (ĐH Y khoa HN 2000)
20) sin3x + sin2x = 5sinx (ĐH Y Hải phòng 2000)
22) 2cos2x – 8cosx + 7 =
x
cos
1
(ĐH NNgữ HN 2000) 23)
5
5 sin 3
3 sin x = x (ĐH Thủy lợi 2000)
24) Tìm ngiệm thuộc khoảng (0,2π) của phương trình
5(sinx + )
2 sin 2 1
3 sin 3 cos
x
x x
+
+
= cos2x + 3 (KA-2002) 25) cotgx – tgx + 4sin2x =
x
2 sin
2
(KB-2003) 26)sin4x + cos4x + cos(
4
π
−
x ).sin(3x -
4
π ) -
2
3
= 0
III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1 sin 3x+ 3 cos3x=2
2 sin 2 sin2 1
2
x+ x=
3 2sin17x+ 3 cos5x+sin 5x=0
4 2sin (cosx x− =1) 3 cos2x
5 3 sin 4x−cos 4x=sinx− 3 cosx
6 3cosx−sin 2x= 3(cos2x+sin )x
7 sinx+ 3 cosx+ sinx+ 3 cosx =2
Bài 2 : Cho 3sin 2
2 cos2
x y
x
= +
1 Giải phương trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
Bài 3 : Giải phương trình
1) 3sin2x + cos2x = 2 ( ĐH Huế 99)
2) 2cos2x + sin2x = 2
3) 3cos3x + 4sinx +
1 sin 4 cos 3
6
+
4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
5) cosx + 3sinx = 2cos2x
6) Tìm
∈
7
6 , 5
2π π
x thoả phương trình cos7x - 3sin7x= – 2
7) cos7x.cos5x – 2sin2x = 1 – sin7x.sin5x
8) 2cosx(sinx – 1) = 3cos2x
Trang 5Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
9) 3sinx – 3cos3x = 4sin3x – 1
10) 3sin(x –
3
π ) + sin (x +
6
π ) = 2sin2006x 11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx
13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
6 2 cos(
5 ) 2 cos 3 2
15) 2cos3 x + cos 2x + sinx = 0 16) 4(sin4x+cos4 x)+ 3sin4x=2 17) 1+ sin32x + cos32x =
2
1
sin4x 18) tgx –3cotgx = 4(sin x+ 3cosx) 19) sin3 x + cos3 = sin x − cos x 20)
4
1 cos
) 4 ( sin4 x+π + 4 x =
IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình
1) 2sin 22 x−2 3 sin 2 cos2x x=3
2) 4sin 6 cos 1
cos
x
+ =
sin 3x=2 cos x
4) 4sin2 x+3 3 sin 2x−2 cos2x=4
5) cos3x+sin3x=sinx−cosx
6) 8cos (3 ) cos3
3
x+π = x
sin cos
x
= + 8) 2 sin (3 ) 2sin
4
x+π = x
9) sin 3x+cos3x+2 cosx=0
Bài 2 :
Giải phương trình :
1) 3sinx+cosx =
x
cos
1
(ĐH An ninh 98) 2) sin2x – 3cos2x + 2sin2x = 2
3)sin3x + cos3x = sinx – cosx
4) 2cos3x = sin3x (HV KT Quân sự 97)
5) sin2x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3
(ĐH NN I HN 99)
6) sinx – 4sin3x + cosx = 0
(ĐH Y Khoa HN 99)
7) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
(ĐH YD HCM 97)
8) cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0 (ĐH NT 96)
9) 3cos4 x−4sin2 x.cos2 x+sin4 x=0
tgx
x
2 sin 2
1 sin 1
2
(ĐHBKA-2003) sin3x + cos3x + 2cosx = 0
x
x x x
x
2 cos 2
cos 4 sin 5 cos 2 sin
) cos sin 2 (cos 3 sin 2 sin
V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình
1 12(sinx+cos ) 4 sin cosx − x x−12 0=
2 sin 2x+5(sinx+cos ) 1 0x + =
3 5(1 sin 2 ) 11(sin− x − x+cos ) 7 0x + =
4 sin 2 (sin cos ) 1 0
2
x+ x− x + =
5 5(1 sin 2 ) 16(sin− x − x−cos ) 3 0x + =
6
2(sin x+cos ) (sinx − x+cos ) sin 2x + x=0
7 (sin cos 1)(sin 2 1) 1
8 sinx−cosx +4sin 2x=1
9 sinx+cosx −sin 2x=0
10 2(sinx+cos ) tanx = x+cotx
11 cotx−tanx =sinx+cosx
12 2sin 2 1 sin cos 2sin 2 1 sin cos 1
− + −
Bài 2 : Cho phương trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0
1 Giải phương trình với m = - 2
2 Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số
Trang 6y = 2( sin x – cos x) + 3sin 2x -1
Bài tập 4:
1) (1 + cosx)(1 + sinx) =2 (ĐH An ninh 98-D)
2) cotgx – tgx = sinx –cosx (ĐH Ngoại ngữ HN 97)
3) sinx−cosx +2sin2x = 1 (ĐH An ninh 98-A)
2 4 ( cos 8 cos
) sin 1 (
2
x x
x
−
−
= 0 (Kiến trúc HN 98)
2) sinx+ sin2x+sin3x+sin4x = cosx+cos2x+cos3x+cos4x
3) sin3x+ cos3x = 1
4) sin3x+ cos3x + sin2x(sinx + cosx) = 1
5) 1 + sin3x+ cos3x =
2
3
sin2x (ĐH GT VT 99) 6) cos2x +5 = 2(2-cosx)(sinx-cosx) (ĐH Công đoàn 97)
7) Cho phương trình :sinx + cosx = m+sin2x
a.Giải khi m= -1
b.Ttìm m để phương trình có nghiệm
10) sin3x+ cos3x = sin2x + sinx + cosx
( ĐH Cảnh sát ND 2000-A)
11) sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2 (ĐH Huế 2000-D)
12) 2sinx+cotgx = 2sin2x + 1 (ĐH QGHN 200-A)
13) 1 + sin3x- cos3x = sin2x
VI – Phương trình lượng giác khác
A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phương trình
1 2 + 1 + =
sin
x
x
B- Sử dụng công thức hạ bậc
Bài 2 : Giải các phương trình
1 sin2 x+sin 32 x=cos 22 x+cos 42 x 3 sin2x+sin 22 x−sin 32 x=0
2 sin2 sin 22 sin 32 3
2
x+ x+ x= sin8 cos8 17cos 22
16
C – Phương trình biến đổi về tích
Bài 3 : Giải phương trình
1 cosx+cos 2x+cos 3x+cos 4x=0
2 1 sin+ x+cos3x=cosx+sin 2x+cos 2x
3 2cos3x+cos 2x+sinx=0
4 cosx+cos 3x+2 cos 5x=0
5 cos3x+sin3x=sin 2x+sinx+cosx
6 sin2x+cos3x+sinx=0
7 2 1 sin tan
1 cos
+
= +
x x
x
sin x−cos x=sinx+cosx
9 cos cos5 8sin sin 3 cos3 cos
x− x =
10 sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x
D- Phương trình lượng giác có điều kiện
Bài 1 : Giải các phương trình sau
Trang 7Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
1 8cos 3 1
sin sin
x
2 1 cot 2 1 cos 22
sin 2
x
g x
x
−
3
4
sin 2 cos 2
cos 4
x
π − + π + =
4
2
cos (1 cot ) 3
3cos
2 sin( )
4
x
x π
−
5 cos 2 2sin cos 3
Bài 2: Giải các phương trình
1 tan 3x= tan 5x
2 tan2xtan7x=1
3 sin 4x 1
co s 6x =
4 sin cot 5 1
cos9x x =
x
5
3
4 sin( 2 ) cos( )
π
+
=
6 cos 3 tan5x x=sin 7x
Bài 3 : Giải các phương trình
1 sin sin 2 sin 3 3
cos cos 2 cos3
+ +
2 1 2sin2 3 2 sin sin 2 1
2sin cos 1
−
3
sin cos
cos 2 2cos sin
x
−
4 2 2 sin( ) 1 1
x
π
−
=
6 3tan3 cot 2 2tan 2
sin 4
x
7 cos 1 sin 1
+ = +
Bài 4:
a) Tìm các nghiệm ;3
2
x π π
∈ ÷ của phương trình sin(2 5 ) 3cos( 7 ) 1 2sin
b) Tìm các nghiệm x∈[0; 2π] của phương
trình 5(sin cos3 sin 3 ) cos 2 3
1 2sin 2
x
+
+
c) Tìm các nghiệm thoã mãn điều kiện
3
x−π ≤ π
của ph tr: sin cos 1 sin
x
d) Tìm các nghiệm thoã mãn x <2 của ph tr:
1 (cos5 cos 7 ) cos 2 sin 3 0
Phương trình lượng giác có chứa tham số Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau :
* Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thường dùng các cách sau :
Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phương trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x
Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x)
Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức
* Với x D∈ thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t T∈
* Với mỗi t T∈ thì phương trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x
Bài toán 1: Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 Tìm m để phương trình có nghiệm x D∈
Xác định m để các phương trình sau :
1 Cos 2x – 3 cos x +m = 0 có nghiệm ;
3 2
x∈ − π π
2 m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm 0 ;
2
x π
∈ ÷
Trang 83 m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm 0 ;
2
x π
∈ ÷
4 ( m-1 ) ( sin x – cos x ) –( m+ 2) sin 2x = 0
5 m cos 2 2x – 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm 0 ;
4
x π
∈ ÷
6 cos 4x - 4tan2
1 tan+
x
x= 2 m có nghiệm x 0 ;2
π
∈ ÷
7 m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm 0 ;
2
x π
∈ ÷
8 Cos 2x = m cos 2x 1 tan+ x có nghiệm 0;
3
π
9 tan2x + cot2x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm
10 2 sin x cos 2x sin 3x – 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm
Bài toán 2 :
Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 Tìm m để phương trình có n nghiệm x∈D
Tìm m để các phương trình sau thoã mãn :
1. m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 có dúng hai nghiệm phân biệt ;
2 2
x −π π
∈ ÷
2. m sin2 x – 3 sin x cos x – m -1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt x 0;3
2
x π
∈ ÷
3. m( sin x – cos x ) + 2 sin x cosx = m có đúng hai nghiệm x∈[ ]0;π
4. ( 1- m) tan 2 x - 2 1 3 0
cosx+ + m= có nhiều hơn một nghiệm 0;
2
x π
∈ ÷
5. (2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos 2x có đúng hai nghiệm 0;
2
x π
∈
6. cos 3x – cos 2x + m cos x – 1 = 0 có đúng bảy nghiệm 0;
2
x π
∈ ÷
7. sin 3x – m cos 2x – ( m+1) sin x + m = 0 có đúng tám nghiệm x∈(0;3π)
8. 4 sin 2x + m cos x = cos 3x có đúng ba nghiệm ;3
6
x −π
∈ ÷
VII Phương trình lượng giác đặc biệt
1.Phương pháp tổng bình phương
Sử dụng
=
=
⇔
= +
0
0 0
2 2
B
A B
A
1) 4cos2x+3tg2x−4 3cosx+2 3tgx+4=0
2) x2 − 2 x sin x − 2 cos x + 2 = 0
3) cos2x– cos6x +4(3sinx -4sin3x + 1) = 0
4) y2 −4y +5 =sin 2x
2 Phương pháp đánh giá
Cách giải: Cho phương trình f(x) = g(x)
Nếu có số thực a sao cho f ( x ) ≤ a ≤ g ( x ) thì
=
=
⇔
=
a x g
a x f x
g x f
) (
) ( )
( ) (
Trang 9Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
1)
x x
x
cos
1 cos
2cos = + 2) cosx + cos2x =2
3) ln(sin2x) – 1+ sin3x = 0 ( ĐH Huế 99-A)
4) sin3x(cosx –2sin3x) + cos3x(1+sinx –2cos3x) = 0
( ĐH kiến trúc HN97)
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
(Tổng hợp luyện thi đại học)
4
−x π
− 4
3x π
tan 1
2
− +
x
sin2x
2 cos tan
4 2
x
2 sin 2 1
3 sin 3 cos
sin
+
+
x
x x
2
5 4
−
+π
2
1
2 +
−
=
2 4 sin 3 4 2
3
2 cos 1
2
+
+
x x
+
=
+ +
+
4
cos 6
cos 3
4 sin
.
−π
2
1
+
2 cos
cos
2 sin
−
−
x x
x x
35/ sinx + sin2x + sin3x = 0
x x
x x
2 tan 8
13 sin
cos
sin
cos
2 2
6 6
=
−
1 cos 2
4 2 sin 2 cos ) 3 2
−
−
−
−
x
x
= 1
cos sin
) 1 (cos
cos 2
x x
x
x
+
Trang 1044/
x
x x
x x
2 sin 8
1 2
cot 2
1 2
sin
.
5
cos
−
=
x
x x
2 4
cos
3 sin ) 2 sin 2 ( 1
2
x
50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x 51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
58/ 1 + sinx+ cosx= 0 59/ 3 cosx(1 − sinx)− cos 2x= 2 sinx sin 2 x− 1
2
cos
2
sin
2
= +
=
−
x
7 sin 4 2
3 sin
1 sin
π
sin 2 2
cos sin ) sin (cos
=
−
− +
x
x x x
x
2 tan tan
Đề thi đại học và cao đẳng từ năm 2002 đến nay:
Giải phương trình
1/ (Dự bị 1 khối D 2006) :cos x sin x 2sin x 13 + 3 + 2 = .
2/ (Dự bị 2 khối B 2006) :4x−2x+ +1 2 2( x−1 sin 2) ( x+ − + =y 1 2 0) .
3/ (Dự bị 2 khối B 2007) :cos2x 1 2 cosx sin x cosx+ +( ) ( − ) =0.
4/ (Dự bị 2 khối D 2006) :4sin x 4sin x 3sin 2x 6cosx 03 + 2 + + = .
5/ (Dự bị 1 khối B 2006) :(2sin x 1 tan 2x 3 cos x 12 − ) 2 + ( 2 − =) 0.
6/ (Dự bị 2 khối A 2006) :2sin 2x 4sin x 1 0
6
π
− + + =
7/ (Dự bị 1 khối A 2006) :cos3x.cos x sin3x.sin x3 3 2 3 2
8
+
8/ (Dự bị 1 khối A 2005) :Tìm nghiệm trên khoảng ( )0;π của phương trình :
4sin2 x 3 cos2x 1 2 cos x2 3
π
9/ (Dự bị 2 khối A 2005) :2 2 cos x3 3cosx sin x 0
4
π
10/ (Dự bị 1 khối B 2005) :sin x.cos2x cos x tan x 1 2sin x 0+ 2 ( 2 − +) 3 = .
11/ (Dự bị 2 khối B 2005) :tan x 3tan x2 cos2x 1
2
12/ (Dự bị 1 khối D 2005) :tan 3 x sin x 2
π
13/ (Dự bị 2 khối D 2005) :sin 2x cos2x 3sin x cosx 2 0+ + − − =
14/ (Dự bị 1 khối B 2007) :sin 5x cos x 2 cos3x
− − − =
15/ (Dự bị 2 khối A 2007) :2 cos x 2 3 sin x.cosx 1 3 sin x2 + + = ( + 3 cosx).
