HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Lý do chọn đề tài Hệ phương trình là một dạng toán quen thuộc đối với học sinh từ bậc Trung học cơ sở, đồng thời nó cũng chiếm một vị trí quan trọng và đặc biệt trong chương trình Toán

NGUYỄN TIẾN CƯỜNG

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60 46 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: GSKH.TS Nguyễn Văn Mậu

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 06 năm 2014

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hệ phương trình là một dạng toán quen thuộc đối với học sinh

từ bậc Trung học cơ sở, đồng thời nó cũng chiếm một vị trí quan trọng và đặc biệt trong chương trình Toán của khối THPT bởi lẽ ngoài việc phát huy tính tư duy, suy luận và logic dạng toán trên còn

có mặt tại hầu hết trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Nét quyến rũ của hệ phương trình nằm ở tính đặc thù của mỗi dạng và phương pháp tìm nghiệm tương ứng cho mỗi dạng đó Với mong muốn có thể hiểu kĩ hơn về các dạng và phương pháp giải hệ phương trình và được sự gợi ý của giáo

viên hướng dẫn – TS Lê Hải Trung nên tôi lựa chọn đề tài: “Hệ phương trình và ứng dụng trong chương trình THPT”cho luận

văn thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nghiên cứu các dạng toán về hệ phương trình trong chương trình THPT và các phương pháp giải đồng thời sáng tạo một số hệ phương trình Ngoài ra tác giả cũng cố gắng nghiên cứu và ứng dụng phần mềm Maple để giải các hệ phương trình và giải gần đúng một số hệ phương trình phức tạp

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn tác giả có sử dụng các kiến thức liên quan đến các lĩnh vực sau đây: Giải tích, Đại số tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các dạng hệ phương trình và phương pháp giải

Phạm vi nghiên cứu

Các dạng hệ phương trình trong chương trình Toán thuộc khối THPT, các bài toán trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, học

sinh giỏi quốc gia và Olympic

5 Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy môn toán khối Trung học Phổ Thông

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm:

Phần mở đầu

Chương 1 Một số dạng toán về hệ phương trình

1.1 Các dạng toán cơ bản về hệ phương trình

1.2 Hệ phương trình chứa căn thức

1.3 Hệ phương trình chứa giá trị tuyệt đối

1.4 Hệ phương trình lượng giác

1.5 Hệ phương trình chứa hàm số mũ

1.6 Hệ phương trình chứa hàm logarit

1.7 Hệ phương trình không mẫu mực

1.8 Một số bài toán hệ phương trình

1.9 Hệ phương trình và một số đề thi Olimpic, học sinh giỏi

Chương 2 Sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình

2.4 Ứng dụng phần mềm Maple trong giảng dạy chuyên

đề hệ phương trình trong khối THPT

Phần kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Nội dung chính của chương này nhằm giới thiệu một số dạng

hệ phương trình và các phương pháp cơ bản để giải bài toán đồng thời cũng đưa ra những ví dụ điển hình cho các dạng hệ phương trình đó Giúp ta có cái nhìn khái quát về hệ phương trình và tìm hiểu

về cách sáng tạo ra các hệ phương trình đó Các kiến thức có thể tham khảo tại các tài liệu [1], [2], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11]

Ta đưa vào điều kiện: A2+ B2 ¹ 0; a2+ c2 ¹ 0

ïí

ïî

Định nghĩa 1.6

Ví dụ 1.6

Định nghĩa 1.7 Hệ phương trình có dạng:

trong đó khi đổi vai trò của x y , thì từng phương trình của hệ

không đổi, được gọi là hệ phương đối xứng loại một

trong đó ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành

phương trình kia của hệ và ngược lại, được gọi là hệ phương trình

đối xứng loại hai

f x y

g x y

= ì

î

( , ) ( , ), ( , ) ( , ).

= ì

î

( , ) ( , ), ( , ) ( , ),

= ì

î

ïï í

ï

= ïî

=ïî

a Phương pháp biến đổi tương đương

1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Nội dung của phần này nói về các phương pháp đi tìm nghiệm của hệ hai phương trình hai ẩn, đó là các hệ phương trình

1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Nội dung cơ bản của phần này nói về các phương pháp đi tìm nghiệm của hệ hai phương trình hai ẩn, đó là các hệ phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

a Giải bằng định nghĩa và phương pháp chia khoảng

1.4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Nội dung cơ bản của phần này nói về các phương pháp đi tìm nghiệm của các dạng hệ phương trình lượng giác cơ bản:

a Với các hệ phương trình lượng giác dạng:

Ta đưa vào phương pháp giải như sau:

b Với hệ phương trình lượng giác có dạng:

Ta đưa vào phương pháp giải như sau:

d Với hệ phương trình lượng giác dạng

ï ± = î

Ta sử dụng phương pháp bình phương:

+ Bước 1: Bình phương phương trình thứ nhất và thứ hai rồi cộng lại

để thu được phương trình hệ quả:

f2( ) y + g y2( ) 1 = (1.58) + Bước 2: Giải phương trình (1.58) để nhận được y, rồi thay vào hệ

î

1

( ),cos

f y x

î

a Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

Ví dụ 1.41

b Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

c Sử dụng phương pháp hàm số

Ví dụ 1.43

1.7 HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

Nội dung cơ bản của phần này nói về các phương pháp đi tìm

nghiệm của một số hệ phương trình

a Phương pháp biến đổi tương đương

1.8 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Khi giải hệ phương trình dù có dùng cách nào biến đổi đi chăng nữa thì mục đích cuối cùng của ta cũng là chuyển về phương trình một biến rồi giải phương trình thu được Đó cũng là suy nghĩ tự nhiên, việc làm giảm biến là quy luật trong toán học

Sau đây là bài toán thay vì ta đánh giá riêng lẻ x y z , , , ta sẽ đánh giá những biểu thức hoán vị của x y z , , là x y y z z x+ , + , +

Ví dụ 1.57 (VMO 2006) Giải hệ phương trình:

Nhận xét 1.12 Cách thứ nhất là phương pháp dùng bất đẳng thức,

cách thứ hai ta thấy việc đánh giá x y y z z x+ , + , + rõ ràng có lợi thế của nó Ta vẫn có thể so sánh x y y z z x+ , + , + dựa vào mối quan hệ hoán vị giữa x y z , , Ta cũng xét một ví dụ tương tự sau:

Ví dụ 1.58 Giải hệ phương trình:

Nhận xét 1.13 Câu hỏi đặt ra là khi nào xét x y y z z x+ , + , + ? Mấu chốt ở đây chính là xây dựng một hàm đơn điệu trên miền xác định Nếu để nguyên hệ phương trình ta xét f t ( ) 3 = t3+ 2 t2

thì f t '( ) 9 = t2+ 4 t có nghiệm t=0 nên f t ( ) có thể đổi chiều đơn điệu Như vậy ta phải biến đổi phương trình để có được một hàm đơn điệu bằng cách cộng hai vế của phương trình thứ nhất cho ky, tương tự với phương trình thứ hai và phương trình thứ ba Như vậy hệ trở thành

Ví dụ 1.62

Nhận xét 1.17

1.9 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ MỘT SỐ ĐỀ OLYMPIC, HỌC SINH GIỎI

a Phương pháp cộng, phương pháp thế trong việc sáng tác bài toán mới

Đây là phương pháp cơ bản nhất Từ bài học “vỡ lòng” đã có phương pháp này Tuy nhiên phương pháp này vẫn thường xuất hiện trong các kỳ thi lớn, những kỳ thi chỉ dành cho những học sinh xuất sắc Sau đây là một số kĩ thuật giải và sáng tác bài toán

Ví dụ 1.67

Ví dụ 1.68

Ví dụ 1.69 Từ

5 5

Bằng một số phép biến đổi ta có được ví dụ sau:

Ví dụ 1.70 (Chọn đội tuyển thành phố Hồ Chí Minh dự thi HSG

Quốc gia 2002-2003) Giải hệ phương trình:

c Bài toán về hệ đối xứng loại một

Ví dụ 1.71 Xét x = 3, y = 0.Cần có một hệ bậc hai đối xứng với S

Ta biết rằng khi giải hệ đối xứng loại hai, nếu lấy hai phương trình trừ cho nhau sẽ xuất hiện

ë

Vậy để tạo ra một hệ đối xứng loại hai, ta nhân cả hai vế của (1.123) với ( y x - ), dẫn tới:

Từ đây ta sẽ có rất nhiều hệ đối xứng loại hai

Từ hệ (1.121) này, nếu y x = thì x3- x2- - = x C 0, do đó ta nên chọn C sao cho hệ phương trình có nghiệm “đẹp” để bài toán không quá khó Giả sử chọn C=0 Ta có ví dụ sau:

Ví dụ 1.80 (Czech And Slovakia Mathematical Olympiad 2008)

Giải hệ phương trình:

e Các hệ bậc hai tổng quát

Ví dụ 1.81 Từ một hệ đẳng cấp bậc hai, bằng cách tịnh tiến nghiệm,

ta sẽ thu được một hệ bậc hai tổng quát Xét hệ:

ïí

khảo tại các tài liệu [3], [4], [12], [13], [14],[15],[16],[17]

2.1 TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MAPLE

Phần mềm Maple là thành quả của nhóm các nhà khoa học trường Đại học Waterloo – Canada và là một trong những bộ phần mềm toán học sử dụng rộng rãi nhất hiện nay

Đề tài này chỉ đề cập đến một vấn đề rất nhỏ: Sử dụng phần mềm Maple vào việc giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT

Vì đây là nội dung quan trọng xuyên suốt chương trình đại số ở trường THPT và nó được đề nhiều trong các kì thi Đại học, Học sinh giỏi và Olympic Điều này đòi hỏi không những bản thân giáo viên cần có những kĩ năng tốt mà còn phải biết hướng dẫn giảng dạy chỉ

rõ cho học sinh của mình về các công đoạn, hướng suy luận logic và các phương pháp giải bài tập mẫu, biết cách khai thác để tạo ra những bài tập tương tự và khái quát hơn

2.2 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TÌM NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Một trong những ưu điểm nổi bật của Maple là các lệnh viết như ngôn ngữ thông thường, đơn giản, cùng với khả năng tính toán nhanh, chính xác Chính những ưu điểm đó đã giúp chúng ta có thể kiểm tra kết quả sau khi giải phương trình, hệ phương trình một cách

dễ dàng và không mất nhiều thời gian

Tóm lại, sử dụng Maple trong việc tìm nghiệm của phương trình,

hệ phương trình mang lại lợi ích hết sức to lớn trong việc kiểm tra đánh giá nâng cao kĩ năng tính toán Và lệnh “solve” là lệnh được dùng để giải tìm nghiệm của hệ phương trình mà chúng ta sẽ phải nghiên cứu

Màn hình làm việc của Maple:

e Phân tích đa thức thành nhân tử: lệnh factor

f Tính giá trị biểu thức với hệ điều kiện rằng buộc của các biến ta sử dụng lệnh: simplify(biểu thức,{điều kiện})

g Giải hệ phương trình

Với lệnh solve này thì ta có thể giải rất nhiều loại hệ phương trình từ đơn giản đến phức tạp

Ví dụ 2.5

2.3 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TÌM NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH

a Hiệu quả ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy

Hiện nay chúng ta đang chứng kiến sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin và truyền thông (ITC) Các nhà khoa học đã

khẳng định: chưa có một ngành khoa học và công nghệ nào lại phát triển nhanh chóng, sâu rộng và có nhiều ứng dụng như tin học Sự ra đời của Internet, nó đã mở ra một kỷ nguyên thông tin

Ngày nay phần mềm đã trở nên rất phong phú, đa dạng, trong

đó có rất nhiều phần mềm có thể khai thác để rèn luyện kỹ năng thực hành cho học sinh Chẳng hạn với phần mềm Maple, học sinh có thể rèn luyện các kỹ năng cơ bản về khảo sát hàm số, tính diện tích của một miền phẳng Phần mềm Maple còn giúp học sinh rèn luyện việc dụng hình, tìm nghiệm phương trình, hệ phương trình Như vậy việc luyện tập và tự kiểm tra đánh giá của học sinh không còn bị hạn chế về mặt thời gian và nội dung như các phương pháp kiểm tra thông thường

b Kết quả nhận được khi sử dụng dụng phần mền Maple vào giảng dạy

Ví dụ 2.22

Ví dụ 2.23 (HSG Quốc gia – 2010) Giải hệ phương trình:

(2.18)

Nhận xét 2.3 Do x y , tách biệt ta hi vọng đưa hai phương trình của

hệ về dạng ( x a + )4 = ( y b + )4 Muốn vậy ta lấy phương trình thứ hai nhân với a rồi cộng phương trình thứ nhất

Đây chính là phương pháp hệ số bất định như đã nói trên Như vậy, ta cần phân tích ( x a + )4 = ( y b + )4, trong Maple ta dùng lệnh “expand”

Như vậy đồng nhất hệ số ta có được:

Lấy phương trình thứ hai nhân với (- 8) rồi cộng phương trình thứ nhất ta có

Sử dụng lệnh “factor” để phân tích biểu thức trên về dạng nhân tử:

8, 2, 4.

a b

a =

-ì

ï = í

ï = î

-Đến đây bài toán đã trở nên dễ dàng

Nếu x = - y 2 thay vào phương trình thứ nhất của hệ (2.18) có:

Như vậy ta có:

8 y - 24 y + 32 y + 224 0 = Û = - Þ = - y 2 x 4 Nếu x = - 6 y thay vào phương trình thứ nhất của hệ (2.18) có:

Như vậy ta có: y3- 9 y2+ 36 y - 44 0 = Û = Þ = y 2 x 4 Vậy hệ ban đầu đã cho có nghiệm ( ; ) x y = - - { ( 4; 2), (4; 2) }

Nhận xét 2.4

KẾT LUẬN

Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về “ Hệ phương trình và ứng dụng trong chương trình THPT”, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu của đề tài với những kết quả sau:

1 Tổng quan khá đầy đủ về hệ phương trình, cấu trúc tập nghiệm và các phương pháp giải tương ứng Luận văn cũng trình bày một số ví dụ cụ thể cho từng dạng hệ phương trình, đưa ra kinh nghiệm khi lựa chọn phương pháp giải và phân tích bài toán hệ phương trình Từ đó cho ta một cái nhìn khái quát về hệ phương trình, tìm hiểu về cách sáng tạo ra các hệ phương trình đó

2 Trình bày tổng quan về phần mền Maple và những hướng dẫn sử dụng phần mềm maple với việc tìm nghiệm hệ phương trình Luận văn cũng trình bày một số bài toán ứng dụng phần mềm maple

để tìm nghiệm hệ phương trình

3 Với những gì đã khảo sát được, luận văn sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho bản thân để ứng dụng giảng dạy toán THPT và hy vọng sẽ là nguồn tài liệu hữu ích cho những ai quan tâm về hệ phương trình và ứng dụng phần mềm Maple

4 Trong quá trình làm luận văn mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do điều kiện khách quan và năng lực còn hạn chế của bản thân nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc để có thể tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu và phát triển luận văn sau này