Góc định hướng và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

Với những lí do trên và với mong muốn có một tài liệu và các ví dụminh họa cho đối tượng học sinh giỏi nên tác giả đã chọn đề tài "Gócđịnh hướng và ứng dụng trong giải toán hình học phẳn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TRẦN TRUNG

Thái Nguyên - 2016

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học Đại học Thái Nguyên Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáoKhoa Toán - Tin, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường đã trang bịkiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập

-và nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Trần Trung, người

đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức,khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đãđộng viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô

để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

1.1 Một số kiến thức liên quan 5

1.1.1 Đoạn thẳng, đoạn thẳng định hướng 5

1.1.2 Vectơ, hướng của vectơ 6

1.1.3 Hướng và phương của tia 7

1.1.4 Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng 8

1.2 Góc định hướng 10

1.2.1 Góc định hướng giữa hai vectơ 10

1.2.2 Góc định hướng giữa hai đường thẳng 13

1.2.3 Một số định lý về góc định hướng giữa hai vectơ và góc định hướng giữa hai đường thẳng 16

2 Ứng dụng góc định hướng trong giải bài tập hình học phẳng 18 2.1 Ứng dụng góc định hướng trong các bài toán về góc 18

2.2 Ứng dụng trong các bài toán về đường thẳng 21

2.2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 21

2.2.2 Chứng minh các đường thẳng đồng quy 26

2.2.3 Chứng minh các đường thẳng song song, vuông góc 30 2.3 Ứng dụng trong các bài toán về đường tròn 35

2.4 Ứng dụng trong phép đồng dạng và phép biến hình 45

2.5 Ứng dụng trong chứng minh một số định lý điển hình 51

Kết luận 61

Mở đầu

Hình học phẳng là một bộ phận quan trọng của toán học Đây là mộtphân môn có tính hệ thống chặt chẽ, có tính logic và trừu tượng cao Rấtnhiều bài toán hình học phẳng tương đối khó trong việc tìm được lời giảihoặc phải qua rất nhiều bước chứng minh, biện luận phức tạp mới có thể

đi đến kết luận Đặc biệt, các bài toán hình học phẳng về góc, đường tròn,đường thẳng hay những bài toán liên quan đến phép biến hình, phép đồngdạng thường khiến học sinh gặp nhiều khó khăn, lúng túng và dễ mắc phảisai lầm

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và công tác, tôi nhận thấy việcgiải các bài toán về góc, đường tròn, đường thẳng, phép biến hình, đồngdạng đòi hỏi chúng ta phải xét rất nhiều trường hợp và thứ tự vị trícác điểm, góc trong bài toán Việc ứng dụng góc định hướng vào việc giảicác bài toán trên tạo ra rất nhiều thuận lợi Khái niệm và các tính chấtliên quan đến góc định hướng không được giảng dạy trong chương trìnhtoán Trung học phổ thông đại trà và trong chương trình Đại học cũng chỉgiới thiệu sơ lược

Với những lí do trên và với mong muốn có một tài liệu và các ví dụminh họa cho đối tượng học sinh giỏi nên tác giả đã chọn đề tài "Gócđịnh hướng và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng" làm đề tài luậnvăn của mình với mục tiêu tìm hiểu, nghiên cứu các kiến thức về góc địnhhướng giữa hai tia, góc định hướng giữa hai đường thẳng và ứng dụngvào việc giải một vài bài toán hình học phẳng

Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2015

Người thực hiện

Trịnh Xuân Huy

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số kiến thức liên quan

1.1.1 Đoạn thẳng, đoạn thẳng định hướng

Định nghĩa 1.1.1 [1] Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm khác nhau

A, B được gọi là đoạn thẳng, hoặc kí hiệu là AB hoặc kí hiệu là BA

Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm trùng nhau A, B cũng đượcgọi là đoạn thẳng (đoạn thẳng-không, khi cần nhấn mạnh), kí hiệu bởimột trong các cách sau AB, BA, AA, BB

Định nghĩa 1.1.2 [1] Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai điểm (A, B) đượcgọi là đoạn thẳng định hướng, kí hiệu là −→AB

Khi các điểm A, B trùng nhau, đoạn thẳng định hướng −→AB được gọi

là đoạn thẳng định hướng-không, còn kí hiệu bởi một trong các cách sau

ABY X và CDY X là hình thang (có thể là hình thang-không)

Định nghĩa 1.1.6 [1] Hai đoạn thẳng định hướng −→AB,−−→

CD được gọi làngược hướng nếu tồn tại đoạn thẳng-khác không XY sao cho các tứ giác

ABXY và CDXY là hình thang (có thể là hình thang-không)

là quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.1.7 [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùnghướng trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không được gọi làhướng của đoạn thẳng định hướng

Hướng của đoạn thẳng định hướng chứa đoạn thẳng định hướng −→AB

được gọi đơn giản là hướng của đoạn thẳng định hướng −→AB

Định nghĩa 1.1.8 [1] Hai hướng của đoạn thẳng định hướng được gọi làngược nhau nếu mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc hướng của đoạn thẳngđịnh hướng này và mỗi một đoạn thẳng định hướng thuộc hướng của đoạnthẳng định hướng kia ngược hướng

1.1.2 Vectơ, hướng của vectơ

Theo định lý 1.1.1, định lý 1.1.2, chú ý rằng trong tập hợp các đoạnthẳng quan hệ bằng nhau là quan hệ tương đương, dễ dàng thấy rằng trongtập hợp các đoạn thẳng định hướng quan hệ bằng nhau cũng là quan hệtương đương

Định nghĩa 1.1.9 [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ bằng nhautrong tập hợp các đoạn thẳng định hướng được gọi là vectơ.

Vectơ chứa đoạn thẳng định hướng −→AB được kí hiệu là [−→AB]

Vectơ chứa các đoạn thẳng định hướng-không được gọi là vectơ-không, kíhiệu là [−→0 ]

Định nghĩa 1.1.10 [1] Hai vectơ [−→a ], [−→b ] được gọi là cùng hướng nếumỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ này cùng hướng với mỗi đoạn thẳngđịnh hướng thuộc vectơ kia Kí hiệu là [−→a] ⇈ [−→b ]

Định nghĩa 1.1.11 [1] Hai vectơ [−→a], [−→b ] được gọi là ngược hướng nếumỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ này ngược hướng với mỗi đoạnthẳng định hướng thuộc vectơ kia Kí hiệu là [−→a] ↑↓ [−→b ]

Định lý 1.1.3 [1] Với hai điểm A, B, ta có

Định nghĩa 1.1.12 [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùnghướng trong tập hợp các vectơ-khác không được gọi là hướng của vectơ.Định nghĩa 1.1.13 [1] Hai hướng của vectơ được gọi là ngược nhau nếumỗi vectơ thuộc hướng của vectơ này và mỗi vectơ thuộc hướng của vectơkia ngược hướng

1.1.3 Hướng và phương của tia

Định nghĩa 1.1.14 [1] Hướng của đoạn thẳng định hướng tương thíchvới tia Ix là hướng của đoạn thẳng định hướng −IA→ với A thuộc tia Ix

Định nghĩa 1.1.15 [1] Hai tia Ix, J y được gọi là cùng hướng nếu cáchướng của đoạn thẳng định hướng tương thích với chúng bằng nhau Haitia Ix, J y được gọi là ngược hướng nếu các hướng của đoạn thẳng địnhhướng tương thích với chúng ngược nhau.

Định nghĩa 1.1.16 [1] Hai tia Ix, J y được gọi là cùng phương nếu chúnghoặc cùng hướng hoặc ngược hướng

Định lý 1.1.5 [1] Với mọi tia Ix, ta có

1) Ix↑↑Ix

2) Ix↑↓ Ix′, ở đây, Ix′ là tia đối của tia Ix

Định lý 1.1.6 [1] Với ba tia Ix, J y, Kz, ta có

1) Nếu Ix ↑↑ Jy; Jy ↑↑ Kz thì Ix ↑↑ Kz

2) Nếu Ix ↑↑ Jy; Jy ↑↓ Kz thì Ix ↑↓ Kz

3) Nếu Ix ↑↓ Jy; Jy ↑↓ Kz thì Ix ↑↑ Kz

Nhận xét 1.1.3 [1] Theo các định lí 1.1.5, định lý 1.1.6, dễ dàng thấyrằng trong tập hợp các tia quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương.Định nghĩa 1.1.17 [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùnghướng trong tập hợp các tia được gọi là hướng của tia

Định nghĩa 1.1.18 [1] Hai hướng của tia được gọi là ngược nhau nếumỗi tia thuộc hướng của tia này và mỗi tia thuộc hướng của tia kia ngượchướng

Định nghĩa 1.1.19 [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùngphương trong tập hợp các tia được gọi là phương của tia

1.1.4 Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướngĐịnh nghĩa 1.1.20 [1] Đoạn thẳng định hướng −→AB và vectơ [−→a] đượcgọi là cùng hướng (ngược hướng) nếu −→AB cùng hướng (ngược hướng) vớimỗi đoạn thẳng định hướng thuộc [−→a ]

Nhận xét 1.1.4 [1] Dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các đoạn thẳngđịnh hướng-khác không, các vectơ-khác không và các tia quan hệ cùnghướng là quan hệ tương đương.

Định nghĩa 1.1.21 [1] Mỗi lớp tương đương sinh bởi quan hệ cùng hướngtrong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không, các vectơ-khác không

và các tia được gọi là hướng hỗn tạp

Định nghĩa 1.1.22 [1] Hai hướng hỗn tạp được gọi là ngược nhau nếumỗi đoạn thẳng định hướng-khác không, mỗi vectơ-khác không và mỗi tiathuộc hướng hỗn tạp này ngược hướng với mỗi đoạn thẳng định hướng kháckhông, mỗi vectơ-khác không và mỗi tia thuộc hướng hỗn tạp kia

Nhận xét 1.1.5 [1] Dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các đoạn thẳngđịnh hướng-khác không, các vectơ-khác không và các tia quan hệ cùngphương cũng là quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.1.23 [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùngphương trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không, các vectơ-khác không và các tia được gọi là phương hỗn tạp

Định nghĩa 1.1.24 [1] Phương hỗn tạp chứa các đoạn thẳng định khác không thuộc đường thẳng ∆ được gọi là phương hỗn tạp tương thíchvới ∆

hướng-Định nghĩa 1.1.25 [1] Cho đường thẳng ∆ Lấy đoạn thẳng định khác không −→AB thuộc phương hỗn tạp tương thích với ∆ Bộ hai thànhphần (∆,−→AB) được gọi là đường thẳng ∆ định hướng bởi đoạn thẳng địnhhướng −→AB

hướng-Định nghĩa 1.1.26 [1] Cho đường thẳng ∆ Lấy vectơ-khác không [−→a]

thuộc phương hỗn tạp tương thích với ∆ Bộ hai thành phần (∆, [−→a]) đượcgọi là đường thẳng ∆ định hướng bởi vectơ [−→a]

Định nghĩa 1.1.27 [1] Cho đường thẳng ∆ Lấy tia Ox thuộc phươnghỗn tạp tương thích với ∆ Bộ hai thành phần (∆, Ox) được gọi là đườngthẳng ∆ định hướng bởi tia Ox

1.2 Góc định hướng

1.2.1 Góc định hướng giữa hai vectơ

Định nghĩa 1.2.1 Cho hai vectơ −→OA và −−→OB (đều khác vectơ không)trong mặt phẳng (OAB) cho tia Ox quay quanh O một hướng nhất định

từ tia OA đến tia OB ta nói tia Ox quét một góc định hướng, kí hiệu là

(−→OA,−−→

OB) với −→OA là vectơ đầu −−→OB là vectơ cuối

Góc định hướng của vectơ −→OA và vectơ −−→OB chính là góc lượng giác của tia

OA và tia OB

Thông thường, người ta quy ước hướng quay của của tia Oxquay quanhđiểm O là hướng dương nếu hướng quay ngược với hướng quay của kimđồng hồ và là âm nếu hướng quay thuận với hướng quay của kim đồng hồ.Khi xác định góc định hướng ta không quan tâm đến độ dài vectơ nên

để thuận tiện ta có thể xét các vectơ −→OA, −−→OB có độ dài bằng nhau,

|−→OA| = |−−→OB| = r

Hình 1.2Khi cho điểm X chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính r = OA =

OB từ điểm A đến điểm B và quay k vòng theo một hướng xác định thìđiểm X vẽ nên một cung định hướng, ký hiệu là AB, trong đó k ≥ 0 nếuquay theo hướng dương và k < 0 nếu quay theo hướng âm

Ta có công thức về số đo cung định hướng

sđAB = a◦ + k.360◦

với k là số nguyên và \AOB = a◦.

Nếu sử dụng số đo radian với α.180◦ = α.π thì ta có công thức:

sđAB = a + k.2π

Như vậy mỗi góc định hướng (−→OA,−−→

OB) được xác định bởi vectơ đầu −→OA,

vectơ cuối −−→OB và một số nguyên k, mỗi góc định hướng có một số đo nhấtđịnh

Định nghĩa 1.2.2 Cho hai vectơ −−→M N ,−→

P Q (đều khác vectơ không) nằmtrên cùng một mặt phẳng Từ một điểm (gọi là điểm gốc) O nào đó trênmặt phẳng chứa hai vectơ −−→M N ,−→

trong đó \AOB = α◦ và |k| là số vòng quay từ tia OA đến tia OB, k ≥ 0

nếu quay theo hướng dương, k < 0 nếu quay theo hướng âm (Hình 1.3)

Hình 1.3Cách xác định góc định hướng(−−→M N ,−→

P Q) không phụ thuộc vào vị trí điểmgốc O Thật vậy, giả sử với hai điểm gốc E và F ta dựng được các vectơ

−→

OA = −−→M N = −→F C và −−→OB = −→P Q = −−→F D thì \AOB = CF D\ đồng thời sốvòng quay k là như nhau nên sđ(−→F C,−−→

F D) = sđ(−→OA,−−→

OB).Hai góc định hướng (−→AB,−−→

*Một số hệ thức cơ bản về số đo góc định hướng giữa hai vectơNgười ta thường xét số đo góc định hướng theo module 2π để không phảiquan tâm đến số k, khi chỉ xét những góc định hướng có số đo từ 0 đến

(−→OA,−−→OA) ≡ π (mod 2π)

3) Hai góc ngược hướng

(−→OA,−−→

OB) ≡ −(−−→OB,−→

OA) (mod 2π)(−−→M N ,−→

7) Hiệu hai góc định hướng chung tia đầu

(−→OA,−−→

OB) ≡ (−→OC,−−→

OB) − (−→OC,−→

OA) (mod 2π)(−−→M N ,−→

P Q) ≡ (−→ST ,−→

P Q) − (−→ST ,−−→

M N) (mod 2π)

1.2.2 Góc định hướng giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 1.2.3 Trên mặt phẳng cho hai đường thẳng a và b cắt nhautại O Một đường thẳng c tùy ý quay quanh điểm O theo một chiều nhấtđịnh từ đường thẳng a đến đường thẳng b, ta nói nó quét một góc địnhhướng của hai đường thẳng a và b Ta gọi a là đường thẳng đầu, b là đườngthẳng cuối và kí hiệu góc định hướng đó là (a, b)

Ta quy ước chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi làchiều dương, chiều quay thuận với chiều kim đồng hồ là chiều âm Đườngthẳng c có thể quay từ a đến b theo chiều dương hoặc chiều âm Ngoài ra

c có thể quay đến b lần thứ nhất rồi dừng lại, hoặc quay tiếp một vòng,hai vòng, Như vậy với hai đường thẳng a, b cho trước ta có vô số gócđịnh hướng (a, b) và số đo các góc định hướng này sai khác nhau một bội

số nguyên của π Tức là sđ(a, b) = α + kπ, trong đó |k| số lần quay nửavòng từ đường thẳng a đến đường thẳng b, α ∈ [0, π), k ≥ 0, nếu quaytheo chiều dương, k < 0 nếu quay theo chiều âm

Hình 1.4

Nếu hai đường thẳng a, b song song hoặc trùng nhau và k là số tùy ý taquy ước có một góc định hướng của hai đường thẳng này và sđ(a, b) = kπ.Người ta thường xét số đo góc định hướng của hai đường thẳng theomodule π để không quan tâm đến k, cuối cùng khi chỉ xét những góc địnhhướng có số đo từ 0đến π thì số đo đó xác định duy nhất Xét các hệ thức

về số đo góc theo module π ta sẽ nhận được nhiều đồng dư thức đẹp vàtrong thực tế sử dụng những đồng dư thức này thuận lợi trong giải toán.Hai góc định hướng (a, b) và (c, d) được gọi là bằng nhau khi sđ(a, b) =

sđ(c, d), kí hiệu (a, b) = (c, d) Hai góc định hướng bằng nhau thì khôngnhất thiết hai đường thẳng đầu của chúng là cùng phương

*Mối liên hệ giữa các số đo của góc định hướng giữa hai đườngthẳng và góc định hướng giữa hai vectơ

Từ công thức sđ(a, b) = α + k.π ta suy ra sđ(a, b) = α (mod π)

Ta thấy, nếu có đồng dư thức a ≡ b (mod 2π) thì a = b + k.2π (k

nguyên) suy ra a ≡ b (mod π) Nói cách khác, một đồng dư thức đúngtheo module 2π thì cũng đúng theo module π (điều ngược lại không chắcxảy ra)

Giả sử M, E, N thuộc đường thẳng a và P, E, Q thuộc đường thẳng b

với EN, EQ là tia đối của tia EM, EP theo thứ tự, từ các hệ thức cơbản của số đo góc định hướng giữa hai vectơ ta có

*Một số hệ thức cơ bản của số đo góc định hướng giữa hai đườngthẳng

Từ các hệ thức cơ bản của số đo góc định hướng giữa hai vectơ và mối liên

hệ giữa góc định hướng giữa hai vectơ và góc định hướng giữa hai đườngthẳng, ta có các hệ thức về số đo của góc định hướng giữa hai đường thẳng1) Hai đường thẳng a, b trùng nhau hoặc song song khi và chỉ khi

(a, b) ≡ 0 (mod π)

2) Hai góc định hướng giữa hai đường thẳng ngược hướng

(a, b) ≡ −(b, a) (mod π)

3) Hệ thức Chasles về góc định hướng giữa hai đường thẳng

(a, c) ≡ (a, b) + (b, c) (mod π)

Hệ thức Chasles mở rộng: trong mặt phẳng đã được định hướng chocác đường thẳng a1, a2, , an cắt nhau tại O Khi đó ta có

(a1, a2) + (a2, a3) + · · · + (an−1, an) = (a1, an) (mod π)

4) Hiệu của hai góc định hướng chung đường thẳng đầu

(b, c) ≡ (a, c) − (a, b) (mod π)

5) Hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau khi và chỉ khi

(a, b) ≡ π

2 (mod π)

Nhận xét 1.2.1 Khi chuyển số đo góc định hướng giữa hai đường thẳng

từ vế này sang vế kia của đồng dư thức theo moduleπ ta phải đổi dấu củanó

*Các tính chất của góc định hướng giữa hai đường thẳng

• Tính chất 1 [5] (Điều kiện để 4 điểm đồng viên ): Cho bốn điểm

A, B, C, D bất kỳ, khi đó bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn(đồng viên) khi và chỉ khi

(AC, AD) ≡ (BC, BD) (mod π)

• Tính chất 2 [5]: Đường thẳng a và a′ đối xứng nhau qua d khi và chỉkhi (a, d) ≡ (d, a′) (mod π)

• Tính chất 3 [5]: (Quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm): Cho bađiểm M, A, B trên đường tròn (0) thì ta có

với BT là tiếp tuyến của (O) tại B

• Tính chất 4 [5]: Nếu a′ là ảnh của a qua phép quay với góc quay α thì

(a, a′) ≡ α (mod π)

• Tính chất 5 [5]: Cho a′, b′ lần lượt là ảnh của đường thẳng a, b quaphép đối xứng trục △ Khi đó (a, b) ≡ (b′, a′) (mod π)

1.2.3 Một số định lý về góc định hướng giữa hai vectơ và góc

định hướng giữa hai đường thẳng

Định lý 1.2.1 (Định lý Miquel) Các điểm M, N, P theo thứ tự nằm trêncác đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC Khi đócác đường tròn (AN P ), (BP M ), (CM N ) cùng đi qua một điểm

Hệ quả 1.2.1 Một đường thẳng cắt các đường thẳng chứa các cạnh

BC, CA, AB của tam giác ABC theo thứ tự tại M, N, P Khi đó cácđường tròn (ABC), (AN P ), (BP M ) và (CM N ) cùng đi qua một điểm.Chú ý 1.2.1 Từ hệ quả định lý Miquel gọi K là giao điểm của các đườngtròn (ABC), (AN P ), (BP M ) và (CM N ), điểm K được gọi là điểmMiquel của △ABC và đường thẳng qua M, N, P

Định lý 1.2.2 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), P = AB ∩ CD,

Định lý 1.2.3 Cho đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và

N, P ∈ (O), N, P không trùng với M Khi đó

b ↑↓−→b′ thì (−→a ,−→

b ) ≡ (−→a′,−→

b′) (mod 2π).4) Với hai vectơ khác vectơ không −→a ,−→

b , ta có (−→a ,−→

b ) ≡ 0 (mod 2π)

khi và chỉ khi −→a ⇈ −→

b 5) Với hai vectơ khác vectơ không −→a ,−→

b , −→c ,−→d 6= −→0 ta có (−→a ,−→

b ) ≡ (−→c ,−→

d) (mod 2π)

khi và chỉ khi (−→a , −→c ) ≡ (−→b ,−→d) (mod 2π)

8) Nếu a k a′; b k b′ thì (a, b) ≡ (a′, b′) (mod π)

9) Nếu a⊥a′; b⊥b′ thì (a, b) ≡ (a′, b′) (mod π)

(a, b) + (c, d) ≡ (a, d) + (c, d) (mod π)

12) Với ba điểm A, B, C đôi một khác nhau ta có

(−→AB,−→

AC) + (−−→BC,−→

BA) + (−→CA,−−→

CB) ≡ π (mod 2π)

Chương 2

Ứng dụng góc định hướng trong

giải bài tập hình học phẳng

2.1 Ứng dụng góc định hướng trong các bài toán về góc

Bài toán 2.1.1 [2] Cho △ABC Về phía ngoài tam giác ta dựng các tamgiác đều ABE, ACF Gọi G là tâm △ABE và K là trung điểm của cạnh

EF Chứng minh rằng △KGC vuông góc và có một góc bằng 60◦

Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử (AB, AC) là góc dương.Lấy điểm P sao cho K là trung điểm của GP thì tứ giác EGF P là hìnhbình hành nên GE = P F Từ giả thiết G là tâm tam giác đều ABE, ta

Từ (2.1), (2.2), (2.3) suy ra △GAC = △CP F Do vậy, CG = CP nêntam giác cân GCP có trung tuyến CK vừa là đường cao, vừa là trungtuyến Do đó tam giác KGC vuông tại K.

Bài toán 2.1.2 [IMO Shortlisted 2000] Cho tứ giác lồi ABCD sao cho

AB không song song với CD và điểm X bên trong tứ giác thỏa mãn

\

ADX = BCX <\ 90◦ và \DAX = CBX <\ 90◦ Gọi Y là giao điểmđường trung trực của AB và CD Chứng minh rằng \AY B = 2ADX\.

Để chứng minh bài toán này, ta dựa vào nội dung bổ đề sau

Bổ đề 2.1.1 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại X, Y Lấy A

là một điểm bất kỳ nằm trên (O1) Dựng tia ZB đối xứng tia ZA qua ZX

với B thuộc (O2) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp △ABZ Khi đó ta có

OO1 = OO2

Chứng minh Ta có

(OO1, O1O2) = (OO1, AZ) + (AZ, ZX) + (ZX, O1O2)

= (O1O2, ZX) + (ZX, ZB) + (ZB, OO2)

= (O1O2, OO2) (mod π)

Do đó △OO1O2 cân tại O nên OO1 = OO2 (Hình 2.1)

Chứng minh bài toán 2.1.2

Hình 2.2Gọi (O1), (O2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp △XDA và △XBC Tagọi Z là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1), (O2) Tiếp tục gọi cácđường tròn (O), (O′) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp △ZAB và△ZCD.Giả sử Y′ là giao điểm thứ hai của (O), (O′) Ta có

M = ZX ∩ (O) (M 6= Z), N = ZX ∩ (O′) (N 6= Z)

Do đó

(ZA, ZX) ≡ (DA, DX) ≡ (CX, CB) ≡ (ZX, ZB) (mod π)

Áp dụng bổ đề 2.1.1 ta có OO1 = OO2 Tương tự, ta có O′O1 = O′O2.Suy ra OO′⊥O1O2 Mặt khác XZ⊥O1O2, ZY′⊥OO′ nên ZY′⊥ZX

Xét đường tròn (O) có XY′⊥ZM và M là điểm chính giữa cung AB

không chứa Y′, ta suy ra Y′A = Y′B Tương tự ta có Y′C = Y′D nên

Y ≡ Y′

Vì vậy \AY B = \AZB = 2ADX\(Hình 2.2)

2.2 Ứng dụng trong các bài toán về đường thẳng

(AB, AM ) ≡ (AC, AM ) (mod π))

Bài toán 2.2.1 (Đường thẳng Simson) Cho △ABC và điểm M nằmtrên đường tròn (O) ngoại tiếp △ABC Gọi N, P, Q lần lượt là hình chiếuvuông góc của M trên các đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh ba điểm

N, P, Q thẳng hàng

Chứng minh Theo tính chất 1 về sự đồng viên của 4 điểm ta có

Hình 2.3

(P N, P Q) ≡ (P N, P M ) + (P M, P Q) ≡ (CN, CM ) + (AM, AQ) (mod π)

≡ (BC, M C) + (M A, BA) ≡ 0 (mod π)

Từ đó suy ra ba điểm P, N, Q thẳng hàng

Đường thẳng chứa ba điểm P, N, Q được gọi là đường thẳng Simson củatam giác ABC ứng với điểm M (Hình 2.3)

Nhận xét 2.2.1 Với việc ứng dụng góc định hướng giữa hai đường thẳng

ta đã đưa ra được một lời giải khác ngắn gọn hơn và không phụ thuộcnhiều vào hình vẽ

Bài toán 2.2.2 Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại A, B Xét

Bài toán 2.2.3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) Gọi

ba điểm E, F, Gtheo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng AB, CD,

và BC, DA, và AC, BD Các đường tròn (DAE), (DCF ), cắt nhau tạigiao điểm thứ hai H Phân giác của góc \AHB cắt AB tại I, phân giáccủa góc \DHC cắt CD tại J Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng

Chứng minh Từ giả thiết suy ra

(HD, HE) ≡ (AD, AE) ≡ (AD, AB) ≡ (CD, CB) (mod π)

≡ (CD, CF ) ≡ (HD, HF ) (mod π)

Do đó ba điểm H, E, F thẳng hàng

Áp dụng bổ đề Miquel cho △BEC, ta được các đường tròn (BAF ),(CF D) và (DEA) cùng đi qua một điểm khác D Do đó, bốn đườngtròn (BAF ), (CF D), (DEA), (EBC) cùng đi qua H Do vậy ta có

(HA, HD) ≡ (EA, ED) ≡ (EB, EC) ≡ (HB, HC) (mod π)

và

(CB, CH) ≡ (CB, CD) + (CD, CH) ≡ (AB, AD) + (F D, F H) (mod π))

≡ (EA, EH) ≡ (DA, DH) (mod π)

Suy ra △AHC ∼ △HDA suy ra

Chứng minh Giả sử ABCDEF là lục giác nội tiếp đường tròn (O) và

G= AB ∩ DE, H = BC ∩ EF, K = CD ∩ AF

Ta cần chứng minh ba điểm G, H, K thẳng hàng

Hình 2.6Thật vậy, vì lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) nên ta có

(AB, DF ) ≡ (AB, BE)+(BE, DF ) ≡ (AC, CE)+(BF, F D) (mod π)

Cộng vế với vế các đẳng thức (2.4), (2.5), (2.6) ta được

(AB, DF ) + (CD, F A) + (EF, BC) ≡ (AC, CE) + (BF, F D) + (CA, EA)

+ (DB, BF ) + (EA, AC) + (F D, DB)

≡ 0 (mod π) (2.7)Giả sử P là giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp của tam giác BDG

và tam giác DF K Ta chứng minh bốn điểm B, F, D, H cùng nằm trênmột đường tròn

(BP, P F ) ≡ (BP, P D) + (DP, P F ) (mod π) (2.8)

(BP, P D) ≡ (BG, GD) ≡ (AB, DF ) (mod π) (2.9)

(DP, P F ) ≡ (DK, KF ) ≡ (CD, F A) (mod π) (2.10)Thay (2.9), (2.10) vào (2.8) ta được

(BP, P F ) ≡ (BP, P D) + (DP, P F ) ≡ (AB, DE) + (CD, F A) (mod π)

(2.11)Mặt khác từ (2.7) ta có

(AB, DE) + (CD, F A) ≡ −(EF, BC) (mod π) (2.12)

Thật vậy, (GP, P B) ≡ (GD, DB) ≡ (ED, DB) (mod π) Vì 4 điểm

B, G, P, D cùng nằm trên đường tròn nên ta có

2.2.2 Chứng minh các đường thẳng đồng quy

Phương pháp: Ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng quy khi và chỉkhi

AA′∩ BB′ = S ∈ CC′

Bài toán 2.2.5 Cho △ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng ∆

không đi qua A, B, C và theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A1, B1, C1 Cácđiểm A2, B2, C2 thuộc (O) sao cho AA2, BB2, CC2 cùng song song với ∆.Chứng minh rằng A1A2, B1, B2, C1C2 đồng quy tại một điểm thuộc (O)

Hình 2.7Chứng minh Gọi K là điểm Miquel của △ABC và đường thẳng ∆ Tathấy

(KA1, KA2) ≡ (KA1, B1A1) + (B1A1, AA2) + (AA2, KA2) (mod π)

≡ (KA1, B1A1) + (AA2, KA2) (mod π) (vì B1A1 k AA2)

≡ (KC, B1C) + (AC, KC) (mod π))(vì C ∈ (KA1B1), C ∈ (AA2K))

≡ (AC, B1C) (mod π)

≡ 0 (mod π) (vì AC ≡ B1C)

Từ đó suy ra K ∈ A1A2 Tương tự ta có K ∈ B1B2, K ∈ C1C2 Vậy

A1A2, B1B2, C1C2 đồng quy tại điểm K thuộc (O) (Hình 2.7)

Bài toán 2.2.6 (Shortlisted 2003 - G1) Cho tứ giác ABCD nội tiếpđường tròn (O) Gọi P, Q, R theo thứ tự là hình chiếu của D trên các

đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh rằng P Q = QR khi và chỉ khiphân giác của các góc \ABC,ADC\ cắt nhau tại một điểm nằm trên AC.

Hình 2.8Chứng minh Theo định lý về đường thẳng Simson, ba điểm P, Q, R thẳnghàng Ngoài ra, do bộ bốn điểm (P, Q, D, C) và (D, Q, R, A) đồng viênnên ta có

ADC cắt nhau tại M ∈ AC (Hình 2.8)

Bài toán 2.2.7 Trên các cạnh của △ABC về phía ngoài dựng các tamgiác đồng dạng ABC1, A1BC, AB1C sao cho

\

CA B = CAB\ = C\AB, AB\C = A\BC = ABC\

Chứng minh rằng ba đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy.

Hình 2.9Chứng minh Trước hết, ta chứng minh các đường tròn (ABC1), (A1BC),(AB1C) cắt nhau tại một điểm Thật vậy, gọi O là giao điểm thứ hai củahai đường tròn (ABC1) và (A1BC) Khi đó ta có

(OB, OC) ≡ (OB, OA) + (OA, OC)

≡ (C1B, C1A) + (B1A, B1C) (mod π)

(A1B, A1C) ≡ (A1B, BC) + (BC, CA1)

≡ (B1A, B1C) + (C1B, C1A) (mod π)

Do đó ta có(OB, OC) ≡ (A1B, A1C) (mod π) Nên bốn điểmA1, B, C, O

cùng nằm trên một đường tròn Vậy các đường tròn (ABC1), (A1BC),

(AB1C) cắt nhau tại một điểm Ta chứng minh AA1, BB1, CC1 cũng điqua O Thật vậy,

(OA, OB) ≡ (OA, OC1) + (OC1, OB) + (OB, OA1)

≡ (BA, BC1) + (AC1, AC) + (CB, CA1)

≡ (AC1, BC1) + (CA, CA1)

≡ 0 (mod π)

Nên đường thẳng AA1 đi qua O Chứng minh tương tự BB1, CC1 cũng điqua điểm O (Hình 2.9).

Bài toán 2.2.8 Cho △ABC và các đường thẳng x, y, z lần lượt đi quatrung điểm của BC, CA, AB và song song với nhau Chứng minh rằng cácđường thẳng x′, y′, z′ lần lượt đối xứng với BC qua x với CA qua y, AB

qua z đồng qui với nhau tại một điểm

Chứng minh Gọi I1 = x′ ∩ y′, I2 = y′ ∩ z′, I3 = z′ ∩ x′ Để chứng minh

3 đường thẳng x′, y′, z′ đồng quy tại một điểm ta chứng minh I ≡ I1 ≡

Vì P N k BC, P M k AC do đó P N, P M là đường trung bình của tamgiác ABC Do M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA

suy ra I1 nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác P N M Chứng minhtương tự ta có đường tròn ngoại tiếp tam giác P M N cũng đi qua I2 Ta

2.2.3 Chứng minh các đường thẳng song song, vuông góc

Phương pháp: Cho ba đường thẳng a, b, c bất kỳ

(i) a k b ⇔ (a, b) ≡ 0 (mod π) hoặc (a, c) ≡ (b, c) (mod π), ∀c

(ii) a⊥b ⇔ (a, b) ≡ π

2 (mod π).Bài toán 2.2.9 [Định lý Reim] Cho hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhautại A, B Hai cát tuyến bất kì qua A, B cắt (O) và (O′) lần lượt tại M, M′

và N, N′ Chứng minh rằng M N k M′N′

Chứng minh Ta có