Một số sai lầm phổ biến trong việc giải bài toán nguyên hàm, tích phân và hướng khắc phục

Mục đích của nghiên cứu này nhằm làm sáng tỏ và nhắc phục những sai lầm của học sinh phổ thông khi giải các bài toán nguyên hàm, tích phân, từ đó đề ra hướng khắc phục các sai lầm đó, để góp phần nâng cao chất lượng dạy – học Toán ở trường phổ thông nói chung và giải các bài toán nguyên hàm, tích phân nói riêng.

M C L CỤ Ụ

STT

1 1. M  Đ UỞ Ầ

2 1.1. Lý do ch n đ  tàiọ ề

3 1.2. M c đích nghiên c uụ ứ

4 1.3. Đ i tố ượng nghiên c uứ

5 1.4. Phương pháp nghiên c uứ

6 2. N I DUNGỘ

7 2.1. C  s  lý lu n c a sáng ki n kinh nghi mơ ở ậ ủ ế ệ

8 2.2. Th c tr ng và gi i pháp th c hi nự ạ ả ự ệ

9 2.3. Hi u qu  c a sang ki n kinh nghi mệ ả ủ ế ệ

10 3.  K T LU N – KI N NGHẾ Ậ Ế Ị

11 3.1. K t lu nế ậ

12 3.2. Ki n nghế ị

13 TÀI LI U THAM KH OỆ Ả

1. M  Đ UỞ Ầ

1.1. Lý do ch n đ  tàiọ ề

      Chúng ta đã bi t d y Toán là d y ho t đ ng toán h c. Đ i v i h c sinh cóế ạ ạ ạ ộ ọ ố ớ ọ  

th  xem gi i toán là phể ả ương ti n ch  y u c a ho t đ ng toán h c. ệ ủ ế ủ ạ ộ ọ D y h cạ ọ   toán đóng vai trò đ c bi t quan tr ng trong d y Toán   trặ ệ ọ ạ ở ường phổ  thông. Các bài toán là ph ng ti n vô cùng hi u qu  không gì thay th  đ cươ ệ ệ ả ế ượ   trong vi c giúp h c sinh n m v ng tri th c, phát tri n t  duy, hình thành kệ ọ ắ ữ ứ ể ư ỹ  năng, k  x o. Ho t đ ng gi i toán là đi u ki n đ  th c hi n t t các m c đíchỹ ả ạ ộ ả ề ệ ể ự ệ ố ụ   khác c a d y h c toán. Do đó t  ch c t t vi c d y gi i Toán có vai trò quy tủ ạ ọ ổ ứ ố ệ ạ ả ế  

đ nh đ n ch t lị ế ấ ượng d y h c toán.ạ ọ

     Th c ti n cho th y ch t lự ễ ấ ấ ượng d y h c toán   trạ ọ ở ường ph  thông có lúc, cóổ  

ch  còn ch a đỗ ư ược nh  mong mu n, bi u hi n qua ư ố ể ệ năng l c gi i Toán c aự ả ủ  

h c sinh còn h n ch  do h c sinh còn m c nhi u sai l mọ ạ ế ọ ắ ề ầ  M t trongộ  

nh ng nguyên nhân quan tr ng đó là giáo viên còn ch a chú ý m t cách đúngữ ọ ư ộ  

m c t i vi c phát hi n sai l m và u n n n, s a ch a nh ng sai l m thứ ớ ệ ệ ầ ố ắ ử ữ ữ ầ ườ  ng

g p cho h c sinh ngay trong các gi  h c Toán. Chính vì v y mà   h c sinhặ ọ ờ ọ ậ ở ọ   nhi u khi ề sai l m n i ti p sai l mầ ố ế ầ

     Trong các k  thi t t nghi p THPT, Đ i h c, Cao đ ng, THCN c a các nămỳ ố ệ ạ ọ ẳ ủ  

trước đây mà nay là k  thi THPT Qu c giaỳ ố  bài toán Nguyên hàm, Tích phân  tôi thi t nghĩ h u nh  không th  thi u, nh ng đ i v i h c sinh THPT các bàiế ầ ư ể ế ư ố ớ ọ   toán nguyên hàm, Tích phân là nh ng bài toán khó vì nó c n đ n s  áp d ngữ ầ ế ự ụ   linh ho t c a đ nh nghĩa, tính ch t, các phạ ủ ị ấ ương pháp tính Nguyên hàm, Tích  phân và m t s  k  năng khác. Trong th c t  nhi u h c sinh tính m t cách h tộ ố ỹ ự ế ề ọ ộ ế  

s c máy móc đó là: tìm m t nguyên hàm c a hàm s  c n tính tích phân r iứ ộ ủ ố ầ ồ   dùng đ nh nghĩa c a tích phân ho c phị ủ ặ ương pháp đ i bi n s , phổ ế ố ương pháp  tính tích phân t ng ph n mà r t ít h c sinh đ  ý đ n nguyên hàm c a hàm sừ ầ ấ ọ ể ế ủ ố  tìm được có ph i là nguyên hàm c a hàm s  đó trên đo n l y tích phân hayả ủ ố ạ ấ   không? Phép  đ t bi n m i trong phặ ế ớ ương pháp đ i bi n s  có nghĩa hayổ ế ố   không? Phép bi n đ i hàm s  có tế ổ ố ương đương hay không? Vì th  trong quáế   trình gi i bài toán Nguyên hàm, Tích phân h c sinh thả ọ ường m c ph i nh ngắ ả ữ   sai l m đ n đ n l i gi i sai. Qua th c t  gi ng d y nhi u năm   trầ ẫ ế ờ ả ự ế ả ạ ề ở ườ  ng THPT và nhi u năm nghiên c u nh ng sai l m c a h c sinh trên nhi u chuyênề ứ ữ ầ ủ ọ ề  

đ  Toán h c khác nhau nh t là trong giai đo n ngành Giáo d c đang trênề ọ ấ ạ ụ  

đường “Đ i m i căn b n và toàn di n giáo d c ph  thông ổ ớ ả ệ ụ ổ ” nh  hi n nayư ệ   tôi nh n th y rõ nh ng y u đi m này c a h c sinh. Vì v y, tôi m nh d n đậ ấ ữ ế ể ủ ọ ậ ạ ạ ề 

xu t sáng ki n kinh nghi m v i đ  tài: ấ ế ệ ớ ề “M t s  sai l m ph  bi n trong vi c ộ ố ầ ổ ế ệ  

gi i bài toán nguyên hàm, tích phân và h ả ướ ng kh c ph c” ắ ụ

1.2. M c đích nghiên c uụ ứ

     Làm sáng t  và nh c ph c nh ng sai l m c a h c sinh ph  thông khi gi iỏ ắ ụ ữ ầ ủ ọ ổ ả   các bài toán nguyên hàm, tích phân, t  đó đ  ra hừ ề ướng kh c ph c các sai l mắ ụ ầ  

đó, đ  góp ph n nâng cao ch t lể ầ ấ ượng d y – h c Toán   trạ ọ ở ường ph  thông nóiổ   chung và gi i các bài toán nguyên hàm, tích phân nói riêng.ả

1.3. Đ i tố ượng nghiên c uứ

         Qua nhi u năm gi ng d y Toán   trề ả ạ ở ường ph  thông cũng nh  đ cổ ư ọ   nhi u tài li u toán h c đ c bi t là đ c các tài li u toán h c liên quan đ nề ệ ọ ặ ệ ọ ệ ọ ế   nguyên hàm, tích phân b n thân tôi nh n th y c n ph i giúp các em h cả ậ ấ ầ ả ọ   sinh cũng nh  giáo viên có cách nhìn sâu s c, ch c ch n khi gi i Toán đư ắ ắ ắ ả ể  tránh nh ng sai l m khi gi i Toán.ữ ầ ả

1.4. Phương pháp nghiên c uứ

     Các phương pháp ch  y u nghiên c u trong sáng ki n này bao g m:ủ ế ứ ế ồ

­ Nghiên c u lý lu n: L a ch n các ví d  c  th  đ  phân tích các sai l m c aứ ậ ự ọ ụ ụ ể ể ầ ủ  

h c sinh, v n d ng năng l c t  duy và k  năng v n d ng ki n th c c a h cọ ậ ụ ự ư ỹ ậ ụ ế ứ ủ ọ   sinh đ  t  đó đ a ra l i gi i đúng.ể ừ ư ờ ả

­ Th c nghi m s  ph m trên các l p 12 c a trự ệ ư ạ ớ ủ ường THPT Yên Đ nh 1.ị

2. N I DUNG Ộ

2.1. C  s  lý lu n c a sáng ki n kinh nghi mơ ở ậ ủ ế ệ

         Căn cứ  vào b ng nguyên hàm th ng g p, ph ng pháp đ i bi n s ,ả ườ ặ ươ ổ ế ố  

phương pháp t ng ph n sau đây: (Sách Giáo khoa Đ i s  l p 12 – Nâng cao –ừ ầ ạ ố ớ   NXBGD hi n hành do Đoàn Qu nh ch  biên)ệ ỳ ủ

a) B ng nguyên hàm thả ường g pặ

0dx = C

dx = x +C

1

, ( 1) 1

x

x dxα α C α

α

+

+

ln

cos sin kx dx kx C

k

in

os s kx

k

kx

kx e

k

ln

x

x a

a

2

1

tan cos x dx = x + C

sin x dx = − x + C

b) Phương pháp đ i bi n sổ ế ố

f u x u x dx�� �� = F u x + C

c) Phương pháp t ng ph nừ ầ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v x dx = u x v x − v x u x dx

2.2. Th c tr ng và gi i pháp th c hi nự ạ ả ự ệ

Sau đây sáng ki n xin đ a ra m t s  ví d  c  th  trong đó có ch  ra nh ng saiế ư ộ ố ụ ụ ể ỉ ữ   sót và bình lu n v  nh ng nguyên nhân sai l m thậ ề ữ ầ ường x y ra và đ a raẩ ư  

hướng kh c ph c cho m t s  sai l m đó:ắ ụ ộ ố ầ

2.2.1. Ví d  1ụ  Tính I =  (3x + 2) 3dx

a) Sai l m thầ ường g p:ặ

Ta có I =  (3x + 2) 3dx = (3 2)4

4

x +  + C

b) Nguyên nhân sai l m: ầ

L i gi i trên đã v n d ng công th c: ờ ả ậ ụ ứ 1 ,

1

n

n x

n

+

+  v i nớ 1

Tuy nhiên trong trường h p này ph i đ t u = 3x + 2 ợ ả ặ  du = 3dx

c) L i gi i đúng:ờ ả

Ta có I =  (3x + 2) 3dx = 1 3

(3 2) (3 2)

3 x + d x + (3 2)4

12

x +

d) M t s  bài t p tộ ố ậ ương t :ự

1) Tính nguyên hàm I =  (5x − 4) 2015dx

2)  Tính nguyên hàm I =  2(1 4 ) − x 2014dx

2.2.2.  Ví d  2ụ  Tính I = 0 2

2

(x 1) dx

− +

a) Sai l m thầ ường g p:ặ

Đ t t = (x + 1)ặ 2   dt = 2(x + 1)dx  2( 1)

2

dx

�

+

V i x = ­ 2 ớ  t = 1

       x = 0      t = 1

Khi đó I = I = 0 2

2

(x 1) dx

−

1

1

2 tdt= 0

b) Nguyên nhân sai l m: ầ

­ Hàm s  t = (x + 1)ố 2 không ph i là hàm s  đ n đi u trên [­ 2; 0] nên khôngả ố ơ ệ  

th  đ i bi n, đ i c n nh  l i gi i trên mà c n vi t thành hai hàm s  đ nể ổ ế ổ ậ ư ờ ả ầ ế ố ơ  

đi u trệ ước khi đ i bi n.ổ ế

­ L i gi i trên còn sai khi vi t ờ ả ế 2( 1)

2

dx

Ch  vi t đỉ ế ược x + 1 =  t, khi x   ­ 1

c) L i gi i đúng:ờ ả

Ta có I =0 2

2

(x 1) dx

−

(x 1) dx (x 1) dx

−

Sau đó t ng tích phân trên chúng ta m i đ i bi n.ừ ớ ổ ế

* Chú ý. Cách gi i trên ch  mu n đ a ra đ  l u ý t i vi c đ i bi n b  sai ả ỉ ố ư ể ư ớ ệ ổ ế ị ở  trên. Chúng ta có th  gi i theo cách khác t t h n sau:ể ả ố ơ

Cách 2. I =0 2

2

(x 1) dx

−

2

(x 1) (d x 1)

−

2

( 1) 2.

x

−

d) M t s  bài t p tộ ố ậ ương t :ự

2.2.3. Ví d  3.ụ  Tính tích phân:   I = 

2

2

dx x

− + a) Sai l m thầ ường g p:ặ

I = 

2

2

dx

x

− +  = 

2

2 3

(x 2) − dx

−

3

( 2) 1

−

+

4

− b) Nguyên nhân sai l mầ

­ Hàm s  y = ố 2

1 (x + 2)  gián đo n t i x = ­ 2ạ ạ �[− 3; 2] nên không th  dùng côngể  

th c Newton ­ Leidnitz nh  trên đứ ư ược

c) L i gi i đúngờ ả

Hàm s  y = ố 2

1 (x + 2)  không xác đ nh t i x = ­ 2ị ạ �[− 3; 2] nên tích phân trên  không t n t i.ồ ạ

* Chú ý. Khi tính b f x dx

a

) (  c n chú ý xem hàm s  y = f(x) có liên t c trên ầ ố ụ a; b   không? N u có thì áp d ng các phế ụ ương pháp đã h c đ  tính tích phân. N uọ ể ế   không liên t c thì k t lu n ngay tích phân đó không t n t i.ụ ế ậ ồ ạ

d) M t s  bài t p tộ ố ậ ương t :ự

Tính các tích phân sau:

1)    I  = 2 2

1

dx

x

−

2)    I  = 5 4

dx

x−

3)  I = 

2

2015

dx

x−

4)    I  = x x 2dx

1 3

2

2 1 )

5)    I  = dx

x

2

0 cos4

1

2.2.4. Ví d  4ụ  Tính tích phân sau I = 3 2

1

4 4

x − x+ dx

a) Sai l m thầ ường g p:ặ

I = 3 2

1

4 4

x − x+ dx =3 ( )2 3( ) ( ) ( )2 3

1

x

b) Nguyên nhân sai l mầ

­ Nguyên nhân sai l m   trên là do h c sinh n m không rõ phép đ a ra kh iầ ở ọ ắ ư ỏ  

d u can b c hai.ấ ậ

­ Phép bi n đ i ế ổ ( )2

x− = −x ,  v i x ớ [ ]1;3  là không t ng đư ương

c) L i gi i đúngờ ả

I = 3 2

1

4 4

x − x+  dx 

   =3 ( )2 3 ( ) 2 ( ) ( ) (3 ) ( )

   =  ( )2 ( )2

* Chú ý. Ta có 2n f x 2n f x ,  n 1 ,n N

I = b

a

n f x n

b

a

 ta ph i xét d u f(x) trên đo nả ấ ạ a; b  r i dùng các tínhồ  

ch t c a tích phân tách tích phân ban đ u thành t ng c a hai tích phân khôngấ ủ ầ ổ ủ  

ch a d u giá tr  tuy t đ i.ứ ấ ị ệ ố

d) M t s  bài t p tộ ố ậ ương t :ự

1) I = 

4

0

2)      I = 

0

2 sin

1 xdx;

3)      I = 3

0

2

4)      I = 

2

2

x

5)      I = 3 2 2

6

tan x cot x 2

π

π

2.2.5. Ví d  5ụ  Tính tích phân: I = 

0 1 sinx dx

a) Sai l m thầ ường g p:ặ

Đ t  t = tanặ

2

x

 thì dx =  2

1

2

t

dt

;  x

sin 1

1 = 22

) 1 (

1

t t

x

dx

sin

) 1 (

2

t

dt

= 2 t( 1 ) 2 d(t+1) = 

1

2

t  + c

 I = 

0 1 sinx

dx

 = tan 2 1

2

x

− + 0 = tan 2 1

2

π

−

tan 0 1 +

Do tan

2 không xác đ nh nên tích phân trên không t n t i.ị ồ ạ

b) Nguyên nhân sai l mầ

Đ t t = tanặ

2

x

,  x 0 ;  t i x = ạ  thì tan

2

x

 không có nghĩa

c) L i gi i đúngờ ả

I = 

0 1 sinx

dx

2

2 4 tan

2 4

x d

x x

π

π

π

� − �

π − � �� �− π =

� �

* Chú ý. Đ i v i ph ng pháp đ i bi n s  khi đ t t = u(x) thì u(x) ph i làố ớ ươ ổ ế ố ặ ả   hàm s  liên t c và có đ o hàm liên t c trên ố ụ ạ ụ a; b

d) M t s  bài t p tộ ố ậ ương t :ự

Tính các tích phân sau:

1) I  =

0sin x

dx

2)    I  =

dx

2.2.6. Ví d  6ụ  Tính tích phân sau I = 1

2

1

1dx

x x

a) Sai l m thầ ường g p:ặ

I = 

1

1

1

2 2

2

2 1

1 1 1

1

1

dx x

x x

x

Đ t t = x+ặ dx

x

dt

1 1 1

Đ i c n: V i x = ­1 thì t = ­2; ổ ậ ớ

       V i x =1 thì t =2.ớ

I = 2

2t2 2

dt

t

2

1 2

1 (

2 2

= (lnt 2 ­ lnt 2 ) 2

2

2 2

2

2 ln

t t

  = ln 

2 2

2 2 ln 2 2 2

2 2 ln 2

2

2

2

b) Nguyên nhân sai l mầ

2 2

2 4

2

1

1 1

1

1

x x

x x

x

 là sai vì trên đo n ạ [− 1; 1] ch a x = 0 nên không th  chia c  tứ ể ả ử 

và m u cho x = 0 đẫ ược

c) L i gi i đúngờ ả

Xét hàm s  F(x) = ố

1 2

1 2 ln

2 2

1

2

2

x x

x

       F’(x) = 

1

1 )

1 2

1 2 (ln

2 2

1

4

2 2

2

x

x x

x

x x

Do đó I = 1

2

1

1dx

x

x

= 

1 2

1 2 ln

2 2

1

2

2

x x

x

2

1

1 1

2 2

2 2

* Chú ý. Khi tính tích phân mà chia c  t  và m u cho x c n đ  ý r ng trênả ử ẫ ầ ể ằ  

đo n l y tích phân đó ph i không ch a đi m x = 0.ạ ấ ả ứ ể

2.2.7. Ví d  7ụ  Tính tích phân  I = 4

1

3

1 x dx x

a) Sai l m thầ ường g p:ặ

Đ t x= sint ạ  dx = costdt

t

t dx

x

x

cos

sin 1

3 2

3

Đ i c n: v i x = 0 thì t = 0ổ ậ ớ

      V i x = ớ

4

1 thì t = ? b) Nguyên nhân sai l mầ

Khi g p tích phân c a hàm ch aặ ủ ứ 1 x2  thì thường đ t x = sint nh ng đ i v iặ ư ố ớ   tích phân này g p khó khăn khi đ i c n, c  th  v i x = nh ng không tìm đặ ổ ậ ụ ể ớ ư ượ  c chính xác t b ng bao nhiêu?ằ

c) L i gi i đúngờ ả

Đ t t = ặ 1 x2 dt =  dx tdt xdx

x

x

2

1

Đ i c n: v i  x = 0 thì t = 1; ổ ậ ớ

      v i x = ớ

4

1  thì t = 

4

15

Khi đó  I =4

1

3

1 x dx x

       = 4

15

1

4 15

1

4 15 1

3 2

2

3

2 192

15 33 3

2 192

15 15 4

15 3

1

t dt t t

tdt

* Chú ý. Khi g p tích phân c a hàm s  ch a ặ ủ ố ứ 1 x2  thì thường đ t x =ặ   sint ho c g p tích phân c a hàm s  ch a 1 + xặ ặ ủ ố ứ 2 thì thường đ t x = tant,ặ  

nh ng c n chú ý đ n c n c a tích phân đó. N u c n là giá tr  lư ầ ế ậ ủ ế ậ ị ượng giác 

c a góc đ c bi t thì m i ch n làm theo phủ ặ ệ ớ ọ ương pháp này, còn n u khôngế   thì ph i ch n phả ọ ương pháp khác

d) M t s  bài t p tộ ố ậ ương t :ự

Tính các tích phân sau:

1)   I =  dx

x

x

7

3

1        

2)    I = 2 dx

2.3. Hi u qu  c a sang ki n kinh nghi mệ ả ủ ế ệ

2.3.1. Hi u qu  th c ti nệ ả ự ễ

      Trong quá trình gi ng d y toán   trả ạ ở ường ph  thông đ c bi t là khi d yổ ặ ệ ạ  

h c sinh gi i các bài toán nguyên hàm, tích phân ban đ u h c sinh g p khóọ ả ầ ọ ặ   khăn, lúng túng đ i v i các bài toán nh  đã nêu trên. Tuy nhiên sau khi đố ớ ư ượ  c

th y giáo ch  rõ nh ng sai l m thầ ỉ ữ ầ ường g p, phân tích t  m , c n th n đ  ch nặ ỉ ỉ ẩ ậ ể ọ  

l a phự ương pháp phù h p, hợ ướng các em h c sinh đi đ n l i gi i đúng.ọ ế ờ ả

     Sau khi hướng d n h c sinh nh  trên và yêu c u các em h c sinh gi i c nẫ ọ ư ầ ọ ả ẩ  

th n m t s  bài toán nguyên hàm, tích phân trong sách giáo khoa Gi i Tích l pậ ộ ố ả ớ  

12 và m t s  bài toán trong các đ  thi Đ i h c, cao đ ng c a nh ng năm g nộ ố ề ạ ọ ẳ ủ ữ ầ   đây các em đã th n trong h n khi đi tìm và trình bày l i gi i và đã gi i khôngậ ơ ờ ả ả  

nh ng đữ ược mà còn r t t t v  s  lấ ố ề ố ượng và ch t lấ ượng l n các bài t p vớ ậ ề  nguyên hàm, tích phân

2.3.2. Hi u qu  th c nghi mệ ả ự ệ

        Sáng ki n đế ược áp d ng trong năm h c 2014 – 2015 t i trụ ọ ạ ường THPT  Yên Đ nh 1. Bài ki m tra trên hai đ i tị ể ố ượng h c sinh là l p 12A7(có 44 h cọ ớ ọ   sinh) không áp d ng sáng ki n này; l p 12A6 (có 43 h c sinh) áp d ng sángụ ế ớ ọ ụ  

ki n này cho k t qu  nh  sau:ế ế ả ư

         X pế  

lo iạ

Đ i tố ượng

     Sau khi tri n khai th c hi n sáng ki n h c sinh h c t p tích c c, h ng thúễ ự ệ ế ọ ọ ậ ự ứ  

đ c bi t là khi gi i bài toán nguyên hàm, tích phân, các em gi i toán nguyênặ ệ ả ả   hàm, tích phân r t th n tr ng và hi u rõ b n ch t c a v n đ  ch  không r pấ ậ ọ ể ả ấ ủ ấ ề ứ ậ   khuôn m t cách máy móc nh  trộ ư ước kia. Đó là vi c th c hi n phát huy tínhệ ự ệ   tích c c, ch  đ ng sáng t o c a h c sinh.ự ủ ộ ạ ủ ọ

3. K T LU N – KI N NGHẾ Ậ Ế Ị

3.1. K t lu n.ế ậ

     Sáng ki n t p trung nghiên c u m t s  sai l m c a h c sinh khi gi i bàiế ậ ứ ộ ố ầ ủ ọ ả   toán nguyên hàm, tích phân có ý nghĩa quan tr ng trong quá trình d y – h c vìọ ạ ọ   khi áp d ng sáng ki n này giúp h c sinh nhìn th y đụ ế ọ ấ ược đi m y u, nh ngể ế ữ  

hi u bi t ch a th c s  th u đáo c a b n thân. T  đó các em h c sinh có thể ế ư ự ự ấ ủ ả ừ ọ ể  phát huy được tính ch  đ ng, đ c l p sáng t o, năng l c t  duy, suy nghĩ sángủ ộ ộ ậ ạ ự ư  

t o, trau r i thêm ki n th c v  nguyên hàm, tích phân t  đó làm ch  đạ ồ ế ứ ề ừ ủ ượ  c

ki n th c, đ t đế ứ ạ ược k t qu  cao trong quá trình h c t p đ  chu n b  hànhế ả ọ ậ ể ẩ ị   trang ki n th c đ  các em h c sinh t  tin bế ứ ể ọ ự ước vào k  thi THPT Qu c Gia đ tỳ ố ạ  

k t qu  cao trong th i k  đ y m nh vi c “Đ i m i căn b n và toàn di n Giáoế ả ờ ỳ ẩ ạ ệ ổ ớ ả ệ  

D c ph  thông” nh  hi n nay.ụ ổ ư ệ

3.2. Ki n nghế ị

     Hi n nay trệ ường THPT Yên Đ nh 1 đ  có m t s  sáng ki n kinh nghi mị ẵ ộ ố ế ệ  

mà chúng tôi đ  nghiên c u trong m t s  năm g n đây, có m t s  sách thamẵ ứ ộ ố ầ ộ ố  

kh o. Tuy nhiên sách tham kh o vi t v  nh ng sai l m trong các ch  đ  toánả ả ế ề ữ ầ ủ ề  

h c còn h n ch , ch a nhi u. Vì v y, nhà trọ ạ ế ư ề ậ ường c n quan tâm h n n  trongầ ơ ữ  

vi c trang b  thêm các tài li u tham kh o đ c bi t là các tài li u vi t v  saiệ ị ệ ả ặ ệ ệ ế ề  

l m thầ ường g p trong gi i toán.ặ ả

     Vi c h c sinh đ c các tài li u vi t v  sai l m khi gi i toán còn h n ch ệ ọ ọ ệ ế ề ầ ả ạ ế  

Do đó nhà trường c n tuyên truy n, t  Toán c n có nh ng bu i ngo i khoáầ ề ổ ầ ữ ổ ạ   tuyên truy n đ  h c sinh hi u thêm, t  đó các em ch  đ ng đ n th  vi n,ề ể ọ ể ừ ủ ộ ế ư ệ  

mua thêm tài li u đ c đ  góp ph n thêm, trang b  thêm ki n th c toán h cệ ọ ể ầ ị ế ứ ọ  

ph  thông cho b n thân. T  đó các em t  tin bổ ả ừ ự ước vào k  thi THPT Qu c Gia.ỳ ố

Tôi xin cam đoan sáng ki n kinh nghi mế ệ   này là  do  b n  thân t   làm, không  saoả ự   chép c a ngủ ười khác

Yên Đ nh, ngày 26 tháng 5 năm 2016ị

Người vi t SKKNế

Thi u Thanh H iề ả

Xác nh n c a BGH trậ ủ ường THPT Yên Đ nh 1      ị

………

………

………

………

………

………

………

TÀI LI U THAM KH OỆ Ả

1. Sách giáo khoa Gi i tích 12  ả (NXBGD – 2008).

2. Sách giáo khoa Gi i tích 12  ả (NXBGD – 2000).

3. Ph ng pháp gi i toán Tích phân ươ ả (Tr n Đ c Huyên – Tr n Chí Trung – ầ ứ ầ   NXBGD).

4. Ph ng pháp gi i toán Tích phân ươ ả (Lê H ng Đ c – Lê Bích Ng c – NXB ồ ứ ọ  

Hà N i ­ 2005) ộ