Mở đầu nguyên hàm và tích phân từng phần

Tài liệu hướng dẫn phương pháp tích phân từng phần, nguyên hàm và tích phân từng phần. Đây là tư liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh phục vụ công tác học tập và luyện thi. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung kiến thức.

Trang 1

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 1

MỞ ĐẦU NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:

www.vted.vn

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Mã đề thi

132

Họ, tên thí sinh: Trường:

A – PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Xuất phát từ đạo hàm của hàm số tích, ta có

⎡⎣u(x).v(x)⎤⎦′ = ′u(x).v(x)+ ′v(x).u(x)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

u(x)v(x)

∫ =∫ ⎡⎣u (x)v(x)′ + u(x) ′ v (x)⎤⎦ dx

⇔ u(x)v(x) =∫ u (x)v(x) dx′ + u(x) ′∫ v (x) dx

⇒∫ u(x)d(v(x)) = u(x)v(x)− v(x)d(u(x))∫

Lấy tích phân hai vế, ta được:

u(x).v(x)

⎡

⎣ ⎤⎦′ dx

a

b

∫ = ⎡u (x).v(x)′ + ′v (x).u(x)

a

b

∫

⇔ u(x)d(v(x)) a

b

∫ = u(x)v(x) b

a − v(x)d(u(x))

a

b

hay

u(x) ′ v (x) dx

a

b

∫ = u(x)v(x) b

a − v(x) ′ u (x) dx a

b

Tổng quát sử dụng tích phân từng phân khi có sự kết hợp giữa 2 loại hàm chẳng hạn

f x,e

x

( ), f x,sin x( ), f x,ln x( ) hoặc đơn giản là có F(x), f (x), ′ f (x), ′′ f (x).

Câu 1. Cho F(x) = (x −1)e x là một nguyên hàm của hàm số f (x)e 2x. Tìm một nguyên hàm của hàm

số ′f (x)e 2x.

A

∫ f (x)e′ 2x dx=2− x

2 e

x + C.

C

∫ f (x)e′ 2x dx = (x −2)e x + C.

B

∫ f (x)e′ 2x dx = (4−2x)e x + C.

D

∫ f (x)e′ 2x dx = (2− x)e x + C.

Câu 2. Cho

F(x)= 1

2x2 là một nguyên hàm của hàm số

f (x)

x . Tìm một nguyên hàm của hàm số

′f (x)ln x.

Trang 2

2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM

PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN

A

∫ f (x)ln x dx′ =ln x

x2 + 1

2x2 + C.

C

′

f (x)ln x dx

x2 + 1

2x2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟+C.

B

∫ f (x)ln x dx′ = ln x

x2 + 1

x2+ C.

D

′

f (x)ln x dx

x2 + 1

x2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟+C.

Câu 3. Cho F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)e 2x. Tìm một nguyên hàm của hàm số

′f (x)e 2x.

A

∫ f (x)e′ 2x dx = 2x2−2x + C.

C

∫ f (x)e′ 2x dx = −x2+ x + C.

B

∫ f (x)e′ 2x dx = −2x2+ 2x + C.

D

∫ f (x)e′ 2x dx = −x2+ 2x + C.

Câu 4 Cho hàm số f (x) thoả mãn

(3x+1) ′f (x) dx

0

1

∫ =1 và 4 f (1)− f (0) = 2017. Tính tích phân

I= f (x) dx

0

1

A I = 2016. B I = 672. C I = −2016. D I = −672.

Câu 5. Cho hàm số f (x) thoả mãn

e x f (x) dx′

0

1

∫ =1 và ef (1)− f (0) = 2. Tính tích phân

I= e x f (x) dx

0

1

A I =1. B I = −1. C I = 3. D I = −3.

ln(x+1) ′f (x) dx

0

1

∫ =1 và f (1) = 2. Tính tích phân

I= f (x)

x+1dx

0

1

A I =1. B I = 2ln2−1. C I = −1. D I =1−2ln2.

Câu 7. Cho

(x2+1) ′f (x) dx

0

1

∫ = 2 và 2 f (1)− f (0) =1. Tính

I= xf (x) dx

0

1

A I = −1. B I = 3. C

I= −1

2. D I =1.

Câu 8. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thoả mãn

(x2+1) f (x)dx

0

1

2F(1)− F(0) =1. Tính

I= xF(x) dx

0

1

A

I= −1

2. B

I=1

2. C

I=3

2. D I =1.

Câu 9 Cho F(x) = e x cos x là một nguyên hàm của hàm số f (x)e 2x. Tìm một nguyên hàm của hàm số

′f (x)e 2x.

Trang 3

A

∫ f (x)e′ 2x dx = −e x(sin x + cos x)+ C.

B

∫ f (x)e′ 2x dx = e x(sin x + cos x)+ C.

C

∫ f (x)e′ 2x dx = −e x(sin x −cos x)+ C.

D

∫ f (x)e′ 2x dx = e x(sin x −cos x)+ C.

Câu 10 Cho

′

f (x)cos x dx

0

1

∫ =1 và f (1)cos1− f (0) = 2018. Tính

I= f (x)sin x dx

0

1

A I = 2017. B I = 2019. C I = −2019. D I = −2017.

Câu 11. Cho

F(x)= − 1

3x3 là một nguyên hàm của hàm số

f (x)

′f (x)ln x.

A

x3 + 1

3x3+ C.

C

∫ f (x)ln x dx′ = −ln x

x3 + 1

3x3+ C.

B

∫ f (x)ln x dx′ = ln x

x3 − 1

5x5+ C.

D

x3 + 1

5x5+ C.

Câu 12 Cho

F(x)= e x

x là một nguyên hàm của hàm số f (x). Tìm một nguyên hàm của hàm số

(f (x)+ ′f (x))e x

A

∫ (f (x)+ ′f (x))e x dx= e

x(xe x −e x)

x2 + C.

C

∫ (f (x)+ ′f (x))e x dx= −e 2x

x + C.

B

∫ (f (x)+ ′f (x))e x dx=e 2x

x + C.

D

∫ (f (x)+ ′f (x))e x dx= −e

x(xe x −e x)

x2 + C.

ef (1) − f (0) =10, e x f (x) dx′

0

1

I= e x f (x) dx

0

1

A I =11. B I = −11. C I = −9. D I = 9.

Câu 14. Cho hàm số f (x) có đạo hàm ′f (x) liên tục trên nửa khoảng [0;+∞) thoả mãn

f (x)+ ′ f (x) = e −x 2x+1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A

e

4f (4) − f (0) =26

3 .

C

e

4f (4) − f (0) =4

3.

B

e

4f (4) − f (0) = −26

3 .

D

e

4f (4) − f (0) = −4

3.

Trang 4

Câu 15 Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thoả mãn 2F(1)− F(0) =1 và

F(x) dx

0

1

Tính

I= (x +1) f (x)dx

0

1

A I =11. B I = 9. C I = −9. D I = −11.

Câu 16. Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn

′ f (x)g(x) = x(x −1)e x,∀x ∈[0;1] và ′f(0) ′f(1) ≠ 0 Tính tích phân

I = f (x) ′ g (x) dx

0

1

A I = e − 3. B I = 0. C I = e. D I = 3− e.

Câu 17. Cho hàm số y = f (x) thoả mãn

′

f (x)

x+1dx

0

1

∫ =1 và f (1)−2 f (0) = 2. Tính

I= f (x)

(x+1)2dx

0

1

A I = 0. B I = 3. C I = −1. D I =1.

Câu 18. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) với

F(1) = 1, F(x)dx

0

1

∫ = −1 Tính

xf (x) dx

0

1

A

xf (x) dx

0

1

xf (x) dx

0

1

∫ = −1. C

xf (x) dx

0

1

∫ = −2. D

xf (x) dx

0

1

Câu 19. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ! thoả mãn f (1)sin1=10. Tính

I= (f (x)cos x+ ′f (x)sin x)dx

0

1

A I = 20. B I = −10. C I = −20. D I =10.

Câu 20. Cho F(x) = x2e x là một nguyên hàm của hàm số f (x) x . Tìm một nguyên hàm của hàm số

′f (x)ln x.

A

∫ f (x)ln x dx′ = e x(x3ln x + 2x2ln x + x2)+ C.

C

∫ f (x)ln x dx′ = e x(x3ln x −2x2ln x − x2)+ C.

B

∫ f (x)ln x dx′ = −e x(x3ln x + 2x2ln x − x2)+ C.

D

∫ f (x)ln x dx′ = e x(x3ln x + 2x2ln x − x2)+ C.

Câu 21 Cho

F(x)=cos x

x là một nguyên hàm của hàm số f (x)sin x. Tìm một nguyên hàm của hàm số

′f (x)cos x.

A

∫ f (x)cos x dx′ = −cos x

x − cos2x

x2sin x + xcos x + C.

B

∫ f (x)cos x dx′ = −cos x

x − cos2x

x2sin x − xcos x + C.

C

∫ f (x)cos x dx′ =cos x

x + cos2x

x2sin x + xcos x + C.

Trang 5

D

∫ f (x)cos x dx′ =cos x

x + cos2x

x2sin x − xcos x + C.

Câu 22 Cho

0< a <

π

2 và

b= x tan x

0

a

∫ dx. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A

x

cos x

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

dx

0

a

∫ = a tan a−2b.

C

x

cos x

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

dx

0

a

∫ = a2tan a −2b.

B

x cos x

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

dx

0

a

∫ = b− a2tan a.

D

x cos x

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

dx

0

a

∫ = a2tan a −b.

Câu 23 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên !. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A

∫ (x−1) ′f (x) dx = (x −1) f (x)−∫ f (x) dx.

C

∫ (x−1) ′f (x) dx = (x −1) f (x)+∫ f (x) dx.

B

∫ (x−1) ′f (x) dx = −(x −1) f (x)−∫ f (x) dx.

D

∫ (x−1) ′f (x) dx = −(x −1) f (x)+∫ f (x) dx. Câu 24. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên !. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A

xf (x)

x2+1dx

∫ = f (x) x2+1−∫ x2+1 ′f (x) dx

B

xf (x)

x2+1dx

2 f (x) x

2 x

2+1 ′f (x) dx

C

xf (x)

x2+1dx

∫ = f (x) x2+1+∫ x2+1 ′f (x) dx

D

xf (x)

x2+1dx

2 f (x) x

2 x

2+1 ′f (x) dx

Câu 25 Cho

0< a <

π

2 và

b= xcot x a

π

2

∫ dx. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A

x

sin x

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

dx

a

π

2

∫ = −a2cot a + 2b.

C

x

sin x

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

dx

a

π

2

∫ = −a2cot a −2b.

B

x sin x

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

dx a

π

2

∫ = a2cot a −2b.

D

x sin x

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

dx a

π

2

∫ = a2cot a + 2b.

Câu 26. Cho hàm số f x thỏa mãn ( )

sin x f (x) dx = f (0) = 1

0

π 2

I = cosx f '(x)dx

0

π 2

Trang 6

Câu 27. Cho hàm f x có đạo hàm ( ) ′f (x) liên tục trên ! thỏa mãn f (0) = f (1) = 1 Biết

e x

f (x) + f '(x)

0

1

∫ = ae + b Tính S = a2017+ b2018

A S=1 B S= −1 C S=0 D S=2

Câu 28. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên !. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A

x

x+ 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

′

f (x) dx

x+ 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

f (x)+ 4 xf (x)

(x+ 2)3dx

B

x

x+ 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

′

f (x) dx

x+ 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

f (x)−2 xf (x)

(x+ 2)3dx

C

x

x+ 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

′

f (x) dx

x+ 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

f (x)+ 2 xf (x)

(x+ 2)3dx

D

x

x+ 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

′

f (x) dx

x+ 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

f (x)−4 xf (x)

(x+ 2)3dx

Câu 29 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ! thoả mãn 2 f (x)+ ′ f (x) = x + 2. Mệnh đề

nào dưới đây đúng ?

A

ef (1) − f (0) = 5e2−3

4 .

C e2f (1) − f (0) = 2e−1.

B

e

2f (1) − f (0) = 5e2−3

4 .

D ef (1)− f (0) = 2e−1.

A

∫ f (x)ln sin x′ ( )dx = f (x)ln sin x( )− f (x)

sin x dx

B

∫ f (x)ln sin x′ ( )dx = f (x)ln sin x( )− f (x)

cos x dx

C

∫ f (x)ln sin x′ ( )dx = f (x)ln sin x( )−∫ f (x)cot x dx.

D

∫ f (x)ln sin x′ ( )dx = f (x)ln sin x( )−∫ f (x) tan x dx.

Câu 31 Cho số thực a >1 và

b= ln(x2+1)

x dx

1

a

∫ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A

x ln x

x2+1dx

1

a

∫ = ln a.ln(a2+1)−b.

C

x ln x

x2+1dx

1

a

2ln a.ln(a

2b.

B

x ln x

x2+1dx

1

a

2ln a.ln(a

2b.

D

x ln x

x2+1dx

1

a

∫ = −ln a.ln(a2+1)+ b.

Câu 32. Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai ′′f (x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn

f (1) = f (0) =1, ′ f (0)= 2018. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Trang 7

A

′′

f (x)(1 − x)dx

0

1

∫ = −2018.

C

′′

f (x)(1 − x)dx

0

1

∫ = 2018.

B

′′

f (x)(1 − x)dx

0

1

D

′′

f (x)(1 − x)dx

0

1

A

(x2− x) ′ f (x) dx

0

1

∫ = f (1)− f (0)− (2x −1) f (x)dx

0

1

B

(x2− x) ′ f (x) dx

0

1

∫ = − (2x −1) f (x)dx

0

1

C

(x2− x) ′ f (x) dx

0

1

∫ = (2x −1) f (x)dx

0

1

∫ − f (1)+ f (0).

D

(x2− x) ′ f (x) dx

0

1

∫ = (2x−1) f (x)dx

0

1

Câu 34 Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai ′′f (x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn f (1)+ f (0) = 0

và

f (x) dx

0

1

∫ = 2018 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A

(x2− x) ′′ f (x) dx

0

1

∫ = 2018.

C

(x2− x) ′′ f (x) dx

0

1

∫ = −2018.

B

(x2− x) ′′ f (x) dx

0

1

∫ = −4036.

D

(x2− x) ′′ f (x) dx

0

1

∫ = 4036.

Câu 35. Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn

f (1)g(1) = f (0)g(0) và ′f(x)g(x) = 2x + 2,∀x ∈[0;1] Tính tích phân

I = f (x) ′ g (x) dx

0

1

A I = 3. B

I = 2 4( − 2)

3 . C I =2( 2− 4)

3 . D I = 1.

Câu 36. Cho

F(x)= 1

x2018 là một nguyên hàm của hàm số

f (x)

′f (x)ln x.

A

∫ ln x ′ f (x) dx= −2018ln x

x2018 + 1

x2018+ C.

C

∫ ln x ′ f (x) dx=2018ln x

x2018 + 1

x2018+ C.

B

∫ ln x ′ f (x) dx= −2018ln x

x2018 − 1

x2018+ C.

D

∫ ln x ′ f (x) dx=2018ln x

x2018 − 1

x2018+ C.

Trang 8

Câu 37. Cho

0< a <

π

2 và

b= tan xe x dx

0

a

A

e x

cos2x dx

0

a

∫ = e a tan a−b.

C

e x

cos2x dx

0

a

∫ = −e a tan a−b.

B

e x

cos2x dx

0

a

∫ = e a tan a + b.

D

e x

cos2x dx

0

a

∫ = −e a tan a + b.

Câu 38. Cho

0< a <

π

2 và

b= cot xe x dx a

π

2

A

e x

sin2x dx

a

π

2

∫ = e a cot a −b.

C

e x

sin2x dx

a

π

2

∫ = e a cot a + b.

B

e x

sin2x dx a

π

2

∫ = −e a cot a −b.

D

e x

sin2x dx a

π

2

∫ = −e a cot a + b.

Câu 39 Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) có đạo hàm ′f (x), ′ g (x) liên tục trên !. Mệnh đề nào dưới

đây đúng ?

A

∫ f (x) ′ g (x) dx = f (x)g(x)+∫ g(x) ′ f (x) dx.

B

∫ f (x) ′ g (x) dx = f (x)g(x)− g(x) ′∫ f (x) dx

C

∫ f (x) ′ g (x) dx = − f (x)g(x)− g(x) ′∫ f (x) dx.

D

∫ f (x) ′ g (x) dx = − f (x)g(x)+∫ g(x) ′ f (x) dx

Câu 40 Cho a >1 và

b= e x

x dx

1

a

A

ln xe x dx

1

a

∫ = e a ln a + b.

C

ln xe x dx

1

a

∫ = −e a ln a + b.

B

ln xe x dx

1

a

∫ = −e a ln a −b.

D

ln xe x dx

1

a

∫ = e a ln a −b.

Câu 41.Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn f (1) = 0 và

x2f (x) dx

0

1

3.

Tích phân

x3f (x) dx′

0

1

Trang 9

Câu 42.Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;π] thoả mãn

′

f (x)sin x dx

0

π

Tích phân

f (x)cos x dx

0

π

Câu 43 Cho hai số thực a,b thoả mãn a < b và

xsin x dx a

b

∫ = π, đồng thời acos a = 0 và bcosb = −π.

Tích phân

cos x dx

a

b

A 145

12 . B π. C −π. D 0.

Câu 44 Cho hai hàm số liên tục f (x) và g(x) có nguyên hàm lần lượt là F(x) và G(x) trên đoạn

[0;2] Biết F(0) = 0, F(2) =1,G(0) = −2,G(2) =1 và

F(x)g(x) dx

0

2

f (x)G(x) dx

0

2

∫ bằng

Câu 45 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn

f (x) dx

0

1

∫ = x ′ f (x) dx

0

1

∫ = x2f (x) dx′′

0

1

∫ ≠ 0 Giá trị của biểu thức

′

f (1)

f (1) bằng

A 2

2. Câu 46 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn f (1) = 0 và

x n f (x) dx

0

1

∫ = 2018 Tích phân

x n+1f (x) dx′

0

1

A −2018(n+1). B

2018

n+1. C 2018(n+1). D −

2018

n+1.

CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 – 2K3 TẠI VTED

PRO XMAX – VẬN DỤNG CAO 2018 MÔN

TOÁN CHO TEEN 2K

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-

chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2018-mon-toan-kh266161831.html

Trang 10

PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN

TOÁN 2018 CHO TEEN 2K

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

PRO XPLUS – LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT

QUỐC GIA 2018 MÔN TOÁN

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xplus-luyen-

de-thi-thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-kh644451654.html

PRO XMIN –BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018

MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÀ CÁC

SỞ ĐÀO TẠO

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-xmin-bo-de-thi-

thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-cac-truong-

chuyen-va-cac-so-giao-duc-dao-tao-kh084706206.html

PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO

TEEN 2K1

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-bam-sat-

toan-dien-chuong-trinh-toan-11-plus-11-kh968641713.html

PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI

TOÁN 11 CHO TEEN 2K1

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/olympic-toan-11-kh071103157.html

PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO

TEEN 2K2

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-pro-z-nen-

tang-toan-hoc-10-vung-chac-cho-teen-2k2-kh546669683.html

ĐỘI NGŨ HỖ TRỢ VTED

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	10,48 MB