Ứng dụng tích phân để giải bài toán diện tích và thể tích

Đề tài “Ứng dụng tích phân để giải bài toán diện tích và thể tích” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học sinh đã học ở lớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân.

1. M  đ uở ầ

1.1. Lý do ch n đ  tài.ọ ề

       V n đ  tính di n tích c a các hình quen thu c nh  tam giác, t  giác, ngũấ ề ệ ủ ộ ư ứ   giác, l c giác,… g i chung là đa giác h c sinh đ u đã bi t công th c tính di nụ ọ ọ ề ế ứ ệ   tích t  các l p dừ ớ ưới. Cũng tương t  nh  v y v n đ  th  tích các kh i nhự ư ậ ấ ề ể ố ư  (kh i h p ch  nh t, kh i l p phố ộ ữ ậ ố ậ ương, kh i lăng tr , kh i chóp, ….g i chungố ụ ố ọ  

là kh i đa di n) h c sinh đ u đố ệ ọ ề ược h c công th c tính th  tích. Đây là m tọ ứ ể ộ  

v n đ  r t th c t  nh ng đ  h c t t nó v n không đ n gi n đ i v i các h cấ ề ấ ự ế ư ể ọ ố ố ơ ả ố ớ ọ   sinh có t  duy hình h c y u, đ c bi t là t  duy c  th  hoá, tr u tư ọ ế ặ ệ ư ụ ể ừ ượ  ng hoá.Vi c d y và h c các v n đ  này   chệ ạ ọ ấ ề ở ương trình toán l p dớ ướ ối v n đã g pặ  

r t nh u khó khăn b i nhi u nguyên nhân, trong đó y u t  “tr c quan và th cấ ề ở ề ế ố ự ự  

t ” trong các sách giáo khoa đang còn thi u. Do đó khi h c v  v n đ  m i:ế ế ọ ề ấ ề ớ  

v n đ  di n tích c a các hình ph ng, v n đ  th  tích c a các v t th  trònấ ề ệ ủ ẳ ấ ề ể ủ ậ ể   xoay   chở ương trình gi i tích 12 h c sinh g p r t nhi u khó khăn. H u h tả ọ ặ ấ ề ầ ế   các em h c sinh thọ ường có c m giác “s ” bài toán tính di n tích hình ph ngả ợ ệ ẳ   cũng nh  bài toán tính th  tích c a v t th  tròn xoay.  Khi h c v n đ  nàyư ể ủ ậ ể ọ ấ ề   nhìn chung các em thường v n d ng công th c m t cách máy móc ch a có sậ ụ ứ ộ ư ự  phân tích, thi u t  duy th c t  và tr c quan nên các em hay b  nh m l n, ho cế ư ự ế ự ị ầ ẫ ặ   không gi i đả ược, đ c bi t là nh ng bài toán c n ph i có hình v  đ  “chiaặ ệ ữ ầ ả ẽ ể  

nh ” di n tích m i tính đỏ ệ ớ ược. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng nh  cácư   sách tham kh o có r t ít ví d  minh h a m t cách chi ti t đ  giúp h c sinhả ấ ụ ọ ộ ế ể ọ  

h c t p và kh c ph c “nh ng sai l m đó”. Càng khó khăn h n cho nh ng h cọ ậ ắ ụ ữ ầ ơ ữ ọ   sinh có k  năng tính tích phân còn y u và k  ỹ ế ỹ năng “đ c đ  th ” còn h n ch ọ ồ ị ạ ế  

Đ  tài “ề ỨNG D NG TÍCH PHÂN Đ  GI I BÀI TOÁN DI N TÍCH VÀỤ Ể Ả Ệ  

TH  TÍCHỂ ” nh m  giúp cho h c sinh 12  rèn k  năng tính tích phân, rèn kằ ọ ỹ ỹ  năng đ c đ  th  c a hàm s , t  đó kh c ph c nh ng khó khăn, sai l m khiọ ồ ị ủ ố ừ ắ ụ ữ ầ  

g p bài toán tính di n tích hình ph ng cũng nh  tính th  tích c a v t th  trònặ ệ ẳ ư ể ủ ậ ể   xoay. T  đó giúp h c sinh phát huy t t ki n th c v  di n tích và th  tích màừ ọ ố ế ứ ề ệ ể  

h c sinh  đã h c   l p dọ ọ ở ớ ưới, th y đấ ược  tính th c t  và s  liên h  n i t i c aự ế ự ệ ộ ạ ủ  

v n đ  này trong  chấ ề ương các l p h c, h c sinh s  c m th y h ng thú, thi tớ ọ ọ ẽ ả ấ ứ ế  

th c và h c t t v n đ   ng d ng c a tích phân.ự ọ ố ấ ề ứ ụ ủ

1.2. M c đích nghiên c u.ụ ứ

­ Giúp h c sinh h c t t h n bài toán  ng d ng tích phân.ọ ọ ố ơ ứ ụ

­ Tài li u tham kh o cho h c sinh l p 12 và đ ng nghi p.ệ ả ọ ớ ồ ệ

1.3. Đ i tố ượng nghiên c u.ứ

­ H c sinh trọ ường THPT Th  Xuân 5.ọ

­  ng d ng tích phân trong tính di n tích hình ph ng, th  tích v t th  tròn Ứ ụ ệ ẳ ể ậ ể xoay

1.4. Phương pháp nghiên c u.ứ

­ Tìm  hi u nh ng khó khăn khi h c sinh h c bài toán  ng d ng tích phân.ể ữ ọ ọ ứ ụ

­ Trao đ i v i đ ng nghi p.ổ ớ ồ ệ

­ Tìm tài li u, ph n m m đ  v  hình  nh tr c quan.ệ ầ ề ể ẽ ả ự

­ Áp d ng gi ng d y các l p 12A1, 12A4 trụ ả ạ ớ ường THPT Th  Xuân 5.ọ

1.5. Nh ng đi m m i trong sáng ki n kinh nghi m.ữ ể ớ ế ệ

­ Dùng hình  nh tr c quan đả ự ược v  t  ph n m m [10].ẽ ừ ầ ề

­ Áp d ng trong các bài toán th c t  trong các đ  thi th  THPT QU C GIA ụ ự ế ề ử Ố năm h c 2016­2017 [10].ọ

2. N i dung sáng ki n kinh nghi mộ ế ệ

2.1. C  s  lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m.ơ ở ậ ủ ế ệ

     Đ i m i phổ ớ ương pháp d y h c v i m c đích phát huy t t nh t tính tíchạ ọ ớ ụ ố ấ  

c c, sáng t o c a ngự ạ ủ ườ ọi h c. Nh ng không ph i thay đ i ngay l p t c b ngư ả ổ ậ ứ ằ  

nh ng phữ ương pháp hoàn toàn m i l  mà ph i là m t quá trình áp d ngớ ạ ả ộ ụ  

phương pháp d y h c hi n đ i trên c  s  phát huy các y u t  tích c c c aạ ọ ệ ạ ơ ở ế ố ự ủ  

phương pháp d y h c truy n th ng nh m thay đ i cách th c, phạ ọ ề ố ằ ổ ứ ương pháp 

h c t p c a h c sinh chuy n t  th  đ ng sang ch  đ ng. ọ ậ ủ ọ ể ừ ụ ộ ủ ộ

      ng d ng c a tích phân là m t trong nh ng ki n th c c  b n   chỨ ụ ủ ộ ữ ế ứ ơ ả ở ươ  ng trình toán gi i tích l p 12. Vi c d y và h c v n đ  này h c sinh giúp h c sinhả ớ ệ ạ ọ ấ ề ọ ọ  

hi u rõ ý nghĩa hình h c c a tích phân.  ng d ng tích phân trong các bài toánể ọ ủ Ứ ụ  

th c t  v  di n tích và th  tích tròn xoay. Đ  h c sinh hi u v  bài toán  ngự ế ề ệ ể ể ọ ể ề ứ  

d ng tích phân Tôi đã phân d ng và các bài t p minh h a,  sau đó là bài toánụ ạ ậ ọ  

th c t  trong các đ  thi th  c a các trự ế ề ử ủ ường trong năm h c 2016­2017.ọ

2.2. Th c tr ng v n đ  trự ạ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m.ụ ế ệ

   Ch  đ   ng d ng c a tích phân là m t trong nh ng ki n th c c  b n ủ ề ứ ụ ủ ộ ữ ế ứ ơ ả ở 

chương trình toán gi i tích l p 12. Vi c d y và h c v n đ  này h c sinh giúpả ớ ệ ạ ọ ấ ề ọ  

h c sinh hi u rõ ý nghĩa hình h c c a tích phân, đ c bi t là tính di n tích c aọ ể ọ ủ ặ ệ ệ ủ   hình ph ng gi i h n b i các đ  th  hàm s , tính th  tích c a v t th  tròn xoayẳ ớ ạ ở ồ ị ố ể ủ ậ ể  

t o b i khi quay m t hình ph ng quanh tr c hoành ho c tr c tung. Đây cũngạ ở ộ ẳ ụ ặ ụ  

là m t n i dung thộ ộ ường g p trong các đ  thi h c kì II, đ  thi THPT QG. Nhìnặ ề ọ ề   chung khi

 h c v n đ  này, đ i đa   s  h c sinh(k  c  h c sinh khá gi i)thọ ấ ề ạ ố ọ ể ả ọ ỏ ường g pặ  

nh ngữ

 khó khăn, sai l m sau:ầ

­ N u không có hình v  thì h c sinh thế ẽ ọ ường không hình dung được hình 

ph ng(hay v t th  tròn xoay). Do dó h c sinh có c m giác “xa l ” h n so v iẳ ậ ể ọ ả ạ ơ ớ   khi h c v  di n  tích c a hình ph ng đã h c trọ ề ệ ủ ẳ ọ ước đây (di n tích đa giác, thệ ể  tích các kh i đa di n). H c sinh không v n d ng đố ệ ọ ậ ụ ược ki u “t  duy liên h  cũể ư ệ  

v i m i”  v n có c a mình khi nghiên c u v n đ  này.ớ ớ ố ủ ứ ấ ề

­ Hình v  minh h a   các sách giáo khoa cũng nh  sách bài t p còn ít “ ch aẽ ọ ở ư ậ ư  

đ ” đ  giúp h c sinh rèn luy n t  duy t  tr c quan đ n tr u tủ ể ọ ệ ư ừ ự ế ừ ượng. T  đóừ  

h c sinh ch a th y s  g n gũi và th y tính th c t  c a các hình ph ng, v tọ ư ấ ự ầ ấ ự ế ủ ẳ ậ  

th  tròn xoay đang h c ể ọ

­ H c sinh ch a th c s  h ng thú và có c m giác nh  nhàng khi h c v n đọ ư ự ự ứ ả ẹ ọ ấ ề  này, trái l i h c sinh có c m giác n ng n , khó hi u.ạ ọ ả ặ ề ể

­ H c sinh thọ ường ch  nh  công th c tính di n tích hình ph ng (th  tích v tỉ ớ ứ ệ ẳ ể ậ   tròn

 xoay) m t cách máy móc , khó phát huy tính linh ho t sáng t o, đ c bi t là kộ ạ ạ ặ ệ ỹ  năng đ c đ  th  đ  xét d u các bi u th c, k   năng “ chia nh ” hình ph ng đọ ồ ị ể ấ ể ứ ỹ ỏ ẳ ể  tính, k  năng c ng, tr  di n tích; c ng, tr  th  tích. Đây là m t khó khăn r tỹ ộ ừ ệ ộ ừ ể ộ ấ  

l n mà h c sinh thớ ọ ường g p ph i . ặ ả

­H c sinh thọ ường b  sai l m trong vi c tính tích phân có ch a d u giá tr  tuy tị ầ ệ ứ ấ ị ệ  

đ iố

2.3. Gi i pháp đã s  d ng đ  gi i quy t v n đ ả ử ụ ể ả ế ấ ề

D ng 1:ạ  Gi  s   hàm s  ả ử ố y= f x( ) liên t c trên đo n ụ ạ [ ]a b  Khi đó hình thang ; cong gi i h n b i đ  th  c a hàm s  ớ ạ ở ồ ị ủ ố y = f x( ), tr c hoành và hai đụ ường th ngẳ   ,

x a x b= =  có di n tích là ệ S  và được tính theo công th c: ứ b ( )

a

S = f x dx  [1].

Bài 1.1: Tính di n tích c a hình ph ng gi i h n b i đ  th  (C ) c a hàm sệ ủ ẳ ớ ạ ở ồ ị ủ ố

y x= − +x , tr c hoành Ox và các đụ ường th ng ẳ x= −1,x=2

y

x

f x = x 3 -x 2 +2

3 6

2 -1

4

Hình 1

Gi i: T  hình v  ta suy ra ả ừ ẽ x3 − +x2 2 0,� ∀ −�[ 1;2].Di n tích S c a hình ệ ủ

ph ng trên là ẳ 2 3 2 2( 3 2 )

85

12

Bài 1.2. Tính di n tích c a hình ph ng gi i h n b i đ  th  hàm sệ ủ ẳ ớ ạ ở ồ ị ố 

( ) x 12

y f x

x

− −

− , tr c hoành và các đụ ường th ng  ẳ x = −1,x=0.

x

f x = -x-2 x-1

3

-4

2 -1

Hình 2

Gi i: T  hình v  suy ra ả ừ ẽ 2 0, [ 1;0]

1

x x

− − � ∀ −�

− . Di n tích S c a hình ph ng trênệ ủ ẳ  

là 

x

Chú ý:  N u ph ng trình  f(x) = 0 có  k nghi m phân bi t  xế ươ ệ ệ 1 , x2 , …, xk   thu c ộ

(a ; b) thì trên m i kho ng (a ; xỗ ả 1 ), (x1 ; x2), …, (xk ; b) bi u th c f(x) có d u ể ứ ấ

không đ i. ổ  Khi đó đ  tính tích phân ể b

a

dx x f

S ( )  ta có th  tính nh  sau:ể ư

b x

x x

x a

b

dx x f dx

x f dx x f dx x f

2

1

1

 [1]

Bài 1.3. Cho hàm s  ố y x= −3 3x2 +2 có đ  th  (C ). Tính di n tích c a hình ồ ị ệ ủ

ph ng gi i h n b i đ  th  (C ), tr c hoành , tr c tung và đẳ ớ ạ ở ồ ị ụ ụ ường th ng  ẳ x=2 

(C)

y

x

f x = x 3 -3 x 2 +2

3

2 -1

4

Hình 3

Gi i: D a vào đ  th  ta có: ả ự ồ ị x3 −3x2 +2 0,∀ [ ]0;1  và 

[ ]

 Do đó  2 3 2 1( 3 2 ) 2( 3 2 )

5

2

S =�x − x + dx=�x − x + dx−�x − x + dx= (đvdt)

D ng 2:ạ  Cho hai đ  th  c a  hai hàm s  y = f(x),  y = g(x) và hai đồ ị ủ ố ường th ng ẳ  

x = a ,  x =b  (a<b). Hình ph ng gi i h n b i b n đẳ ớ ạ ở ố ường y = f(x), y = g(x) và  hai đường th ng  x = a, x = b  có di n tích  S đẳ ệ ược tính theo công th c :ứ

dx x g x f S

b a

) ( )

Bài 2.1. Tính di n tích c a hình ph ng gi i h n b i đ  th  c a hai hàm s :ệ ủ ẳ ớ ạ ở ồ ị ủ ố

3

3 2

x

y ,  y x3 4x2 x 4 và hai đường th ng  x =  0,  x = 2 .ẳ

0

2 2

0

2 3 2

Hoành đ  giao đi m c a hai đ  th  trên là nghi m c a phộ ể ủ ồ ị ệ ủ ương trình :

0 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 0

1 2 2

4 4

3

x

2

; 0 1

2

; 0 1

2

; 0 2 1 0

1

0 1 2 0 ) 1 )(

1

2

x x

x x

x x

x

7 6

35 6

7 )

1 )(

1 2 ( )

1 )(

1

2

1

2 1

0

x x

Bài 2.2. Tính di n tích c a hình ph ng gi i h n đ  th  hàm s  y = xệ ủ ẳ ớ ạ ồ ị ố 2 ­3x + 2 

và đường th ng y = x – 1 .ẳ

d

(C)

x

y 4

-3 -2 -1

3 2 1

Hình 4

Gi i:ả

Phương trình hoành đ  giao đi m c a đ  th  hàm s  y = xộ ể ủ ồ ị ố 2 ­3x + 2 và đường 

th ng ẳ

y = x – 1 là:  2 3 2 1 2 4 3 0 13

x

x x

x x

x x

Suy ra di n tích c a hình ph ng trên là :ệ ủ ẳ  

dx x x dx x x

x

S

3 1 2 3

1

D a vào đ  th  ta có  xự ồ ị 2 – 3x + 2 ≤ x – 1   x   [1 ; 3 ]  

Do đó    x2 – 4x +  3 ≤  0   x   [1 ; 3]  

3

4 3

4 1

3 ) 3 2 3 ( )

3 4

3

1

x

Bài 2.3. Hình ph ng sau đ c gi i h n b i đ  th  (C ):ẳ ượ ớ ạ ở ồ ị 3 4

4

2

x

x

y  và đườ  ng

th ng  y = x . Hãy tính di n tích c a hình ph ng đó .ẳ ệ ủ ẳ

(C) d

x y

-2 4

-3 -1

3 2 1

O 1

Hình 5

 Gi i : Phả ương trình hoành đ  giao đi m c a hai đ  th  đã cho là : ộ ể ủ ồ ị

2

0 4

0 16

4 3

0 4

) 1 4 3 4

1 ( 4

3

2 2

x

x x

x x

x x

x x x

x

Di n tích c a hình ph ng đã cho là :ệ ủ ẳ

dx x

x dx

x x dx

x

x dx x

x

S

2 0

2 2

0

0 2

2 2

0

2

4

1   4 3 4

1 4

3 4 4

3

 Đ t ặ A x x dx

0

2

3  ,  B x x dx

2 0

3 Tính: 

0

2 2

−

= +     Đ t  ặ u=3x2 +4�du =6xdx 

        Khi  x =0�u=4

        Khi  x = −2�u=16

56 )

4 16 ( 9

1 4

16 9

1 4 16 2

3 6

1 6

1 6

3 16

4 2 1 16

4

u

u du

u u

Tương t  ta có:  ự

9

56

B  Suy ra  

9

28 4 9

112 4

9

56 56 9

56 4

1 9

56 4

1

Bài 2.4. Ông An mu n làm m t c ng s t có hìnhố ộ ổ ắ  

d ng và kích thạ ước gi ng nh  hình v  k  bên, bi tố ư ẽ ế ế  

đường cong phía trên là m t parabol. Giá ộ 1m2c ngổ  

s t có giá là 700.000 đ ng. V y ông An ph i trắ ồ ậ ả ả 

bao nhiêu ti n đ  làm c ng s t nh  v y. (làm trònề ể ổ ắ ư ậ  

đ n hàng nghìn)ế

A. 6.423.000 đ ng.ồ B. 6.320.000 đ ng.ồ

C. 6.523.000 đ ng.ồ D.6.417.000  đ ng   [3]ồ

Gi i: ả Ch n D.ọ

Hình 7

Ta có mô hình c ng s t trong m t ph ng t a đ  nh  hình trên. Di n tích c ng ổ ắ ặ ẳ ọ ộ ư ệ ổ

g m di n tích hình ch  nh t và di n tích ph n gi i h n b i parabol ồ ệ ữ ậ ệ ầ ớ ạ ở ( )P  và 

tr c hoành. T  t a đ  3 đi m thu c parabol ụ ừ ọ ộ ể ộ ( )P  ta tìm được phương trình c aủ   parabol ( )P  là:( ): 2 2 1

25 2

2,5

5.1,5   

−

V y c n: ậ ầ 55

.700000 6417000

Bài 2.5. M t khuôn viên d ng n a hình tròn có đ ng kính b ng ộ ạ ử ườ ằ 4 5  (m).  Trên đó người thi t k  hai ph n đ  tr ng hoa có d ng c a m t cánh hoa hìnhế ế ầ ể ồ ạ ủ ộ   parabol có đ nh trùng v i tâm n a hình tròn và hai đ u mút c a cánh hoa n mỉ ớ ử ầ ủ ằ   trên n a đử ường tròn (ph n tô màu), cách nhau m t kho ng b ng ầ ộ ả ằ 4(m), ph nầ   còn l i c a khuôn viên (ph n không tô màu) dành đ  tr ng c  Nh t B n. ạ ủ ầ ể ồ ỏ ậ ả Bi tế   các kích thước cho nh  hình v  và kinh phí đ  tr ng c  Nh t B n là ư ẽ ể ồ ỏ ậ ả 100.000 

đ ng/mồ 2. H i c n bao nhiêu ti n đ  tr ng c  Nh t B n trên ph n đ t đó? (Sỏ ầ ề ể ồ ỏ ậ ả ầ ấ ố 

ti n đề ược làm tròn đ n hàng nghìn)ế

4m

    A. 3.895.000 (đ ng).   ồ B. 1.948.000 (đ ng).ồ

    C. 2.388.000 (đ ng).    ồ D.1.194.000 (đ ng) [4].ồ

Gi i: ả Ch n Bọ

Đ t h  tr c t a đ  nh  hình v  Khi đó phặ ệ ụ ọ ộ ư ẽ ươ  ng

trình 

n a đử ường tròn là:

y= R −x = −x = −x

Phương trình parabol  ( )P  có đ nh là g c ỉ ố O s  cóẽ  

d ng ạ y ax= 2. M t khác ặ ( )P  qua đi m ể M( )2;4    

               Hình 8

do đó:  ( )2

4 = −a 2 �a= 1. Ph n di n tích c a hình ph ng gi i h n b i ầ ệ ủ ẳ ớ ạ ở ( )P  và 

n a đử ường tròn.   (ph n tô màu) Ta có: ầ 2( )

1

2 2 2 2

11,9

−

≅

V y ph n di n tích tr ng c  là ậ ầ ệ ồ ỏ = 1 − 1 19, 47592654

2

trongco hinhtron

V y s  ti n c n có là ậ ố ề ầ S trongxo 100000 1.948.000 (đ ng)ồ

Bài 2.6. M t sân ch i cho tr  em hình ch  nh t có chi u dài  ộ ơ ẻ ữ ậ ề 100  và chi uề  

r ng là ộ 60m người ta làm m t con độ ường n m trong sân (nh  hình v ). Bi tằ ư ẽ ế  

r ng vi n ngoài và vi n trong c a con đằ ề ề ủ ường là hai đường elip, Elip c aủ  

đường vi n ngoài có tr c l n và tr c bé l n lề ụ ớ ụ ầ ượt song song v i các c nh hìnhớ ạ  

ch  nh t và chi u r ng c a m t đữ ậ ề ộ ủ ặ ường là  2m. Kinh phí cho m i  ỗ m2  làm 

đường 600.000 đ ng. Tính t ng s  ti n làm con đồ ổ ố ề ường đó. (S  ti n đố ề ược làm  tròn đ n hàng nghìn).ế

Hình 9

A. 293904000.   B. 283904000.    C. 293804000.   D. 283604000.[5]

60m

100m 2m

Gi i: ả Chon A.̣  

Xé t h  tr c t a đ  ệ ụ ọ ộ Oxy đ t g c t a đ  ặ ố ọ ộ O vào tâm c a hình Elip.ủ

Phương trình Elip c a đủ ường vi n ngoài c a con đề ủ ường là ( )1 : 22 22 1

50 30

Ph n đ  th  c a ầ ồ ị ủ ( )E1  n m phía trên tr c hoành có phằ ụ ương trình: 

( )

2

1 2

30 1

50

x

y= − = f x  Phương trình Elip c a đủ ường vi n trong c a con đề ủ ườ  ng

là ( )2 : 22 22 1

48 28

E + =  Ph n đ  th  c a ầ ồ ị ủ ( )E2  n m phía trên tr c hoành có phằ ụ ươ  ng trình:  28 1 22 2( )

48

x

y= − = f x

G i ọ S1 là di n tích c a ệ ủ ( )E1  và b ng hai l n di n tích ph n hình ph ng gi iằ ầ ệ ầ ẳ ớ  

h n b i tr c hoành và đ  th  hàm s  ạ ở ụ ồ ị ố y= f x1( ). G i ọ S2 là di n tích c a ệ ủ ( )E2  và 

b ng hai l n di n tích ph n hình ph ng gi i h n b i tr c hoành và đ  th  hàmằ ầ ệ ầ ẳ ớ ạ ở ụ ồ ị  

s  ố y= f x2( )  G i ọ S là di n tích con đệ ường. 

50

1

48

−

2

2 1 d , ,

a

a

x

x

+

−

Đ t ặ sin , d cos d

x a= t ��− π ���t π �� x a= t t

x= −a�t= −π x a= �t =π

sin cos d co

2 1 t a. t t 2 s dt t 1 co s 2t d

2

sin 2 2

π

−

=

Do đó S S = −1 S2 = 50.30 π − 48.28 π = 156 π

V y  ậ t ng   s   ti n   làm   con   đổ ố ề ường   đó   là  600000.S = 600000.156 π 294053000  (đ ng).ồ

Dang 3. Gi  s  ả ử ( )H  là hình ph ng gi i h n b i đ  th  hàm s  ẳ ớ ạ ở ồ ị ố y = f x( ), tr cụ   hoành và hai đường th ng ẳ x a x b= , =  trong đó(a b< )  Quay hình ph ng ẳ

( )H quanh tr c hoành ta đ c m t v t th  tròn xoay. Th  tích c a v t thụ ượ ộ ậ ể ể ủ ậ ể  này

 được tính theo công th c:  ứ b ( ) 2

a

V =π ��f x ��   [1]dx

Bài 3.1. Tính th  tích c a v t th  tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi iể ủ ậ ể ạ ở ẳ ớ  

h n b i ạ ở y x y= 2, =0,x =0,x=2 quanh tr c hoành ụ Ox

Gi i:  ả 2( )2 2 2 4

32 5

V =π x dx=π x dx= π

Bài 3.2. Tính th  tích c a v t th  tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi iể ủ ậ ể ạ ở ẳ ớ  

h n b i b n đạ ở ố ường sau quanh tr c hoành Ox:  y = xụ 2 – 2x   , y = 0  , x = 0  , x =  1

15

8 0

1 ) 3

4 5

( )

4 4 ( )

2

0

2 3 4 1

0

2

x

x dx x x x dx

x x

Bài 3.3. Tính th  tích c a v t th  tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi iể ủ ậ ể ạ ở ẳ ớ  

h n b i b n đạ ở ố ường sau quanh tr c hoành Ox.  y = xụ 3 – 3x   , y = 0  , x = 0  , x =  1

0

1 ) 3

9 5

6 7 ( ) 9 6 ( )

3

1

0

2 4 6 1

0

2

dx x x x dx

x

x

35

68 0

1 ) 3 5

6

7

(x7 x5 x3 (đvtt)

Bài 3.4. Tính th  tích c a v t th  tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi iể ủ ậ ể ạ ở ẳ ớ  

h n b i b n đạ ở ố ường sau quanh tr c hoành Ox. ụ y x2 2x , y = 0  , x = 0  , x =  1

3

4 5

( ) 4 4 (

0

2 3 4 1

0

2

x

x dx x x x dx

x x

Bài 3.5. Tính th  tích c a v t th  tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi i ể ủ ậ ể ạ ở ẳ ớ

h n b i b n đạ ở ố ường sau quanh tr c hoành Ox. ụ y x2 3x , y = 0, x = 0, x = 1

Gi iả  :  1 ( 2 )2 1( 2 )

16

11

V =π x + x dx =π x + x dx= π

Bài 3.6. Tính th  tích c a v t th  tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi i ể ủ ậ ể ạ ở ẳ ớ

h n b i b n đạ ở ố ường sau quanh tr c hoành Ox. ụ y =lnx, y = 0, x = 1, x = e.

Gi iả  :   ( )2 2( )

V =π� x dx =π� x dx  (đvtt)

Đ t  ặ

x v

dx x x du

dx

dv

x

u ln 2 2 ln 1

x

e x x

e uv xdx

1

2 2

1 2 e

1 1

1 ln vdu       1

I

e 2