Bài giảng Giải tích 12 - Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Bài giảng Giải tích 12 - Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học cung cấp những kiến thức về tính thể tích, thể tích của vật thể, thể tích khối chóp và khối chóp cụt, thể tích khối tròn xoay.

Ki m tra bài cũ: ể

1. Nêu các công th c tính di n tích hình ph ng ?ứ ệ ẳ

Đáp án:

­ CT tính di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ  th  hàm s  ệ ủ ẳ ớ ạ ở ồ ị ố f(x) liên t c, tr c hoành và hai đụ ụ ường th ng x=a, x=b là:ẳ

dx x

f S

b a

) (

­ CT tính di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i hai đ  th  hàm ệ ủ ẳ ớ ạ ở ồ ị

s  y=f(x) và y=g(x) liên t c trên đo n [a;b] và các đố ụ ạ ường th ng ẳ x=a, x=b là

dx x

g x

f S

b a

) ( )

(

2. Hãy nh c l i công th c tính th  tích kh i lăng tr  có di n tích ắ ạ ứ ể ố ụ ệ đáy b ng B và chi u cao b ng h?ằ ề ằ

3. Hãy nh c l i công th c tính th  tích kh i chóp có di n tích đáy ắ ạ ứ ể ố ệ

b ng B và chi u cao b ng h?ằ ề ằ

V=Bh

Bh

V

3 1

II. TÍNH TH  TÍCH Ể

1. Th  tích c a v t th ể ủ ậ ể

S(x)

x

( )

b

a

S(x)

(1)

Ví d   ụ

1 Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.

S(x)=B

h

x

O

x

Gi i: ả

Ch n tr c Ox song song v i ọ ụ ớ

đường cao c a kh i lăng tr , còn ủ ố ụ

hai đáy n m trong hai m t ph ng ằ ặ ẳ

vuông góc v i Ox t i x=0 và x=h. ớ ạ

V y m t m t ph ng tu  ý vuông ậ ộ ặ ẳ ỳ

góc v i tr c Ox, c t lăng tr  theo ớ ụ ắ ụ

thi t di n có di n tích không đ i ế ệ ệ ổ

S(x)=B; (0< x <h)

Áp dụng CT (1) ta có:

Bh Bx

dx x

S V

h h

h

0 0

0

) (

2. Th  tích kh i chóp và kh i chóp c t  ể ố ố ụ

x

O

B

S(x)

h x

a) Cho kh i chóp có di n tích đáy b ng B và  ố ệ ằ

a) Cho kh i chóp có di n tích đáy b ng B và  ố ệ ằ

chi u cao b ng h. Tính th  tích kh i chóp đó ề ằ ể ố

chi u cao b ng h. Tính th  tích kh i chóp đó ề ằ ể ố

Ta có:

( )

b

a

Xét phép:

( ) ( ) 22

2 2

0

:

3

x

h

O

h

x

h

h

=

�

A

b) T  công th c và cách tính th  tích kh i ừ ứ ể ố

b) T  công th c và cách tính th  tích kh i ừ ứ ể ố

chóp, hãy xác đ nh công th c tính th  tích  ị ứ ể

chóp, hãy xác đ nh công th c tính th  tích  ị ứ ể

kh i chóp c t t o b i kh i chóp đ nh S có  ố ụ ạ ở ố ỉ

kh i chóp c t t o b i kh i chóp đ nh S có  ố ụ ạ ở ố ỉ

di n tích hai đáy l n l ệ ầ ượ t là B, B và chi u cao  ề

di n tích hai đáy l n l ệ ầ ượ t là B, B và chi u cao  ề

b ng h ằ

b ng h ằ

B

B

x

N

M

a

b

OM=a; ON=b (a<b); MN=h

)

( 3

) (

3

) (

)

( 3

' '

2

2 2

3 3

2 2

2

B BB

B

h V

b

b ab

a a

b

B

a

b b

B dx

b

x B

V

b

a

,

S

3. Th  tích kh i tròn xoay: ể ố

3. Th  tích kh i tròn xoay: ể ố

a). Gi  s  hình gi i h n b i các  ả ử ớ ạ ở

đ ườ ng y = f(x), x = a, x = b, y = 0 

quay quanh tr c Ox ụ

T o thành m t v t th  tròn xoay  ạ ộ ậ ể

T.

•Thi t di n c a v t th  T, v i   ế ệ ủ ậ ể ớ

mp vuông góc v i Ox t i đi m  x,  ớ ạ ể

là m t hình tròn bán kính y = f(x) ộ

Di n tích thi t di n:  ệ ế ệ S(x) =  y2

Th  tích V c a v t th : ể ủ ậ ể

b

2 a

Ví d 2: Xét hình ph ng gi i h n b i đ  th   ụ ẳ ớ ạ ở ồ ị

hàm s       các đ ố ườ ng th ng x=1,  ẳ

x=2 và tr c hoành. Tính th  tích kh i tròn  ụ ể ố

xoay t o thành khi quay hình ph ng đó quanh  ạ ẳ

tr c hoành ụ

2

x y

1 2

y

5

31

2

1

x V

Đáp số

Bạn giỏi

quá!

Ví dụ 3:

Cho hình ph ng A gi i h n b i các  ẳ ớ ạ ở

thể tích c a ủ  kh i ố  tròn xoay t o ạ  thành 

Đáp số

Đúng rồi!

8

) 2

( cos

4

0

V

Ví d  4: ụ

Tính th  tích c a ph n v t th  gi i h n  ể ủ ầ ậ ể ớ ạ

b i hai m t ph ng x=0 và x=3, bi t r ng  ở ặ ẳ ế ằ thi t di n c a v t th  b  c t b i m t  ế ệ ủ ậ ể ị ắ ở ặ

ph ng vuông góc v i tr c Ox t i đi m có  ẳ ớ ụ ạ ể hoành đ  x (0<x<3) là m t hình ch  nh t  ộ ộ ữ ậ

có hai kích th ướ2 9c là x và  x2

Đáp số

dx x x

V

3

0

2

9 2

Bạn giỏi quá!

11