Mục đích nghiên cứu đề tài là tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao và tạo cho học sinh có hứng thú học tích phân, đặc biệt giúp học sinh chủ động khi đứng trước những loại tích phân kiểu này.
Trang 1S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HÓA Ở Ụ Ạ
Trang 2THANH HÓA NĂM 2016
Trang 3ki nế 2
2.2 Th c tr ng v n đự ạ ấ ề trước khi áp d ng sángụ
ki n.ế 3
2.3 Các gi i pháp sả ử d ngụ để gi i quy t v nả ế ấ đề 3
2.3.1 S d ng m t s k t qu “đ p” c a hàm s đ tính tíchử ụ ộ ố ế ả ẹ ủ ố ể phân 3
t ự 18
ki nế 19
Trang 5Cho đ n ngày nay tích phân r t quan tr ng trong b môn Gi i tích toánế ấ ọ ộ ả
h c, nó có nhi u ng d ng nh : Tính di n tích hình ph ng, th tích v t thọ ề ứ ụ ư ệ ẳ ể ậ ể,
th tích kh iể ố tròn xoay , chính vì quan tr ng nh v y đã đ a vào gi ng d yọ ư ậ ư ả ạ
chương trình Gi i tích l p 12. H n th n a, trong m t s đ thi Đ i h c vàả ớ ơ ế ữ ộ ố ề ạ ọ
đ thi h c sinh gi i toán có nh ng bài tích phân không d dàng chút nào, đề ọ ỏ ữ ễ ể làm được nó chúng ta ph i có m t cái nhìn th t khéo léo và tinh t c ng v iả ộ ậ ế ộ ớ
s hi u bi t c a mình v m t s tính ch t c a hàm s thì bài toán đự ể ế ủ ề ộ ố ấ ủ ố ược gi iả quy t m t cách nh nhàng. ế ộ ẹ
V i hy v ng giúp h c sinh h c t t h n ph n tích phân, nh t là h c sinh ônớ ọ ọ ọ ố ơ ầ ấ ọ thi Đ i h c và thi h c sinh gi i toán, tôi m nh d n đ xu t sáng ki n c aạ ọ ọ ỏ ạ ạ ề ấ ế ủ mình “S d ng m t s k t qu “đ p” c a hàm s và tích phân liên k t đ ử ụ ộ ố ế ả ẹ ủ ố ế ể tính tích phân”
1.2. M c đích nghiên c uụ ứ
Tìm ra ph ng pháp d y h c phù h p v i h c sinh vùng cao và t o choươ ạ ọ ợ ớ ọ ạ
h c sinh có h ng thú h c tích phân, đ c bi t giúp h c sinh ch đ ng khi đ ngọ ứ ọ ặ ệ ọ ủ ộ ứ
trước nh ng lo i tích phân ki u nàyữ ạ ể
1.3. Đ i tố ượng nghiên c uứ
S d ng m t s k t qu “đ p” c a hàm s và tích phân liên k t đ tínhử ụ ộ ố ế ả ẹ ủ ố ế ể tích phân
1.4. Phương pháp nghiên c uứ
Trong quá trình nghiên c u sáng ki n tôi đã s d ng nh ng phứ ế ử ụ ữ ương pháp sau:
+) Phương pháp nghiên c u lí lu n: Nghiên c u sách giáo khoa, sách thamứ ậ ứ
kh o và m t s tài li u khác có liên quan đ n đ tàiả ộ ố ệ ế ề
+) Phương pháp s ph m: Thông qua các ti t gi ng d y trên l pư ạ ế ả ạ ớ
+) Phương pháp quan sát: Quan sát d y và h c Trạ ọ ở ường THPT Mường lát
2. Nôi dung sáng ki nế
2.1. C s lí lu n c a sáng ki nơ ở ậ ủ ế
Trình bày m t s k t qu c a hàm s nh : Hàm s ch n, hàm s l , hàmộ ố ế ả ủ ố ư ố ẳ ố ẻ
s tu n hoàn , mà tôi g i đó là k t qu “đ p’’ vào tính m t s bài toán tíchố ầ ọ ế ả ẹ ộ ố phân là r t c n thi t, s d trong chấ ầ ế ở ỉ ương trình Gi i tích 12 không trình bàyả
nh ng k t qu nêu trên vào vi c tính tích phân, đôi khi ta g p nh ng bài toánữ ế ả ệ ặ ữ tích phân mà hàm dướ ấi d u tích phân là hàm l và c n l y tích phân trên m tẻ ậ ấ ộ
đo n là t p đ i x ng, hay khi g p hàm tu n hoàn mà c n l y tích phân quáạ ậ ố ứ ặ ầ ậ ấ
Trang 6s c tứ ưởng tượng (c n quá l n) và b n gi i quy t tích phân đó cũng ph i m tậ ớ ạ ả ế ả ấ vài trang gi y, l i gi i c ng k nh ch c gì đã thành công. H n n a vi c trìnhấ ờ ả ồ ề ắ ơ ữ ệ bày nh ng k t qu nêu trên là vi c r t c n thi t trong lúc này nó giúp chúng taữ ế ả ệ ấ ầ ế
ti t ki m đế ệ ược th i gian đ có th gi i nh ng bài toán đó m t cách nhanhờ ể ể ả ữ ộ chóng và ng n ng n ắ ọ
2.2. Th c tr ng v n đ trự ạ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki nụ ế
Khi d y bài Nguyên hàm tích phân tôi th y ph n l n h c sinh n m bàiạ ấ ầ ớ ọ ắ
ch a sâu, lí do đây các em h c ph n đ o hàm ư ở ọ ầ ạ ở ớ l p dướ ch a thành th o.i ư ạ
H n n a đ tài này có r t ít tài li u vi t v nó và tôi đã quan tâm v i hy v ngơ ữ ề ấ ệ ế ề ớ ọ không nh ng có thêm tài li u tham kh o cho hoc sinh mà còn đữ ệ ả ược gi ng d yả ạ
Tr ng THPT
ở ườ
Trong quá trình d y và h c tôi luôn quan tâm d y làm sao cho h c sinhạ ọ ạ ọ
hi u bài t t nh t, v i s đam mê và n l c c a mình đ tài này đã để ố ấ ớ ự ổ ự ủ ề ược các
em h c sinh khá gi i n ng nhi t họ ỏ ồ ệ ưởng ng, đó cũng là bứ ước đ u thành côngầ
c a tôiủ
2.3. Các gi i pháp đã s d ng đ gi i quy t v n đả ử ụ ể ả ế ấ ề
2.3.1. S d ng m t s k t qu “đ p” c a hàm s đ tính tích phân ử ụ ộ ố ế ả ẹ ủ ố ể
K t qu 1:ế ả N u hàm s ế ố f x liên t c và là hàm l trên ụ ẻ a, a thì a
a dx x
a
dx x f dx x f dx x f I
V i tích phân ớ 0 ,
a dx x
f ta đ i bi n ổ ế x t dx dt
a a
dx x f dt t f dt
t f dx
x
f
0 0
0 0
dx x
1 0
1 0
0
1
2016
dx x f dt t f dt t f dt t f dx x
f
Trang 7Ví d 1.ụ 2: Tính tích phân I x x dx
1 1
ln
1 0
2 0
1
x x
t t
dt t t J
1
2 2
0 1
2
1
1 ln 1
t t
dt t t
1
1 ln 1
1 ln
ln 1 ln 1 2
1 0 2 1
2
x x
x x
x f
Do đó f x là hàm l trên ẻ R nói riêng là l trên đo nẻ ạ 1 ; 1
Theo K t qu 1, suy ra ế ả I 0
Ví d 1.3: ụ Tính tích phân dx
x
x x
I
2
2 ln cos
1 1
2
2 ln cos 2
2 ln cos
1 0
0 1
dx x
x x
dx x
x x
V i tích phânớ dx
x
x x
J
0
2 ln cos , ta đ i bi n ổ ế x t dx dt.
2
2 ln cos 2
2 ln cos 2
2 ln
0
1 0
0 1
dx x
x x
dt t
t t
dt t
t t
x f
2
2 ln cos liên t c trên đo n ụ ạ 1 ; 1 và x 1 ; 1 ,
x
x x
x
x x
x
f
2
2 ln cos 2
2 ln
I
Trang 8Gi i: ả Đ t ặ ,
4
; 4 ,
2016 sin
x x
x f x f x x
x x
x
f 2016 sin 2016 2016 sin 2016 là hàm s l trên ố ẻ
4
; 4
Theo K t qu 1, ta đế ả ược I 0
Nh n xét: ậ V i bài toán trên n u ta s d ng phớ ế ử ụ ương pháp tích phân t ngừ
ph n thì đây qu là m t bài toán r t khó ch u.ầ ả ộ ấ ị
Ví d 1.5: ụ Ch ng minh r ng ứ ằ 2
0
0 sin
Hàm s ố f t sin sint nt liên t c trên ụ ; và f t sin sin t nt
sin sint nt sin sint nt f t f t là hàm l trên ẻ ;
nh K t qu 1 suy ra ờ ế ả I 0
Nh n xét: ậ Rõ ràng s ti n l i c a K t qu 1 mà ta có th áp d ng cho m tự ệ ợ ủ ế ả ể ụ ộ
s bài toán tích phân mà c n c a nó không đ i x ng. ố ậ ủ ố ứ
K t qu 2:ế ả N u hàm s ế ố f x liên t c và là hàm ch n trên ụ ẵ a, a thì
2
0
dx x f dx x f a
a
dx x f dx x f dx x f I
V i tích phân ớ 0 ,
a dx x
Trang 9Khi đó 1
0
0 1
1 0
1 0
0
1
2016
dx x f dt t f dt t f dt t f dx x
x f x f x x
x
f cos 5 cos 5 là hàm ch n trên ẵ
3
; 3
Theo K t qu 2, ta có ế ả I cos xdx 2 cos xdx 23 cos x cosxdx
0
2 2 3
0 5 3
3 5
3
0
4 2
3 0
2
sin 1
16
3 17 32
3 9 4
3 2
3 2 sin
5
1 sin 3
2 sin
cos
1 3
x
x x x I
3 2 3
3
2
3 5
cos cos
3 2
x
dx dx
x
x x x I
3
; 3
, cos
3 2
2
3 5
x x
x x x x
x f x f x
x x x x
x x x
x
f 5 2 3 5 2 3
cos
3 2 cos
3
3
; 3
Theo K t qu 1, ta đế ả ược 0
cos
3 2
3
3
2
3 5
dx x
x x x
x I
Ví d ụ2.4: Tính tích phân dx
x
x x
Trang 10Gi i:ả Ta có dx
x
x x
x x
x
x I
f l trên đo n ẻ ạ 1 ; 1 nên t K t qu 1 ta có ừ ế ả I1 0
f ch n trên đo n ẵ ạ 1 ; 1 nên t K t qu 2 ta cóừ ế ả
dx x
x dx
x
x I
0
2 2
1 0 2
4 1
0 2
4
1 1 2
1
1 1 2
1 2
x
dx x x
x dx x dx
0 2 1
0 2 1
0
3 1
0
1 0 2
2
1
1 2 3
4 1
1 2 3
2 1
1 2 1 2
Đ i bi n ổ ế x tant dx 1 tan 2t dt
Khi đó
3
4 2
2 3
0
dt I
Nh n xét: ậ T K t qu 1 và K t qu 2 d n đ n m t k t qu “chung” sau ừ ế ả ế ả ẫ ế ộ ế ảđây
K t qu 3: ế ả N u ế f x là hàm liên t c trên ụ a; a thì a f x dx f x f x dx
0 0
Đ i bi n ổ ế x t dx dt
a a
dx x f dt t f dt t f dx x
f
0 0
0 0
dx x f x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx
x
f
0 0
0 0
I n u ế f x f x 2x tanx
0 3
3
0
3
dx x f dx x f dx x f
Đ i bi n ổ ế x t dx dt
Trang 11Khi đó 3
0
3 0 0
3
0
3
dx x f dt t f dt t f dx x
0
3 0
3 0 3
3
cos
sin 2 tan
x
x x
dx x x
dx x f x f dx
x
f
9 cos
ln cos
cos
0 2
3 0
3 0
x x
x
x d xdx
Ví d 3.2: ụ Cho hàm s ố f x liên t c trên ụ R th a mãn ỏ f x f x 2 2 cos 2x.
Tính 2
3
2 3
dx x f
0
2 3
0
2 3
2 3
sin 2 2
cos 1 2 2
cos 2 2
2 sin sin 2 cos cos 2 6
3
0 0
2 3
x x
xdx xdx
Nh n xét: ậ N u chúng ta không bi t đ n K t qu 3 thì vi c tính tích phânế ế ế ế ả ệ trên vô cùng khó khăn vì gi thi t ch a đ đ xác đ nh đả ế ư ủ ể ị ược hàm s ố f x.
H n n a s ti n l i c a nó là tính ơ ữ ự ệ ợ ủ a
a dx x
a a
a x
1 1
0
dx k
x f dx k
x f dx k
x f I
a x
x f a
x ta đ i bi n ổ ế x t dx dt
1 1 1
t
t a
t a
t a
k
x f k dt k
t f k dt k
t f dt k
t f dx
k
x f
(do f x là hàm ch n)ẵ
1 1
x f dx k
x f k dx k
x f I
a a
x
a x
x a
a
Trang 12Ví d 4.1: ụ Tính tích phân I x x dx
1 1
2
1 3
1 3 1
3 1
3
1 0
2 0
1
2 1
1
2
dx
x dx
x dx
x
V i tích phân ớ ,
1 3
0 1
1 1
3 1
3
1 0
2 1
0
2 1
0
2 0
1
2 0
1
2
dx
x dt
t dt
t dt
t dx
x
x
x t
3 1
3
3 1
3
1 0
3 1
0 2 1
0
2 1
0
2 1
1
dx x dx
x dx
x dx
1 0
3 1
0
dx x I
Ví d 4.2: ụ Tính tích phân I 2 x x x dx
2
2
1 2016 sin
Gi i: ả Hàm f x x2 sinx liên t c và là hàm ch n trên ụ ẵ
0
x I
Đ t ặ v du xdx x
xdx dv
x u
cos
2 sin
2
0
2 0
2 0
x I
Đ t ặ
x v
dx du xdx
dv
x u
sin cos
Khi đó 2 sin 2 sin 2 cos 2 2
0
2 0
2 0
x xdx
x x I
Ví d 4.3: ụ Tính tích phân I 4 x x x dx
4
6 6
1 6 cos sin
Trang 13Gi i: ả Hàm f x sin 6x cos 6x liên t c và là hàm ch n trên ụ ẵ
2 2 3
2 2
4 0
2
2
4 cos 1 4
3 1 2
sin 4
5 4 sin 32
3 8
5 4 cos 8
0
4 0
x x dx
I 2 x
2
1
5 cos 2 sin sin
5 cos 3 cos cos 2
1 5
cos 2 sin sin
x x x x dx 2 x x x x dx
0
2 0
8 cos 2 cos 6 cos 4 cos 4
1 5
cos 3 cos 5 cos cos 2 1
8
1 2 sin 2
1 6 sin 6
1 4 sin 4
1 4
0
x x
x x
K t qu 5: ế ả N u hàm ế f x liên t c trên đo n ụ ạ a; b th a mãn ỏ f x f a b x
dx x f dx
x xf
Trang 14Ta có f x dx f x dx f x dx
2
2 0 0
sin sin
sin
Đ i bi n ổ ế x t dx dt
0 0
2
0 2
dx x f dx x f dx x f dx x f
dx x f dx x f
Gi i: ả Hàm f x sin 3x liên t c trên đo n ụ ạ 0 ;
Ta có f a b x f x sin 3 x sin 3x f x
Theo k t qu 5 suy ra ế ả
0
2 0
3 0
2
sin 2
x I
3
2 cos
3
1 cos 2 cos
cos 1
3 0
Ví d 5.2: ụ Tính tích phân 2
0
2016 2016
2016
cos sin
x x
x I
2
2016 2016
2016
cos sin
cos 2
cos 2
sin
2
sin
dt t t
t dt
t t
t I
2
2016
cos sin
x x
x
4 2
cos sin
cos sin
0
2 0
2016 2016
2016 2016
I dx
dx x x
x x
I
Nh n xét: ậ Nh đ ng th c (3) ta d dàng ch ng minh bài toán t ng quát sauờ ẳ ứ ễ ứ ổ
R n dx
x x
x dx
x x
x
I n n n n n n
4 cos
sin
sin cos
sin
0
2 0
Ví d 5.3: ụ Tính tích phân I x x x dx
0
2
cos sin (H c vi n Ngân hàng, 1998) ọ ệ
Trang 15Gi i: ả Ta có I x x x dx x x x dx
0
2 0
cos sin
Xem hàm f sinx sinx1 sin 2x nh đ ng th c (1) ta nh n đờ ẳ ứ ậ ược
3
cos 6 cos
cos 2 sin
cos 2 cos
sin
0
3 0
2 0
2 0
x x
I
Ví d 5.4: ụ Ch ng minh r ng ứ ằ n xdx 2 n xdx n
0
2 0
cos sin
Gi i: ả Đ i bi n ổ ế x t dx dt
2
0 0
2
2 0
2
0
cos cos
2 sin
f
Ví d 6.1: ụ Tính tích phân 4
0
1 tan
4
4
2 ln 1
tan 1
tan 1 ln 1
4 tan
t
dt t
t dt
t I
8 2
ln 4 2 ln 2 2
ln 1
tan ln 2
0
4 0
4 0
4
0
I t
I I dt dt
t dt
Ví d 6.2: ụ Tính tích phân dx
x x
x x
I 2
0
3
cos sin
cos 4 sin
x x
dt t t
t t
dt t t
t t
0
3 2
0
3 0
2
3
cos sin
sin 4 cos 5 cos
sin
sin 4 cos 5 cos
sin
sin 4 cos 5
x x
x x
dx x x
x x
dx x x
x x
0
3 2
0
3 2
0
3
cos sin
cos sin
cos sin
sin 4 cos 5 cos
sin
cos 4 sin 5 2
Trang 1621tan 4 1 21
4 cos
2 cos
sin
2 0
x dx
Nh n xét: ậ B ng phép đ i bi n ằ ổ ế x t
2 và làm tương t Ví d trên ta dự ụ ễ
x x
x b x a dx x x
x b x a
n n
2 0
2
sin cos
cos sin
cos sin
Ví d 6.3: ụ Tính tích phân 2
x x
x I
Gi i: ả Đ i bi n ổ ế x t dx dt
2
x x
x dt
t t
t dt
t t
t
0
2 0 0
2
sin cos
sin sin
cos sin 2
cos 2
sin
2 cos
Suy ra
4 2
sin cos
sin cos
2
0
I dx
dx x x
x dx
x x
x I
K t qu 7: ế ả N u hàm sế ố f x liên t c trên ụ R và tu n hoàn v i chu kì ầ ớ Tthì
R a dx x f dx x f
T a
a
dx x f dx x f dx x f dx x f I
Đ i bi n ổ ế x t T dx dt
T
dx x f dt t f dt T t f dx x f
0 0
0
2
0 0
0
a
dx x f dx x f dx x f dx x f I
dx x f dx x f
2 0
2 0
4 2
2 0
4
0
sin 1 2
dx x f dx x f dx
x
f
I
Trang 172
0
2 0
2 0
2
4 2 sin 2 2 2
cos 2 sin 2 2
cos 2 sin
2 3
2 3
2 2
4 2 cos 2 4
2 cos 2 2
2 3 2
3
0
x x
Ví d 7.2: ụ Tính tích phân 2016
0
2 cos
2 0
dx x f dx x f
0
2016 2015
2015 2014
2 0
f
I
0 0
2 0
sin 2 2016 sin
2 2016 2
cos 1
cos sin
4
10 9
dx x
x x I
Gi i: ả Ta có
x
x x
x f
16 cos 1
cos sin
8
10 9
là hàm tu n hoàn v i chu kì ầ ớ T 2 nên t K từ ế
x
x x dx
x
x x dx
x
x x I
16 cos 1
cos sin 16
cos 1
cos sin 16
cos 1
cos sin
8
10 9 2
0
8
10 9 4
2
8
10 9
Ngoài ra f x là hàm s l trên đo n ố ẻ ạ ; nên t K t qu 1 suy ra ừ ế ả I 0
Bài t p tậ ương t : ự Tính các tích phân sau
x
x x
I
2
2 ln
Trang 18Hướng d n: D th y ẫ ễ ấ f x cosx là hàm ch n trên ẵ
x x
6) 2
2
3
cos cos
0
2
sin 3
sin
Đs:
8
3 ln
sin 1
cos 1
I
Trang 19I g p nhi u khó khăn, ta đi tìm m tặ ề ộ
tích phân b
a dx x g
J sao cho vi c tính hai tích phân ệ 1I 1J và 2I 2J đ nơ
gi n. Khi đó vi c tính ả ệ I ho cặ J b ng cách gi i h ằ ả ệ
2 2 2
1 1 1
J I
J I
Người ta nói I và J là hai tích phân liên k t v i nhauế ớ
Ví d 1: ụ Tính tích phân 4
x x
x I
Gi i: ả Xét tích phân 4
x x
x J
4 cos
dx dx x x
x x
4 0
cos sin
ln cos
sin
cos sin
cos sin
cos
x x
x x
d dx x x
x x
T (1) và (2) suy ra ừ
4
2 ln 8
I
Nh n xét: ậ N u bài toán yêu c u tính tích phân ế ầ J ta cũng có
4
2 ln 8
J
Ví d 2: ụ Tính tích phân 1
0
dx e e
dx dx e e
e e J
I x x x x
2
1 ln
0
1 0
1
e e
e e
e
e e d dx e e
e e J
x x
x x x
x
x x
T (1) và (2) suy ra ừ
2
1 ln 2
I
Trang 20Ví d 3: ụ Tính tích phân 3
0
2
cos 3 sin
x x
x I
Gi i: ả Xét tích phân 3
0
2
cos 3 sin
x x
x J
0
3 0
2 2
cos 3 sin
cos 3 sin cos 3 sin cos
3 sin
cos 3 sin
x x
x x
x x
dx x x
x x
x x
dx x x
3 0
3 0
3 0
2 2
3 sin 2
1 cos 2
3 sin 2
1 2
1 cos
3 sin
cos sin
x
dx x
x
dx dx
x x
x x
6 2 tan 2
1 6 2
cos 6 2 tan 2
1
x
x d x
x dx
ln 3 2
2
1 6
2 tan ln 2
3 ln 3
I
x b x a
x I
cos sin
sin 2
x b x a
x J
cos sin
2 sin 2
cos 2
cos cos
0
4 0
4 0
2
xdx xdx
x x
J
I
Trang 214
0
4 0 2
4 0
2 2
2
4 cos 1 2
cos 2
cos sin
4 sin 2
4 0
x x
x x
x I
Gi i: ả Xét tích phân 3
6
cot tan
x x
x J
6 cot
x x J
I
6
2 2
3
6
2 2
3
6
cos sin
cos sin
1cossin
cos sin
cot tan
cot
x x
x x
x x
dx x x
x x J
I
2
2 sin 2
x J
0
2 2
0
3
cos 3 sin cos
3 sin
cos 3 sin 3
x x
dx dx
x x
x x
J I
6 cos
4 1 6
cos 2
2 0
dx x
dx
Trang 222
0
3 2
0
3
cos 3 sin
cos 3 sin cos
3 sin
sin 3 cos
x x
x x
d dx x x
x x
I J
3
1 cos
3 sin 2
0 2
x x
x
2
3 3
I
x x
x x
2.4. Hi u qu sáng ki nệ ả ế
Hi u qu th nghi m sáng ki n đ u năm h c 2015 – 2016 tôi đã ch nệ ả ử ệ ế ầ ọ ọ nhóm 20 h c sinhọ có h c l cọ ự t trung bình, khá đ n gi i Trừ ế ỏ ường THPT
Mường lát, đ th c hi n đ tài bể ự ệ ề ước đ u h c sinh ch a có h ng thú h c vàầ ọ ư ứ ọ
k t qu thu đế ả ược nh sau:ư
Nhóm Gi iỏ Khá Trung bình
20 h c sinhọ 3 15% 7 35% 10 50%
K tế qu th nghi m đ n cu i tháng ả ử ệ ế ố 4 năm h c 2015 – 2016, h c sinh hi uọ ọ ể
được bài và ham h c tìm tòi m t s bài toán có liên quan t i bài h c. Qua đóọ ộ ố ớ ọ tôi đã thu được k t qu nh sau:ế ả ư
Nhóm Gi iỏ Khá Trung bình
Trang 2320 h c sinhọ 7 35% 9 45% 4 20%
Rõ ràng t b ng k t qu thu đừ ả ế ả ược qua m t năm th c hi n đ tài nàyộ ự ệ ề , k tế
qu là h c sinh h c ph n ả ọ ọ ầ tích phân qua đ tài ề “S d ng m t s k t qu ử ụ ộ ố ế ả
“đ p” c a hàm s và tích phân liên k t đ tính tích phân” ẹ ủ ố ế ể có ti n b rõ r t.ế ộ ệ
3. K t lu nế ậ
3.1. K t lu nế ậ
Nhu c u c n thi t c a ngầ ầ ế ủ ườ ọi h c toán là bi t v n d ng và ti p thu nh ngế ậ ụ ế ữ
n i dung và phộ ương pháp gi i toán hay, qua th i gian nghiên c u và th c hi nả ờ ứ ự ệ
đ tài tôi đã thu đề ược nh ng k t qu sau:ữ ế ả
+) Gi i quy t đả ế ược m t s bài toán tích phân đi n hình liên quan đ n độ ố ể ế ề tài
+) Trình bày m t s bài toán t ng quát sau m i Ví d c thộ ố ổ ỗ ụ ụ ể
+) S d ng tích phân liên k t đ gi i toánử ụ ế ể ả
Đ i v i các hàm s dố ớ ố ướ ấi d u tích phân có các tính ch t đ c bi t nh đãấ ặ ệ ư trình bày trên thì vi c l a ch n phở ệ ự ọ ương pháp gi i là r t quan tr ng, chính vìả ấ ọ
v y mà đ tài này tác gi đã d n d c các em h c sinh có cái nhìn sâu h n vậ ề ả ẫ ắ ọ ơ ề
Đ tài này tôi mong r ng c n gi i thi u cho h c sinh và giáo viên gi ngề ằ ầ ớ ệ ọ ả
d y b môn Toán, đ c bi t là giáo viên ôn thi h c sinh gi i và h c sinh thiạ ộ ặ ệ ọ ỏ ọ
Đ i h c cao đ ng, dù tôi đã c g ng r t nhi u nh ng cũng không tránh ạ ọ ẳ ố ắ ấ ề ư kh iỏ
nh ng thi u sót nh t đ nh, r t mong quý đ c gi góp ý cho l n đ tài sauữ ế ấ ị ấ ọ ả ầ ề
được hoàn ch nh h n. Tôi xin thành th t c m n ỉ ơ ậ ả ơ
Ý KI N C A TH TRẾ Ủ Ủ ƯỞNG
Đ N VƠ Ị Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do tôi nghiên c u và th c hi n, không copyứ ự ệ
c a ngủ ười khác
Đ Đình B ngỗ ằ