Nguyên hàm và tích phân

He thong cac phuong phap tinh tich phan, tich phan ham phan thuc, ham so luong giac

Trang 1

chuyên đề 5

nguyên hàm và tích phân

I Các phơng pháp tính tích phân

1 Phơng pháp đổi biến số

a Đổi biến số dạng 1 Tính tích phân ∫b ( )

a

dx x f

Đặt x = u(t) ⇒ dx = u’(t)dt

Đổi cận:

Với x = a ⇒ t = α với u(α) = a

Với x = b ⇒ t = β với u(β) = b

Biến đổi f(x)dx = f(u(t))u’(t)dt = g(t)dt

Tính ∫b ( )

a

dx x

f = ∫β ( )

α

dt t g

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a 1 x dx

1

0

2

0 2

x 1 dx

* ứng dụng: Đổi biến số dạng 1 thờng đợc dùng để khử các dạng đặt biệt của hàm số trong dấu tích

phân nh a 2 ± x 2 ; x 2 − a 2 ; 1 + x2

b Đổi biến số dạng 2 Tính tích phân ∫b ( )

a

dx x f

Đặt t = u(x) ⇒ dt = u’(x)dx

Đổi cận:

Với x = a ⇒ t = u(a)

Với x = b ⇒ t = u(b)

Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt

Tính ∫b ( )

a

dx x

f = ( )

( )

∫b

u

a u

dt t g

Ví dụ 3: Tích các tích phân sau

a ∫1( + )

0

3

1









3 2

3

2 3 cos

π

dx

π

2

ln

e

e x x dx

d ∫2 −

1 2x 1

dx

e

1

2

1 2x

dx

f ∫2 + π

0

dx 3cosx 1

sinx

g ∫e +

1

dx x

lnx

1

* ứng dụng: dùng để chuyển tích phân về dạng công thức tích phân, các tích phân mà biểu thức trong

dấu tích phân có dạng f(u(x)).u’(x)dx

2 Phơng pháp tính tích phân từng phần.

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

a

b

a

b

x v x u dx x v' x u

a

b

a

b

uv udv

Trang 2

Ví dụ 4 Tính các tích phân sau:

a ∫2

1

5 dx

x

lnx

b ∫2 π

0

x dx xe

3 Bài tập tổng hợp









 +

4

2

1

dx x

5

2

4











+ +

1

0

2

1

3

dx x

e x

4 ∫3 + −

dx

e

e e x

x x

∫5 +−

ln

1

6 ∫4 0

3 sin4

π

e

7.∫2 ( + )

1

e

dx x

x

1

2

1

ln

9 ∫ ( + + )

1

0

ln x x dx x

10 ∫1 −

0

2 dx

xe x

11 ∫2 0

cos

π

x xdx

0

x

2 e dx x

II Tích phân của các hàm số phân thức

1 Phơng pháp chung:

Phân thức hữu tỷ có dạng: ( )

( )x Q

x P , trong đó P(x), Q(x) là những đa thức của biến số x

1 Cho hàm số f(x) = ( )

( )x Q

x P

, bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)

a Trờng hợp 1: Q(x) = (x - a)m… (x - b)n (hay Q(x) = 0 có nghiệm)

Biến đổi f(x) thành tổng của các phân thức đơn giản và xác định các hệ số A1; A2; ; A… m, B1; B2; ; …

Bn sao cho:

f(x) = ( 1 ) ( 2)2 ( m) (m 1 ) ( 2 )2 ( n )n

b x

B

b x

B b

x

B a

x

A

a x

A a

x

A

− + +

−

+

−

+

− + +

−

+

− Việc tính các hệ số A1; A2; ; A… m, B1; B2; ; B… n thờng đợc thực hiện bằng cách đồng nhất thức các

hệ số

b Trờng hợp 2; Q(x) có các nghiệm α, β, ta phân tích Q(x) = (x - α)n(x - β)m và chuyển về trờng hợp 1

c Trờng hợp 3: Q(x) = x2 + bx + c mà Q(x) = 0 vô nghiệm , ta biến đổi

Q(x) = x2 + bx + c =  + − 







 +

4 2

2 2

b c b

2

b

d Trờng hợp 4: f(x) = ( )

(ax2 bx c)(a'x2 b'x c')

x P

+ + +

+

Trong trờng hợp này, ta thờng biến đổi nh sau:

(ax2 bx c)(a'x2 b'x c')

x P

+ + +

D Cx c

bx ax

B Ax

+ +

+

2

Việc tính các hệ số A, B, C, D bằng cách đồng nhất các hệ số

e Trờng hợp 5: ∫α β ++ + dx

c bx ax

n mx

2

c bx ax

B c

bx ax

b ax A c bx ax

n mx

+ +

+ + +

+

= + +

+

2 2

2

2 Hay mx + n = A(2ax + b) + B

Trang 3

Các hệ số A, B đợc xác định bằng phơng pháp đồng nhất thức.

2 Cho hàm số f(x) = ( )

( )x Q

x P

, bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x)

Ta thực hiện phép chia tử cho mẫu:

f(x) = ( )

( )x

Q

x

P

= g(x) + ( )

( )x Q

x h

, bậc của h(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)

2 Các bài tập vận dụng

Bài 1 Tính các tích phân sau:

a ∫3 −

2 2x 3

dx

b ∫1( − ) 0

3

3 2x

dx

c ∫3 −

2

x dx

d

dx

e ∫1 − +

0

x dx

a ∫1 +

0

x

dx

b ∫a +

0

2

x

dx

c ∫1 + +

0

x dx

a ∫3 −− +

2

1 3x 2x

3 4x

5 4x x

1 2x

1

0 2

− − +

+ +

0

1 2

2

dx 2 3x x

3 3x 3x

d ∫1 ++ ++

0

2

dx 9 2x

x

10 3x

x

e ∫1 + + + + +

0 2

2 3

dx 9 2x x

1 10x 2x

x

g

1

0

2

1 x 1 x xdx

h ∫1( − +) ( ++ )

0

2 2

2

dx 1 x 3

x

9 6x 5x

i ∫ ( + ) ( + )

−

1

0

1 x 2 x

2 4x

∫

−

− + +

+

1

2

1

x x

dx x

b ( ) ( )dx

x x

x

∫1 + − +

0

2

2 4

c ∫1 + +

0

2

x dx

x x

∫

− − +

+ +

0

1

3

2

2 3

3 3 3

e ∫3 +

1

3 3x

x

dx

∫1 ++ +

0

11 4

dx x x x

3 Bài tập về nhà:

Tính các tích phân sau:

1 ∫1 +

0

2 dx

x

1

2x

2 ∫3 + 1

3 3x

x

dx

a ∫1 − − +

0

6 5x x

3 5x

∫

− − +

+

0

1

x

dx 1 x

c ∫ ( + )

1

0

2 2

x 1

xdx

1 x

2x

3

2 2

3

e ∫1 +

0

2

dx x

1

x

f ∫2 +−

1 4

2

dx x 1

1 x

g ∫2 +

1 4

x 1 dx

h ∫

− − +

0

1

x

dx

1 ∫1 + +

dx

2 ∫1 −

0

2 2

x 4

dx x

3 ∫1 +

0

e

dx

4 ∫1 +

0

2

dx 1 x x

Trang 4

5 ∫ − −

1

0

x

e

dx

6 ∫ ( + + )( − + )

1 3x x 1 5x x

1 x

2 2

2

7 ∫1 +

xdx

8 ∫a −

0

2 2

0

2

0

6 5x x

11 4x

11 ∫1 ++

2

dx

x

1

x

1

12 ∫1 +

0

2 1 dx

x 13 ∫2 + +

3

dx 1 2x x

x

14 ∫2 −

2

dx x 1 x

15 ∫1 ++

0

6

4

dx

1

x

1

x

16 ∫1 + +

0

2

1 x x

x

17 ∫12 +− 4

2

dx x 1

x 1

18 ∫ ( + ) +

1

0 1 xn n 1 xn

dx

, n = 1, 2, …

19 ∫

+

−

+

2

5

1

2 4

2

dx 1 x

x

1

3

x 1

dx x

21 ln2∫ +−

0 x

x

dx e 1

e 1

22

1

2 x 1 x

dx

23 ∫3 −

2

2 1 dx

0

2 1 dx

x 25 2∫3 +

dx

26 ∫2 + −

1

dx 1 x 1 x

27 ∫e +

1

dx x

lnx 3lnx

1

28 ∫3 ( − ) 2

2 x dx x

ln5

ln3

x

e

dx

30 ∫1( − ) 0

2x dx e 2 x

31 ∫3 x+1

xdx

32 ln2∫ +

2x

dx 1 e

e

33 ∫e( )

1

2dx

1

dx x

x ln 2 lnx

2

1

x

1

x

4

∫

− + 36 10∫

1

2xdx

dx

38 ∫1 +

0

e dx

1

3x

1

x

3

7

0 3

−  − 

2

2 4

x

dx x sinπ

1

2 dx x

lnx

42 ∫1 ( − )

0

6 3

x

43 ∫

1

dx

II Tích phân của các hàm số lợng giác

1 Phơng pháp:

1 Tích phân dạng: ∫b

a

x.dx sinmx.sinn , ∫b

a

x.dx sinmx.cosn , ∫b

a

x.dx cosmx.sinn với m, n ∈ Z

Phơng pháp: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

2 Tích phân dạng: ∫b ( )

a

dx cosx sinx, f

a Thờng đặt t = tan

2 x

b Nếu f(- sinx, - cosx) = f(sinx, cosx) thì đặt t = tanx

(Chẵn đối với sinx và cosx)

a

n

m x.cos x.dx sin

a Nếu m, n dơng

- Nếu m lẻ thì đặt t = cosx

- Nếu n lẻ thì đặt t = sinx

b Nếu m, n chẵn thì dùng công thức hạ bậc

c Nếu m, n âm và cùng chẵn, cùng lẻ thì đặt t = tanx

Trang 5

a

m x.dx tan (m > 0)

áp dụng công thức d(tanx) = (1 + tan2x)dx

Biến đổi ∫b

a

m x.dx









a

2 2

m b

a

2 2

x cos

1 x tan x.dx

x.tan tan

= ∫ − ( )−∫b −

a

2 m b

a

2

tan

2 Bài tập minh hoạ:

Bài 1 Tính cách tích phân sau:

1 ∫4

π

0

π

0

3xcosxdx

π

0

x sin9xsinxd 4 ∫2

π

0

dx cos3xsin5x

5 ∫2

π

0

23xdx

0

4 xdx

π

0

3xdx

π

4 π

3xdx tan

9 ∫4

π

0

4

2xcos xdx

π

0

dx 5 3cosx 4sinx

6 7cosx sinx

1 ∫4

π

0

4x

cos

π

0

3

10xcos xdx

π

0

4

4x cos x dx sin

π

0

3

dx cosx 1

x 4sin

5 ∫2 +

π

0

2

3

dx x cos

1

x

0

x cos 1

xsinx

7 ∫3 π

0 cosx

π

0

2xdx xtan

9 ∫2 +

π

0

dx 1 cosx

−

+

2 π

3 π

4x tanxdx cos

x cos

x 2cot 1

3 π

6

2

π

0

2

x cos

13 ∫3

π

4

dx x xcos sin

cos2x

Bài 3 Cho hàm số f(x) =

sinx cosx

sinx +

a Tìm hai số A, B sao cho f(x) = A + B 









 +

− sinx cosx

sinx cosx

b Tính ∫2 ( )

π

0

dx x f

Bài 4

a Cho hàm số f liên tục trên (0; 1) Chứng minh rằng ∫ ( ) =∫2 ( )

π

0

2 π

0

dx cosx f dx sinx f

Trang 6

b Sử dụng kết quả để tính I = ∫2 +

π

0

3

cosx sinx

xdx cos và J = ∫2 +

π

0

3

cosx sinx

xdx sin

III Bài tập về nhà:

1 ∫2 ( + )

π

0

dx sin2x 3

π

0

dx 4cos2x 7

π

0

sinxdx 1

π

.0

dx 2sin2x 1

cos2x

5 ∫4

π

0

7

5

dx x cos

x

π

0

2sin2xdx

π

0

π

0

2

2cosx sinx

dx

9 ∫2

π

0

3xdx

π

01 sinx

π

0

4xdx sin

Bài 2 (Giải đề thi) Tính các tích phân sau:

1 ∫2( + )

π

0

3

3x sin x dx

π

0

4

4x cos x dx sin

π

0

3

dx 1 cosx

x cos

4 ∫4 +

π

0

4

x cos x sin

π

0

2

3

dx x cos 1

x

π

0 1 cos2x cosxdx

7 ∫2 +

π

0

dx sinx 1

( ) 4x 1 dx

1 1

2x sin

x 5

9 1

2 3x

+

−  − 

2

2 4

x

dx sinπi 10

10 ∫

− −

+

2

π

2

dx x sin 4

cosx x

11

π

0

3 dx sinx cosx

4sinx

∫2

π

0

3 x

sin sinx.cos xdx

e 2

13

( )

dx x sin

3

3 π

0

3

x sin

sinx x

sin

2 π

3

dx 2 x cot

x

tan

3

π

6

π

2 2

16 ∫

+

4

π

4

6 6

dx 1

6

x cos x sin

17 ∫π0xsinx.cos 2 xdx 18

∫2

π

0

2xcos4xdx

cos

Trang 7

19

π

0

3 dx 2 cosx sinx











+

4 π

0

6

x cos x sin

0

2

2 x sinxcosx cos x dx 2sin

22 ∫2 + ++

π

6

π

dx cosx sinx

cos2x sin2x

1

23 ∫2 π

4

6

dx x sin

x cos

24 ∫2 + π

0

2

3

dx x cos 1

x sin









 +











6

π x cot 3

π x

π

0

3

2x.cos xdx

π

0

4 4 10

10x sin x sin xcos x dx

cos

28 ∫π

0

4 xdx

π

0

2

2cosx sinx

π

0

cosx 1

dx cosx 1

sinx 1 ln

31 ∫

−

3

π

3

dx x cos

xsinx

32 ∫3 ++ π

4 π

dx sin2x 3

sinx cosx

33

π

0

3

cosx sinx

4sinxdx

34 ∫4 ( + )

π

0

dx tanx 1

4π

π

2

x sin

dx

36 ∫3 π

4 π

4xdx tan

37 ∫2 −

π

0

2x cos 2

π

0

2

dx sin2x 1

x 2sin

π

0

dx 3cosx 1

sinx sin2x

40 ∫2 +

π

0

dx cosx 1

π

0 sinx cosx cosxdx

π

dx x 4sin x cos sin2x

41 ∫3 + +

π

0

dx 3 sin2x

cosx sinx

Bµi 3 Cho tÝch ph©n In = ∫4

π

0

nxdx xtan (n lµ sè nguyªn d¬ng bÊt kú)

1 TÝnh In khi n = 2

2 Chøng minh r»ng In >

2 n

4

π 2 n











 +

(§H B¸ch khoa HN A - 1997)– Bµi 4 Cho hµm sè g(x) = sinx.sin2x.cos5x

1 T×m hä nguyªn hµm cña g(x)

2 TÝnh tÝch ph©n I = ( )

∫

− +

2 π

2

π x

dx 1 e

x g

(§H B¸ch khoa HN A - 1999)–

Trang 8

0

n xdx sin , víi n lµ nguyªn d¬ng

Chøng minh [ ( ) ]

1 n

1 I 1 n

1 sin

n

1 n

+

<

+

π

0

2

2x.cos 2x.dx

π

0

2

2x.cos 2x.dx sin

1 TÝnh I + J vµ I - J

2 TÝnh I vµ J

π

0

2

cosx 3 sinx

xdx

π

0

2

cosx 3 sinx

xdx cos

1 TÝnh I – 3J vµ I + J

2 Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn, h·y tÝnh c¸c gi¸ trÞ cña I, J vµ K = ∫3 −

5π

2 3πcosx 3sinx cos2xdx

1 ∫ + − −

ln6

ln4

x

2x

dx 5 6e

e

2 ∫ ( )

−

− +

2

2 2

dx 1 x

1 x

2

1 x sin

sinx

2

π

6

π

2









 +

+

2 π

0

xdx e cosx 1

sinx

(sinx cosx) dx

sinx

2 π

0

3

8 ∫2( − )

π

0

2

3x 1cos xdx

3

dx 1 x lnx

10 ∫6

π

0

dx

cos2x

x ln 1 x

x log

e

3 2

0

dx x 1

x 1

x sin 3

cosx

sinx

3

π

− + +

4 π

4

dx x x 1

sinx

15 ∫3 ( + + )

0

2 dx x 1 x ln

16 ∫

−

3

π

3

dx x

cos

xsinx

17 ∫2 − + π

0

dx 1 2sinx

3cosx

1

2

e dx

4

π x x.sin

sin

x cos

4

π

6

2

∫











dx

22

2x

ln 3

ln 2

e dx I

=

− + −

∫

23

1

2 0

I = xln(x + x +1)dx∫ 25 ∫2( + )

0 cos sin sin2

π

xdx x

1

2

1 3

1

dx x x x I

Trang 9

27

−

∫bln103 xx

e dx

2

3 0

7sin x 5cos x

dx (sin x cos x)

π

− +

0

sin 2

x x

∫ π

+

x x

x I

1

2ln 3 ln 1

ln

31 =∫

x x

dx

cos

2

3 0

sinxdx sinx + 3 osxc

π

∫

33

4

x

4

sin x cos x

dx

π

+

2

1

xdx ln ) 2 x (

1

2 lnxdx

e

x

=  + ÷

∫

36 4

0

sin 4x

cos x tan x 1

π

=

+

1

dx x ln 2 1 x

x ln 2 3

3

1

dx

x 1 x+

∫

40

3

1

(x 4)dx

3 x 1 x 3

−

+

+ + +

3 2 2 1

log

1 3ln

e

x

=

+

1 2

1 (x 1 )e x x dx

x

+ + −

∫

43 4

0

sin

4 sin 2 2(sin cos ) 2

π  −π ÷

+

= 4

0

2

2 1 1

1

dx x

x

2 ln 3

0 (3 e x 2)2

dx I

Bµi 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: f(x) = ∫ 











−

x

0

dt t 25

4

0

5

dx x 1

a TÝnh I

5

4 5

3 5

2 5

1 5

0

6

1 C 5

1 C 4

1 C 3

1 C 2

1

5dx 1 x

a TÝnh I

5

4 5

2 3 5

3 2 5

4 1 5

5 0 5

6

C 1

1 2 C 2

1 2 C 3

1 2 C 4

1 2 C 5

1 2 C 6

1

Bµi 4 TÝnh c¸c tæng sau:

n

1 n 2

n

3 1 n

2 0 n

1

C 1 n

2

C 3

2 C 2

2 C

1

2

+ + + +

100

101 2

100

3 1 100

2 0 100

1

C 101

3

C 3

3 C 2

3 C 1

n

1 n 2

n

3 1 n

2 0 n

1

C 1 n

1 2

C 3

1 2 C 2

1 2 C 1

1 2

+

− + +

− +

Bµi 3 Chøng minh r»ng:

a

1 n

1 2 C 1 n

1

C 3

1 C

2

1

C

1 n n n

2 n

1 n

0

−

= + + + +

1 n

1 2 C 1 n

1

C 3

1 C 2

1 C

1 n n n

2 n

1 n

0

−

= + + + +

n 0 1 n 2

n 2 n 3 1 n 1 n 2 0 n n 1

C 2 1 n

1 3

C 2 3

1 3 C 2 2

1 3 C 2

1

3

+

− + +

− +

−

d

202

2.3 1 5 C 3 100

2

C 3 6

2 C 3 4

2 C

.3

2

99 100 1 100 5

100 95 6 3 100 97 4 1 100 99

Trang 10

0

2006

x x

a TÝnh I

2006

2 2006

1 2006

0

4014

1

C 6

1 C

4

1 C

2

1

+ + +

+

0

n

x

x , víi n ∈ N vµ n ch½n

a TÝnh I

1 C

2 2n

1

C 6

1 C 4

1 C 2

n 2

n 1

n 0

0

10

dx 1 x x

a TÝnh I

b Dùa vµo I, chøng minh r»ng:

132

1 C

12

1

C 4

1 C 3

1 C 2

10

2 10

1 10 0

Tiêu đề	Nguyên hàm và tích phân
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	595 KB