Toán học rời rạc 2

Toán học rời rạc

TOAN HOC RGI RAC

DISCRETE MATHEMATICS

PART TWO

PHEP DEM (1)

— Ala mot tap hdp, ky hiéu |A| ban SỐ của A, trong trường hợp A là tập hữu hạn, |Á| chính là sô phân tử của A

— Số các tập con n phần tử của S (n< m) = n ï (m—n)ini

— Một bộ n phần tứ cũa S: (a,, a,, , a,) e S" ™

số các bộ n phần tử của S = mn

— Sô các hoán vi của một dãy m phân tử = mi

PHEP DEM (2)

© CAC VI VU

Trong một phòng họp có n người, mỗi người bắt tay với mỗi

ngươi khác đúng một lần SỐ bất tay? ;

Dung n bit đề biêu diện nhi phân cho các sô nguyên không âm,

sô số nguyên có thể được biểu diễn? _

Có bao nhiêu sô thập phân có 6 chữ số? Bao nhiêu số thập

phân có số chữ số nhỏ hơn sáu? -

Có bao nhiêu cách sắp xêp chỗ ngồi cho n người xung quanh

Bây giỏ giả sử ông chủ tịch cuộc họp được sắp ngôi ở một ghê

xác ¡nh, có bao nhiêu cách sáp xếp cho ngol cho các ngươi còn

ai‘

Có bao nhiêu dãy sô nguyên dương, có tổng băng n?

Có bao nhiêu dãy k sô nguyên dương có tông băng n?

Có bao nhiêu cách phân phát n món quà (khác nhau đô mội)

cho k dua tre?

PHEP DEM (3)

Co bao nhiéu cach Sap xếp 8 các quân xe trong bàn cd 8x8 sao

cho không quân xe nào « bị tân công »?

Cây nhi phân chiêu cao h có nhiều nhật bao nhiêu nút lá?

Trong mặt phẳng, cho n đường thang đôi một cất nhau và không

có ba dudng thang nào đồng quy n đường thẳng này chia mặt phăng thành bao nhiêu miễn?

Cho n giác lôi, không có ba đường chéo nào đồng QUY, Các

đường chéo của đa giác chia da giác thành bao nhiêu miễn?

LY THUYET DO THI (1)

CÁC ĐỊNH NGHĨA, KHÁI NIỆM

Đô thi (vô hương)

G= =(V, E), V = tập các đỉnh, E=tập các cạnh v.v;, vị, v„ c E

Đỉnh cô lập: đỉnh không có cạnh đi qua

Đỉnh treo: chỉ thuộc một cạnh duy nhất (cạnh treo)

Đa đồ thị: tổn tại nhiều hơn 1 cạnh nỗi hai đỉnh

đồ thị đơn: tồn tại nhiều nhật một cạnh nôi hai đỉnh

Dinh ké: chung cạnh

Canh ké: chung dinh

Đồ thị đây đủ: mọi cặp đỉnh (phân biệt) đều có cạnh nồi

D6 thi con: AcV, E,={(v,, v2) e E | v,, v„ eA}, G.=(A, E,)

Đồ thị bộ phận: C c E, G.=(E, C)

Đồ thị bộ phận con

ĐƯỜNG ĐI & CHU TRÌNH

Đưởng đi: u, ve V, u=vạ, V,, ., V.=v sao cho vy,,, € E

Đường đi sơ cập: tập Vi=0, , n-†: v,# v,„,

Chu trình: vạ = v,

Chu trình sơ cấp: Vi=1, ., n-1: v,z vụ,

BO THI LIEN THONG»

¢ D6 thị vô hudng liên thông: Vu, v e V, 1đường đi giữa u, v

LÝ THUYET DO THỊ (3)

Đồ thi có hương

G= (V, C), V=tap các đỉnh, C=tập các cung (V;, v,), v1, v2 E Khuyên

Đỉnh cô lập

Đỉnh treo, cung treo: mút cuỗi của chỉ một cung

Nửa bậc trong (vào): d{x)

Nửa bậc ngoài (ra): d*{x)

Bậc của đỉnh: d(x) = đ-(x) + d*(x)

@*(A)={(,j)JieA,je£ A}

(A) = { (i, | Je A, i¢ A}

Q(A) = 0*(A) U w(A)

Đa đồ thị, đồ thị đơn

Đỉnh kê, cung kể

Đồ thị có hướng đổi xứng, phi đôi xứng

LÝ THUYET DO THỊ (4)

- BIẾU DIỄN ĐỒ THỊ

¢ Ma tran dinh-cung: c=(v, ): M(v, c)=1, c=(., v): M(v, c)=-1

¢ Ma tran ké: (u, v) « C: My, v) = 1

* Ma tran trong so: (u, v) € ©, trong sô w: M(u, v) =

° _ Danh sách đỉnh kê

— DUONG ĐI & CHU TRINH

¢ Dudng di: u, ve V, U=vạ, V,, ., V=v sao cho (V, v,.„) e C

‹ Đường đi sơ cập: tập Vi=0, ., n-†: v,# V,

« Chu trình: vạ = V,

‹ Chu trình sơ cap: chu trình & Vi=1, ., n-1: v,# v,

— ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG

-Ổ Đồ thị có hướng liên thông: đồ thị vô hướng tương ứng liên thông

¢ D6 thi có hướng liên thông một chiều: Vu, v e V, 1đường đi từ u đền

v hoặc từ v đên u

° Đồ thi có hướng liên thông mạnh: Vu, ve V, 3đường đi từ u đến v

và 1đường đi tử v dén u

¢ Thanh phan liên thông: quan hé R={(u, u)| ue E}u {(u, v) | ddudng

di tu u dén v và 3 đường đi từ v den u}

LÝ THUYET DO THI (7)

— G=(V, E) hữu hạn, liên thông

— Đường đi Euler, chu trình Euler

— Đồ thị Euler, nửa Euler

— Dinh ly Euler

¢ Bac mi dinh = 2, do thi c6 chu trình

G là đồ thị Euler khi và chỉ khi bậc mỗi đỉnh là chẵn

G là đồ thị nửa Euler khi và chỉ khi G có không quá hai đỉnh bậc lẻ

G có hướng, liên thông mạnh là Euler khi và chỉ khi

VxceE: đ(x)=d:(x)

¢ D6 thi cé huéng, đầy đủ là đồ thị nửa Hamilton

»- Đồ thị có hướng, đây đủ bậc > 2 là đồ thị Hamilton

— Đồ thi đâu loại

¢ D6 thị đâu loại là nửa Hamilton

¢ D6 thị đâu loại liên thông là Hamilton

° w(i) nin w(i), w(k)+lI(k, 1) }

¢ Néu t > w(i): p(ij=k

°® DAG

— Hang của một đỉnh = đường đi dài nhật từ gôc

CÂY & CÂY CÓ HƯỚNG

— Giải thuật Kruskal

— Giải thuật Prim

LUONG CUC DAI (1)

MANG:

— Đổ thị có hướng G = (V, A) là một mạng khi:

¢ Tén tai duy nhat một đỉnh phát s, không có cung vào, chỉ có cung ra

* TOn tai duy nhat mét dinh thu t, không có cung ra, chỉ có cung vào

«Ổ Mỗi cung a được gắn với một giá trị không âm c(a), được gọi là băng thông của cung

«Ổ Nêu không tồn tại cung từ u đền v, băng thông của (u, v) dược quy ước là 0

— Ludng trong mang

¢ G=(V, A) la mot mang

« Anh xa f: A Rt dudc goi la mét luéng trong mang G khi

° Giới hạn của luông: Vae A: f(a) < c(a) (luéng cla cung không vượt

qua bang thong cua cung)

° Điều kiện cân bang ludng: VWVeV,vz §,V# t, tổng các luồng trên các cung vào v bằng các luồng trên các cung ra khỏi v

y, fuy= Lf»)

(u,v)EA (v,xk<A

LUONG CUC DAI (2)

« Giá trị của luỗng: Tổng luồng trên các cung xuất ra từ s bằng với tổng luỗng trên các cung thu vào tại †

Y ƒ(s,v)= Ð ƒ(x,9 =val(ƒ)

(s,v)céA (x,t)e A

Được gọi là giá trị của luông trên mạng

— Bài toán luỗng cực đại trong mạng:

° _ Xác định luồng cực đại f (luông có giá tri lớn nhât)

` Nêu điểm phát và điểm thu thuộc hai phần khác nhau của lát cắt, lát cất được gọi là lát cất tách

LUONG CUC DAI (3)

° Khả năng thông của lát cắt là tổng các băng thông của các cung (u,

V) VỚI uc X,,ve Yạ

c(X,,Y,) = 3 c(u,v)

uc X,,veY,

Lát cắt với khả năng thông nhỏ nhất được gọi là lát cắt hẹp nhất

— Su tang luồng trong mạng:

‹_ Nêu f là một luồng, (X,, Y,) la mot lat cat thi:

Đồ thị tăng luồng G, = (V, A,) được xây dựng như sau:

— (u, v) € A: f(u, v)=0 thi (u, v) e A, với trọng số p(u, v) = c(u, v)

— (u, v) € A: f(u, v)=c(u, v) thì (u, v) e A, với trọng số p(u, v)=f(u, v)

— (u, v) € A: 0 <f(u, v)<c(u, v) thi

(u, v) € A, vdi trong so p(u, v)=c(u, v) — f(u, v) (v, u) e A, với trọng số p(u, v)=f(u, v)

LUONG CUC DAI (4)

e Cung thuan: (u, v) € A, (u,v)e A

¢ Cung nghich: (u, v) € A, (u,v) ¢ A

« Dudng tang ludng: dudng di trong G, t's dén t

- Sự tăng ludng: P = { s=vụ, vụ, , v=t } là đường tăng luồng

õ>0 là giá trị nhỏ nhất trong các trọng sô của các cung trên P Xây dung anh xa g: A, >R* nhu sau:

— g(u, v) = f(u, v) +5 nêu (u, v) là cung thuộc P và là cung thuận

— g(u, v) = f(u, v) - 6 néu (u, v) là cung thuộc P và là cung nghịch

— G(u, v) = f(u, v) nêu (u, v) không thuộc P

sƒ là luỗng trong 6 = (V, A)

Các mệnh đề sau là tương đương:

- flà luồng cực đại

— Không tìm được đường tăng luồng P

— Ton tai lat cat (Xs Y,): Val(f) = c(X,, Y,)

© TIMLUONG CUC DAI

— Dinh ly Ford-Fulkerson: Gia trị của luồng cực đại bằng khả năng thông cúa lát cắt hẹp nhật

LUONG CUC DAI (4)

— Thuật toán Ford-Fulkerson:

‹ Gán nhãn: Mỗi đỉnh trong mạng thuộc vào một trong ba trang thai:

— Chưa được gan nhan

— Đã được gán nhãn nhưng chưa được duyệt

— Đã được gán nhãn và đã được duyệt

— Gãn nhãn cho mỗi ảnh u của x chưa được gán nhãn mà f(x, u)<e(x, u):

u: [+x, o(U )]/otu )= mint o(x ), C(x, u) — f(x, u) }

— Gán nhãn cho mỗi tao ảnh v của x chưa được gán nhãn mà f(v, x) > 0

v :[-x, 6W) | / ø(v) = min{ ø(x), f(V, x) )

x được duyệt

18

LUONG CUC DAI (4)

B3:

Lap lai B2 cho dén khi

— Hoặc đỉnh thu được gán nhãn t: [ +y, o(t) ]: chuyển sang B4

— Hoặc không thể gán nhãn cho đỉnh thu t: thuật toán kết thúc Đặt X, tập

các đỉnh được gán nhãn, Y¿ tập các đỉnh không được gán nhãn, khi đó (Xo, Yo) la lat cat hẹp nhật

B4:

dat x =t:[+y, o(t) ], chuyển sang B5

B5

Nêu x có nhãn x : [+u, o(x) ] tang ludng trén cung (u, x) nhu sau:

f(u, x) = f(u, x) + o(t)

Nếu x có nhãn x : [-u, ø(x) ] giam ludng trén cung (x, u) nhu sau:

f(x, u) = f(x, u) - o(t)

B6

Nêu x # s, dat x = u quay lai B5

khác đi xóa tât cả các nhãn, quay lại B1

19

SO HOC (1)

* CHIAHET & CHIACO DU

— Ucln

— Nguyén t6 cting nhau

— Nguyén t6 sanh đôi

— Cac tinh chat:

¢ (a,, a, .,a,) =d =4X,, X,, .,X,/a,X, + aX, + .+a,x,=d

¢ Ym nguyén dương: (ma,, ma,, ., ma,) =M (a,, a, ., a,)

d>0 là ước chung của a,, a, ., a, thi

Néu c| ab, (a, c)=1 thic|b

Néub|a,c|a, (b,c)=1thibc|a

Néu (a, b)=1 thi (ac, b) = (c, b)

SO HOC (2)

* Néu (a, b)=1, (a, c)=1 thi (a, bc)=1

e Néu a=pb +r (0< r<b) thi (a, b) = (b, r)

— Dang phan tich chuan: "= Py" Pp’ + Py

_ d=pi' py d| = Py BEVI0< B.< œ

SO HOC (4)

— ax+by=c

- d=(a, b)

- Nêu d không là ước của c thì phương trình vô nghiệm

_ Nêu d| c thì nghiệm của phương trình có dạng:

xX=xX,+-t

Trong đó, Xạ, y¿ là một nghiệm

y=yWy+ a (nguyên) của phương trình

— Cac tinh chat:

¢ a =b, (mod m) i=1, 2, ., n thi

(a; + a; + + a„) = (b, + b, + + b,) (mod m) a,a, a, = Db,b, b„ (mod m)

b (mod m) thì (a+c) = (b+c) (mod m)

b (mod m) thi a= (b +km) (mod m), (a+km) = b (mod m)

b (mod m) thi a" = b" (mod m)

b (mod m) thi ac = bc (mod m) ,m)=1,

= (a,

a=b(modm) iif ac =bc (mod m)

b, m) thi (a/d) = (b/d) (mod (m/d))

a, b), (d, m)=1 thi (a/d) = (b/d) (mod m)

= b (mod m,) i=1, 2, ., n thi a = b (mod [m,, m,, ., m,])

SO HOC (6)

*° a =b (mod mì), d | m thì a = b (mod d)

° a=b (mod m), dịa, d|m thì dịb

_* a=b (mod m) thi (a, m) = (b, m)

¬ ax=b (mod m)

¢ d=(a, m)

¢ Néu d khong là ước của b, phương trình vô nghiệm

-_ Nêu d | b phương trình có đúng d nghiệm

tìm được nghiệm: y = N, (mod m)

«Ổ x=M,N,+ +M.N, (mod M) là nghiệm của hệ

-_ Giả sử phương trình có nghiệm x = x, (mod p*")

-_ Giải phương trình: f(xạ) t + f(x,)/p*! = 0 (mod p**)

- Goi t = tạ (mod p*“*) là nghiệm của phương trình

Khi đó nghiệm của phương trình (*) là: x=xạ + tạ p“1 (mod p*)

cM) OP PART TWOS Ine