Lớp 10A5 Trường THPT Nam Tiền Hải Giáo viên thực hiện: Đỗ Đình Quân... Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai II... Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương t
Trang 1Lớp 10A5
Trường THPT Nam Tiền Hải
Giáo viên thực hiện: Đỗ Đình Quân
Trang 2VD1: Giải hệ phương trình
+ − =
(1) (2)
(1) ⇔ = − x 5 2 y
Thế vào (2) ta được PT:
⇒ = x 3
Vậy HPT có hai nghiệm
5 2 − y + 2 y − 2 5 2 − y y = 5
1 2
y y
=
Cách giải
B1: Rút một ẩn từ PT bậc nhất
thế vào PT còn lại
B2: Giải PT bậc hai một ẩn
thay vào tìm ẩn còn lại
B3: Kết luận nghiệm của hệ
VD2: Giải hệ phương trình
− − =
− + + + =
2 7 0
2 2 4 0
x y
Đáp số: HPT có hai nghiệm
=
=
13
3
3
3
x
x y y
và
và một phương trình bậc hai
Trang 3I Hệ gồm một phương trình bậc nhất
và một phương trình bậc hai
II Hệ phương trình đối xứng loại I
Định nghĩa: Hệ đối xứng loại 1 là hệ khi
ta đổi vai trò x và y cho nhau thì các
phương trình của hệ không thay đổi
VD1: Giải hệ phương trình
11
2 2
x y xy
Một số biểu thức đối xứng thường gặp
( 2 2 ) 2 2 2
2
x + y − x y
2
x y + − xy
4 4
x y
• + x3 y3 =
Chú ý: Nếu thì x, y là
nghiệm của PT:x + =y S x y, = P
− + =
2
0
X SX P
điều kiện tồn tại x, y là S2 − 4P ≥ 0
Đặt x + y = S x y, = P
hệ trở thành:
(1) P = 11 – S thế vào (2) ⇔
S 2 – 2(11 – S) + 3S = 28
⇔
S 2 + 5S – 50 = 0
⇔
S+P=11 (1)
2
S -2P+3S=28 (2)
5 P=6
10 P=21
S S
⇔
=− ⇒ Với S=5,P=6: x,y là nghiêm củaPT
t2 -5t+6=0
Với S=-10,P=21: x,y là nghiệm của
t2 +10t+21=0 ⇔ = −
= −
37
t t
Hệ có 4 nghiệm
x = 2
y = 3 ;
x= 3
y = 2 ;
x= -3
y = -7 ;
x= -7
y = -3
=
=
⇔ 2
3
t t
Trang 4và một phương trình bậc hai
11
2 2
x y xy
Đặt x + y = S x y, = P
hệ trở thành:
(1) P = 11 – S thế vào (2) ⇔
S 2 – 2(11 – S) + 3S = 28
⇔
S 2 + 5S – 50 = 0
⇔
S+P=11 (1)
2
S 2P+3S=28 (2)
5 P=6
10 P=21
S S
⇔
=− ⇒ Với S=5,P=6: x,y là nghiêm củaPT
t2 -6t+5=0
Với S=-10,P=21: x,y là nghiệm của
t2 +10t+21=0 ⇔ = −
= −
37
t t
Hệ có 4 nghiệm
x = 2
y = 3 ;
x= 3
y = 2 ;
x= -3
y = -7 ;
x= -7
y = -3
=
=
⇔ 2
3
t t
B1 Đặt x + y = S , x.y = P
B2 Giải HPT ẩn S và P
B3 Với S và P tìm được
thì x, y là nghiệm của PT X 2 – SX + P = 0
B4 Kết luận nghiệm của hệ
Cách giải
VD2: Giải hệ phương trình
4 4 2 2 21
Đặt x + y = S x y, = P hệ trở thành
2
2
S P P
(1) (2)
(1) S2 – 2P = 7 – P thế vào (2)
ta có: (7- P)2 – P2 = 21
⇔
(-1;-2), (-2;-1)
Trang 5I Hệ gồm một phương trình bậc nhất
và một phương trình bậc hai
II Hệ phương trình đối xứng loại I
B1 Đặt x + y = S , x.y = P
B2 Giải HPT ẩn S và P
B3 Với S và P tìm được
thì x, y là nghiệm của PT X 2 – SX + P = 0
B4 Kết luận nghiệm của hệ
Cách giải
VD2: Giải hệ phương trình
4 4 2 2 21
Đặt x + y = S x y, = P hệ trở thành
2
2
S P P
(1) (2)
(1) S2 – 2P = 7 – P thế vào (2)
ta có: (7- P)2 – P2 = 21
⇔
(-1;-2), (-2;-1)
VD3: Giải hệ phương trình
( ) ( )
2 2
+ − − = −
( 2 ) ( 2 )
− − =
⇔
− + − = −
Đặt u=x2 -2x, v=y2 -2y
Hệ có 1 nghiệm (1;1)
Trang 6và một phương trình bậc hai
II Hệ phương trình đối xứng loại I
B1 Đặt x + y = S , x.y = P
B2 Giải HPT ẩn S và P
B3 Với S và P tìm được
thì x, y là nghiệm của PT X 2 – SX + P = 0
B4 Kết luận nghiệm của hệ
( ) ( )
2 2
+ − − = −
( 2 ) ( 2 )
− − =
⇔
− + − = −
Đặt u=x2 -2x, v=y2 -2y
Hệ có 1 nghiệm (1;1)
VD4: Cho hai số x, y thoả mãn x + y = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của F = x 3 + y 3
Bài toán quy về tìm tập giá trị của F
Hay tìm F để hệ { + =
2
3x y3
Có nghiệm
Đặt x + y = S x y, = P
hệ trở thành { =
− =
2 3
3
S
=
−
⇔
=
2 8 6
S
F P
x, y là nghiệm của PT: 2 − 2 + 8 − = 0 (*)
6
F
t t
Hệ có nghiệm khi PT (*) có nghiệm
Vậy MinF = 2 khi x = y =1
Trang 7I Hệ gồm một phương trình bậc nhất
và một phương trình bậc hai
II Hệ phương trình đối xứng loại I
B1 Đặt x + y = S , x.y = P
B2 Giải HPT ẩn S và P
B3 Với S và P tìm được
thì x, y là nghiệm của PT X 2 – SX + P = 0
B4 Kết luận nghiệm của hệ
VD4: Cho hai số x, y thoả mãn x + y = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của F = x 3 + y 3
Bài toán quy về tìm tập giá trị của F
Hay tìm F để hệ { + =
2
3x y3
Có nghiệm
Đặt x + y = S x y, = P
hệ trở thành { =
− =
2 3
3
S
=
−
⇔
=
2 8 6
S
F P
x, y là nghiệm của PT: 2 − 2 + 8 − = 0 (*)
6
F
t t
Hệ có nghiệm khi PT (*) có nghiệm
Vậy MinF = 2 khi x = y =1
Bài luyện tập
Bài1 Cho hệ { + =
+ =
x my
a) Giải hệ với m = 1 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Bài 2 Cho hệ { + − − =
− =
2
2 2 3 0
y x m
x y m
a) Giải hệ với m = 1 b)Tìm m để hệ có 2 nghiệm (x1;y1);(x2;y2) sao cho x12 +y12 = x22 +y22
Bài 3 <ĐHAN99> Giải hệ
+ + + =
+ + + =
1 1
4
1 1
2 2
4
2 2
x y
x y
x y
x y
Bài 4<HVKTQS2000> Cho hpt
{ + + = +
+ = +
2
1
xy x y m
x y y x m
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Trang 8Câu hỏi trắc nghiệm
A 2 B 2 8 C 8 26
2
xy x y
3 3
2
x y
+ =
+ =