CHUYÊN ĐỀ 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ , HÀM SỐ LOGARITA/ LÝ THUYẾT Lũy thừa thừa với số mũ nguyên Định nghĩa: an =.. Đóan nghiệm và CM nghiệm đó duy nhất... B/ BÀI TẬP ÁP DỤNG:I.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ , HÀM SỐ LOGARIT
A/ LÝ THUYẾT
Lũy thừa thừa với số mũ nguyên
Định nghĩa: an =
n thuaso
a a a , a ∈ R, n ∈ N*
Khi a ≠ 0 ta có a0 = 1 , a-n = 1
n
a , a-1 =
1
a
Tính chất: với a,b ≠ 0 , m,n ∈Z ta có:
; ( )
m n m n n n n
n
m n
n m mn
a
+
−
=
Căn bậc n:
• a m n = n a m ; m n a =m n. a;( )n a m =n a m;
• n n = n ; n = n ;
n
b b
•
n
n n
n
a n chan
a
=
Tínhchất :
+ a > 1: m > n ⇒ am > an
+ 0 < a < 1 : m > n ⇒ am < an
+ 0 < a < b * ax < bx khi x > 0 ;
* ax > bx khi x < 0
HÀM SỐ LOGARIT:
1 Đ/n : y = logax ( 0 <a ≠1) TXĐ: R*+ ; TGT:
R
logax = y ⇔ ay = x
Nếu : a > 1 HS: đồng biến trên R*+ ;
Nếu: 0 < a < 1 HS nghịch biến trên R*+
2 Công thức về logarit : 0 < a ≠ 1
• loga1 = 0; logaa = 1;
• loga a x = x; aloga x =x ( x > 0)
log ( ) loga x x = a x +loga x , ( x1,x2 > 0 )
1
2
loga x loga x loga x
x = − , (x1,x2 > 0 )
log n log
a x =n a x (x > 0)
log log
loga
b
a
x x
b
= (x,b > 0 ) log loga b b x=loga x
1 log
log
a
b
b
a
= logaα x 1 log xa
α
=
Giải pt mũ :
Đưa về dạng cơ bản :
* ax = ab ⇔ x=b đk: 0 < a ≠ 1
* ax = c (*)
Nếu c ≤ 0 (*) vô nghiêm
Nếu c > 0 thì ax = c ⇔ x=log ca
Đưa về cùng một cơ số :
( ) ( )
f x g x
a
< ≠
Đặt ẩn phụ : t= ax ( đk t > 0) đưa về pt đại số với ẩn t
Dùng PP: Logarit hóa 2 vế theo cơ số a
Đóan nghiệm và CM nghiệm đó duy nhất
Bằng phương pháp đồ thị
Giải pt Logarit
Đưa về dạng cơ bản :
* logax = logab ⇔ x = b đk (0 < a ≠ 1 , b> 0)
* logax = c ⇔ x= logac đk (0 < a ≠ 1 )
Đưa về cùng một cơ số dạng : log ( ) log ( ) a f x = a g x Đk: g(x) ≥ 0 ; 0 <a ≠ 1 Gpt: f(x)=g(x)
Đặt t = logax đưa pt đại số với ẩn t
Đoán nghiệm và CM nghiệm đó duy nhất
Bằng phương pháp đồ thị
- Biến đổi đưa về
Dạng 1 : af(x) >ag(x) (*) (0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*) ⇔ f(x) > g(x)
+ Nếu 0<a<1 thì (*) ⇔ f(x) < g(x)
Dạng 2 : af(x) >c (0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*) ⇔ f(x) > logac
+ Nếu 0<a<1 thì (*) ⇔ f(x) < logac
-Có thể đặt ẩn phụ
-Biến đổi đưa về
Dạng 1 :logaf(x) >logag(x) (*) (0<a ≠1) + Nếu a>1 thì (*)⇔ f(x) > g(x) + Nếu 0<a<1 thì (*)⇔ f(x) > g(x)
Dạng 2 : logaf(x) > c (*) (0<a ≠1) + Nếu a>1 thì (*)⇔ f(x) > ac + Nếu 0<a<1 thì (*)⇔ f(x) < ac -Có thể đặt ẩn phụ
Trang 2B/ BÀI TẬP ÁP DỤNG:
I LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ:
1.Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b)
c) ( ) – 10 27 – 3 + (0,2) – 4 25 – 2
d) e) – f)(x.a –1 – a.x –1 ) –
2.Tính các biểu thức sau:
11
a : a a a
1
f) 5 3
b
a a
b g) 2 35 51 5
3 2
6 + + +
g)
1 2
1 2
1
2 3 )
2 3 ( ) 2 3 ( 2
3
−
− + +
−
− + h) 4 3 + 2 2 1 − 2 2 − 4 − 2 l) ( 25 1+ 2 − 5 2 2 ) 5−1−2 2
3.Cho hai số a ,b > 0.Tính các biểu thức sau:
3 4
3
) a
3
a
2
( − +
b) (a a )(a a )(a a 5)
1 5
2 5
4 5
2 5
2
5
−
− +
+
c) ( a − 4 a + 1 )( a + 4 a + 1 )( a − a + 1 )
d)
a 1
) a 1 )(
a 1 ( a
1 2
1
2
1
+
−
− +
+
−
e)
) a
a
(
a
) a
a
(
a
4
1 4
3
4
1
3
2 3
1
3
4
−
−
+
+
f)
6 6 3
1 3
1
b a
a b b a + +
g) ( a b)(a b3 3 ab)
2 3
2 3
h) + 3 +3 +3
1 3 1
a
b b
a 2 : ) b a
1
1
2 2 2
2
4 3 3 4
) b a ( : ) b a ( a
) b a ( b ) b a ( b ab 2 a
a ab b a
−
− +
+ +
+
+ + +
4.Rút gọn các biểu thức sau:
a)A = (4 10 25 )(2 53)
1 3
1 3
1 3
1 3
1
+ +
b) B =
2
1 2
1
2
1 2
1
y x
x y y
.
x
−
−
b a
) b a )(
b
a
(
2
1 2 1
4
3 4
3 4
3 4
3
−
−
+
−
d) D =
2 2
1 2 1 2 1
2
1 2
1
2
3 2
3
a x
a x ) ax ( a x
a x
−
−
+
−
−
b a
b a b a a
b
4
1 4 1 2
1 2 1
4
1 2
1 4
+
−
− +
−
f) F =
2
2 1 2 1
1
2 1 2 1 1
a a
a 3 4 a a 3 a 2
a 9 a 4
−
+
− +
−
−
−
−
−
−
g)G =
2
1 2 1 2
2
3 2
1 2 1 2
a a
a 1 a
2 a a
a a
−
−
−
−
+
−
−
−
−
−
h) :
5.Cho biết 9x + 9– x = 23 ,hãy tính 3x + 3– x
6.Cho f(x) = Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1
II HÀM SỐ LÔGARIT:
1.Tính
3
24 16
3
2 8 32
a a a log ; log 3 (log 2 8) ; 2log83 ;
2
log7
49 ; 253 log510 ; 642 log27 ; 42+log23 ; 103 log108 ; ((0,25)3 log 2 5
2 Chứng minh rằng
5
1 3
1 log35
=
b
a a = 3.Rút gọn các biểu thức sau:
Trang 3a)log 63 log336 b) log 38 log481 c) 3
25
5
1 log
3
1 3
1 3
2
1 6 log
4.Cho log 2 3 = a ; log 2 5 = b.Tính các số sau: log 2 ,log 2
3 135, log 2 180, log 3 , log 15 24, log 10 30
5 a)Cho log 5 3 = a, tính log 25 15 b) Cho log 9 6 = a , tính log 18 32
6.Cho log2 = a , log 2 7 = b,tính log56
7.Cho log 6 15 = a ,log 12 18 = b , tính log 25 24
8.Cho log 25 7 = a ,log 2 5 = b hãy tính 9 5
49 log 8
9 Chứng minh rằng log 18 6 + log 2 6 = 2log 18 6.log 2 6
10.Cho a 2 + b 2 = 7ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng : log 7 () = ( log 7 a + log 7 b )
11.Cho a 2 + 4b 2 = 12ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng: log(a + 2b) – 2log2 = ( loga + logb )
12.Cho x 2 + 4y 2 = 12xy x > 0,y > 0, Chứng minh rằng log 3 (x + 2y) – 2log 3 2 = (log 2 x + log 2 y) 13.Cho log 12 18 = a , log 24 54 = b ,chứng minh rằng ab + 5(a – b) = 1
14.So sánh các cặp số sau:
a) log 4 3 và log 5 6 b) log215 và log513 c) log 5 4 và log 4 5 d) log 2 31 và log 5 27 e) log 5 9 và log 3 11 f) log 7 10 và log 5 12
15.Tìm miền xác định của các hàm số sau:
a)y = log 6 b) y = c) y =
III Đạo hàm của hàm luỹ thừa – hàm số mũ – hàm số lôgarit:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1 y = (5x 2 – 4)ln 3 x
2 y = x4+1 lnx 6
3 y = (x + 2) ln 1
1
x+
4 y = ln(x4 1)
x
+
5 y = 5e3x−2
6 y = 3ln 2x4
7 y = 5sin x2
8 y = e cos 5 4 x
9 y =
5
5 log (c otx)
10 y = x 2 4
1
x
11 y = (x 2 + 2) e 2x
12 y = xlnx - xln5
13 y = 1
2xlnx – xln2
14 y = (x 2 – 2x + 2)e x
15 y = (sinx – cosx) e 2x
16 y = 2 x - e x
17 y = (3x + 1) e
IV PHÖÔNG TRÌNH MUÕ:
1 3 2 6 8 1
=
+
− x
x
2 3 3x – 1 = 9 x + 2
2
25 , 0 ( 4
.
125
,
4.2x2 − + 3x 2 =4
5 4 x = 8 2x – 1
6 3 4 – 2x = 95 3 − −x x2
7 5 .8 x−1 =500
x
x
8 54x− 6= 25 2x – 4
9 33x− 4 = 9 2x – 2
10 2x2 − 4 =3x− 2
11 8 2
x
x+ = 36 3 2 –x
16 9 x + 6 x = 2.4 x
17 2 2x-3 - 3.2 x-2 + 1 = 0
18 22x+1− 2x+3−64 = 0
19 4x2−3x+2+ 4x2+6x+5= 42x2+3x+7+ 1
3
1 3 3
+
21 4x+ 1+2x+ 1 =2x+ 2+12
22 9sin2x + 9cos2x = 10
23 ( 2 − 3) (x + 2 + 3)x = 4
24.
(2 + 3) (x + 7 + 4 3)(2 − 3)x = 4(2 + 3)
25 9x + 2 (x− 2 ) 3x + 2x− 5 = 0
26 7 3 x+1 - 5 x+2 = 3 x+4 - 5 x+3
30 2x = 3x +1
31 3 x+1 + 3 x-2 - 3 x-3 + 3 x-4 = 750
32 3 25 x-2 + (3x - 10)5 x-2 + 3 - x
= 0 33.5 x + 5 x +1 + 5 x + 2 = 3 x + 3 x + 3 -
3 x +11
34 3 x +3 x+1 +3 x+2 =5 x +5 x+1 +5 x+2
36 2 4 ) 4 2
2
5 ( )
5
2 ( x− = x−
37 3 4 x − 4 3 2 x + 3 = 0
38 2 0 , 3 3 100
3 2
+
x x
Trang 412 5 x 22 11
x
x
−
+ = 50
13 3 x 8 2
x
x+ = 36
14 3 x-1 2
2x = 8 4 x - 2
15 5 2x-1 +5 x+1 - 250 = 0
27 6 4 x - 13.6 x + 6.9 x = 0
28 7 6-x = x + 2
29 ( 2 − 3) (x + 2 + 3)x = 4
39 2x 3x = 36
40.
x x
x ( 4 15 ) ( 2 2 ) )
15 4
41.
x x
) 2 3
42.( 5 − 21 )x + 7 ( 5 + 1 )x = 2x+ 3
V PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT:
1 log x log x 65 = 5( + −) log x 25( + )
2 log x log x log5 + 25 = 0,2 3
x
log 2x − 5x 4 + = 2
lg(x 2x 3) lg 0
x 1
+
−
5.1.lg(5x 4) lg x 1 2 lg0,18
4 lg x 2 lgx + =
7.log x 2 + 10log x 6 0 2 + =
8 log3x+log 9 3x =
9 1/ log3x+log 9 3x =
10/ log22x−3.log2x+ =2 0
11/ x.log 3 log 3 5 + 5( x− = 2) log 3 5( x+ 1 − 4)
log x − − =x 5 log 2x+ 5
13/ 3log 32x+xlog 3x =6
14/ 2
log x− 3.log x+ = 2 log x − 2
15/ log2x.log3x x+ log3x+ =3 log2x+3log3x x+ 16/ 3.log3(x+ =2) 2.log2(x+1)
18 2 2x-3 - 3.2 x-2 + 1 = 0
19 22x+1− 2x+3−64 = 0
3
1 3 3
+
4x+ +2x+ =2x+ +12
22 9sin2x + 9cos2x = 10
23 ( 2 − 3) (x+ 2 + 3)x = 4
24 (2 + 3) (x + 7 + 4 3)(2 − 3)x = 4(2 + 3)
25 9x + 2 (x− 2 ) 3x + 2x− 5 = 0
26 7 3 x+1 - 5 x+2 = 3 x+4 - 5 x+3
27 6 4 x - 13.6 x + 6.9 x = 0
28/ 2( ) ( )
log 4x −log 2x =5
16/ 3( 27 ) 27( 3 )
1 3 log log x +log log x = 29/ log3x+ = −2 4 log3x
30/ log log2x 3x+ =3 3.log3x+log2x