ĐÁP án ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA

Mặt khác diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y  x 1 và đồ thị hàm số... Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2019Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng hình elip được chia ra

Câu 1 (Đề chính thức 2018)Cho hàm số f x  thỏa mãn  2 2

3 2

   

1

2 0

1 0, ( ) d 7

f   f x x và

1 2 0

1( )d

3

x f x x 

1 0( )d

Cách 1: Đặt u f x du f x dx,

3 2

ax  b d x  c e x    * là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y f x  và yg x 

Phương trình  * có nghiệm 3 ; 1; 1 nên

A g 3 g 3 g 1 B g 3 g 3 g 1

C g 1 g 3 g 3 D g 1 g 3 g 3

Lời giải Chọn D

A g 1 g 3 g 3 B g 1 g 3 g 3

C g 3 g 3 g 1 D g 3 g 3 g 1

Lời giải Chọn A

Ta có: g x 2f x 2x1g 3 2f 3 4,g 1 2f 1 4,g 3 2f 3 8Lại có nhìn đồ thị ta thấy f 3 2,f 1  2,f 3   4 g 3 g 1 g 3 0Hay phương trình g x  0 f x   x 1 có 3 nghiệm

Nhìn đồ thị ta có bảng biến thiên, suy ra g 3 g   1 ,g 3 g 1

Mặt khác diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y  x 1 và đồ thị hàm số

C h 4 h 2 h 2 D h 4 h 2 h 2

Lời giải Chọn A

Ta có g x 2f x 2xg x 0  x  3;1; 3

Từ đồ thị của y f x ta có bảng biến thiên của hàm   g x  

Câu 9 (Đề chính thức 2017)Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào

thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh 1; 8

2

I 

  và trục đối xứng song song với

trục tung như hình bên Tính quảng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút,

kể từ khi chạy?

A s 4 (km) B s 2,3 (km) C s 4,5 (km) D s 5, 3 (km)

Lời giải Chọn C

I 

Suy ra

08

s  x  x x (km)

Câu 10 (Đề tham khảo 2019)Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A , 1 A , 2 B , 1 B như 2

hình vẽ bên Biết chi phí sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/m và phần còn lại là 100.000 đồng/22

m Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A A 1 2 8 m,

Diện tích phần tô màu là S S E S 8 6 3

Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là

   100.000 4 6 3 200.000 8 6 3 7.322.000

Giải chi tiết:

Bước 1: Đổi biến:

2 sin d



Đặt u2t2và dvsin dt t, ta có du4 dt t và v cost Do đó

Câu 12 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2019)Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên

Lời giải Chọn D

Ta có f x 0, x 2;4 nên hàm số y f x  đồng biến trên 2; 4

2

2 2

2 3

Câu 13 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2019)Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng

hình elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là 8 m và 4 m , F , 1 F 2

lần lượt là hai tiêu điểm của elip Phần A, B dùng để trồng hoa, phần C, D dùng để trồng cỏ Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là 250.000 đ và 150.000 đ Tính tổng số tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến hàng nghìn)

A 5.676.000 đ B 4.656.000 đ C 4.766.000 đ D 5.455.000 đ

Lời giải Chọn A

Gọi S , A S , B S , C S lần lượt là diện tích các phần D A, B, C và D Theo giả thiết ta được

Với

2 3

2 1

Ta có      d

b a

f b  f a  f x x  2  2

b a

4 d

b a





Lời giải Chọn B

Với mọi số thực x, thay x bởi x vào biểu thức   2   6 2 2

Câu 16 (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 1 - 2019)Hình phằng  H được giới hạn bởi đồ thị

 C của hàm đa thức bậc ba và parabol  P có trục đối xứng vuông góc với trục hoành Phần tô

Câu 17 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2019)Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên

0;  Biết f  0 2e và f x  thỏa mãn hệ thức     cos  

sin cos e x, 0;

f x  x f x  x  x 

0d

Câu 18 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - Lần 1 - 2019)Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón

năm mới bạn An đã làm một cái mũ “cách điệu” cho ông già Noel có hình dáng là một khối tròn xoay Mặt cắt qua trục của cái mũ có hình vẽ như bên dưới Biết rằng:

Lời giải Chọn B

Xây dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ

Chia khối tròn xoay trên thành 2 phần

2 2

Câu 19 (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - Lần 1 - 2019) Cho hàm số f x  nhận giá trị dương và có

đạo hàm liên tục trên đoạn 0 1;  sao cho f  1 1 và   1  x2 x

Ta có        

1 1

0 0

f x dx x

2

1 0

f x

x x





10

2 1

Câu 26 (Chuyên QH Huế - Lần 2 - 2019)Cho hàm số f x  xác định và có đạo hàm f x liên tục

trên 1;3, f x   0 với mọi x 1;3, đồng thời f x 1 f x 2 f x  2x12

Với x 1; 3 ta có:              

2 2

33

Câu 27 (Sở GDĐT Bình Phước - 2019)Cho hàm số f x  liên tục và có đạo hàm trên 0;

49



Lời giải Chọn D

Suy ra   tan ln cos ln cos



591

a b

Biết  

4 1

7 t1 f t  f t dt4f 3  f 0 3  f  3 1

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  là 3 y x 4 Chọn A

Câu 29 (HSG 12 - TP Nam Định - 2019)Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên   1; 2 và thỏa 

2

2 1

ln

f x dx

2 1

f x dx f  f

2 11

2 1

2020. D

20192020

Lời giải Chọn C

Câu 31 (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019)Cho hàm số yx46x2m có đồ thị C m Giả

sử C mcắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi C mvà trục hoành

có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích bằng nhau Khi đó m a

A 7 B 6 C 5 D 4

Lời giải Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm: x46x2m0 1

Đặt tx2t 0  1 trở thành t26t m 0  2

C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phương trình  1 có 4 nghiệm phân biệt hay

phương trình  2 có hai nghiệm dương phân biệt

5 3 4

Đối chiếu điều kiện  * ta có m 5a và 5 b  Vậy 1 S  6

Câu 32 (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2019)Cho hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục trên

 và thỏa mãn

1 0( ) d 1

I f x x f x x x

A 1 ln cos1   B 0 C 1 D 1 cot1

Lời giải Chọn B

     

2 2

1

2 0

1

cos1

Câu 33 (Sở GD Thanh Hóa - 2019) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để

trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng 4 m Phần còn lại của khuôn viên (phần không  

tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và

cỏ Nhật Bản tương ứng là 150.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

A 3.738.574 (đồng) B 1.948.000 (đồng) C 3.926.990 (đồng) D 4.115.408 (đồng)

Lời giải Chọn A

4m

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, ta có bán kính của đường tròn là R  4222 2 5

Phương trình của nửa đường tròn  C là: x2 y2 20 ,y 0 y 20x2

Parabol  P có đỉnh O0;0 và đi qua điểm 2; 4nên có phương trình: yx2

Diện tích phần tô màu là:

2

1 2

Câu 34 (Sở GD Nam Định - 2019)Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên  Biết

rằng các tiếp tuyến với đồ thị y f x( ) tại các điểm có hoành độ x   ; 1 x 0; x  lần lượt 1tạo với chiều dương trục Ox các góc 30 , 45 , 60 Tính tích phân

I  

Lời giải Chọn A

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x  tại điểm có hoành độ x   là 1

Ta có 4  2 

0tan x.f co s x dx 1 J

Câu 36 (Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019)Trên một cánh đồng có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác

nhau Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất)

A 2,824m2 B 1, 989m 2 C 1, 034m 2 D 1,574m 2

Lời giải Chọn B

Gọi   2 2    2 2

C x y   C x y  là phương trình hai đường tròn biểu diễn phần

ăn cỏ của 2 con bò

21 2

Mình đề xuất đoạn này cho HS bấm máy thôi

Câu 37 (Sở GD Quảng Nam - 2019) Cho hàm số f x  không âm, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa

Xét trên đoạn 0 ;1, theo đề bài:   2    

Câu 38 (Sở Hà Tĩnh - 2019) Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol đỉnh S như

hình vẽ, biết rằng SO AB4m, O là trung điểm của AB Parabol được chia thành 3 phần

để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc 140000 đồng/ 2

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên dưới

Ta có parabol có phương trình: y 4 x2 và cung tròn A B có phương trình 1 1 y 4x2 Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường cong là 4x2 4x2 x  3 (không tính x  2) Do đó A 1 3; 1 và B1 3; 1

Từ đó suy ra đường thẳng OA và 1 OB lần lượt có phương trình 1 ;

3 3

4 cos 2 cos 2 cos d 2 cos 3 3cos 1 cos 2 d

 

2 2

3 0

3 0

Câu 39 (THPT Kim Liên - Hà Nội - Lần 2 - 2019)Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa

mỏng hình vuông cạnh 20 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng một nửa elip như hình bên Biết một nửa trục lớn AB 6cm, trục bé CD 8cm Diện tích bề mặt hoa văn

đó bằng

A 400 48  cm2 B 400 96  cm2. C 400 24  cm2. D 400 36  cm2

Lời giải Chọn A

Gọi S là diện tích của elip nằm ở góc phần tư thứ nhất 1

cm

Câu 40 (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Lần 2 - 2019) Cho đồ thi ̣  C của hàm số yx33x2 Go ̣i 1

( )d là tiếp tuyến của  C ta ̣i điểm A có hoành đô ̣ x A a Biết diê ̣n tı́ch hı̀nh phẳng giới ha ̣n bởi ( )d và  C bằng 27

4 , các giá tri ̣ của a thỏa mãn đẳng thức nào?

A 2a2  a 1 0 B a22a0 C a2  a 2 0 D a22a 3 0

Lời giải Chọn B

+ Ta có: y3x26xy( )a 3a26a

+ Phương trı̀nh tiếp tuyến ( )d của  C ta ̣i điểm Alà 2 3 2

y a  a x a a  a  + Phương trı̀nh hoành đô ̣ giao điểm của ( )d và  C là:

Phương trình hoành hoành độ giao điểm của parabol yx2 và đường thẳng ymx1là:

Câu 42 (THPT Ninh Bình - Bạc Liêu - 2019)Sân vận động Sports Hub (singapore) là nơi diễn ra lễ

khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015 Nền sân là một elip

 E có trục lớn dài 150 m , trục bé dài 90 m (Hình 3) Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng

vuông góc với trục lớn của  E và cắt  E ở M N (Hình a) thì ta được thiết diện luôn là một ,phần của hình tròn tâm I (phần tô đậm trong hình b) với MN là một dây cung và góc MIN 90 Để lắp máy điều hòa không khi cho sân vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu làm mái không đáng kể Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu?

A 57793m 3 B 115586 m 3 C 32162 m 3 D 101793m 3

Lời giải

3 1

Vậy  4 17

6

f 

Câu 44 (Sở GD Bắc Ninh - 2019) Cho hàm số y f x 

liên tục trên  \1; 0 thỏa mãn

1

ln 1 12

a b

.16

g x  px qx có đồ thị như hình vẽ bên dưới Đồ thị hàm số y f x  đi qua gốc tọa độ

và cắt đồ thị hàm số yg x  tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là 2 ; 1 ; 1 và m Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x g x  tại điểm có hoành độ x  2 có hệ số góc bằng 15

2

 Gọi

 H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x  vàyg x  (phần được tô đậm trong hình vẽ) Diện tích của hình  H bằng

a b

Câu 46 (THPT TX Quảng Trị - 2019)Cho hàm số y f x 

có đạo hàm liên tục trên 1;  

2914;

I  f x x có kết quả dạng a b 2

c

, (

A 81 B 27 C 89 D 35

Lời giải Chọn A

Trên đoạn 0;1, phương trình đã cho tương đương với:    

5 3

4f 0 4 f t dt

    (với t 1 x)

1 0

Câu 49 (Sở GD Tiền Giang - 2019) Một mảnh đất hình tròn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng

cây trên dải đất rộng 6m nhận tâm O làm tâm đối xứng (tham khảo hình vẽ dưới đây) Biết kinh

phí trồng cây là 70 nghìn đồng/m2 Số tiền cần để trồng cây trên dải đất đó gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A 8,1 triệu đồng B 8,4 triệu đồng C 4,8 triệu đồng D 4,9 triệu đồng

Lời giải

Chọn C

Xét đường tròn  O trong hệ trục Oxy Phương trình đường tròn là: x2y236y2 36x2Khi đó, diện tích miền đất dùng để trồng cây được xem là bằng hai lần diện tích miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 36x2 , trục hoành và hai đường thẳng x 3,x3

Kinh phí để trồng cây là 12π 18 3 70000 4,82 triệu đồng

Câu 50 (Hội 8 trường Chuyên - Lần 3 - 2019) Cho Parabol  P :yx2 và đường tròn  C có tâm

0;3

A , bán kính 5 như hình vẽ Diện tích phần được tô đậm giữa  C và  P gần nhất với

số nào dưới đây?

Lời giải Chọn C

Phương trình  C : 2  2

x  y  Tọa độ giao điểm của  P và  C là nghiệm của hệ phương trình:

3

π

6

x y x y x y x y

Câu 52 (THPT Vĩnh Phúc - Lần 2 - 2019) Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình

phẳng giới hạn bởi đường tròn   2  2

x  y   y  x  y  x , với   1 x  1 Nhận xét: Hình phẳng giới hạn bởi đường tròn   2  2

C x  y  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số   2

Câu 53 (Sở GD Cần Thơ - Mã 123 - 2019)Cho hàm số   4 3 2

đó m n p q r  , , , ,  Biết hàm số y  f    x có đồ thị như hình bên dưới

Số nghiệm của phương trình f x    16 m  8 n  4 p  2 q  r là

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số y f x , ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bản biến thiên suy ra phương trình đã cho có 4nghiệm phân biệt

O

1

f(1)

f(4) f(-1)

-∞

f(x) f'(x) x

e e

 chia hình chữ nhật đã cho thành hai phần có diện tích bằng nhau Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?

A 0;1 B 1; 2 C 2;3 D 3; 4

Lời giải Chọn C

Gọi S là phần được tô màu, 1 S2là phần còn lại của hình chữ nhật không được tô màu

2 1

1 2

B C

B C

 

 3 2

2

3 1

1 1

+ t

     

2 5

kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ Biết rằng nửa hình tròn



2 3 3



Lời giải Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ sao cho AB nằm trên Ox, các nửa đường tròn nằm trong góc phần tư thứ nhất và (0; 0)A khi đó ta có:

Nửa đường tròn nhỏ có phương trình: 2

4 ( 2)

y  x Nửa đường tròn lớn có phương trình: y 16 ( x4)2

Đường thẳng AC có phương trình 1

3

Hình phẳng ( )H giới hạn bởi y 4 ( x2)2 ; y 16 ( x4)2 ; 1

3

y x và trục : 0

Ox y 

4 ( 2)

33



1

x m y

điều kiện x6f x 327f x 14 0 , x  và f 1 0 Giá trị của f  2 bằng

Lời giải Chọn D

2

1 4089 4 0

Khi đó

8 3 1

122853t dt

Lời giải Chọn A

Câu 63 (Sở Nam Định - 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn

Ở đây I là tâm của hình tròn và cũng là trung điểm của F F , 1 2 F ,1 F là hai tiêu điểm của hình elip, 2 A là 2

đỉnh của elip, IF 2 3 m, F A 2 2 1m, Anh A dự định trồng cỏ Nhật toàn bộ phần diện tích tô đậm Hỏi số tiền để trả mua cỏ gần vơi số nào sau đây biết rằng giá cỏ Nhật là 65.000 đồng/m2

A 56.000đồng B 577.000đồng C 559.000đồng D 563.000đồng

Lời giải Chọn D

Ta chọn hệ trục Oxy như hình vẽ sau

Do đó, ta chỉ cần tính phần diện tích dương rồi nhân gấp đôi

Ta có, phương trình của đường tròn  C là x2y2 9 y  9x2

Phương trình hoành độ giao điểm của  C và  E là:

Câu 65 (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Lần 3-2019) Cho hàm số f x  thoả mãn f 1 5 và

2xf x  f x 6x với mọi x0 Tính  

9 4d

 f x x

Lời giải Chọn A

, phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính (hình vẽ) Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng AC bằng

A 32 2

43





23







Lời giải Chọn A

Gọi O là giao điểm của AC và BD Gắn hệ trực toạ độ Oxy vào hình vẽ như bên dưới