ĐÁP án ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA

Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được lập từ X.. Xác suất để số lấy được có chữ số tận cùng là 3 và chia hết cho 7 có kết quả gần nhất với số nào trong các

Câu 1 (Đề chính thức 2018) Ba bạn A, B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc

đoạn 1;17 Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng 

*) Số chia hết cho 3 : có 5 số thuộc tập 3;6;9;12;15 

*) Số chia cho 3 dư 1: có 6 số thuộc tập 1; 4;7;10;13;16 

*) Số chia cho 3 dư 2: có 6 số thuộc tập 2;5;8;11;14;17 

Ba bạn A, B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;17 thỏa mãn 

ba số đó có tổng chia hết cho 3 thì các khả năng xảy ra như sau:

 TH1: Ba số đều chia hết cho 3 có 53125 cách

 TH2: Ba số đều chia cho 3 dư 1 có 63216 cách

 TH3: Ba số đều chia cho 3 dư 2 có 3

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2018) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp

12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng

Lời giải

Chọn A

  10!

n  

Gọi H là biến cố “không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”

+ Đầu tiên xếp 5 học sinh lớp 12C thì có 5! cách xếp + Giữa 5 học sinh lớp C và ở hai đầu có 6 khoảng trống TH1: Xếp 5 học sinh của hai lớp A và B vào 4 khoảng trống ở giữa và 1 khoảng trống ở 1 đầu thì có 2.5! cách xếp

TH2: Xếp 5 học sinh vào 4 khoảng trống giữa 5 học sinh lớp C sao cho có đúng một khoảng trống có 2 học sinh thuộc 2 lớp A, B thì có 2!.2.3.4! cách xếp

Câu 3 (Đề chính thức 2018) Ba bạn A B C, , viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn

 1;14  Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

Số phần tử không gian mẫu: n   ( ) 143

Vì trong 14 số tự nhiên thuộc đoạn  1;14  có: 5 số chia cho 3 dư 1; 5 số chia cho 3 dư 2; 4 số chia hết cho 3.Để tổng 3 số chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau:

TH1: Cả 3 chữ số đều chia hết cho 3 có:4 (cách) 3

TH2: Cả 3 số chia cho 3 dư 1 có: 3

5 (cách) TH3: Cả 3 số chia cho 3 dư 2 có: 3

5 (cách) TH4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3; một số chia cho 3 dư 1; một số chia 3 dư 2 được ba người viết lên bảng nên có: 4.5.5.3!(cách)

Gọi biến cố E:” Tổng 3 số chia hết cho 3”

Ta có: n E  ( ) 4 5 53  3 3 4.5.5.3! 914 

Vậy xác suất cần tính:

3

914 457( )

Có u n12u n 2n u1 Xét logu1 2 log u12 logu10 2 logu10 (*)

Đặt tlogu12 logu10, điều kiện t   2

Đường thẳng MN còn tiếp xúc với đồ thị ( )C tại điểm A Như vậy, nếu A có hoành độ là x 0

(1) có 1 nghiệm kép và 2 nghiệm đơn phân biệt nên đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị ( )C tại

A và cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt M N, khác A

(2) có 1 nghiệm kép và 2 nghiệm đơn phân biệt nên đường thẳng MN tiếp xúc với đồ thị ( )C tại

A và cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt M N, khác A

x y

Lời giải Chọn C

ĐK:x1; 



 2

1'

( 1)

y x

Đường thẳng d qua A có hệ số góc k là yk x a(  ) 1

2( 1)

x

k x a

x k

x

x x

 

2x26x a  3 0 3

Để đồ thị hàm số có một tiếp tuyến qua A thì hệ là số nghiệm của hệ phương trình trên có

nghiệm duy nhất  phương trình  3 có nghiệm duy nhất khác 1

y x



 

Giả sử tiếp tuyến đi qua A a ;1 là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xx0, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng :

0 0 2

0 0

21

11

x

x x

0 0 2

0

21

Câu 7 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2019) Cho lưới ô vuông đơn vị, kích thước 4 6

như sơ đồ hình vẽ dưới Một con kiến bò từ A mỗi lần di chuyển nó bò theo một cạnh hình vuông

để tới mắt lưới liền kề Có bao nhiêu cách thực hiện hành trình để sau 12 lần di chuyển nó dừng lại ở B?

A 3498 B 6666 C 1532 D 3489

Lời giải Chọn B

Vì con kiến sau 12 lần di chuyển dừng lại ở B nên hành trình của con kiến chỉ có thể gồm: 7 lần

bò sang phải 1 lần bò sang trái 4 lần bò xuống hoặc 6 lần bò sang phải 5 lần bò xuống 1 lần bò lên

Ta ký hiệu:” L: bò lên; X: bò xuống; P: bò sang phải; T: bò sang trái”

TH 1: Hành trình con kiến bao gồm: 7 lần bò sang phải 1 lần bò sang trái 4 lần bò xuống Số

hành trình trường hợp này là số cách xếp 7 chữ P; 1 chữ T; 4 chữ X vào 12 ô theo thứ tự và chữ

T phải nằm trong các chữ P Ta xếp 4 chữ X trước có C124 cách Vì chữ T phải nằm trong các chữ P có 6 cách xếp  Số hành trình loại này là: 6.C124

TH 2: Hành trình con kiến bao gồm: 6 lần bò sang phải 5 lần bò xuống 1 lần bò lên Tương tự

như trường hợp 1  Số hành trình loại này 4.C126

Vậy số cách thực hiện hành trình để sau 12 lần di chuyển con kiến dừng lại ở B là:

6.C 4.C 6666

Câu 8 (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - Lần 1 - 2019)Hai bạn A và B mỗi bạn lên bảng viết ngẫu

nhiên một số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau Xác suất để các chữ số có mặt ở hai số

đó giống nhau đồng thời tổng lập phương các chữ số đó chia hết cho 3 là

Gọi X là biến cố “A và B viết được các số có 3 chữ số abc, def sao cho a b c; ;   d e f; ; 

”

Nếu a b c; ;  có chứa chữ số 0 và 2 phần tử còn lại:

Nếu a b c không chứa chữ số 0, có 2 khả năng xảy ra: ; ; 

+ a b c, , cùng thuộc M hoặc N hoặc P thì số cách chọn là:  3!2 3!2 3! 2

+ Mỗi số a b c, , thuộc 1 tập khác nhau trong M , N , P thì số cách chọn là:  1 1 1  2

n



Câu 9 (Chuyên KHTN - Lần 2 - 2019) Cho một đa giác đều 48 đỉnh Lấy ngẫu nhiên ba đỉnh của đa

giác Tìm xác suất để tam giác tạo thành từ ba đỉnh đó là một tam giác nhọn

A 33

33

11

22.47

Lời giải

Chọn C

Ta có C483

Gọi  O là đường tròn ngoại tiếp đa giác A là 1 đỉnh bất kỳ của đa giác, kẻ đường kính

AA thì A cũng là một đỉnh của đa giác Đường kính AA chia  O thành hai nửa đường tròn Gọi T: “là biến cố lấy ba đỉnh tạo thành một tam giác nhọn”

T “là biến cố lấy ba đỉnh tạo thành một tam giác vuông hoặc tam giác tù”

Câu 10 (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2019)Cho tập hợp X 1, 2,3, 4,5, 6,7,8 Từ tập hợp X

lập được một số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau Xác suất để số lập được chia hết cho

A A A

Lời giải Chọn C

Số các số tự nhiên lập được từ tập hợp X có 8 chữ số đôi một khác nhau là: 8!

Gọi na a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 là số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau đôi một được lập từ tập hợp X

i i

5 6 7 8 5

.10 i i i

Hơn nữa, x1.1000x2.100x3.10x41111.k (*), k là số nguyên dương không vượt quá 9

Ta nhận thấy chỉ có trường hợp x1x2 x3x4 thì (*) thỏa mãn

i i

x



Suy ra mỗi cặp a a i; i4 1;8 , 2;7 , 3;6 , 4;5        

Vậy số số tự nhiên n1111 là  4

4! 2! 384 Suy ra xác suất là 384

8!

Câu 11 (THPT Quảng Xướng 1 - Thanh Hóa - Lần 3 - 2019) Gieo đồng thời 3 con súc sắc Bạn là

người thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt 6 chấm Xác suất để trong 6 lần chơi thắng ít nhất

4 lần gần nhất với giá trị nào dưới đây

A 1, 24.105 B 3,87.104 C 4.104 D 1,65.107

Lời giải Chọn C

Gọi B là biến cố gieo đồng thời 3 súc sắc Gọi biến cố là B B B lần lượt là các biến cố gieo 1, 2, 3súc sắc 1; 2; 3

Xác suất để các súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là  1  2  3

Câu 12 (Chuyên Sơn La - Lần 1 - 2019) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác

nhau Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tậpS Xác suất để số được chọn chia hết cho

3 bằng

A 11.

21

12

23.32

Lời giải Chọn A

Trước hết ta tính ( )n S Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên có

9 cách chọn và có A98 cho 8 vị trí còn lại Vậy n S( )9A98

Giả sử B 0;1; 2; ;9 ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 3 nên số có chín chữ số đôi một

khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các tập

Câu 13 (Chuyên QH Huế - Lần 2 - 2019) Tung một con xúc sắc không đồng chất thì xác suất xuất hiện

mặt hai chấm và ba chấm lần lượt gấp hai và ba lần xác suất xuất hiện các mặt còn lại, xác suất xuất hiện các mặt còn lại như nhau Xác suất để sau 7 lần tung có đúng 3 lần xuất hiện số mặt chẵn và 4 lần xuất hiện số mặt lẻ gần bằng số nào sau đây?

A 0, 234 B 0, 292 C 0, 2342 D 0, 2927

Lời giải Chọn D

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt i chấm i i 1, 2,3, 4, 5, 6

Gọi xác suất xuất hiện các mặt còn lại là P A 1 P A 4 P A 5 P A 6 x

Khi đó xác suất xuất hiện mặt hai chấm là P A 2 2x

Khi đó xác suất xuất hiện mặt ba chấm là P A 3 3x

P A P A P A 

Xác suất xuất hiện mặt lẻ là  1  3  5

59

P A P A P A 

Xác suất cần tìm là

3 7

Câu 14 (Sở GDĐT Bình Phước - 2019) Gọi S là tập hợp gồm các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác

nhau Lấy ngẫu nhiên một số trong tập S Xác suất để số lấy ra có dạng a a a a a1 2 3 4 5 với

Gọi A là biến cố lấy ra số có dạng a a a a a1 2 3 4 5 với a1a2 a3 và a3a4a5

Giả sử a3n n, 0 ;1; 2; ;9 Vì a1;a a a a2; 3; 4; 5 đôi một khác nhau và

C  C





Số phần tử của không gian mẫu là: 9 A 94 27216

Vậy xác suất của biến cố A là:   1134 1

Câu 16 (HSG 12 - TP Nam Định - 2019) Cho tập X 1; 2;3; ;8 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên

có 8 chữ số đôi một khác nhau được lập từ X Lấy ngẫu nhiên một số từ tập A Tính xác suất

để số được lấy chia hết cho 2222

A

2 2 2

8 6 48!

Lời giải

Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu là 8!

Gọi xA và xa a a a b b b b1 2 3 4 1 2 3 4 Do 1111 và 2 nguyên tố cùng nhau nên x chia hết cho

2222 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 1111 hay b4 là số chẵn và x chia hết

Câu 17 (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số

đôi một khác nhau Lẫy ngẫu nhiên một số thuộc tập X Tính xác suất để số lấy được luôn chứa

đúng ba số thuộc tập Y 1; 2;3; 4;5 và ba số đứng cạnh nhau, số chẵn đứng giữa hai số lẻ

Số phần tử của không gian mẫu là   5

99

-Xếp các chữ số và ba chữ số được chọn thành số có 6 chữ số có 4! cách

Vậy trường hợp này có 1 2 3

2 3.2! 4.4! 1152

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A   1296 1152 2448

Xác suất của biến cố A là    

Câu 18 (Sở GD Nam Định - 2019) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số, lấy ngẫu nhiên một

số từ tập S Xác suất để số lấy được có chữ số tận cùng là 3 và chia hết cho 7 có kết quả gần

nhất với số nào trong các số sau?

A 0,014 B 0,012 C 0,128 D 0,035

Lời giải Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu là   6

9.10 9000000

Cách 1

Gọi A là biến cố lấy được số có chữ số tận cùng là 3 và chia hết cho 7

Số tự nhiên có 7 chữ số có chữ số tận cùng là 3 và chia hết cho 7có dạng N3, trong đó N là số

Do m  nên 14285 m 142856 Suy ra có 128572 giá trị m thỏa mãn

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A   128572

Xác suất của biến cố A là    

 

128572

0, 0149000000

Gọi b là phần tử bất kỳ của A Do b có chữ số tận cùng là 3 nên b chia hết cho 10 a

Mặt khác a b, đều chia hết cho 7 nên b chia hết cho 7 a

Suy ra có 128572 giá trị m thỏa mãn Vậy A có 128572 phần tử

Xác suất của biến cố A là    

 

128572

0, 0149000000

Câu 19 (THPT Đô Lương 3 - Nghệ An - Lần 1 - 2019) Cho S là tập có 5 phần tử Hai bạn học sinh

Số tập con của tập có 5 phần tử là: 5

2 32 tập con

Số cách bạn A B viết hai tập con lên bảng là , n    32.32 1024 kết quả

Gọi A:" Hai bạn học sinh A B lên bảng và mỗi người viết một tập con của , S để trên bảng có đúng 3 phần tử của S ''

TH1: Có một bạn viết tập hợp , một bạn viết tập có 3 phần tử có: 3

5

2.C 20 kết quả

TH2: Có một bạn viết tập hợp một phần tử và một bạn viết tập có 2 phần tử khác phần tử tập đầu có: 1 2 2 1

Câu 20 (Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - Lần 2 - 2019) Hai mươi lăm em học sinh lớp 12A

được xếp ngồi vào một vòng tròn trong đêm lửa trại Ba em học sinh được chọn( xác suất được lựa chọn đối với mỗi em là như nhau) và cứ tham gia một trò chơi Xác suất để ít nhất haie m trong ba em học sinh được chọn ngồi cạnh nhau là

TH1: ba em được chọn ngồi kề nhau xem như là một nhóm có 25 cách

TH2: hai em được chọn ngồi gần nhau là 1 nhóm em còn lại không ngồi kề có 25.21525

Câu 21 (THPT Trần Phú - Hà Nội - 2019)Với mỗi số nguyên dương n , gọi s là số cặp số nguyên n

x y thỏa mãn ;  x2y2 n2 (nếu ab thì hai cặp số a b và ;  b a khác nhau) Khẳng định ; 

nào sau đây là đúng?

 

Lời giải Chọn C

Cách 1:

Xét điểm M x y bất kì nằm trong (tính cả biên) của hình tròn  ;  C n: 2 2 2

x y n Mỗi điểm M tương ứng với một và chỉ một hình vuông đơn vị S M nhận   M là đỉnh ở góc trái, phía dưới, có các cạnh lần lượt song song hoặc nằm trên các trục tọa độ

Ta được s bằng số các hình vuông n S M và bằng tổng diện tích của   S M , với   MC n Nhận xét: các hình vuông S M ,   S M đều nằm trong hình tròn   C n 2: 2 2  2

Cách 2: Gọi D là số cặp số nguyên n x y thỏa mãn ;  x2y2n2 với x y và E là số cặp số n

nguyên x x thỏa mãn ;  x2y2 n2 Ta có E là số các số nguyên k sao cho n 2k2 n2, từ 2

Tiếp theo, ta đánh giá D n

Tổng số cặp số nguyên x y thỏa mãn ;  x2y2n2 với x y là 4N với n N là số các cặp số n

tự nhiên x y thỏa mãn ;  x2y2n2 và x y Giả sử   2

Câu 22 (THPT Vĩnh Phúc - Lần 2 - 2019) Cho tập A 1; 2;3; ;100 Gọi S là tập hợp các tập con

của A , mỗi tập con này gồm 3 phần tử và có tổng các phần tử bằng 91 Chọn ngẫu nhiên một

phần tử của S Xác suất để chọn được một tập có 3 phần tử lập thành cấp số nhân là

Lời giải Chọn C

Nếu a30  b c 61không có bộ nào thỏa mãn

Vậy số phần tử không gian mẫu là  (43 42) (40 39) (4 3) 1 645       

+)Gọi q là công bội của cấp số nhân

Câu 23 Có hai hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang một màu trắng hoặc đen Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp

đúng một viên bi Biết tổng số bi ở hai hộp là 20 và xác suất để lấy được hai viên bi đen là 55

84 Tính xác suất để lấy được hai viên bi trắng

Gọi x là số bi ở hộp 1 (điều kiện:x 1;19 )

 Số bi ở hộp 2 là 20 x (20 x 0)

Gọi a là số bi đen ở hộp 1; b là số bi đen ở hộp 2 (điều kiện:a b ; 1;19 )

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ; 20x  ta có:x

220

Do x;20x nguyên dương và x20x100 nên

Vậy hộp 1 có 14 viên bi trong đó có 11 bi đen  hộp 1 có 3 bi trắng

và hộp 2 có 6 viên bi trong đó có 5 bi đen  hộp 2 có 1 bi trắng

 Xác suất để lấy được 2 bi trắng là: 3 1 1

14 628

Trường hợp 2: a5;b11x  5 x 6;19

Mà x20x842.2.3.7x6

Vậy hộp 1 có 6 viên bi trong đó có 5 bi đen  hộp 1 có 1 bi trắng

và hộp 2 có 14 viên bi trong đó có 11 bi đen  hộp 2 có 3 bi trắng

 Xác suất để lấy được 2 bi trắng là: 1 3 1

6 14 28

Câu 24 Có hai hộp chứa các quả cầu màu xanh và màu đỏ Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên đúng một quả

cầu Biết tổng số quả cầu trong hai hộp là 20 và xác suất để lấy được hai quả cầu màu xanh là 55

84 Tính xác suất để lấy được hai quả cầu màu đỏ

Gọi ,x z lần lượt là số quả cầu xanh trong hộp 1 và 2

Gọi y t, lần lượt là số quả cầu đỏ trong hộp 1 và 2

Theo giả thiết ta có

55

84 5584

Câu 25 (Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Ba cầu thủ sút phạt đền 11m, mỗi người sút một lần với

xác suất ghi bàn tương ứng là ,x y và 0, 6 (với xy) Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu

thủ ghi bàn là 0, 976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 0, 336 Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.

A P 0, 4525 B P 0, 4245 C P 0, 435 D P 0, 452

Lời giải Chọn D

Xác suất để ba cầu thủ không ghi bàn lần lượt là 1x; 1y; 0, 4

 Xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là:

Câu 26 (Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Trò chơi quay bánh xe số trong chương trình truyền hình

“Hãy chọn giá đúng” của kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: 5, 10, 15,., 100 với vạch chia đều nhau và giả sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau Trong mỗi lượt chơi có 2 người tham gia, mỗi người được quyền chọn quay 1 hoặc 2 lần, và điểm số của người chơi được tính như sau:

+ Nếu người chơi chọn quay 1 lần thì điểm của người chơi là điểm quay được

+ Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được không lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được

+ Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được lớn hơn 100 thì điểm của người chơi

là tổng điểm quay được trừ đi 100

Luật chơi quy định, trong mỗi lượt chơi người nào có điểm số cao hơn sẽ thắng cuộc, hòa nhau

sẽ chơi lại lượt khác An và Bình cùng tham gia một lượt chơi, An chơi trước và có điểm số là

75 Tính xác suất để Bình thắng cuộc ngay ở lượt chơi này

Câu 27 (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Cho S là tập hợp các số tự nhiên từ 1 đến

100 Chọn ngẫu nhiên độc lập hai số a và b thuộc tập hợp S (với mỗi phần tử của tập S có khả năng lựa chọn như nhau) Xác suất để số x 3a3b chia hết cho 5 bằng:

A 1

1

1

1.4

Lời giải Chọn D

Cách 1

Nhận xét rằng:

3n chia 5 dư 1 khi n chia 4 dư 0 Có 25 số chia hết cho 4

3n chia 5 dư 3 khi n chia 4 dư 1 Có 25 số chia 4 dư 1

3n chia 5 dư 4 khi n chia 4 dư 2 Có 25 số chia 4 dư 2

3n chia 5 dư 2 khi n chia 4 dư 3 Có 25 số chia 4 dư 3

Như vậy, để chọn được số a và b sao cho x chia hết cho 5 thì xảy ra 4 trường hợp:

Trường hợp 1: a chia 4 dư 0 và b chia 4 dư 2

Câu 28 Một hội nghị gồm 6 đại biểu nước Anh, 7 đại biểu nước Pháp và 7 đại biểu nước Nga, trong đó

mỗi nước có 2 đại biểu là nam Chọn ngẫu nhiên ra 4 đại biểu Xác suất chọn được 4 đại biểu để trong đó mỗi nước đều có ít nhất một đại biểu và có cả đại biểu nam và đại biểu nữ bằng:

Không gian mẫu:   4

20

n  C Gọi:

A là biến cố: “trong 4 đại biểu được chọn, mỗi nước có ít nhất 1 đại biểu”

4 20

 3    1  2

19374845

Câu 29 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng, lần 1) Cho A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5

chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị là chữ số 1

Số các số tự nhiên có 5 chữ số là 4  

9.10 90000n A 90000

Số phần tử của không gian mẫu là n    90000

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là x abcd  1

Ta có x abcd  1 10  abcd   1 3 abcd  7 abcd  1

Để x abcd  1 chia hết cho 7  3 abcd  1 7 

3

k abcd  k k abcd k  là số nguyên 1

Câu 30 Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam và 5

nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ

Số phần tử không gian mẫu là n()=10!

Gọi biến cố A: “ Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ”

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 10 cách

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 2 có 8 cách (Không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất) Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có 6 cách (Không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai)

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 4 có 4 cách (Không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai, thứ ba)

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 5 có 2 cách (Không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư)

63

Câu 31 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh L3-1819)Trước kì thi học sinh giỏi, nhà trường tổ chức buổi gặp

mặt 10 em học sinh trong đội tuyển Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành cấp

số cộng Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế và mỗi ghế chỉ được ngồi một học sinh Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau

5!.2

n A  cách xếp để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau

Xác suất cần tìm là  

 

5!.2 110! 945

n A p n

Câu 32 Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9

Lấy ngẫu nhiên một số trong tập tập hợp X Gọi A là biến cố lấy được số có đúng hai chữ số

1, có đúng hai chữ số 2, bốn chữ số còn lại đôi một khác nhau, đồng thời các chữ số giống nhau không đứng liền kề nhau Xác suất của biến cố A bằng

Ta có không gian mẫu n    9 8

Lấy số có 8 chữ số mà có 2 số 1, 2 số 2, bốn số còn lại đôi một khác nhau thì có 4

7

8!

.2!.2!

C cách Trường hợp 1: 2 số 1 đứng kề nhau coi là một số, 2 số 2 đứng kề nhau coi là một sô, vậy có tất

cả 4

76!.C cách

Trường hợp 2: 2 số một đứng cạnh nhau coi là một sô, 2 số 2 không đứng cạnh nhau và ngược lại có 4  2 

Câu 33 Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc bốn lần và quan sát số chấm xuất hiện Tính xác suất số chấm

không nhỏ hơn 4 xuất hiện ít nhất 3 lần trong 4 lần gieo

mỗi lần gieo là một số trong 4 ô ở trên

Số phần tử không gian mẫu là   4

6

n  

Gọi A là biến cố “số chấm không nhỏ hơn 4 xuất hiện ít nhất 3 lần trong 4 lần gieo”

Gọi A là biến cố “số chấm không nhỏ hơn 4 xuất hiện trong đúng 3 lần gieo” 1

Gọi A là biến cố “Cả 4 lần gieo đều xuất hiện số chấm không nhỏ hơn 4” 2

Ứng với mỗi cách gieo có số chấm xuất hiện trong 3 ô màu đỏ, ở ô còn lại có thể là số 1,2,3 Vậy   3

1 4.3.3.3.3

n A C (cách)

+ Xét biến cố A “Cả 4 lần gieo đều xuất hiện số chấm không nhỏ hơn 4” 2

Mỗi lần gieo có thể xảy ra 1 trong 3 khả năng nên có 3.3.3.3 (cách)

Vậy xác suất phải tìm là      

Câu 34 Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ tập X 6 ; 7 ;8, trong đó chữ số 6 xuất

hiện 2 lần, chữ số 7 xuất hiện 3 lần, chữ số 8 xuất hiện 4 lần Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S ,

tính xác suất để số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6

Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a a1, , 2 , a k Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a n1, 2 phần tử a2, ,n k phần tử a k n1n2   nk  n theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu n n1, , 2 , n k của k phần tử

Số các hoán vị lặp cấp n kiểu n n1, , 2 , n k của k phần tử là:

+ TH1: Hai số 6 đứng cạnh nhau: Ta xem hai số 6 đứng cạnh nhau như một phần tử, khi đó ta có

8 phần tử, trong đó có ba chữ số 7 và bốn chữ số 8 Trường hợp này có 8!

3!.4! (số)

+ TH2: Giữa hai số 6 có một số 8: Ta xem chúng như một phần tử, khi đó ta có 7 phần tử, trong

đó có ba chữ số 7 và ba chữ số 8 Trường hợp này có 7!

3!.3! (số)

+ TH3: Giữa hai số 6 có hai số 8: Ta xem chúng như một phần tử, khi đó ta có 6 phần tử, trong

đó có ba chữ số 7 và hai chữ số 8 Trường hợp này có 6!

3!.2! (số)

+ TH4: Giữa hai số 6 có ba số 8: Ta xem chúng như một phần tử, khi đó ta có 5 phần tử, trong

đó có ba chữ số 7 và một chữ số 8 Trường hợp này có 5!

3! (số)

+ TH5: Giữa hai số 6 có bốn số 8: Ta xem chúng như một phần tử, khi đó ta có 4 phần tử, trong

Câu 36 (THPT Minh Khai - lần 1)Cho một đa giác đều 10 cạnh nội tiếp đường tròn  O Hỏi có bao

nhiêu hình thang cân có bốn đỉnh là đỉnh của đa giác đều đó?

Lời giải Chọn A

Trường hợp 1: Chọn hình thang cân có trục là đường thẳng  đi qua 2 đỉnh đối diện của đa giác (như hình vẽ)

Có 5 trục 

Với mỗi trục  có 4 đoạn thẳng dùng để làm 2 đáy của hình thang cân do đó có C 42 6 hình thang cân ( do có 1 hình trong số đó là hình chữ nhật)

Vậy có 5.630 hình thang cân

Trường hợp 2: Hình thang cân nhận đường thẳng  đi qua trung điểm của 2 cạnh đối

diện làm trục đối xứng (như hình vẽ)

Có 5 trục ,

mỗi trục có 5 đoạn thẳng dùng để làm 2 đáy của hình thang cân do đó có C 52 10

hình thang cân

Vậy có 5.1050 hình thang cân

Vậy tất cả có 30 50 80  hình thang cân

Câu 37 (THPT THUẬN THÀNH 3 - BẮC NINH) Cho dãy số  u n gồm các số dương thỏa mãn: