ĐÁP án ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA

Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh 2; 9I và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là m

Câu 1 (Đề chính thức 2018) Cho hàm số f x   thỏa mãn  2 1

 a b c d e , , , ,  Biết rằng đồ thị của hàm số y f x( ) và yg x( ) cắt nhau tại ba điểm có hoành

độ lần lượt 3; 1; 2 (tham khảo hình vẽ)

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Lời giải Chọn C

Vì phương trình f x( ) g x( ) 0 có 3 nghiệm 3; 1; 2 nên

2

dt

t   Đổi cận x0  ; t 2 x2 t 4Khi đó ta có

Câu 6 (Đề Tham Khảo 2017)Cho hàm số f x  thỏa mãn    

Câu 8 (Đề Tham Khảo 2017)Cho

b e

Câu 9 (Đề Tham Khảo 2017)Gọi S là diện tích hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y f x ,

trục hoành và hai đường thẳng x  1, x 2(như hình vẽ bên dưới) Đặt  

Câu 10 (Đề Tham Khảo 2018)Cho  H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x2, cung tròn có

phương trình y 4 x 2 (với 0x2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) Diện tích của  H bằng

Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được 3x2  4x2  x 1với 0x2

Câu 11 (Đề Thử Nghiệm 2017)Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và

độ dài trục bé bằng10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m Hỏi ông An 2

cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)

Lời giải Chọn B

5

81

8m

Khi đó số tiền là 40

20 3 100000 7652891,82 7.653.0003

Câu 12 (Đề chính thức 2017)Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (v km h phụ thuộc vào / )

thời gian ( )t h có đồ thị vận tốc như hình bên Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển

động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh (2; 9)I và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A s15, 50(km ) B s23, 25(km )

C s13,83(km ) D s21, 58(km)

Lời giải Chọn D

Gọi phương trình của parabol v at2bt c ta có hệ như sau: 

Câu 13 (Đề chính thức 2017)Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc vkm/h phụ thuộc thời

gian t h có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I2; 9 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên Tính quãng đường smà vật di chuyển được trong 3 giờ đó

A s26,75 km  B s25, 25 km 

C s24, 25 km  D s24,75 km 

Lời giải Chọn D

Tìm được phương trình của vận tốc là   3 2 

s t t với t (giây) là khoảng

thời gian tính từ khi vật đó bắt đầu chuyển động và s m là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động,

vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bào nhiêu?

A 64 m/s  B 24 m/s  C 18 m/s  D 108 m/s 

Lời giải Chọn B

Vận tốc của vật chuyển động là   3 2   

122

Vậy vận tốc lớn nhất là 24 m/s  

Câu 15 (Đề chính thức 2017)Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời

gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I2; 9 với trục đối xứng song

song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó

A s26, 5 (km) B s24 (km) C s28,5 (km) D s27 (km)

Lời giải Chọn C

Gọi  P :yax2bx c 

Vì  P qua O0; 0 và có đỉnh I2; 9 nên dễ tìm được phương trình là 

 9 2

94

Ta có : vs  t2 12t ; v   2t 12, v   0 t 6

BBT

Nhìn bbt ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t 6.Giá trị lớn nhất là v 6 36 /m s

Câu 17 (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 1 - 2019) Cho hàm số

1

2 2

0 1

2

33

VT có bậc là 2n 1 hoặc 2; VP có bậc là n+1 Để VT=VP x   thì ta đồng nhất 2 vế, khi đó 1





 

 Suy ra ( )f x 2xKhi đó:

2 d1

Lời giải Chọn D

Câu 21 (HSG - TP Đà Nẵng - 2019) Cho hàm số f x  liên tục trên  và thỏa 2  2 

Đặt:

2 2

Suy ra

7126

a b c

Câu 26 (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - Lần 1 - 2019) Một thùng đựng rượu làm bằng gỗ là một hình

tròn xoay (tham khảo hình bên) Bán kính các đáy là 30 cm, khoảng cách giữa 2 đáy là 1 m, thiết diện qua trục vuông góc với trục và cách đều hai đáy có chu vi là 80 cm Biết rằng mặt phẳng qua trục cắt mặt xung quanh của bình là các đường parabol Thể tích của thùng gần với số nào sau đây?

A 425,2 (lít) B 284 (lít) C 212,6 (lít) D 142,2 (lít)

Lời giải Chọn A

` + Bán kính đáy 30cm3dm

+ Khoảng cách giữa 2 đáy là 1m10dm

+ Thiết diện qua trục vuông góc với trục hoành và cách đều hai đáy có chu vi là 80cm8dm

 chia hình chữ nhật

đã cho thành hai phần có diện tích bằng nhau Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?

A 0;1 B 1; 2 C 2;3 D 3; 4

Lời giải Chọn C

Gọi S là phần được tô màu, 1 S2là phần còn lại của hình chữ nhật không được tô màu

2 1

Câu 28 (Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - Lần 1 - 2019)Một vật chuyển động trong 4 giờ với

vận tốc v(km/ h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh (1;3)

I và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên Tính quãng đường s mà vật di

chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát

( )

v t at bt có dạng parabol đỉnh c I(1;3), đi qua điểmA(0; 4) và B(4;12)

12

3(0) 4

3

b a

a b c c

a b c

b a c

1 2

B C

B C

+ t

Quãng đường vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát được tính như sau

I xf x x x x x 

Câu 30 (Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - Lần 1 - 2019)Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục

trên khoảng (0;), biết f  x  2x1  f x  , 0 f x  ,   0 f x    , 0 x 0  2 1

6

f  Tính giá trị của P f 1  f 2   f2019

Câu 32 (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2019)Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa

mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên Biết AB 5cm, OH 4cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó

14cm

2

50 cm

Lời giải Chọn B

a c b

x  , x 5 là

5

2 0

ln sin cos

d ln 2cos

A 6 B 8

83



Lời giải Chọn D

Vì hàm số y f x  là hàm số đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ nên hàm số có dạng:

24

x x

x x

   

4 2

Câu 35 (HSG 12 - Bắc Ninh - 2019)Cho hình phẳng  H được giới hạn bởi đường cong y m2x2

( mlà tham số khác 0 ) và trục hoành Khi  H quay quanh trục hoành ta được khối tròn xoay

có thể tích V Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để V 1000

Lời giải Chọn A

Nên có 19 giá trị nguyên của mthỏa điều kiện trên là m  9;9 , m  1

Hơn nữa theo bài ra ta có m 0  2

Từ  1 và  2 ta có 18 giá trị nguyên của mlà m  9;9 \ 0 ,   m

Câu 36 (HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019)Cho hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị  C :y x1,

trục hoành, trục tung và đường thẳng y 1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H xung quanh trục hoành

Vẽ hình phẳng  H trên hệ trục tọa độ như trên, ta có

Phương trình hoành độ giao điểm của đò thị hàm sso y x và 1 y 1 là

x  x

Thể tích khối tròn xoay bằng thể tích khối trụ có bán kính đáy r  , chiều cao 1 h 2 trừ thể tích hình tròn xoay giới hạn bởi y  x , trục hoành và các đường thẳng 1 x  , 1 x 2 quay quanh trục hoành

f e e

 Tính tích phân

2( )d

e e

Ta có: x f2 ( ) lnx  xxf x( )ln2x0,  x e e; 2

1( ) ln ( )

f x x

Chọn A

Ta có

4 2 0

tan

cos

x u

Câu 39 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2019)Một khối nón có bán kính đáy bằng 2 cm , chiều

cao bằng 3 cm Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60 khối nón thành hai

phần Tính thể tích V phần nhỏ hơn ( tính gần đúng đền hàng phần trăm)

A V 1, 53cm3 B V 2, 47cm3 C V 1, 42cm3 D V 2,36 cm3

Lời giải Chọn C

Gọi M , N là giao điểm của mặt phẳng đi qua đỉnh với đường tròn đáy, AB là đường kính của đường tròn đáy; ABMN

Gọi I MNAB I là trung điểm của MN

 là trung điểm của OA

Gọi V là thể tích của phần nhỏ hơn Ta có: 1

.3

V  S h

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm của đường tròn đáy, tia OxOA

; tia Oy cùng hướng với IN

Khi đó: I1;0; A2;0; đường tròn đáy có phương trình x2 y2 4

Diện tích phần cần tìm là

2

2 1

S   x x Đặt x2 sint dx2 cos dt t

Câu 40 (Chuyên QH Huế - Lần 2 - 2019)Cho parabol  P có phương trình yx2 và đường thẳng d

đi qua điểm A1;3 Giả sử khi đường thẳng d có hệ số góc k thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P và đường thẳng d nhỏ nhất Giá trị thực của k thuộc khoảng nào sau đây?

A  ; 3 B 3;  C 3; 0 D 0;3

Lời giải Chọn D

N

M

I O

Pa b

A P 4 B P  8 C P 8 D P  4

Lời giải Chọn B

Xét tích phân

e

1

lnd

21

Câu 42 (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2019) Một chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v(

km/h) phụ thuộc thời gian t( h ) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I   1;1 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên Tính quãng đường s mà vật đi được trong 4 giờ

Quãng đường mà vật đi được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát là:

ln3

B f t dt

Câu 47 (THPT Quảng Xướng 1 - Thanh Hóa - Lần 3 - 2019)Tính thể tích V của vật thể tròn xoay

sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx lnx, trục hoành và đường thẳng e

x  quay quanh Ox

A

3

2e 19

3

2e 13

3

2e 19

3

2e 13

V   

Lời giải Chọn A

V   

Câu 48 (THPT Quảng Xướng 1 - Thanh Hóa - Lần 3 - 2019)Một viên gạch hoa hình vuông cạnh

Người thiết kế đã sử dụng 4 đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra

4 cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên) Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Ký hiệu diện tích một cánh hoa, diện tích một hình parabol,diện tích hình vuông lần lượt là

80cm

P y x Diện tích parabol chính là diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường

Xét trên đoạn 1; 2, chia cả hai vế của phương trình  1 cho x 12, ta được:

Câu 50 (Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x liên tục, có đạo hàm trên 1; 0

A A B B như hình vẽ Người ta chia Elip bởi parapol có đỉnh B ,trục đối xứng 1 B B và đi 1 2

qua các điểmM N, Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/m2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng/m2.Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết

1 2 4

A A  m,B B1 2 2 , m MN2m

A 2.341.000 đồng B 2.057.000 đồng C 2.760.000 đồng D 1.664.000 đồng

Lời giải Chọn A

Vì Parabol có đỉnh B0; 1  và đi qua 1; 3

x

y   là:

2 1

Câu 52 (Hội 8 trường Chuyên DBSH - Lần 2 - 2019) Cho hai hàm số 3 2 1

g x dx ex ( , , , ,a b c d e   Biết rằng đồ thị hàm số ) y f x( ) và yg x( ) cắt nhau tại

ba điểm có hoành độ lần lượt là 3; 1;1  (tham khảo hình vẽ)

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho (miền tô đậm) có diện tích bằng

2

Lời giải Chọn C

Câu 53 (THPT Ngô Quyền - Hải Phòng - Lần 2 - 2019)Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt

trong của thùng) là một đường elip có độ dài trục lớn bằng 2m , độ dài trục bé bằng 1m , chiều

dài (mặt trong của thùng) bằng 3,5m Thùng được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình dưới) Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ điểm thấp nhất của đáy thùng đến mặt dầu) là 0, 75m Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến hàng

phần trăm)

A V 4, 42m3 B V 3, 23m3 C V 1, 26m3 D V 7, 08m3

Lời giải Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ Oxy trên thiết diện ngang của thùng dầu như hình vẽ

Vì vậy thiết diện ngang của thùng dầu là elip có 2 2

a b

Giao điểm của elip x24y2 và đường thẳng 1 1

1 0

Câu 54 (THPT Kim Liên - Hà Nội - Lần 2 - 2019)Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên , đồ thị

hàm số y f x như hình vẽ Biết f a   0, tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y f x với trục hoành

Lời giải Chọn C

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số f x 

b a

Câu 55 (THPT Kim Liên - Hà Nội - Lần 2 - 2019)Cho hàm số f x  liên tục và có đạo hàm trên đoạn

Đặt: ux; dv f x e f x dx suy ra dudx, chọn ve f x 

5 0

Câu 56 (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2019)

Biết Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm

ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ

1 20

R  cm, bán kính đường tròn lớn R2 30cm và mặt cắt khi cắt

bới mặt phẳng đi qua trục, vuông góc với mặt phẳng nằm ngang là

hai đường tròn Bỏ qua độ dày của vỏ săm Tính thể tích không khí

chứa được bên trong săm

A.1400 cm 3 B 12502cm3 C 25002cm3 D 6002cm3

Lời giải Chọn B

Thiết diện ngang của săm là hình tròn có bán kính RR2R15cm

Chọn hệ trục tọa độ có gốc trùng với tâm O của các đường tròn, khi thiết diện ngang của săm sẽ

là đường tròn tâm I0; 25 và bán kính R 5 Ta có phương trình đường tròn

Câu 60 (Sở GD Hưng Yên - 2019) Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 4 cm

, chiều cao trong lòng cốc là 12cm đang đựng một lượng nước Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết rằng khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì ở đáy cốc, mực nước trùng với đường kính đáy

A 128 cm 3 B 256 cm3 C 256 cm 3 D 128 cm3

Lời giải Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ trên

Gọi  là góc tạo bởi bề mặt nước nghiêng và mặt đáy của cốc

Suy ra thiết diện này là tam giác vuông ABC

Mặt khác: ABBC tan R2x2 tan

ln 1 2

d ln 5 ln 3 ln 22



a

   , b 3, c 2

Vậy a2b c 5

Câu 63 (THPT Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2019)Cho một mô hình 3 D mô phỏng một đường hầm

như hình vẽ bên Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5 cm ; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức 3 2

5

y  x  cm , với

x  cm là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình Tính thể tích (theo đơn

vịcm3 ) không gian bên trong đường hầm mô hình ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị )

Lời giải Chọn A

Xét một thiết diện parabol có chiều cao là h và độ dài đáy 2h và chọn hệ trục Oxy như hình

dx3

Từ giả thiết bài toán  f(4 ) dx xx23xc

3 2

m   D  1

248

f

m  

Lời giải Chọn C

Câu 67 (Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019)Bạn An cần mua một chiếc gương có đường viền là đường

Parabol bậc 2 ( xem hình vẽ) Biết rằng khoảng cách đoạn AB 60 cm, OH 30 cm Diện tích của chiếc gương bạn An mua là

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Đường viền chiếc gương là đường Parabol

b a

Câu 69 (Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019)Một thùng rượu có bán kính đáy các đáy là 30 cm,thiết diện

vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40 cm,chiều cao thùng rượu là 1 m (hình vẽ) Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh của thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu?

A 425162 lít. B 212581 lít. C 425, 2 lít D 212, 6 lít.

Lời giải Chọn C

Câu 70 (Liên Trường Nghệ An - Lần 2 - 2019)Ông An có một cái bình đựng rượu, thân bình có hai

phần: phần phía dưới là hình nón cụt, phần trên là hình cầu bị cắt bỏ 2 đầu chỏm (Hình 1)