Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh TriếtGIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A LÝ THUYẾT: ICho hàm số y=fx xác định trên tập D.. Đặc biệt : Khi trên bảng biến thiên có duy nhất mộ
Trang 1Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Triết
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A) LÝ THUYẾT:
I)Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D
1) Số M gọi là GTLN của hàm số f(x) trên D nếu :
=
∈
∃
≤
∈
∀
M x f D x
M x f D
x
) ( /
) (
; 0 0
.Kí hiệu
)
( x
Maxf
2) Số m gọi là GTNN của hàm số f(x) trên D nếu :
=
∈
∃
≥
∈
∀
m x f D x
m x f D
x
) ( /
) (
; 0 0
.Kí hiệu
) (
II)Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số y = f(x) :
1) Dùng phương pháp đạo hàm :
a) Trường hợp hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng hoặc nửa khoảng :
Cách giải : +Tìm các điểm tới hạn trên khoảng hoặc nửa khoảng cho trước
+ Lập bảng biến thiên rồi từ đố suy ra kết quả
Đặc biệt : Khi trên bảng biến thiên có duy nhất một cực trị : -Nếu cực trị của hàm số là ycđ thì ycđ = max y trên D
-Nếu cực trị của hàm số là yct thì yct = min y trên D
b) Trường hợp hàm số liên tục trên đoạn [a;b]:
Cách giải : +Tìm các điểm tơi hạn của hàm số trên đoạn [a;b]
+Tính f(a);f(b);f(xi) với xi là các điểm tới hạn thuộc [a;b].Khi đó :
]
;
x f b f a f x
f b a
min ( ) min{ ( ); ( ); ( )}
]
;
x f b f a f x
f b
2) Dựa vào điều kiện phương trình có nghiệm (hay còn gọi là Miền giá trị của hàm số)
Cách giải: +Ta xem y là hằng số ,ta cần tìm y để phương trình f(x) = y có nghiệm x thuộc D
+Từ đó ta tìm ra miền giá trị của y và suy ra được GTLN-GTNN của hàm số
*Chú ý: 1) Cách giải này không cần chỉ ra giá trị của biến ứng với các GTLN-GTNN
2) Một số phương trình ta cần lưu ý đến điều kiện có nghiệm của nó như sau:
a) ax+ b = 0 có nghiệm x∈R⇔ a≠ 0 ∨a=b= 0
Trang 2Ví dụ 1: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) 22+ 1+1
+
=
x x
x
1
1
2
2 +
−
=
x
x
y ; c) y = x5 − 5x4 + 5x3 + 2 với x∈[− 1 ; 2]
d) = 2coscos+−2sinsin ++43
x x
x x
y ; e)
x x
x x
2 4
cos 2 sin 3
sin 4 cos 3
+
+
Ví dụ 2: Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các hàm số sau :
x x
y= 4 +9π2 + sin trên khoảng (0 ; +∞) ; b) y= sinx cosx+ cosx sinx
c) y= x− 2 x− 1 + x+ 2 x− 1 ; d) y= 3 −x+ x− 1
Ví dụ 3:Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các biểu thức sau :
2 2 1
) (
2
2
2
+ +
+
= ; với x2 +y2 = 1 ; b) M =y− 2x+ 5 ; biết 36x2 + 16y2 = 1
c) M =x2 −xy+2 y2 ; với x2 +y2 +xy = 1 ; d) M =x4 +y4 −x2y2; biết x2 +y2 −xy= 1
VD 1a): Cách 1) Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng
Cách 2) Dùng điều kiện phương trình có nghiệm x∈R
VD 1b): Cách 1) Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên R Hoặc đặt ẩn Phụ t = x2 với điều kiện t ≥ 0 rồi dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên nửa khoảng
Cách 2) Dùng điều kiện phương trình có nghiệm
VD 1c): Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn
VD 1d): Cách 1) +Xét x= π + 2kπ ;tính y
+ Xét x ≠ π + 2kπ Khi đó ; ( )
2
x ≠π + π ∉ ⇒tg x∉R
2 Đặt t = tg 2x →
Biểu diễn sinx ; cosx theo t với công thức :
Sinx =1 2
2
t
t
+ ; cosx = 22
1
1
t
t
+
− + Thu được hàm số f(t) với t ∈R; có thể giải bằng phương pháp đạo hàm Cách 2) Dựa vào điều kiện phương trình : asinx + bcosx =c có nghiệm x ∈R
VD 1e): + Dùng ẩn phụ t =sin2x hoặc t = cos2x ;với 0≤t ≤ 1 ; (hoặc có thể dùng ẩn phụ
t = cos2x ; với -1≤t ≤ 1) + Sau đó dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số f(t) liên tục trên đoạn
C) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ :
B) CÁC VÍ DỤ ( cĩ hướng dẫn)
Trang 3Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Triết
VD 2):a)+Dùng Côsi đối với 2 số hạng đầu không âm và đánh giá sinx≥−1.Từ đó suy ra
được GTNN (không tồn tại GTLN)
b)+Lấy điều kiện sinx ;cosx≥ 0.Sau đó dùng bất đẳng thức BNC (BuNhia-Côpxki) c)+Lấy điều kiện →y= x− 1 − 1 + x− 1 + 1 →Dùng BĐT trị tuyệt đối
d)Cách 1):Lấy điều kiện → Dùng đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn
Cách 2):Lấy điều kiện → Dùng BĐT Côsi.
VD 3):a)Cách 1):Thay số 1 ở mẫu bỡi x2+y2 →Xét trường hợp y =0 Tính M → y≠ 0 → chia Cả tử và mẫu cho y2 rồi đặt ẩn phụ t = y x ;với t ∈R Khi đó thu được hàm số f(t) là hàm phân thức có tử và mẫu đều là bậc 2→ Dùng phương pháp
đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng
Cách 2):Do gt : x2+y2=1→ đặt x = cosα và y = sinα → Dùng điều kiện phương
trình có nghiệm
b)Cách 1):Xem M là hằng số ta cần tìm M để hệ phương trình sau có nghiệm:
= +
= +
−
9 16 36
5
2 2
x
M x
y
→phương trình bậc hai một ẩn x (hoặc y) với M là tham
số Từ điều kiện phương trình một ẩn có nghiệm (để hệ có nghiệm) ⇒ miền giá trị của M ⇒ GTLN-GTNN
3
1 ) 4 ( 4
1
+
−
Gt : 36x2++16y2 = 9 )
3
4 ) 2 (
2
=
= α
α
sin 3 4
cos 2
y x
M = sin cos 5
4
3
+
α Dựa vào điều kiện PT có nghiệm hoặc BĐT BNC hoặc dựa vào miền giá trị y = asinx +bcosx = a2 +b2 sin(x+ β ) c) Từ gt M x x xy y xy y
+ +
+
−
=
y
x t t t
t t M
+ +
+
−
=
⇒
≠
1
2
2
→ Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng
d) + gt
−
≥
⇒
−≥
− +
=
≤
⇒
=
−
≥
− +
=
⇒
3
1 3
3 ) ( 1
1 2
1
2
2 2
xy xy xy y x
xy xy xy xy xy y x
Trang 4
1
3
−
1
; 1 2 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2
2
x
+Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn
Bài 1: Tìm a và b để cho hàm số :
a) 1 x2
b ax y
+
+
= đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng (-1)
b)
1
2
2 +
+ +
=
x
b ax x
Bài 2:Tìm GTLN-GTNN của:
4
) 1 (
1
x
x y
+
+
d) sin2sin+sin1 +1
+
=
x x
x
y ; e) y= sinx+ 2 − sin 2 x ; f) 2 +11
+
=
x
x
g) y=x4 − 2x2 + 3 trên [-3;2] ; h) y x x
cos 2
sin
+
= ;với x∈ [0 ; π]
i) y= 2x3 + 3x2 − 12x trên đoạn [-3;3] ; k) y = cosx( 1 + sinx) với x∈ [0 ; 2 π] Bài 3:Tìm giá trị lớn nhất của :
1 x
x y
+
= ; b) M =x 1 +y+y 1 +x ; với điều kiện :x2 +y2 = 1
Bài 4:Tìm GTNN của :
2
4 3
y x
xy y
M
+
−
2
+ + +
+
=
x
x x
x
cos
1 cos cos
1
=
x
x x x
lg 2
1 lg
+ +
sin cos
1 )
sin
=
2 2
2
+
+
−
+
=
x
y y
x x
y y
x
f) M b a a b b a a b +b a+ a b
+
− +
= 44 44 22 22 ; với ab≠ 0
Bài 5: Tìm GTLN-GTNN của các biểu thức sau :
a) ((1 x2)()(11 y2))
xy y
x M
+ +
− +
= ; b) A= 2x−y− 2 ; biết 9x2 + 4y2 = 36
2 2 2
2
) 1 ( ) 1 (
) 1
)(
(
y x
y x y
x M
+ +
−
−
Bài 6: Giả sử x và y liên hệ với nhau bỡi hệ thức :x2 + 2xy+ 7 (x+y) + 2y2 + 10 = 0
D) BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Trang 5Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Triết
Hãy tìm GTLN-GTNN của biểu thức S = x + y +1
Bài 7: Tìm m để y m x x
cos 2
sin 1
+
+
Bài 8: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau :
15
1
x x
e) = sin2++coscos −2
x x
x
π π
h) y=4sin2x+4cos2x ; i) y= 2 sin 8x+ cos 4 2x
k) y= sin 2x+ 3 cos 2 x− sin 2x ; l) y 2x x
cos 2
2 sin 2
+
+
=
Bài 9: Biết x,y thay đổi và
= +
≥
≥ 1
0
;0
y x
y
x
Tìm GTLN-GTNN của
a) P = 1+ +1
y y
x
; b) Q = 3x+ 1 −y
Bài 10: Cho x,y thay đổi thoả mãn x >0 ;y> 0 và x + y = 1 Hãy tìm GTNN của biểu thức :
P = x x + y−y
1
Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC ,tìm GTNN của biểu thức P = tgA.tgB.tgC
Bài 12: Cho ∆ABC có C≤B≤A≤ 90 0 Tìm GTNN của biểu thức : M = sin 2
2 sin 2
Bài 13: Cho A,B,C là ba góc của một tam giác Tìm GTLN của biểu thức :
M = 3cosA + 2(cosB + cosC)
Bài 14: Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ phương trình :
− +
= +
−
=
+
3 2
1
2 2 2
x
a y
x
Xác định a để
tích xy là nhỏ nhất
Bài 15:a) Cho x,y thay đổi thoả mãn điều kiện 0 ≤x≤ 3 ; 0 ≤y≤ 4 Tìm GTLN của biểu thức : A= (3-x)(4-y)(2x+3y)
b) Cho a≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥2 Tìm GTLN của = 1 (ab c− 2 +bc a− 3 +ca b− 4 )
abc F
c) Cho x;y;z biến thiên và thoả mãn điều kiện : xy+yz+zx = 4 Tìm GTNN của biểu thức F = x4 +y4 +z4
Bài 16: Cho x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Tìm GTLN của biểu thức :
P = 1 1+ +1
+
+
z y
y x
x
Bài 17: Cho cos2x + cos2y =1 (x,y∈R) Tìm GTNN của A = tg2x + tg2y
Bài 18: a) Cho ∆ABC ,tìm GTLN của P = 3 cosB+ 3 (cosA+ cosC)
Trang 6b) Cho ∆ABC ,tìm GTNN của P = 2 cos1 2A 2 cos1 2B+2−cos1 2C
+
+
c) Cho ∆ABC , tìm GTLN của P = 3(cosB +2sinC)+4(sinB+2cosC)
Bài 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x2−2x+3 Kq:Min f(x) = f(1) = 2R
Bài 20: Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2−2x+3 trên [0;3]
Kq: Min[ 0 ; 3 ] f(x)=f(1)=2 và Max[ 0 ; 3 ] f(x)=f(3)=6
Bài 21: Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) = x2 −x−x1+4 với x<1
Kết quả : Max( ; 1 )
−∞ f(x) = f(0) = −4
Bài 22 Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m3, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2 Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất?
Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m
Bài 23: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x4 xx2 1
2 +
+ Kết quả : MaxR y = f(±1) = 31 Bài 24: Định m để hàm số y = f(x) = x3 −3(m+1)x2+3(m+1)x+1 nghịch biến trên
Bài 25: Tìm trên (C): y = xx2 23
−
− điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa
Bài 26: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx
Bài 27: Tìm GTLN: y=−x2+2x+3 Kết quả: MaxR y=f(1)= 4
Bài 28: Tìm GTNN y = x – 5 + 1x với x > 0 Kết quả: Min( 0 ; )
±∞ y=f(1)= −3 Bài 29: Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 4 − x 2
Kết quả: Max y ( 2 ) 2 2 5
] 2
; 2 [− = = − ; Min[−2 ; 2 ] y= (−2)=−7
Bài 30: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x2−1 trên đoạn −2;1
1
Kết quả: Max; 1 ] y (1) 4
2
1
] 1
; 2
1
Bài 31: Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x4-2x2+3 Kết quả: Min y=f(R ±1)=2; Không có MaxR y
b) y = x4+4x2+5 Kết quả: Min y=f(0)=5; Không có R MaxR y
c)y 2cos2sinx x2 1
+
−
= Kết quả: Min y=R −37; MaxR y=1
Trang 7Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Triết
d)y xx22 xx 13
+ +
+ +
= Kết quả: Min y=R 31; MaxR y=3
Bài 32: Cho hàm số y x2 xx12
+ +
+
7
+ α
−
α +
− α
1 cos x x
cos x cos x
Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin2α x2−2sin2α =0 ⇔ x=−1 V x=1 Tiệm cận ngang: y=1
Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1
Bài 34: Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :
y =f(x)= lg2x + lg2x1+2
Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ )
Đặt t= lg2x, t≥0, ⇒ hàm số y=g(t)=t+t+12 xác định trên [0; +∞),
dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ )
⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên [0;+∞ ) ⇒ Min[ 0 ; )
+∞ g(t) = g(0) = 21 ⇒ Min( 0 ; )
+∞ f(x) = f(1) = 21 Bài 35: Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx− sin x
3
4 3 trên đoạn [0;π]
(Đề thi TNTH PT 2003−2004) Kết quả: Max[ 0 ]
π f(x)=f(π /4)= f(3π /4)=232 ; Min[ 0 ]
π f(x)=f(0)=f(π )=0
