hay
Trang 1Ôn thi đại học
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
§1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số
A Tóm tắt lý thuyết
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử
f
xác định trên D⊂¡
Ta có
( )
max
x D
∈
( )
;
( )
min
x D
∈
( )
≥ ∀ ∈
2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN,
GTNN của hàm số
f
xác định trên đoạn
[ ]a b;
, ta làm như sau:
• B1 Tìm các điểm
1
x
,
2
x
, …,
m
x
thuộc khoảng
( )a b;
mà tại đó hàm số
f
có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm
• B2 Tính
( )1
f x
,
( )2
f x
, …,
( )m
f x
,
( )
f a
,
( )
f b
• B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là
GTLN của
f
trên đoạn
[ ]a b;
; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của
f
trên đoạn
[ ]a b;
[ ]; ( ) { ( ) ( )1 2 ( ) ( ) ( ) }
x a b f x f x f x f x f a f b
[ ]; ( ) { ( ) ( )1 2 ( ) ( ) ( ) }
x a b f x f x f x f x f a f b
Trang 2
Ôn thi đại học
Quy ước Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số
f
mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào
thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của
f
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
1
y
x
+ +
=
+
trên đoạn
[ ]0; 2
Giải Ta có
( ) ( ) ( )
y
Lại có
( )0 3
,
( )2 17
3
Suy ra
[ ] 0;2
min 3
x y
,
[ ] 0;2
17 max
3
x y
Nhận xét
•
f
đồng biến trên
[ ]a b; ⇒
;
;
min max
x a b
x a b
∈
∈
=
;
•
f
nghịch biến trên
[ ]a b; ⇒
;
;
min max
x a b
x a b
∈
∈
=
Ví dụ 2 [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
4
Giải.
[ 2; 2]
TXÑ= −
Ta có
2
4 ' 1
y
(
( 2; 2)
x∈ −
)
Với mọi
( 2; 2)
x∈ −
, ta có
Trang 3Ôn thi đại học
' 0
0 4
x
≥
Vậy
( ) ( ) ( )
miny=min y −2 ;y 2 ;y 2 =min 2; 2;2 2− = −2
, đạt được ⇔ x= −2
;
( ) ( ) ( )
maxy=max y −2 ;y 2 ;y 2 =min 2; 2;2 2− =2 2
, đạt được ⇔ 2
Ví dụ 3 [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
1 1
x y x
+
= +
trên đoạn
[−1; 2]
Giải Ta có
( )
2
2
1 1
'
x
x x
y
+ − +
− +
Với mọi
( 1; 2)
x∈ −
ta có
' 0
Vậy
( ) ( ) ( )
min min 1 ; 2 ; 1 min 0; ; 2 0
5
, đạt được ⇔ x= −1
;
( ) ( ) ( )
5
, đạt được ⇔ x=1
Ví dụ 4 [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
ln x
y x
=
trên đoạn
3
1;e
Giải Ta có
Trang 4Ôn thi đại học
2
2
ln
2 ln ln '
x y
Với mọi
( )1; 3
x∈ e
ta có ' 0
hoặc
lnx=2
hoặc
2
x e= ⇔ x e= 2
(
1∉ 1;e
)
Vậy
( ) ( ) ( )
9 4 miny min y 1 ;y e ;y e min 0; ; 0
e e
, đạt được ⇔ x=1
( ) ( ) ( )
maxy max y 1 ;y e ;y e max 0; ;
, đạt được ⇔ x e= 2
Ví dụ 5 [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số
2 2
4 21 0
3 10 0
− + + ≥
− + + ≥
x x
− ≤ ≤
− ≤ ≤
⇔ − ≤ ≤2 x 5
, suy ra
[ 2;5]
TXÑ= −
Ta có
'
y
' 0
⇔ 4(− +x2 3x+10) (x2−4x+4) (= − +x2 4x+21 4) ( x2−12x+9)
⇔ 51x2−104x+29 0= ⇔
1 3
x=
hoặc
29 17
x=
Trang 5
Ôn thi đại học
Thử lại, ta thấy chỉ có
1 3
x=
là nghiệm của
'
y
( )2 3
y − =
,
( )5 4
,
1 2 3
y = ÷
⇒ miny= 2
, đạt được ⇔
1 3
x=
C Bài tập
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1)
2
4
2)
trên đoạn
[−2;3]
3)
y= − +x x+
trên đoạn
[ ]2; 4
4)
y x= − +x
trên đoạn
3 3;
2
−
5)
1
3
trên đoạn
[−4;0]
6)
trên đoạn
[−4;4]
7)
trên đoạn
[−3;1]
8)
trên đoạn
[ ]1;3
9)
1
y x
x
= +
trên khoảng
(0;+∞)
10)
1
1
y x
x
= +
−
trên khoảng
(1;+∞)
11)
1
y x
x
= −
trên nửa khoảng
(0; 2]
x
y
x
=
+
trên nửa khoảng
(−2; 4]
Trang 6
Ôn thi đại học
13)
2
2
y
x
+ +
=
+
trên đoạn
[ ]0;1
14)
sin cos
15)
2
2sin 2sin 1
16)
2
cos 2 sin cos 4
17)
cos 6 cos 9cos 5
18)
3
sin cos 2 sin 2
19)
3
sin 3 3sin
Trang 7Ôn thi đại học
2
2cos cos 1
cos 1
x
+
§2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
A Nguyên tắc chung
Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:
• Xác định ẩn phụ t
• Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t
• Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một
hàm biến t trên miền giá trị của t
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho x,
0
y≥
thỏa mãn
4
x y+ =
Tìm GTLN, GTNN của
S = x − y −
Giải Đặt
t=xy
, suy ra
( )2
4
x y
Ta có
S = ( ) (3 ) ( )2
=t3−4 4 2 −3t+1 =t3+12t−63
Xét hàm
( ) 3 12 63
f t = +t t−
, với
[ ]0; 4
t∈
Ta có
( ) 2
' 3 12 0
f t = t + > ∀ ∈t [ ]0; 4 ⇒ f t( )
đồng
biến trên
[ ]0; 4
Do đó
•
[ ]0;4 ( ) ( )
t
∈
, đạt được khi và chỉ khi 4
0
x y xy
+ =
=
⇔ (x y; ) ( )= 4;0
hoặc
(x y; ) ( )= 0; 4
•
[ ]0;4 ( ) ( )
t
∈
, đạt được khi và chỉ khi 4
4
x y xy
+ =
=
⇔ (x y; ) ( )= 2; 2
Ví dụ 2 Cho x,
0
y≥
thỏa mãn
Tìm GTLN, GTNN của
S = + −x y xy
Giải. Đặt
t = +x y⇒ t>0
Ta có
Trang 8Ôn thi đại học
t = x y+ ≤ x +y = ⇒ t≤2
,
( )2
Suy ra
2;2
t∈
Lại có
( )2 ( 2 2)
2
1 1
1 2
Ta có
( )
f t = − + >t
với mọi t∈( 2;2)
,
( )2 1
,
( )1 3 2
Do đó
•
( )
minS = f 2 =1
, đạt được ⇔ 2 2
2 2
x y
x y
+ =
1 1
x y
=
=
•
( ) 3
2
, đạt được ⇔ 2 2
1 2
x y
x y
+ =
1 3 2
1 3 2
x y
=
+
=
hoặc
1 3 2
1 3 2
x y
=
−
=
Ví dụ 3 Cho
x
,
0
y≥
thỏa mãn
Tìm GTLN, GTNN của
S
Giải Đặt
t= +x y
, ta có
x y+ ≤ x +y = × = ⇒ t≤4
,
Suy ra 2 2≤ ≤t 4
Lại có
( )2 ( 2 2)
Ta có biến đổi sau đây
Trang 9Ôn thi đại học
S
( 11) ( 1) 1
=
2 1
x y xy
=
+ + +
2
8 8 1 2
t t
=
−
2 6
t
+
= × + −
Xét hàm
( ) 2
8
2 6
t
f t
+
= + −
với 2 2≤ ≤t 4
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
f t
, ∀t: 2 2≤ ≤t 4
Suy ra
f
nghịch biến trên
2 2; 4
Do đó
( ) ( )
2 2;4
2
3
t f t f
( ) ( )
maxf t = f 2 2 = 2
+)
( )
2 2;4
4
2 min
3
t
, dấu bằng xảy ra ⇔
4
x y
x y
+ =
Vậy
4 min
3
S =
, đạt
được ⇔ x y= =2
+)
( )
2 2;4
t
, dấu bằng xảy ra ⇔
2 2
x y
+ =
0
2 2
x y
=
=
hoặc
2 2 0
x y
=
=
Vậy
4 max
3
S =
, đạt được ⇔
0
2 2
x y
=
=
hoặc
2 2 0
x y
=
=
Ví dụ 4 Cho x,
0
y≥
thỏa mãn
3
x y xy+ + =
Tìm GTLN, GTNN của
S
Giải Đặt
t= +x y ⇒
2
3
4
t t
= − ≥
≤ +
t
= −
≤ ≤
Ta có
Trang 10Ôn thi đại học
S = ( ) ( )
−
=
( ) ( ) ( )
−
3
t
t
+
Xét hàm
( ) 3 2 7 1 3
t
+
,
[ ]2;3
t∈
Ta có
( ) 2 ( )2
t
t
+
,
[ ]2;3
t
∀ ∈ ⇒ f ( )1
đồng biến trên
[ ]2;3
Do đó
•
( ) ( )2 4
5
Dấu “=
” xảy ra ⇔
3 2
x y xy
x y
+ =
⇒
4 min
5
S =
, Đạt được ⇔ x y= =1
•
( ) ( )3 35
6
Dấu “=
” xảy ra ⇔
3 3
x y xy
x y
+ =
0 3
x y
=
=
hoặc
3 0
x y
=
=
⇒
35 max
6
S=
, Đạt được ⇔
0 3
x y
=
=
hoặc
3 0
x y
=
=
Ví dụ 5 Cho x,
y
thỏa mãn
Tìm GTLN, GTNN của
S =x − +xy y
Giải
Cách 1 Từ giả thiết suy ra
( )2 ( ) (2 )2 3( )2 1
Do đó, nếu đặt
( )
t= x y+
thì
2
3 1
4t ≤
, hay
2 3 2 3
;
Trang 11
Ôn thi đại học
Ta có
( )2 2
, suy ra
( )2 2 ( 2 ) 2
S = x y+ − xy t= − t − = − t +
Xét hàm
( ) 2 2 3
f t = − t +
với
2 3 2 3
;
Ta có
( )
f t = − t
,
( )
'
f t
có nghiệm duy nhất
2 3 2 3
Ta có
( )0 3
,
Do đó
•
1 min
3
S =
, đạt được chẳng hạn khi
2 3 3 1
x y
x xy y
+ =
+ + =
2 3 3 1
x y
+ =
+ − =
2 3 3 1 3
x y xy
+ =
=
3 3
, đạt được khi và chỉ khi
0 1
x y
x xy y
+ =
0
1
x y
+ =
0 1
x y xy
+ =
= −
⇔ (x y; ) (= −1; 1)
hoặc
(x y; ) (= −1;1)
Cách 2 Ta có
x xy y S
x xy y
− +
= + +
0
y=
Khi đó S=1
Trang 12
Ôn thi đại học
0
y≠
Chia cả tử và mẫu của S cho
2
y
và đặt
x t y
=
, ta được
2
1
S
− +
Xét hàm
( ) 2
2 1
1
t
f t
= −
+ +
, ta có
( ) ( )
2 2 2
'
1
t
f t
−
= + +
Bảng biến thiên của hàm
( )
f t
:
( )
2
2
1 1 1
t
f t
t t
Suy ra:
+)
1 min
3
S =
, đạt được khi và chỉ khi
1
1
x
y
=
+ + =
3 3
hoặc
( ; ) 1 ; 1
+) maxS =3
Đạt được khi và chỉ khi
1
1
x
y
= −
+ + =
hoặc
(x y; ) (= −1;1)
Ví dụ 6 [ĐHB09] Cho x,
y
thỏa mãn
( )3
x y+ + xy≥
Tìm GTNN của
A= x +y +x y − x +y +
Trang 13
Ôn thi đại học
Giải Áp dụng bất đẳng thức
( 2 2 ) 3( )2
4
với
2
a x=
,
2
b y=
ta được ( 4 4 2 2) (3 2 2)2
4
4
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức
( )2
4xy≤ x y+
, ta có
( ) (3 )2
2
x y+ + +x y ≥ ⇔ ( ) ( )2 ( )
(do
( )2 ( ) ( )2
x y+ + x y+ + = x y+ + + > ∀x
,
y
)
Đặt
( ) ( )
2
2
1
9
2 1 4
x y t
Xét hàm
( ) 9 2
2 1 4
,
1 2
t≥
Ta có
( ) 9
2
f t = t− > 1
2
t
∀ ≥
⇒ f t( )
đồng biến trên
1
;
2
+∞÷
⇒ f t( ) ≥ f 12 =169
÷
1 2
t
∀ ≥
Như vậy
9 16
S≥
, dấu “=
” xảy ra khi và chỉ khi
2
=
+ =
2 2
x y
= ÷
hoặc
( ; ) 1; 1
2 2
x y = − −
Vậy
9 min
16
S=
, đạt được ⇔ ( ; ) 1 1;
2 2
x y
= ÷
hoặc
( ; ) 1; 1
2 2
x y = − −
Ví dụ 7 [ĐHB12] Cho các số thực
x
,
y
, z thỏa mãn các điều kiện
0
x y z+ + =
và
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P x= +y +z
Giải Từ
0
x y z+ + =
suy ra
( )
z= − +x y
, thay
( )
z= − +x y
vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được
( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2
Trang 14Ôn thi đại học
Do đó, nếu đặt
t= +x y
thì ta có
2
3 1
2t ≤
⇔
6 6
;
3 3
,
2
2
t
Biến đổi
P
( )5
( )3 ( ) ( )2 2 2( ) ( )5
2
2
4 t t
Xét hàm
( ) 5( 3 )
2 4
, với
6 6
;
3 3
Ta có
( ) 5( 2 )
4
có hai nghiệm là
;
Ta có
6 5 6
,
,
6 5 6
=
,
= −
Vậy
5 6 min
36
P= −
, đạt được chẳng hạn khi
6 6
x= =y
,
6 3
z= −
Ví dụ 8 Cho x,
y
, z>0
thỏa mãn
3 2
x y z+ + ≤
Tìm GTNN của biểu thức
Giải Đặt
3
t= xyz
Ta có t >0
và
Trang 15Ôn thi đại học
3
3
3
2≥ + + ≥x y z xyz
⇒
1 2
t≤
Suy ra
1 0;
2
t∈
Lại có
,
3
3
x y+ y z+z x ≥ x y y z z x× × = xyz =t
⇒
2 3
1 3
t
Xét hàm
( ) 2
3
1
t
= +
với
1 0;
2
t∈
Ta có
( ) 4 54
−
2
∀ ∈
, suy ra
f
nghịch biến trên
1 0;
2
Vậy
1 99 min 3
÷
, đạt được khi và chỉ khi
2
x y z xyz
= =
1 2
x= = =y z
Ví dụ 9 [ĐHA03] Cho x,
y
, z>0
thỏa mãn
1
x y z+ + ≤
Chứng minh rằng:
82
( )1
Giải Xét
1
;
a x
x
r
,
1
;
b y y
r
,
1
;
c z z
r
, ta có
1 1 1
;
r r r
Từ
a + + ≥ + +b c a b c
r r r r r r
suy ra
Trang 16Ôn thi đại học
( )2 2
Đến đây ta có hai cách đi tiếp:
Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
3
3
x y z+ + ≥ xyz
,
3
3
Do đó
( )1 9 9
t
, với ( )2
3
Ta có
2
1 0
x y z
Xét
( ) 9 9
t
= +
với
1 0;
9
t∈
Ta có
( ) 2
9
f t
t
9
t
∀ ∈ ⇒ f t( )
nghịch biến trên
1 0;
9
9
f t ≥ f =
÷
⇒ VT( )1 ≥ f t( )≥ 82
(ĐPCM)
Cách 2
x y z
Trang 17Ôn thi đại học
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
C Bài tập
Bài 1 [ĐHD09] Cho x,
0
y≥
thỏa mãn
1
x y+ =
Tìm GTLN, GTNN của
Bài 2 Cho x,
0
y≥
thỏa mãn
1
x y+ =
Tìm GTLN, GTNN của
S
Bài 3 Cho
x
,
0
y≥
thỏa mãn
1
x y+ =
Tìm GTLN, GTNN của ( 2 1) ( 2 1) 2 2 1
Bài 4 Cho x,
0
y≥
thỏa mãn
3
x y xy+ + =
Tìm GTLN, GTNN của
6
S
Bài 5 Cho x,
y
thỏa mãn
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài 6 Cho x,
y
thỏa mãn
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
S = + +x +y
Bài 7 [ĐHD12] Cho x,
y
thỏa mãn
( ) (2 )2
Tìm GTNN của
( ) ( )
A x= +y + xy− x y+ −
Bài 8 [ĐHA06] Cho x≠0
,
0
y≠
thỏa mãn
( ) 2 2
x y xy+ =x +y −xy
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
A
Trang 18
Ôn thi đại học
Bài 9 [ĐHB08] Cho x,
y
thỏa mãn
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2
1 2 2
x xy P
xy y
+
=
Bài 10 Cho x,
y
thỏa mãn
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài 11 Cho x,
y
thỏa mãn
2x +y +xy≥1
Tìm GTNN của biểu thức
S=x +y
Bài 12 Cho x,
y
, z>0
thỏa mãn
3 2
x y z+ + ≤
Tìm GTNN của biểu thức
1 1 1
= + + + + +
Bài 13 [ĐHB10] Cho a, b, c≥0
thỏa mãn a b c+ + =1
Tìm GTNN của biểu thức
Bài 14 Cho x,
y
, z>0
thỏa mãn
3 2
x y z+ + ≤
Tìm GTNN của biểu thức
P
y z z x x y y z x
