Giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số

xeD xeD xeD xeD ' Tính chất 2 cho phép ta chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất thành bài toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc ngược lại.. Nhờ tính chất 4 nói trên cho phép ta có thể biến bài

PHAN HUY KHAI

CHUYEN DE BOI DUONG HOC SINH GIO! TOAN

Chương l

_ CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Vì a >b nên a-b>0; tương tự b - c > 0 (do b >c)

Vì thế (a - b) + (b - c) = 0 (do tổng của hai số dương là số dương)

Theo định nghĩa, từ a - c > 0 suy ra a >e > đ.p.c.m

7 Nếu a >b >0 thì a" >b°, Vn nguyên dương

8 Nếu a >b thì a?"*! >b?"*! vn tự nhiên

ta có

a" ~-b° =(a-b) (a"! + a"'#b + + ab™? +b™)

Do a - b>0 (vì a >b) còn biểu thức trong dấu ngoặc còn lại là

tổng của n số dương, vì thế biểu thức ấy dương Vì thế a" - b" >0

Theo định nghĩa suy ra a° >b° Tính chất 7 được chứng minh

Xét ba trường hợp sau :

1 Giả sử a =0 = a?"*! =0.Doa>b>b< 0 => b**! <0

(uỹ thừa bậc lẻ của một số âm là số âm) = a?"?! > b2n11,

2 Giả sửa <0.Vìa>b=>b<0

Từ a>b 0< -a <-b Vậy theo 7 suy ra

(-a)?n" < (-b)2n*1 => -a2n+I < -b2n+1 => a2n+! > b2n?1

3 Giả sử a> 0 Khi đó -

- Nếu b <0 thì an >0>b?n11,

- Nếu b > 0 thì từ a > b > 0, theo 7 suy ra a?n?! > p2n11,

Tóm lại ta luôn có a?"*! > b2"*!, Tính chất 8 được chứng minh

Vì (3) hiển nhiên đúng, nên (2) đúng Từ (3) suy ra dấu bằng xảy

Vậy bất đẳng thức Cô-si đúng khi n = 9

và dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức trên © a; =a; = = 8c

- Xét khi n = k + 1 Với aj, ag, ., ayy, khéng 4m, ta có

kok*! + pet _ kakp _ œ*B 1 k k k

= = h [ kat - Blok? +a ?B+ 4 0K? + pet )]

®e Với n = 3

Cách chứng minh như sau :

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với n = 4, ta có

Cor

1

ta, +a, at 82 tas

o> 1-23 2 ta, aja, 4-8 3 13283 3 (4)

Do a,,a,a3 khéng 4m nén a,+a,+a, 2 0 Tuy nhién néu

a, +a, +a, =O thi bat ding thtic da cho hién nhiên đúng (vì khi đó

a, =a, =a, =0 va ca hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh đều

Ta có thể viết lại f&) dưới dạng sau :

f(x) =(ayx— bị) +(asx= bạ)” + + (aax ~ bạ Ỷ (8)

Như vậy từ (3) suy ra f(x)>0, Vxe R (4)

Ta chỉ quan tâm khi a? +a2 + +a2 >0 (Vì nếu ai +a2+ +aa =0

thi a, =a, = =a, =0 và lúc này (1) hiển nhiên đúng vì cả hai vế đều = 0)

Nhu thé f(x) lA tam thức bậc hai mà f(x)>0, Vxe R, 2,22

a=a?+a2+ +a? >0, nên theo định lí về dấu của tam thức bậc hai

ta có A'<0, hay

(a,b, +a,b, + +a„b„)” -(a te +a?)(b; to +ba) <0,

tức là

(aj +a5 + +a2)(by +bj + +b; )>(ayb, +agb, + +a,by) «

Vậy phần 1 của bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski được chứng minh Theo (3) dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi hệ sau đây

a,x—b, =

có nghiệm Điều này tương đương với

—-

bị bạ

(với cách hiểu khi b; =0 thì a; =0)

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski được chứng minh hoàn toàn

|arbi + a;b; + + anbạ|

(5) ©

Ja? +a2 + +a2 a/b? +b? + 4b2 <1 (6)

Từ đó theo tính chất bắc cầu của bất đẳng thức suy ra (6) đúng

Dấu bằng trong (5) xảy ra

© đồng thời có dấu bằng trong (6) và (8) cùng dấu

n(a,b, + +a,b, )2(a, + +a,)(b, + +Db, )

Cũng từ đó suy ra dấu bằng trong (1) xảy ra, nghĩa là hoặc

(a, +aa + +an )(bị + bạ + + bạ )> n(aybi +a¿b¿ + +anb,) (2)

Dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức trên ©

hoặc a¡ =a¿ = =an hoặc bị = bạ = = bạ

Thật vậy bằng cách đặt b; =-—b/, ta có bị < bạ < < bị

Áp dụng bất đẳng thức Trê-bư-sep cho hai dãy tăng

a, <Sa¿< <a„ và bị <b¿ > < bạ, ta có

(ai +a; + +an )(bị + bộ + + bạ )<n(a¡b +asb¿ + + a„ bị )

© -~(ai +a¿ + +an )(bị + bạ + + bạ) <=n(aibi +asbạ + + anba )

© (ai +aa + +an )(bị + bạ + + bạ )> n(arbi +azbạ + +a„ bạ )

Vậy (2) đúng

10

§ 2 CAC TINH CHAT CO BAN CUA GIA TRI LON NHAT

VA NHO NHAT CUA HAM SO

1 Dinh nghia

Cho hàm số f(x) xác định trên miền D Ta nói rằng

a) Số M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên miền Ð, và kí hiệu là

M=maxf (x),

xeD

nếu như hai điều kiện sau đây đồng thời thoả mãn :

1 f(x) <M, VxeD

2 Tổn tại xạ eD sao cho f(x))=M

b) Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên miền D, và kí

2 Tổn tại xạ eD sao cho f(xạ)=m

-9 Các tính chất cơ bản của giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

9.1 Tính chất 1 :

Giả sử f() xác định trên D và A, B là hai tập hợp con của D, trong

đó A cB Giả sử tổn tai maxf(x), maxf(x), min f(x), minf(x) Khi đó

xeA xeB xeA xeB

ra xạcB Từ đó theo định nghĩa suy ra

f(xạ) < maxf(x), hay max(x) < maxf(x)

xeB xeA xeB

11

3.9 Tính chất 9 :

Gia sử ham sé f(x) xác định trên D và tổn tại maxf(x) và min f(x)

xeD xeD

maxf(x) =— min(-f(x)) ; min f(x) = - max(—fŒ))

xeD xeD xeD xeD '

Tính chất 2 cho phép ta chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất thành

bài toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc ngược lại Điều này có ích trong nhiều

trường hợp cụ thể sẽ xét sau này

9.4 Tính chất 4: * Giả sử fŒ&) xác định trên miền xác định D và miền D được biểu

diễn dưới dạng

D=D,UD:

Giả thiết tổn tại maxf(x) và minf@&) Vi=l,n

xeD, xeD,

Khi đó ta có công thức sau :

max f(x) =max {mas f(x), maxiG)) , (1)

xeD xeD, xeD,

min f(x) = min {min f(x),min | (2)

xeD xeD, xeD,

Chitng minh:

Ta chỉ cần chứng minh (1) (còn (2) được chứng minh bằng một cách hoàn toàn tương tự) Vì D, c<D,¡= 1, 2 ; nên theo tính chất 2, ta có

max f(x) < max f(x) ; maxf(x) < max f(x) (3)

xeD, xeD xeD; xeD

Từ (3) suy ra max {max f(x), max ra] <maxf(x) (4)

xeD, xeD, xeD

Giả sử maxf(x) = f(xạ), với xạ eD

xeD

Vì D=D,UD; mà xạ eD nên xạ eD, UD; Do vậy xạ phải thuộc

về ít nhất một trong hai tập D,, Dạ Từ đó có thể cho là (mà không hề làm giảm sự tổng quát) xạ eD;

Từ xạ e Dạ, nên theo định nghĩa về giá trị lớn nhất ta có

f(xạ) < max f(%) (5)

Lẽ hiển nhiên

max f(x) < max {mas f(x), maxf} (6)

xeD, : xeDy xeD;

Từ (5), (6) suy ra

f(xg) = max Í(x) < max {mas f(x), manfo} (7?

Bây giờ từ (4), (7) ta đi đến

max f(x) = taxman f(x), maxto}

xeD xeD, xeD;

Đó là đ.p.c.m

13

1 Tính chất 4 có thể phát biểu dưới dạng mở rộng chút ít như sau :

Nếu miền xác định D của ham sé f(x) c6 dang

D=D,UD,U UD,

và giả sử tổn tại maxf(x), minf(x), Vi=lL,n Khi đó ta có

xeD, xeD;

max f(x) = max {mas f(x), max rao] ,

min f(x) = mắn min f(x), min re}

xeD xeD, xeD,

2 Nhờ tính chất 4 nói trên cho phép ta có thể biến bài toán tìm giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một miền xác định

phức tạp thành một dãy các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

hàm số ấy trên các miền xác định đơn giản hơn (dĩ nhiên việc giải các

bài toán : tìm max f(x), min f(x) nói chung là đơn giản hơn nhiều so với

xeD; xeD,

việc giải các bài toán tìm maxf(x), minf(x)) Vì lí do ấy nên tính chất 4

xeD xeD

còn hay gọi là nguyên lí phân rã

3 Dựa vào tính chất 2 ta có thể dựa vào phần 1 để chứng minh

phần 2 của tính chất 4 như sau :

= -|me {- min f(x),-min reo}

2.5 Tinh chat 5:

Cho các hàm số f,(x), £,(x), ., £,(x) cling x4ec dinh trén mién D

Đặt f(x) = f,(x)+f,(x)+ +£,(x) Gia si tén tai maxf(x), min f(x))

xeD xeD

max f;(x), min fj (x) VỚI mọi 1= 1,n

xeD xeD

Khi đó ta có

max f(x) < max f, (x)+ max f,(x)+ + max f, (x), (1)

min f(x) > min f, (x)+ min f,(x)+ + min f, (x) (2)

xeD xeD xeD xeD

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tổn tại xạ e D sao cho

Vì bất đẳng thức (4) đúng với mọi xe D, nên ta có

max f(x) $ max f,(x)+ + max f, (x) (5)

xeD xeD xeD

Vậy (1) đúng Bây giờ ta xét khả năng có dấu bằng trong (1)

Giả sử tổn tại xạ eD mà maxf.(x)=f,(xạ), Vi=l,n

max f, (x)+ + max f, (x) < max f(x) (7)

xeD xeD xeD

Từ (5), (7) suy ra trong trường hợp này xây ra dấu bằng trong (1)

Đảo lại, giả sử dấu bằng trong (1) xảy ra, tức là -

max f(x) = max f, (x)+ + max f, (x) (*)

15

1 Tinh chat 5 cho ta thay rang nói chung không thể thay việc tìm

giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của một tổng các hàm số bằng việc tìm tổng

các giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của từng hàm số đơn lẻ Tuy nhiên, nếu

điều này sẽ thực hiện được trong các trường hợp như đã xét ở trên, bài

toán sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều

2 Tính chất 5 cũng cho phép ta chứng minh bất đẳng thức Svác-xơ

một cách độc đáo như sau :

=(a, tag + +a,)x? +2(b, +b, + +b,)x

Theo tính chat 5 của giá trị lớn nhất, ta có

min Í (x)+ min f; (x)+ + min f, (x) < min f(x) (1)

xeR xeR xeR xeR

bị + bạ + + bạ )Ÿ

Ta lại có min f(x) = (dy + bp tt Pa)

Từ đó áp dụng (1) suy ra

16

Bất đẳng thức Svac-xơ được chứng minh

Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi, tất cả các hàm số f,(x), f;(x), f () cùng đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm chung Vi

Gia su f,(x), £,(x), ., £,(x) cing xdc định trên miển D và ta có

f(x)>0 VxeD, Vi=l,n Giả thiết tén tai maxf,(x), minf,(x),

xeD xeD

maxf(x), minf(x), ở đây f(x)=fi(%) É(%) f œ%) vài = 1,n Khi đó

xeD xeD

ta có

max f(x) < [max f, (x) | max (0) ~{ max fi, @) , (1)

xeD xeD xeD xeD

min f(x) < (min fi (x) | min f, «| vee min fi, «0 (2)

2.7 Tính chất 7:

Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên miền D Đặt

h(x) =f(x)—g(x) Giả sử tổn tại các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các

hàm số f(x), g(x), h(x) trên D Khi đó ta có

max h(x) < max f(x)- min g(x), (1)

xeD xeD xeD

xeD xeD xeD

max h(x) < max f(x) + max (—g(x)) _ (3)

xeD xeD xeD

Theo tính chất 2, ta có

max(-g(x)) = - min [-(-gœ)) | =-mỉn g(x) (4)

Thay (4) và (8) ta có

max h(x) < max(x) - ming(x)

xeD xeD xeD

Vậy (1) đúng

Vẫn theo tính chất 5 thì dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi

tổn tại xạ eD sao cho ta có

Gia su f(x), g(x) là các hàm số xác định và dương khi xeD Đặt

h(x) = a và gia thiết tốn tại các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các

min f(x = ane] min| f?*?!(x) |, min f(x) = ®mÙmip[F?66)]

2 Nếu thêm vào giả thiết f(x) 20, thi với mọi n nguyên dương ta

Trong thực tiễn, người ta thường sử dụng một trường hợp riêng

của tính chất 9 như sau :

Nếu f(x)>0 với VxeD, thì

max f(x) = |max f?(x) ; minf(x) = lmin f?(x)

xeD xeD xeD xeD

Điều này sẽ rất có ích để giải các bài toán thuộc dạng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số f(x) khi chúng được cho dưới đạng

căn bậc hai hoặc có chứa biểu thức uới dấu giá trị tuyệt đối

19

Từ (4), (5) và để ý rằng xạ là phần tử tuỳ ý của D, suy ra

|f()|< mai maxf(x)|, max(fo) | VxeD (6)

xeD xeD

Không giảm tổng quát có thể cho là

man max f(x)|, [max (-f(x)) =|max f(x) (7)

xeD | xeD xeD

Vì Dị ={xeD:f(x) >0}, nên Jf()| =f(x), VxeD, Theo giả thiết

tồn tại min|f(x;)|, tức là tổn tại min|f(x)|, và

min |f(x)| =min i f(x),|min f(x)

xeD xeD, xeD,

= min in f(x),|max f(x) L

xeD, xeD;

Tính chất 11 được chứng minh hoàn toàn

2.12 Tính chất 12 :

— Giả sử f(x) là hàm số xác định và liên tục trên D Khi đó nếu gọi

M, m tương ứng là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) trên miền

D, thì

0, néuMm < 0 min|f(s) ~ (min {MI, JmÌÌ, néu Mm > 0 Chứng mình :

2 Nếu Mm >0 Không giảm tổng quát có thể cho là M>m>0

(trường hợp 0 >M>m chứng minh hoàn toàn tương tự) Như vậy ta có

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) trên một

miền D cho trước, chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác

nhau Trong phạm vi của cuốn sách này (dùng cho chương trình trung học cơ sở), chúng tôi chỉ trình bày ba phương pháp sau đây

- Phương pháp bất đẳng thức

- Phương pháp miền giá trị hàm số

- Phương pháp chiều biến thiên hàm số

§ 1 PHUONG PHAP BAT BANG THUC

Phương pháp bất đẳng thức được xem như là một trong những phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp này, như tên gọi của nó, dựa trực tiếp vào định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số Vì thế lược đồ chung

của phương pháp bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số f(x) trên một miền D cho trước nào đó có thể miêu tả như sau :

- Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng f(x)>œ VxeD với bài toán tìm giá trị lớn nhất (hoặc f(x)<œ VxeDvwới bài

trong (1), (2), (3) Do vậy dấu bằng trong (4) chỉ xảy ra khi x = 0

Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si, với mọi xe D ta có

Tim giá trị bé nhất của hàm số

F&y.2)=(sye+1)(Š +2 về | Š + Š + Ễ =xs y—s trên miền

x y z) y #ø# xX

Bai gidi:

Viết lại hàm sé f(x, y, z) dưới dạng sau :

x (Chú ý là x>0, y>0, z>0) Từ đó suy ra

1

fx,y,z)>x+y+z+++++t

x y Z7 fonsade(x+2)+[y+2)+(242) 20

Như vậy ta có f(x,y,z)>6, V(x,y,z)¢D

Vì (1, 1, 1) eD và g(1, 1, 1) = 6, nên ta đi đến kết quả sau :

X +i+y,1+z 22x d+y)d+z) (l+y)(1+z) 8 8 64(1+ y)(1+z)

Lại theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

| Xx+y+z2393xyz=3 (do xyz =1)

Thay lại vào (4) ta đi đến

xét trén mién D = {(x, y, z, t):x>0, y>0, z>0, t>O}

Tìm giá trị nhỏ nhất của f(, y, z, t) trên miền D

tx x+t

tty y+z (x+y) ot |e ero(

tty

+Z Ztt + + _

Z+x X+4+t

1 x+t

Nếu đầu bài đòi hỏi : Tìm mọi giá trị của (x, y, z, t) e D làm cho

hàm số f(x, y, z, t) đạt giá trị nhỏ nhất trên miền D-thì ta làm như sau :

Vì thế các điểm (x, y, z, t) e D cần tìm phải thoả mãn hệ sau :

t+y=z+x t=z>0

y+z=x+t x=y>0 Vay néu goi

xX y

1(1 1 1 v23 -|—+—l>——>———=-42

HỆ 3 Vxy lx2 + y2 (5)

_ Cộng từng vế (2), (3), (4), (5) và để ý đến (1) suy ra

f(x,y) 2 3V2 +4

Nhu vay tacé (x,y)> 3V2 + 4, V(x,y)cD

Mặt khác để ý dấu bằng đồng thời trong (2), (3), (4), (6) xây ra khi

30

EOD

eo”

Tuy nhiên ta có hai hệ phương trình tương đương :

r

& < [x>0, y>0; x+y? =1 xX y (**)

Mà hệ (**) vô nghiệm, vậy ta có từ (*)

f(x, y)>8 V(x, y)eD,

Từ đó chưa có thể nói gì đến min f(x,y) Đó chính là lí do vì sao phải

viết f(x,y) dưới dạng như trên !

Qua đây cũng thấy rõ vai trò của phần 2/ trong các định nghĩa về

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một miền đã cho '

93

> Sơ S88:

Như vậy V(x, y)eD, ta có đánh giá (1) Lại theo bất đẳng thức

Cô-si, thì dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi

2x — 9y = Ay +1)

8 2(y+1)=—————>

Như vậy ta đã chứng mình được

trén mién D={(x, y, Z):X>0, y>0, z>0 và x+y+z= 1}

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x,y) = 2x + 3y + 5 + 10 trén

8Œ%,y)= 2 (X+y)+- + tr + y"

Lấy (x, y) tuỳ ý e D, khi đó ta có

(1)

(2)

(3) (4)

Nói khác đi bài toán không “quá đơn giản” như nhiều bạn tưởng

2 Chìa khoá để giải bài toán trên là tách ra khỏi hàm số ban đầu thành phần s(x +y) Lam sao lại “nghĩ” ra điều ấy ! Bản chất của vấn

để có thể được lí giải như sau :

Đưa vào số k (0 < k < 9), và viết lại hàm số đã cho dưới dạng sau :

fGsy) =k+y)+Œ~k)x +Ễ +(8— ky TC, x Lấy (x, y) tuỳ ý e D, ta có

CXY,Z2=v.LÝY yon asx

D{@,Y,Z):X >0,Y >0,Z>0, JXY + JVYX + VZX =1)

Lấy (X,Y,Z) tuỳ ý eD' Khi đó theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

Tìm giá trị bé nhất của f(x, y, z) trên D

D=ÍŒ, y, z):x>0, y>0, z>0 và x+y+z= 1}

Bài giải : Với mọi (x, y, z) e D và theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

oy tyz+en( tated leg