GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTA LÝ THUYẾT: ICho hàm số y=fx xác định trên tập D.. Đặc biệt : Khi trên bảng biến thiên có duy nhất một cực trị : -Nếu cực trị của hàm số là ycđ thì yc
Trang 1GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A) LÝ THUYẾT:
I)Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D
1) Số M gọi là GTLN của hàm số f(x) trên D nếu :
=
∈
∃
≤
∈
∀
M x f D x
M x f D
x
) ( /
) (
; 0 0
.Kí hiệu
)
( x
Maxf
2) Số m gọi là GTNN của hàm số f(x) trên D nếu :
=
∈
∃
≥
∈
∀
m x f D x
m x f D
x
) ( /
) (
; 0 0
.Kí hiệu
) (
II)Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số y = f(x) :
1) Dùng phương pháp đạo hàm :
a) Trường hợp hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng hoặc nửa khoảng :
Cách giải : +Tìm các điểm tới hạn trên khoảng hoặc nửa khoảng cho trước
+ Lập bảng biến thiên rồi từ đố suy ra kết quả
Đặc biệt : Khi trên bảng biến thiên có duy nhất một cực trị : -Nếu cực trị của hàm số là ycđ thì ycđ = max y trên D
-Nếu cực trị của hàm số là yct thì yct = min y trên D
b) Trường hợp hàm số liên tục trên đoạn [a;b]:
Cách giải : +Tìm các điểm tơi hạn của hàm số trên đoạn [a;b]
+Tính f(a);f(b);f(xi) với xi là các điểm tới hạn thuộc [a;b].Khi đó :
]
;
x f b f a f x
f b a
]
;
x f b f a f x
f b
2) Dựa vào điều kiện phương trình có nghiệm (hay còn gọi là Miền giá trị của hàm số) Cách giải: +Ta xem y là hằng số ,ta cần tìm y để phương trình f(x) = y có nghiệm x thuộc D
+Từ đó ta tìm ra miền giá trị của y và suy ra được GTLN-GTNN của hàm số
*Chú ý: 1) Cách giải này không cần chỉ ra giá trị của biến ứng với các GTLN-GTNN 2) Một số phương trình ta cần lưu ý đến điều kiện có nghiệm của nó như sau: a) ax+ b = 0 có nghiệm x∈R⇔ a≠ 0 ∨a=b= 0
= ∧ ≠ ∨ = = =
Trang 2LUYỆN THI Đ.H.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Ví dụ 1: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) 22+ 1+1
+
=
x
x
x
1
1
2
2
+
−
=
x
x
y ; c) y = x5 − 5x4 + 5x3 + 2 với x∈[− 1 ; 2]
d) =2coscos+−2sinsin ++43
x x
x x
y ; e)
x x
x x
2 4
cos 2 sin 3
sin 4 cos 3
+
+
Ví dụ 2: Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các hàm số sau :
x
x
2 + +
= π trên khoảng (0 ; +∞) ; b) y= sinx cosx + cosx sinx
c) y= x− 2 x− 1 + x+ 2 x− 1 ; d) y= 3 −x+ x− 1
Ví dụ 3:Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các biểu thức sau :
a) M xy x y xy
2 2
1
) (
2
2
2 + +
+
= ; với x2 +y2 = 1 ; b) M =y− 2x+ 5 ; biết 36x2 + 16y2 = 1
c) M =x2 −xy+2 y2 ; với x2 +y2 +xy= 1 ; d) M =x4 +y4 −x2y2; biết x2 +y2 −xy= 1
VD 1a): Cách 1) Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng
Cách 2) Dùng điều kiện phương trình có nghiệm x∈R
VD 1b): Cách 1) Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên R Hoặc đặt ẩn Phụ t = x2 với điều kiện t ≥ 0 rồi dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên nửa khoảng
Cách 2) Dùng điều kiện phương trình có nghiệm
VD 1c): Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn
VD 1d): Cách 1) +Xét x= π + 2kπ ;tính y
+ Xét x ≠ π + 2kπ Khi đó ; ( )
2
2 Đặt t = tg 2x →
Biểu diễn sinx ; cosx theo t với công thức :
Sinx =1 2
2
t
t
+ ; cosx = 22
1
1
t
t
+
+ Thu được hàm số f(t) với t ∈R; có thể giải bằng phương pháp đạo hàm Cách 2) Dựa vào điều kiện phương trình : asinx + bcosx =c có nghiệm x ∈R
VD 1e): + Dùng ẩn phụ t =sin2x hoặc t = cos2x ;với 0≤t ≤ 1 ; (hoặc có thể dùng ẩn phụ
t = cos2x ; với -1≤t ≤ 1) + Sau đó dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số f(t) liên tục trên đoạn
VD 2):a)+Dùng Côsi đối với 2 số hạng đầu không âm và đánh giá sinx≥−1.Từ đó suy ra
C) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ :
B) CÁC VÍ DỤ ( cĩ hướng dẫn)
Trang 3được GTNN (không tồn tại GTLN).
b)+Lấy điều kiện sinx ;cosx≥ 0.Sau đó dùng bất đẳng thức BNC (BuNhia-Côpxki) c)+Lấy điều kiện →y= x− 1 − 1 + x− 1 + 1 →Dùng BĐT trị tuyệt đối
d)Cách 1):Lấy điều kiện → Dùng đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn
Cách 2):Lấy điều kiện → Dùng BĐT Côsi.
VD 3):a)Cách 1):Thay số 1 ở mẫu bỡi x2+y2 →Xét trường hợp y =0 Tính M → y≠ 0 → chia Cả tử và mẫu cho y2 rồi đặt ẩn phụ t = y x ;với t ∈R Khi đó thu được hàm số f(t) là hàm phân thức có tử và mẫu đều là bậc 2→ Dùng phương pháp
đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng
Cách 2):Do gt : x2+y2=1→ đặt x = cosα và y = sinα → Dùng điều kiện phương
trình có nghiệm
b)Cách 1):Xem M là hằng số ta cần tìm M để hệ phương trình sau có nghiệm:
= +
= +
−
9 16 36
5
2 2
x
M x
y
→phương trình bậc hai một ẩn x (hoặc y) với M là tham
số Từ điều kiện phương trình một ẩn có nghiệm (để hệ có nghiệm) ⇒
miền giá trị của M ⇒ GTLN-GTNN
Cách 2):Dùng BĐT BNC ;(Lưu ý :Biến đổi M = ( 6 ) 5
3
1 ) 4 ( 4
1
+
−
y để sử dụng
Gt : 36x2++16y2 = 9 )
Cách 3):Trước hết biến đổi gt về 1
3
4 ) 2 (
2
+ y
=
= α
α
sin 3 4
cos 2
y x
M = sin cos 5
4
3
+
α Dựa vào điều kiện PT có nghiệm hoặc BĐT BNC hoặc dựa vào miền giá trị y = asinx +bcosx = a2 +b2 sin(x+ β ) c) Từ gt M x x xy y xy y
+ +
+
−
=
y
x t t t
t t M
+ +
+
−
=
⇒
≠
1
2
2
→ Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng
d) + gt
−
≥
⇒
−
≥
− +
=
≤
⇒
=
−
≥
− +
=
⇒
3
1 3
3 ) ( 1
1 2
1
2
2 2
xy xy xy y x
xy xy xy xy xy y
x
1
3
1 ≤ = ≤
−
+gt ⇒ + = + → =− + + → =− + + ∈−3 ;1
1
; 1 2 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2
2
x
Trang 4LUYỆN THI Đ.H.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
+Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn
Bài 1: Tìm a và b để cho hàm số :
a) 1 x2
b ax y
+
+
= đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng (-1)
b)
1
2
2
+
+ +
=
x
b ax x
y đạt GTLN bằng 5 và GTNN bằng (-1)
Bài 2:Tìm GTLN-GTNN của:
4
) 1 (
1
x
x y
+
+
= ; b) y= 2 −x+ x+ 3 ; c) y=x+ 4 −x2
d) sin2sin+sin1 +1
+
=
x x
x
y ; e) y= sinx+ 2 − sin 2 x ; f) 2 +11
+
=
x
x
y trên đoạn [-1;2] g) y =x4 − 2x2 + 3 trên [-3;2] ; h) y x x
cos 2
sin
+
= ;với x∈ [0 ; π]
i) y= 2x3 + 3x2 − 12x trên đoạn [-3;3] ; k) y = cosx( 1 + sinx) với x ∈
[0 ; 2 π]
Bài 3:Tìm giá trị lớn nhất của :
a) 2 4
1 x
x y
+
= ; b) M =x 1 +y+y 1 +x ; với điều kiện :x2 +y2 = 1
Bài 4:Tìm GTNN của :
3
y x
xy y
M
+
−
= ; b) 1 31 1
2
+ + +
+
=
x
x x
x
c) f(x)=2 sin 2x+ 4 sinxcosx+ 5 ; d) 1
cos
1 cos cos
1
=
x
x x
x
e)y 2x 2x
lg 2
1 lg
+ +
sin cos
1 )
sin (cos + +
=
2 2
2
+
−
=
x
y y
x x
y y
x
f) M = b a + a b −b a +b a2 +b a+b a
2 2
2 4
4 4
4
; với ab≠ 0
Bài 5: Tìm GTLN-GTNN của các biểu thức sau :
a) ((1 x2)()(11 y2))
xy y
x M
+ +
− +
= ; b) A= 2x−y− 2 ; biết 9x2 + 4y2 = 36
2 2 2
2
) 1 ( ) 1 (
) 1
)(
(
y x
y x y
x M
+ +
−
−
= ; d) A= 2x− 3y ; biết x2 +y2 = 4
Bài 6: Giả sử x và y liên hệ với nhau bỡi hệ thức :x2 + 2xy+ 7 (x+y) + 2y2 + 10 = 0
Hãy tìm GTLN-GTNN của biểu thức S = x + y +1
Bài 7: Tìm m để y m x x
cos 2
sin 1
+
+
= có GTNN nhỏ hơn (-1) Bài 8: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau :
D) BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Trang 5a) ( 2 sin )( 6 sin )
15
1
x x
y= + − ; b) y= sin 6x+ cos 6 x+ sinxcosx
c) y= sin 4 xcos 6 x ; d) y= 4 sinx− cosx
e) =sin2++coscos −2
x x
x
y ; f) y= 5 cosx− cos 5x trên đoạn −4 ;4
π π
h) y=4sin2x+4cos2x ; i) y= 2 sin 8x+ cos 4 2x
k) y= sin 2x+ 3 cos 2 x− sin 2x ; l) y 2x x
cos 2
2 sin 2
+
+
=
Bài 9: Biết x,y thay đổi và
= +
≥
≥ 1
0
;0
y x
y
x
Tìm GTLN-GTNN của
a) P = 1+ +1
+ x
y y
x
; b) Q = 3x+ 1 −y
Bài 10: Cho x,y thay đổi thoả mãn x >0 ;y> 0 và x + y = 1 Hãy tìm GTNN của biểu thức :
P = x x + y−y
1
Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC ,tìm GTNN của biểu thức P = tgA.tgB.tgC
Bài 12: Cho ∆ABC có C≤B≤ A≤ 90 0 Tìm GTNN của biểu thức : M =
2 sin 2 sin
.
2
cos A−B A B
Bài 13: Cho A,B,C là ba góc của một tam giác Tìm GTLN của biểu thức :
M = 3cosA + 2(cosB + cosC)
Bài 14: Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ phương trình :
− +
= +
−
=
+
3 2
1
2 2 2
x
a y
x
Xác định a để
tích xy là nhỏ nhất
Bài 15:a) Cho x,y thay đổi thoả mãn điều kiện 0 ≤x≤ 3 ; 0 ≤y≤ 4 Tìm GTLN của biểu thức : A= (3-x)(4-y)(2x+3y)
b) Cho a≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥2 Tìm GTLN của = 1 (ab c− 2 +bc a− 3 +ca b− 4 )
abc F
c) Cho x;y;z biến thiên và thoả mãn điều kiện : xy+yz+zx = 4 Tìm GTNN của biểu thức F = x4 +y4 +z4
Bài 16: Cho x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Tìm GTLN của biểu thức :
P = 1 1+ +1
+
+
z y
y x
x
Bài 17: Cho cos2x + cos2y =1 (x,y∈R) Tìm GTNN của A = tg2x + tg2y
Bài 18: a) Cho ∆ABC ,tìm GTLN của P = 3 cosB+ 3 (cosA+ cosC)
b) Cho ∆ABC ,tìm GTNN của P = 2 cos1 2A 2 cos1 2B+2−cos1 2C
+ +
Trang 6LUYỆN THI Đ.H.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
(Tạm dừng-chào thân ái)
