DeThiMoiChuyen de phuong trinh vo ti(1)

KĨ THUẬT “ĐÁNH CẢ CỤM” KHI DÙNG CASIO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ dành cho bạn đọc muốn thử sức với một số PT vô tỉ phức tạp phải dùng máy tính Casio trợ giúp và thử sức giải phương trình

KĨ THUẬT “ĐÁNH CẢ CỤM” KHI DÙNG CASIO

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

(dành cho bạn đọc muốn thử sức với một số PT vô tỉ phức tạp phải dùng máy tính Casio trợ giúp

và thử sức giải phương trình bậc 3) Bài viết này xin được giới thiệu các phương trình dùng máy tính cầm tay tìm biểu thức liên hợp có dạng ax2 bxck P(x),với a,b,c là các số nguyên

Sau đây là các thí dụ đơn giản của dạng này

(phương pháp tìm biểu thức nêu ở 2 chuyên đề ở phần sau các thí dụ)

Thí dụ 1 Giải phương trình

534122127

Thí dụ 4 Giải phương trình

33693232

611

)(

1(5

85

4

2621412

x x x x

12359

2

24

x x x x

18

63327

4

41041

x x x x

x

Hướng dẫn

11

4

2621412

x x x x

x

Biểu thức cần tìm là 2x2x3(x2) 3x1 và 2x2 1 x34x2 10x4

PT đã cho có 2 nghiệm:x1;

12

)24918281(5)24918281(5

3 2

2 2

2

98824343

)

2

(

42

y x x

x x x

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với x 2hoặc x  y2 22

Với x=2 các bạn tự xử lí trường hợp dễ này

Với x  y222thay vào PT thứ 2 của hệ ta được

(*)29

8824343

311833

3

022

21

2 2 2

2

2

2 4 2 2

y x x

x x

y

y y

y x

Với x  y222thay vào PT thứ 2 của hệ ta được

(*)113341162133

3

02

2 2

2

2

2 2

2

x x x

x x

y

y x

xy

x

Hướng dẫn

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với x 1hoặc x  y2 22

Với x=1 các bạn tự xử lí trường hợp dễ này

Với x  y222thay vào PT thứ 2 của hệ ta được

(*)153367104133

Đến đây các bạn tự giải tiếp

Sử dụng lí thuyết của 2 chuyên đề dưới đây có thể tìm ra các biểu

thức cần xuất hiện

Chuyên đề 1

PHƯƠNG PHÁP THẾ TRONG THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐỂ TÌM NHÂN

TỬ CHUNG HOẶC TÌM BIỂU THỨC TRONG NHÂN LIÊN HỢP KHI GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VÔ TỈ

Một kĩ năng rất hữu ích có thể giúp ta giải được một phương trình vô tỉ là kĩ năng tìm nhân tử chung hoặc tìm biểu thức trong nhân liên hợp Đôi khi việc tìm ra các biểu thức đó

là rất khó khăn nếu ta không có máy tính cầm tay trợ giúp Bài viết này xin được giới thiệu

kĩ thuật dùng máy tính cầm tay tìm nhân tử chung hoặc biểu thức để ta xử lí nhân liên hợp

có dạng ax2 bxck P(x),với a,b,c là các số nguyên Sau đây là các thí dụ

Thí dụ 1 Giải phương trình

2632

1

4

1063

3

2 2

x

x x

Ta tìm nghiệm của PT(1) bằng máy tính CASIO fx-570VN PLUS như sau:

Nhập biểu thức vế trái(VT) của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X=2

Ấn nút sang trái để quay lại PT(1)

Sửa biểu thức thành VT(1):( X-2) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm10 =, máy cho ta nghiệmX 2,546818277

Bấm SHIFT STO A (lưu nghiệm vừa tìm vào A)

Giả sử nhân tử của PT(1) có dạng ax2 bxc x2 3x6

chứa 2 nghiệm vừa tìm

Nghiệm X=2 suy ra 4a2bc20c 4a2b2

Nhân tử của PT(1) trở thành:

632

2

263

Vì A là nghiệm của PT(2) nên

ta tìm a,b là số nguyên bằng cách bấm máy tính như sau:

A

A A

)2(2

263

Máy hiện Start? Ta bấm 9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 =

Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta thấy khi X=1=a thì F(X)=0=b là số nguyên

Như vậy a=1,b=0,c=2

63(

(4)2)(

235(

(4)2)(

632

)(

632

 ( 2) 3 6 0)

632

2(

)3(26

3

2 2

4

2 2

x x x

x

x x

3

02)

3

2

x x x

)(

2(

02

2 3 2

x x x x x

Giải tiếp ta được nghiệmx 2và

3

2

299612

29961

29961

2 3 2

2 3

x x x

x

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với PT:

)1(0398)2(362

2x4 x3  x2  x  x2  x3 x2  

Nhập biểu thức vế trái của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệmX 2,25992105

Bấm SHIFT STO A

)(:)1

Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) của PT(2) như sau:

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)=

Ta nhập biểu thức vế trái PT(2) bấm =

Máy hiện Start? Ta bấm -9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 =

Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Khi này xem bảng ta thấyX `1thì F(X)=0

Vậy nghiệm ngoại lai cần tìm là x= -1

Giả sử nhân tử của PT(1) có dạng ax2 bxc 8x3 9x2 3

Vì x= -1 nghiệm ngoại lai nên nó là nghiệm PT: ax2 bxc 8x39x230suy ra abc2 0 c ab2

Nhân tử của PT(*) trở thành:

398

8 3 2

Ta tìm a,b bằng cách bấm máy tính như sau:

A

A A

)1(1

239

Máy hiện Start? Ta bấm -9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 =

Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta thấy khi X=1 thì F(X)=3 là số nguyên

Như vậy a=1,b=3,c=0.Ta được nhân tử là x2 3x 8x3 9x2 3

Mà (x2 3x)2 (8x39x2 3) x4 2x3 3

PT(1) trở thành: x42x33(x2 2)(x2 3x 8x39x2 6)0

0)398232)(

6983

7)

9

8

2 2

2 2

3

x x x

x x x

03)

3

(

3 2

x x

x x

44

36

1

235

2

2 3 4

x x

x

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với PT:

)1(01417

4436

23

Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) của PT(1) như sau:

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)=

Ta nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm =

Máy hiện Start? Ta bấm -9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 =

Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Khi này ta thấy X=1 thì F(X)=0

Nhập biểu thức VT(1):( X-1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi X=? ta bấm0 =, máy cho ta nghiệmX  0,629960524

Làm tương tự các thí dụ trên ta được: ( 1)

1

223

)1(1

2417

4436

134

417

4436

13412

235

12

23

5

2

2 3

4 2

2 3 4

2 2

2 2

2 2

x x

x x x x

x x x

x x

x

x x x

x

417

4436

134

51

2235

2[

14

4

2 3

4 2

2 2

x x x

x x

x x

x

x

014

1

x x

Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x1; 3

5

327414

2

2 3 4 2

2 3 3

x

x x x x

x

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với PT:

)1(0652

11121663

27

Bấm máy tính như các thí dụ trên để tìm nghiệm nguyên ta thấy không có

Tìm và lưu các nghiệm ta được ít nhất 3 nghiệm là

Chú ý: Nếu máy hiện Continue:[=] thì ta bấm = ,đợi một lúc ta được nghiệm

Giả sử biểu thức thứ nhất có dạng ax2 bxc 4x3 7x2 2x3

Do A,B,C là nghiệm của biểu thức nên ta có

327

Bấm MODE 5 rồi bấm 2 để giải hệ 3 ẩn a,b,c gồm 3 PT trên.Ta được a=1;b=1;c=1

Như vậy biểu thức thứ nhất cần tìm làx2 x1 4x37x2 2x3

Tương tự biểu thức thứ hai cần tìm là 2x2 1 x4 6x3 16x2 12x11

0444211

121661

2

32741)

1

(

2 3 4 2

3 4 2

2 3 2

x x x

x

x x x x

x

PT

)2(0)()4442

( 4  3  2   

0111121661

2

33

2741

1)

(

2 3 4 2

2 3

x x x x

x x

Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm x1  3 ;x 2

Chú ý: Do A  C 2 ;AC 2 nên PT có nhân tử làx2  x2 2

Mở rộng dạng toán: Nếu a,b,c hoặc nghiệm PT là các số hữu tỉ thì ta đưa về tìm các biểu thức dạngn k P(x)(px2 qxr) ,với p,q,r là số nguyên và n là số nguyên dương ta tìm được hoặc ta thử chọn Vấn đề nữa đặt ra là liệu có phương trình mà ta phải tìm biểu thức dạng phức tạp hơn

d cx bx ax x P

k     Hãy làm bài tập dưới đây các bạn sẽ rõ Bài tập Giải phương trình

4

2

213

4

)

1

2 3

2 4

x x x

33

3

693

x x x

x

11434)

1

(

8532

)

3

2 2

2 3

x

x x x

x

12

3

423442

3

)

2 2

x x x

x

x

11

13147

3

2

223244

2 3 4

x x

x x x

132512

1

14128

x x x x

12734

2

1532

3

)

7

2 3 4

x x x x

132262

1

20

36274

2

2 3

x

x

x x x

x

x

161252)2

(

3

34106

x x x

x x

x

2583742

5

20309

20312

18

)

10

2 3 2

2 3 2

x

x x

x x

16

583

734475)

x x x x x x

x

12114

112

614

2

52715

213

4

2 3 4

x

x x

x x

x

x

112536

(

1

4

45443)

1129

2 2

x x

x x x

x x x

x

5451219

1920

4

4

34591319

21

)

14

2 3 4 5 6 7

8

2 3 4 5 6

x

x x x x x x

Chuyên đề 2

PHƯƠNG PHÁP CỘNG DÙNG TRONG THỦ THUẬT MÁY TÍNH CẦM TAY TRỢ GIÚP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Điều kiện sử dụng phương pháp: Bấm máy tính tìm được ít nhất 2 nghiệm A,B phân biệt

Nếu PT có chứa P (x) thì giả sử biểu thức cần xuất hiện có dạng: 2 ( )

x P c bx

a,b,c là các số nguyên Do A,B là nghiệm của biểu thức nên

(*)0)(

B A

B P A P

B P A P b

B P A P



 ( ))

(

bấm = máy hiện giá trị của b cần tìm

Từ (*) suy ra c P(A)aA2bA

Ta tìm a,c bằng máy tính như sau:

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập P(A)XA2 bAbấm =

Máy hiện Start? Ta bấm 9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 =

Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta chỉ lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên

Suy ra a=X,c=F(X)

Trường hợp 2: A  B 0

B A

B P A

P

b ( ) ( ) (  )





B A

B P A P

)()()(

Máy hiện Start? Ta bấm 9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 =

Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên

123

82266

2 4

2 3 4 6

x x x x

3)

Nhập biểu thức vế trái(VT) của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệmX 2,25992105Bấm nút mũi tên sang trái để quay lại VT(1) ta bấm = để lưu VT(1)

Bấm ALPHA X SHIFT STO A để lưu nghiệm vào A

Bấm nút mũi tên đi lên để về VT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta bấm -10 = máy cho ta nghiệmX 2,25992105Bấm SHIFT STO B

Bấm máy A+B máy hiện 0 suy ra

B A

B P A P b

B P A P



 ( ))

Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập P(A)A2X Abấm =

Máy hiện Start? Ta bấm 9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 =

Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta thấy khi X=3 thì F(X)=1 nguyên

Suy ra a=3,c=1

Biểu thức cần tìm là: x6 6x4 6x3 2x2 2x8(3x2 x1)PT(1) trở thành P(x)(3x2 x1)x6 3x4 9x2 90

09931

3

)

(

)13

P

x x

x

P

3

)

(

99

2

2 4

x

P

x x

x

0)993](

113

P

099

6    

0)33()

2)1(

3 3

x

x

)21( 3

12102

1257424

4

2 3 4 6

2

2 3 4 6 2

x

x x x x x x

x

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với PT:

)1(43

)(

B P A

P

b ( ) ( ) (  )





B A

B P A P

)()()(

Máy hiện Start? Ta bấm 9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 =

Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta thấy F(X)=-2 khi X=1

Suy ra a=1,b= -2 Khi này c P(A)A2 2A

Nhập biểu thức P(A)A2 2Abấm = máy hiện số 3

)(

)12

()(32)

(

)32(

)

(

2

2 2

2

2 2

x x x Q x

x

x

P

x x

x

P

012

)(

23232)

(

23

2

2

3 6 2

3 6

x x x

x

x

P

x x

0]12

)(

13

2)

(

1)[

12

)(

2

(

2 2

3 3

x x P x

x

0)12

21

2

x x

Vậy phương trình có 2 nghiệm 3

6424

12

322

2 3 2

3

2 3 4

x

x

x x x x

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với PT:

)1(0)()(32

Tìm và lưu các nghiệm ta được 2 nghiệm là

B P A

P

b ( ) ( ) (  )





B A

B P A P

)()()(

Máy hiện Start? Ta bấm 9 =

Máy hiện End? Ta bấm 9 =

Máy hiện Step? Ta bấm 1 =

Quan sát bảng ta thấy tất cả các giá trị F(X) đều nguyên Vì thế ta chọn 1 cặp là

X=2;F(X)= 1 Suy ra a=2,b=1c P(A)2A2 A

Nhập biểu thức P A  A2  A

2)( bấm = máy hiện số 1.Ta được c=1

Suy ra 2x2x1 P(x) là biểu thức cần tìm

Tương tự ta chọn được 3 2 1 ( )

x Q x

x    là biểu thức cần tìm Phương trình(1) tương đương với PT:

05242)

(13

)(1

2x2 x  P x  x2x  Q x x4  x3  x2  x 

52()(13

)(1

01)

(13

19)

(12

14)

5

2

2 2 2

2 2

x

x x

P x

x

x x

x

05

98

19424

3

)

2 3

x

x x x

x

3 2

3 4 6

2

2 3 6

347129

5599

)

x x x x

x

x x x

3

2124

184

4

)

3

2 3 2

4

2 3 3

x

x x x x

x

1212649

1620

5

6916637

4

)

4

2 3

2

2 3 2

x x

x

x x x x

x

115211441

512645

4

)

5

2 3 6 2

2 3 6 2

x x x x x

x

120

254

17883

2 4 6 2

x

x x x x x

x

4

1

144

82

)

7

2 3 4 6

2 4 6

x x x x

15

2541

`

8884

2 4 6 2

x x x x x

x

3 2

3 4 6

2 4 5

6

388433

5

282243

)

x x x x x

x x x x

25441

16124

63

3

)

10

2 4 5 8

2 4 5 8 2

x x x x x x

x

3 2

3 4 5

7

3 4 5 7

21523187

4

164186

2

)

x x x x x

x

x x x x

6

111

918156

)

12

2 3 4

5 6

8

2 4 5 6 7

x x

x

x x x x x x