Cao học giải tích chuyên đề phương trình vô tỉ trương văn đại

Trương Văn Đại Cao Học Giải Tích SĐT : 01672828224 CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Trong chuyên đề này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về một loại phương trình rất hay gặp trong kì thi tuyển

Trang 1

Trương Văn Đại Cao Học Giải Tích SĐT : 01672828224

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Trong chuyên đề này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về một loại phương trình rất hay gặp trong kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng , đó là phương trình vô tỉ ( hay còn gọi là phương trình chứa căn)

Phương trình, bất phương trình chứa căn thức là một phần quan trọng của môn Đại số ở bậc phổ thông Đây cũng là dạng toán khiến các bạn học sinh gặp khó khăn vì dạng bài tập phong phú, đòi hỏi nhiều kỹ năng tính toán và biến đổi Chính vì vậy tôi xin giới thiệu chuyên đề này, với hi vọng có thể phần nào giúp các bạn học sinh cơ bản nắm được cách giải quyết các bài toán dạng này

Vậy, phương trình vô tỉ là gì ??? Ta định nghĩa phương trình vô tỉ như sau :

3.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

3.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG CÁC BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN DẠNG 1 :

Trang 2

  1 

 22

3

9

x x

Trang 3

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x  1;x   2 2

f) Giải phương trình sau ;

4 3 10 3  x x2 (Trích đề thi HSG Quốc Gia năm 2000)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=3

VD2 : Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

Trang 4

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hệ ( ) có 2 nghiệm phân biệt

Điều này có nghĩa là phương trình

Trang 5

Điều đó tương đương với  ' 2 m2 4 m   3 0 đúng với mọi m

Để ý rằng tam thức 2m24m3>0 với mọi m

Như vậy, phương trình có nghiệm  m  2, hay m  2 là tấc cả giá trị cần tìm

VD 4 : Tìm m để phương trình 2 x2 mx    3 x 1 có 2 nghiệm phân biệt

Giải :

 

 22

4 2

2

x      <0 ??? điều này bạn đọc tự tìm hiểu thêm để hiểu sâu hơn nhé

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt phương trình    có 2 nghiệm phân biệt ≥ -1

Điều này

2 2

1 2

Trang 6

5

x

x x

Trang 7

1 4

2

8 6

x

x x

3.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG CÁC PHÉP NÂNG LŨY THỪA

Sử dụng phương pháp nâng lũy thừa nhằm biến đổi phương trình đã cho về dạng không còn chứa căn thức Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (thường thì ta đặt điều kiện sao cho

2 vế của phương trình cùng dương)

Chú ý : đối với phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đối với bất phương trình

bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu

Trang 8

(pt) f x( )g x( )2 f x g x( ) ( ) h x( )

Lúc này ta thu được phương trình dạng cơ bản đã có cách giải

VD1 : Giải phương trình x  9   5 2 x  4 (Trích đề thi ĐHQG Tp.HCM,khối D năm 1998)

x=0 thỏa điều kiện Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=0

VD2 : Giải phương trình 16  x  9  x  7 (Trích đề thi ĐH Đà Lạt khối A+B năm 1999)

Giải :

Điều kiện 16 0

x x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=0 ; x=7

VD3 : Giải phương trình : 3 x  7  x   1 2(Trích đề thi CĐ Tài Chính Hải Quan năm 2007 )

Giải :

ĐK : x   1

  pt  3 x  7   2 x  1    , với điều kiện x   1 thì

Trang 9

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x   1 ; x  3

Nhận xét : phương pháp nâng lũy thừa chỉ tỏ ra hiệu quả khi biểu thức dưới dấu căn là một hàm số bậc nhất ^^

DẠNG 2 :

Phương pháp giải :

Cách 1 : (dùng phương trình hệ quả để giải)

Với việc sử dụng phương trình hệ quả ta chỉ việc bình phương liên tiếp 2 vế của phương trình tới khi khử nhận được được một phương trình cơ bản hoặc một phương trình bậc cao Tiến hành giải tìm nghiệm của phương trình vừa thu được sau đó thử lại phương trình đầu và kết luận

x x

Trang 10

Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x=1

Cách 2 (dùng các biến đổi tương đương để giải )

Nhận xét : Để có các biến đổi tương đương ta phải đảm bảo 2 vế của phương trình phải cùng dấu với nhau (tốt nhất là

cùng dương ) do đó ta có các bước giải sau ;

Bước 1 :   pt  f x ( )  h x ( )  g x ( ) (1)

Bước 2 : Điều kiện

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

Với x  13 8 2  thỏa điều kiện x  1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  13 8 2 

Nhận xét : khi giải phương trình này ta có thể làm đơn giản hơn bằng phương trình hệ quả tức là bình phương 2 lần phương trình trên để phá căn Và lúc này ta nhận được một phương trình bậc 2 , giải phương trình bậc 2 đó ta thu được nghiệm sau đó thử lại phương trình đầu để kết luận nghiệm của phương trình đã cho Tuy nhiên việc thử lại không phải lúc nào cũng đơn giản do đó bạn đọc hãy linh hoạt sử dụng 1 trong 2 cách trên để có một lời giải thật đẹp nhé ^^

DẠNG 3 :

Trang 11

Phương pháp giải :

Bước 1 : Điều kiện

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

Bước 2 : Với điều kiện trên thì (pt)  f x ( )  g x ( ) 2 g x ( )

Lúc này ta đưa về phương trình cơ bản đã có cách giải

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5

VD2 : Giải phương trình sau x  4  1  x  1 2  x

Giải :

  pt  x  4  1  x  1 2  x   

Trang 12

2 1 2

x x

x x x

x x

Trang 13

2 4

3.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG CÁCH NHÓM NHÂN TỬ CHUNG

DẠNG 1 : NHÓM NHÂN TỬ CHUNG TRỰC TIẾP

phương pháp giải :

Thường thì ta sẽ sử dụng một số biến đổi sơ cấp sau để tìm nhân tử chung cho bài toán

 Cho tam thức bậc hai : ax2bxc Giả sử tam thức đã cho có hai nghiệm là x1; x2 khi đó ,

Trang 14

Trang 15

Để ý rằng với x  1 thì x  1 x  x  1 suy ra 1  x  1 x> x  1 điều này chứng tỏ    vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất nghiệm x = 2

DẠNG 2 :DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ NHÓM NHÂN TỬ CHUNG

(PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP)

phương pháp giải :

Việc sử dụng kĩ thuật nhân lượng liên hợp thực sự không khó , tuy nhiên nó đòi hỏi một số khả năng nhất định của bạn đọc Sau đây là một số điểm mà bạn đọc cần lưu ý khi sử dụng kĩ thuật này :

 Ta phải nhớ rằng mục tiêu của việc dùng lượng liên hợp chính là tìm được lượng nhân tử chung

 Mặt khác với phương trình đa thức p x    0, với x = a là nghiệm thì ta luôn tách được thành dạng

 x a p x    1  0

 Hai hằng đẳng thức phải nhớ :

Trang 16

LOẠI 1 : SỬ DỤNG TRỰC TIẾP LƯỢNG LIÊN HỢP

VD : Giải các phương trình sau :

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1

2

x 

b) 3 2   x  2   2 x  x  6

Giải :

Trang 17

Trang 18

2

145

2 x   3 x <1

Trang 19

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=3

LOẠI 2 : NHẨM ĐƯỢC 1 NGHIỆM SAU ĐÓ THÊM BỚT ĐỂ XUẤT HIỆN BIỂU THỨC LIÊN HỢP

VD : Giải các phương trình sau :

Trang 20

Trang 21

Trang 22

Điều này chứng tỏ phương trình    vô nghiệm

Trang 23

LOẠI 3 : NHẨM ĐƯỢC NHIỀU HƠN 1 NGHIỆM TỪ PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ CHO

Trong phạm vi của ta , tôi chỉ xét trường hợp ta nhẩm được 2 nghiệm của phương trình mà thôi ^^

Cơ sở của phương pháp :

Ta chú ý rằng, với phương trình f x    0 mà ta nhẩm được 2 nghiệm x  x x1;  x2thì ta luôn có thể đưa phương trình f x    0về dạng  2   

Để tiện hình dung về mặt kĩ năng ta quan sát các ví dụ sau đây :

VD Giải các phương trình sau :

a) 2 x2   x 3 21 x  17  x2  x 0

Phân tích :

Trang 24

 Thứ nhất , dùng máy tính ta nhẩm được phương trình đã cho có 2 nghiệm x1;x2 Do đó phương trình đã cho sẽ có thể đưa về dạng  2   

Tôi xin giải đáp câu hỏi trên bằng thuật toán sau :

2 2

Trang 25

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x  1;x  2

Điều này chứng tỏ phương trình    vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1;x2

x    x x  x  x 

Phân tích :

Trang 26

 Bằng cách sử dụng máy tính bỏ túi ta tìm được 2 nghiệm của phương trình là :

Trang 27

Vậy , phương trình đã cho có 2 nghiệm x   1 8 ; x   1 8

d) x4 x2  4 x4 20 x  4  7 x (Trích đề thi HSG Tỉnh Thái Bình_khối 12 năm 2010)

Phân tích :

 Ta nhẩm được 2 nghiệm x = 1 và x = 2

 Trong phương trình của ta gồm có 2 căn với biểu thức trong căn là một đa thức bậc 4 , do đó việc nhóm như các ví dụ trước là bất khả thi ^^, tuy nhiên ta có thể ta ra nhân tử từ việc tách lượng 7x ở VP kết hợp với 2 nghiệm mà ta nhẩm được Cụ thể như sau :

Ta nhóm giả định x4 x2 4  ( ax b  ) và x4 20 x   4  cx d   sau đó thay x =1 và x = 2 vào hệ phương

trình sau :

4 2 4

Thay vào ta được  a b ;     2; 0  ;  c d ;     5; 0 

Do vậy ta sẽ biến đổi phương trình như sau :

Trang 28

vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 và x = 2

LOẠI 4 : THÊM BỚT LƯỢNG GIẢ ĐỊNH ĐỂ TẠO BIỂU THỨC LIÊN HỢP

Phương pháp :

Đây là loại bài toán khó , thường được sử dụng trong các đề thi HSG , nó đòi hỏi bạn đọc phải rất tinh tế và linh hoạt trong việc nhìn nhận đề bài để từ đó đưa ra các lượng giả định cho phù hợp Để hiểu rõ hơn về mặt phương pháp tôi xin trình bày 1 số ví dụ sau :

VD : Giải các phương trình sau :

Trang 29

Trang 30

3

x

x x

Trang 31

Trang 32

2

x x

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	443,89 KB