Mét sè bµi to¸n hay vµ thó vÞ
I Ph ¬ng ph¸p Èn phô
VÝ dô 1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
3
x − + = −x x + +x
2) 2x2+5x− =1 7 x3−1
Híng dÉn:
1) Ta cã :
• x4 +x2 +1=(x2 +1)2 −x2 =(x2 +x+1)(x2 −x+1)>0, víi mäi x
• x2 −3x+1=2(x2 −x+1)−(x2 +x+1)
§Æt
≤
≤ +
+
+
−
3
3 , 1
1 2
2
y x
x
x x
1 )
( 2 3
) / ( 3
3 0
3 3 6
3
3 1
−
=
=
⇔
=
− +
⇔
−
=
loai y
m t y
x y
y y
2) ĐK: x≥ 1
Ta có: (1) ⇔ 2(x2+ + +x 1) 3(x− =1) 7 (x−1)(x2+ +x 1) (2)
Vì x=1 không phải là nghiệm của (2) nên chia hai vế của (2) cho x−1 ta được:
2 2 1 3 7 2 1
− − (3) Đặt: 2 1 0
1
x x
t
x
+ +
−
2 (1 ) 1 2 0
⇒ + − + + = có: ∆ = −x t4 6t2−3 Nên có điều kiện của t là:
0 3 2 3
0
x
t
t
≥
∆ ≥
Khi đó (3) trở thành: 2t2− + =7t 3 0
3 1 2
t t
=
⇔
=
Kết hợp với điều kiện của t ta có: t= 3
Với t = 3 ta có: x2− + = ⇔ = ±8x 10 0 x 4 6 thoả mãn điều kiện của x
Vậy phương trình có nghiệm: x= ±4 6
Chú ý : các đẳng thức sau để có thể sáng tạo ra các bài toán dạng này:
4 2 1 ( 4 2 2 1) 2 ( 2 1)( 2 1)
x + + =x x + x + −x = x − +x x + +x
Trang 24 1 ( 2 2 1)( 2 2 1)
x + = x − x+ x + x+
4x + =1 (2x −2x+1)(2x +2x+1)
Ví dụ 2 : Giải phương trình 417−x8 −3 2x8 −1=1
Hướng dẫn :
Đặt : 417−x8 =a,a≥0 và 3 2x8 −1=b
Pt
= + + +
−
−
=
⇔
=
− +
−
=
⇔
= +
=
−
⇔
0 ) 17 7 5 2 )(
2 (
1 33
) 1 ( 2
1 33
2
1
2 3 3
4 3
a b a
a
a b b
a
b
a
=> a= 2
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1
Ví dụ 3 : Giải phương trình : 4x2+ −5 13x+ 3x+ =1 0
Hướng dẫn :
Đặt : αy+ =β 3x+1 , chọn α β, sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng
hoặc gần đối xứng )
2 2
3 1
(*)
4 13 5
− + + + =
− + = − −
Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là
có nghiệm x= y
Nên ta phải có :
− + , ta chọn được ngay α = −2;β =3
=> Lời giải sau :
Điều kiện: 1
3
x≥ − ,
Đặt 3 1 (2 3), ( 3)
2
x+ = − y− y≤
Ta có hệ phương trình sau:
2 2
(2 3) 2 1
( )(2 2 5) 0 (2 3) 3 1
− = + +
− = +
8
x= ⇒ =y x −
Với 2 2 5 0 11 73
8
x+ y− = ⇒ =x +
Vậy nghiệm của phương trình là: 15− 97 11; + 73
Trang 3* Bài tập tương ứng :
3
x− = −x x + x− ( Đặt : 3 81x−8 =3y−2=> hệ đối xứng)
2) 36x+ =1 8x3−4x−1
28
9 4 7
7x2 + x= x+ x > ( Đặt :
2
1 28
9 4
+
=
+
y
Ví dụ 4 : Giải phương trình : 3 x2 −2 = 2−x3
Hướng dẫn :
ĐK : x≤− 2
Đặt 3 x2 −2 = 2−x3 = y,y≥0
0 )
1 )(
(
2 0
) )(
( 2
2
2
3 2 2
2 2
3
3
2
VN y
x x y
x x
y x xy y x y x y
x
y
x
>
+
−
−
−
−
=
⇔
= +
−
− + +
⇔
−
=
+
=
Vậy phương trình vô nghiệm
Ví dụ 5 : Giải phương trình : (x+1) x2−2x+ =3 x2+1
Hướng dẫn :
Đặt : t = x2−2x+3, t ≥ 2
Khi đó phương trình trở thành : (x+1)t =x2+1⇔ x2+ − +1 (x 1)t =0
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có ∆ chẵn :
1
t
=
− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔ = −
Ví dụ 6 : Giải các phương trình
1) x2 −4x−3= x+5 ( Hd : Đặt x+5= y−2)
2
3 4
2x2 + x= x+ x≥ (Hd : Đặt 1
2
3 = +
x
)
Ví dụ 7 : Giải các phương trình:
1) 3 3 2 3 2
7x+ −1 x − − +x 8 x −8x+ =1 2
2) x= 2−x 3− +x 3−x 5− +x 5−x 2−x
2x − +1 x −3x− =2 2x +2x+ +3 x − +x 2
Trang 4Hướng dẫn :
1) Đặt a=3 7x+1;b=3 8+x−x2;c=3 x2 −8x+1
0 ) )(
)(
( 8
8 ) (
8
2
3 3 3
3 3
3
= + +
= + +
⇔
= +
+
=
+
+
c b a
c b a c
b
a
c
b
a
1 0 1 9 1
=
=
⇔
−
=
=
⇔
−
=
=
−
=
⇔
−
=
⇔
x
x a
c
x c
b
x
x b
a
Vậy phương trình có nghiệm x = {-1 ; 0 ; 1; 9}
2)
2
3
5
= −
= −
= −
, ta có :
2 2 2
2 2
u v u w
− = + +
,
giải hệ ta được: 30 239
60 120
3) Đặt :
2 2 2 2
2 1
3 2
2 2 3
2
= − −
= − +
, khi đó ta có : a b c d2 2 2 2 x 2
+ = +
⇔ = −
− = −
* Bài tập tương ứng : 33x+ +1 35− +x 32x− −9 34x− =3 0
Ví dụ 7 : Giải phương trình
1)
5
2 2
1
2
3
=
+
+
x
x
2) 2x2 −5x+2=4 2(x3 −21x−20)
Hướng dẫn :
1) pt ⇔5 (x+1)(x2 −x+1) =2(x2 −x+1)+2(x+1)
Đặt x+1=a,a≥0 và x2 −x+1=b,b≥0, ta được
Trang 52 1
2 2
2
5 2
2
5
2 2
2
=
=
⇔ +
=
⇔ +
=
b a b a
b
a b
a b
a
ab
•
= +
−
≥
⇔ +
−
= +
⇔
=
0 3 5 4
1 1
1
x x
x x
x x
b
a
( Vô nghiệm )
•
+
=
≥
⇔ +
−
= +
⇔
=
) / ( 2
37 5
1 1
1 2 2
m t x
x x
x x
b
a
Vậy phương trình có nghiệm
2
37
5+
=
x
2) Đk :
5
1 4
≥
−
≤
≤
−
x
x
Đặt x+4 =a,a≥0 và 2x2 −8x−10 =b;b≥0
Tương tự ⇒(a−b)(a−3b)=0
II Phương pháp đánh giá
Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : ( )
( )
≥
≤
khi đó :
( ) ( )
A B
=
= ⇔ =
Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được
Một số bài toán
Ví dụ 1 : Giải phương trình x2 −x+19+ 7x2 +8x+13+ 13x2 +17x+7 =3 3(x+2)
Hướng dẫn :
Đk :x≥−2
4
3 ) 1 2 ( 4
1 )
2 ( 3 ) 1 2 ( 4
75 ) 2
1
) 2 ( 3 3 ) 3 4 ( 2
3 ) 2 ( 3 3 2
5 ) 3 4 ( 2
3 ) 2 ( 3 4
75
+
≥ + +
+ +
≥ + +
+ +
Trang 6Dấu " = " xảy ra
2
1
=
⇔x
Vậy phương trình có nghiệm
2
1
=
x
Ví dụ 2 : Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): 2 2 9
+
Hướng dẫn :
Đk x≥0
1
x
x
+ ≤ + + + = +
Dấu bằng 2 2 1 1
7
Vậy phương trình có nghiệm
7
1
=
x
Ví dụ 3 : Giải phương trình : 13 x2−x4 +9 x2+x4 =16
Hướng dẫn :
Đk: 1− ≤ ≤x 1
Biến đổi pt ta có : ( )2
2 13 1 2 9 1 2 256
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
13 13 1−x +3 3 3 1+x ≤ 13 27 13 13+ − x + +3 3x =40 16 10− x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 2( 2) 16 2
2
÷
Dấu bằng
2 2
2 1
5 1
10 16 10
5
x x
x
x
− =
Vậy phương trình có 2 nghiệm
5
2 +
=
x
Trang 7Ta chứng minh : 8 44 x+ ≤ +4 x 13 và
x − x − x+ ≥ ⇔ x− x+ ≥ +x
III Phương pháp hàm số
Sử dụng : Nếu y= f t( ) là hàm đơn điệu thì f x( ) = f t( ) ⇔ =x t
Một số bài toán
Ví dụ 1 : Giải phương trình : (2x+1 2) ( + 4x2+4x+4) (+3 2x + 9x2+3) =0 Hướng dẫn :
2x 1 2 2x 1 3 3x 2 3x 3 f 2x 1 f 3x
Xét hàm số ( ) ( 2 )
f t =t + t + , là hàm đồng biến trên R, ta có 1
5
x= −
Vậy phương trình có nghiệm
5
1
−
=
x
Ví dụ 2 : Giải phương trình 3 2 3 2
x − x − x+ = x + x−
Hướng dẫn :
Đặt y=3 7x2+9x−4, ta có : 3 2 3 ( ) (3 )
4 5 6
7 9 4
− − + =
+ − =
Xét hàm số : ( ) 3
f t = +t t, là hàm số đồng biến =>
5
2
x
x
=
= + ⇔ = + ⇔ + = + − ⇔ − ±
=
Vậy phương trình có 2 nghiệm
* Bài tập tương ứng : 1, 36x+ =1 8x3−4x−1