Viết phươngtrình mặt phẳng α qua M và cắt chiều dương của các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC.
Trang 1Câu 1 [2H3-4.16-3] (SỞ LÀO CAI 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm M ( 8;1;1 ) Viết phương
trình mặt phẳng ( ) α qua M và cắt chiều dương của các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,
C sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC
A. x y + + − = 2 2z 12 0 B. x y + + − = 2z 11 0
C. 2 x y + + − = z 18 0 D. 8 x y + + − = z 66 0
Lời giải
Tác giả:Ngô Yến; Fb: NgoYen
Chọn A
Gọi A a ( ;0;0 ) , B ( 0; ;0 b ), C ( 0;0; c ) với a, b, c > 0
Khi đó ta có phương trình mặt phẳng ( ) α là: x y z 1
a b c + + = . Gọi ; ;
3 3 3
a b c
G
là trọng tâm
2 2 2
1 3
ABC OG a b c
M
a b c
α
∈ ⇒ + + = .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( ) ( ) ( )
a b c
⇔ + + ≤ + + ÷
2a +b+c 36
Mặt khác:( )2 ( 2 2 2)( 2 )
a.2+b.1+c.1 ≤ a b c + + 2 1 1 + +
6
Dấu " " = xảy ra khi 2 2 12
2
a
b c a b c a
= = ⇒ = = ⇒ =
, b c = = 6 Khi đó phương trình mặt phẳng ( ) : 1
12 6 6
x y z
α + + = hay ( ) α : x + + − = 2 y 2z 12 0
Câu 2 [2H3-4.16-3] (Đặng Thành Nam Đề 1) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 2; 2;4 − ) ,
( 3;3; 1 )
B − − và mặt phẳng ( ): 2 P x y z − + − = 2 8 0. Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc ( ) P ,
giá trị nhỏ nhất của 2 MA2+ 3 MB2 bằng
Lời giải
Trang 2Tác giả: Ngọc Thanh ; Fb: Ngọc Thanh
Chọn A
+) Gọi I là điểm thỏa
5
5
5
I
I
I
x
z
+
=
+
=
Khi đó ta có
2 MA + 3 MB = 2 MI IA uuur uur + + 3 MI IB uuur uur +
5 MI 2 IA 3 IB 2 MI IA IB 2 3
= + + + uuur uur uur + = 5 MI2+ 2 IA2+ 3 IB2
Mà IA2 = 27 và IB2 = 12 Suy ra 2 MA2+ 3 MB2 = 5 MI2+ 90
Suy ra 2 MA2 + 3 MB2 nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I lên ( ) P
Ta có
( )
( )2
2 1 1 2.1 8
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2 MA2+ 3 MB2 = 5.3 90 1352+ =