2H3 6 04 3

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cắt d tại I , mặt cầu tâm I bán kính IA IB thỏa mãn bài toán.. Tương tự, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AC cắt d tại J, mặt cầu tâm J bán kí

Câu 1 [2H3-6.4-3] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz

cho mặt phẳng  P : 2x2y z  8 0 và đường thẳng :x32  y53 z121. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu đi qua điểm A3;5;12, tiếp xúc mặt phẳng  P và đường thẳng .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Chí Thìn; Fb: Nguyễn Chí Thìn

Chọn B

Cách 1:

Ta có A� P , theo giả thiết mặt cầu  S

đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng  P

nên  S

tiếp xúc với  P

tại A Suy ra tâm I của  S

thuộc đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng  P

2; 2; 1 ,

P

nr   ur   3;5;12 �n ur rP.   8 0� nên  cắt  P

Gọi M   � P , khi đó M cố định.

Giả sử B là điểm tiếp xúc của  và  S

, ta có MA MB nên B thuộc mặt cầu  S'

tâm M

bán kính MA  cắt  S'

tại điểm thứ hai là C nên có không quá 2 mặt cầu thỏa mãn

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cắt d tại I , mặt cầu tâm I bán kính IA IB thỏa mãn bài toán

Tương tự, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AC cắt d tại J, mặt cầu tâm J bán kính

JA IC thỏa mãn bài toán.

Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn

Cách 2: Anh Tú

+) Nhận thấy A� P

+) Gọi I là tâm của mặt cầu đi qua A3;5;12, tiếp xúc với mặt phẳng  P

và tiếp xúc đường thẳng .

+) Gọi d là đường thẳng đi qua A và d vuông góc với mặt phẳng  P

Ta có

3 2

d : 5 2

12

  

�

�  

�

�  

+) Khi đó I d� �I2t3; 2t  5; t 12 , với t��.

+) Ta có  đi qua M2; 3;1  và có một vécto chỉ phương uuur   3;5;12.

+) MIuuur2t5;2t  8; t 11 , ��MI uuuur uur, �� 29t41; 21 t27;16 1t 

+) Theo giả thiết ta có

 

 ,   , d  ,   MI u,

u





uuur uur uur

t  t   t  t   t  t



�

2

2 1538 1212 2411 2

178

 1 Phương trình  1

có 2 nghiệm phân biệt suy ra có 2 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 2 [2H3-6.4-3] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,

cho mặt cầu  S x: 2 y2 z2 2x4y2z 0 và điểm M0;1;0 Mặt phẳng  P đi qua

M và cắt  S theo một đường tròn  C có diện tích nhỏ nhất Gọi N x y z 0; ;0 0 thuộc đường

tròn  C sao cho ON  6 Khi đó y bằng0

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Thắng ; Fb: Nguyễn Thắng

Phản biện: Nguyễn Minh Đức, Fb: Duc Minh

Chọn B

Mặt cầu  S

có tâm I1;2;1 và bán kính là R 6.

1; 1; 1 3

IM    �IM  R

uuur

M nằm bên trong mặt cầu.

Gọi r là bán kính của đường tròn  C

và H là hình chiếu của I trên  P

H là tâm của

đường tròn  C

và theo định lí Pytago ta có: r2 IH2  R2.

Suy ra: Hình tròn  C

có diện tích nhỏ nhất r đạt GTNN IH đạt GTLN Mà IH �IM và

IM không đổi (I và M cố định)  C

có diện tích nhỏ nhất khi H � �M  P IM .

 P

đi qua M và nhận IMuuur

là VTPT nên phương trình của  P

là: x y z    1 0

 C

là giao tuyến của  P

và  S

nên phương trình của  C

là:

1 0

x y z

�    

Vậy ta có hệ phương trình xác định điểm N :

0 0 0

2 4 2 0 (1)

�    

�

�   

� Lấy (1) trừ (3) theo vế ta được: 2x04y0 2z0  6� x02y0  z0 3 (4)

Lấy (2) trừ (4) theo vế ta được: y0  2

Câu 3 [2H3-6.4-3] (Kim Liên 2016-2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

 P : 2x2y z m  0 và mặt cầu  S x: 2 y2 z2 4x6y0 Tìm tất cả các giá trị của

tham số thực m để mặt phẳng  P

cắt mặt cầu  S

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3

A m�4;16 . B m� 1;4 . C m� 3;6 . D m� 1;3 .

Lời giải

Tác giả: Hoàng Văn Thông; Fb: Thông Hoàng

Chọn A

Mặt cầu  S

có tâm I2;3;0 và bán kính R 13.

Điều kiện để mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là một đường tròn là:

 

 , 

d I P R � m310  13  *

Đường tròn giao tuyến có bán kính bằng 3 tức là

 

10

9 13

9

m

 

m 

�

16 4

m m



�

� � � Kiểm tra với điều kiện  * ta có m , 4 m thỏa mãn.16

Câu 4 [2H3-6.4-3] (Nguyễn Đình Chiểu Tiền Giang) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

    2 2 2

S x  y z  và đường thẳng

1 2

 

�

�   

�

�  

� Gọi  P là mặt phẳng chứa d

và cắt  S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất, phương trình của  P là

A x3y   5z 2 0 B 3x2y4z  8 0

C x2y  3 0 D y z   1 0

Lời giải

Tác giả: Phạm Thu Thuận; Fb:Bon Bin

Chọn D

Mặt cầu     2 2 2

S x  y z  có tâm (3;1;0)I bán kính R2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên d ; K là hình chiếu vuông góc của I lên  P

Ta có H d� nên gọi H1 2 ; 1 t   t; t; uuurIH    2 2 ; 2t   t; t;

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ur2;1; 1  .

IH d �IH uuuur r �   t     t t   �t �H3;0; 1 .

Nên IHuuur0; 1; 1   �IH  2 R Do đó d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm Mặt phẳng  P

cắt mặt cầu  S

theo một đường tròn có bán kính r R2d I P2 ;    4d I P2 ;  

Để r nhỏ nhất thì d I P ;  

lớn nhất

Ta có d I P ;   IK�IH (tính chất đường vuông góc và đường xiên).

Do đó d I P ;  

lớn nhất  �IK IH K H . Khi đó mặt phẳng  P

đi qua H và nhận IHuuur

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là

0 x 3 1 y 0 1 z 1 0 hay y z   1 0

Vậy phương trình mặt phẳng  P y z:   1 0.

Câu 5 [2H3-6.4-3] (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

    2 2 2

S x  y z  và đường thẳng

1 2

 

�

�   

�

�  

� Gọi  P

là mặt phẳng chứa d

và cắt  S

theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất, phương trình của  P

là

A x3y   5z 2 0 B 3x2y4z  8 0

C x2y  3 0 D y z   1 0

Lời giải

Tác giả: Phạm Thu Thuận; Fb:Bon Bin

Chọn D

Mặt cầu     2 2 2

S x  y z  có tâm (3;1;0)I bán kính R2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên d ; K là hình chiếu vuông góc của I lên  P .

Ta có H d� nên gọi H1 2 ; 1 t   t; t; uuurIH    2 2 ; 2t   t; t;

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ur2;1; 1  .

IH d �IH uuuur r �   t     t t   �t �H3;0; 1 

Nên IHuuur0; 1; 1   �IH  2R Do đó d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm Mặt phẳng  P

cắt mặt cầu  S theo một đường tròn có bán kính r R2d I P2 ;    4d I P2 ;  

Để r nhỏ nhất thì d I P ;  

lớn nhất

Ta có d I P ;   IK�IH

(tính chất đường vuông góc và đường xiên)

Do đó d I P ;  

lớn nhất  �IK IH K H . Khi đó mặt phẳng  P

đi qua H và nhận IHuuur

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là

0 x 3 1 y 0 1 z 1 0 hay y z   1 0

Vậy phương trình mặt phẳng  P y z:   1 0.