Gọi ∆ là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng P.. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên ∆.. Biết rằng khi AH BK = thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường t
Trang 1Câu 1 [2H3-5.11-3] (Cụm 8 trường Chuyên Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 1;2;3 )
, B ( 3;4;5 ) và mặt phẳng ( ) P x : + + − = 2 y 3 14 0 z Gọi ∆ là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng ( ) P Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên ∆ Biết rằng khi AH BK = thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là
A
1
13 2 4
x
=
= −
= − +
13 2 4
x t
=
= −
= − +
13 2 4
x t
=
= −
= − −
13 2 4
x t
=
= +
= − +
Lời giải
Tác giả: Đàm Văn Thượng ; Fb:Thượng Đàm
Chọn B
Ta kiểm tra được A P ∈ ( ), B P ∉ ( )
Gọi I là trung điểm của HK, ta có AH BK = , IH IK = nên ∆ AHI = ∆ BKI suy ra IA IB =
Do đó I nằm trên mặt phẳng ( ) Q là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Mặt phẳng ( ) Q đi qua điểm M ( 2;3;4 ) là trung điểm của đoạn AB và nhận uuur AB = ( 2;2;2 ) là
một véctơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng ( ) Q là: 2 ( ) ( ) ( ) x − + 2 2 y − + 3 2 z − = 4 0 ⇔ + + − = x y z 9 0
Ta có I ∈ ( ) P , I Q ∈ ( ) , suy ra I d ∈ là giao tuyến của mặt phẳng ( ) P và ( ) Q .
Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P là n uuur( )P = ( 1;2;3 ) .
Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) Q là n uuur( )Q = ( ) 1;1;1 .
( ) ( )P , Q ( 1;2; 1 )
n n
= − −
uuur uuur
Véctơ n n( ) ( )P , Q
uuur uuur
cùng phương u r = − ( 1; 2;1 ) .
Suy ra đường thẳng d có một véctơ chỉ phươngu r = − ( 1; 2;1 ) .
Chọn điểm A y z ( 0; ; ) thuộc giao tuyến của ( ) P và ( ) Q Ta có
9 0
y z
y z
+ − =
+ − =
13 4
y z
=
⇔ = −
Trang 2Đường thẳng d đi qua điểm A ( 0;13; 4 − ) có một véctơ chỉ phương u r = − ( 1; 2;1 ) có phương
trình là
13 2
4
x t
=
= −
= − +