2H1 5 03 4

M là điểm thay đổi trong tam giác ABC.

Câu 1 [2H1-5.3-4] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Cho tứ diện ABCD có AB CD 4,

5,

BC AD  AC BD  M là điểm thay đổi trong tam giác ABC Các đường thẳng qua6

M song song với AD, BD CD tương ứng cắt mặt phẳng , BCD,ACD, ABD

tại , ,

A B C� � � Giá trị lớn nhất của MA MB MC� � �. . là

A

40

24

30

20

9 .

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Thuần ; Fb: Phạm Thuần

Chọn A

Gọi   là mặt phẳng chứa 2 đường thẳng MA� và AD ,   là mặt phẳng chứa 2 đường thẳng

MB� và BD ,   là mặt phẳng chứa 2 đường thẳng MC� và CD.

Gọi A1  �BC, B1  �AC,C1   �AB.

Xét các tam giác A AD B BD C CD ta có:1 , 1 , 1

Vì MA�/ /AD �

1 1

MA MA

�



�

1 1 5

MA MA

AA

�

 (1)

Vì MB�/ /BD �

1 1

MB MB

�



�

1 1 6

MB MB

BB

�



(2)

Vì MC�/ /CD �

1 1

MC MC

�



�

1 1 4

MC MC

CC

�



(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

MA MB MC

MA MB MC

T

AA BB CC

Ta có

1 1

MBC ABC

S MA







,

1 1

MAC ABC

S MB







và

1 1

MAB ABC







Suy ra

1

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số, ta có:

3

3

MA MB MC MA MB MC

T

AA BB CC AA BB CC

3 1

27

MA MB MC

MA MB MC

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi M là trọng tâm của tam giác ABC Vậy giá trị lớn nhất của MA MB MC� � �. . bằng

40

9