GV: PHẠM VĂN HÙNG THPT HIỆP ĐỨCChuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC * Nắm vững các kiến thức : cung liên kết, CTLG, các dạng PTLG cơ bản, thường gặp.. Giải các phương trình sau: Vấn đề 1:
Trang 1GV: PHẠM VĂN HÙNG THPT HIỆP ĐỨC
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
* Nắm vững các kiến thức : cung liên kết, CTLG, các dạng PTLG (cơ bản, thường gặp).
Giải các phương trình sau:
Vấn đề 1: Phương trình LG thường gặp
Dạng I: Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
1 a) sin2x + 3cosx – 3 = 0 b) Cos2x + 5sinx + 2 = 0 c) tan2x + ( 1- 3 )tanx - 3 = 0
d) sin22x - 2cos2x + 3/4 = 0 e) cos2x + cosx +1 = 0 f) cot2x – 4cotx + 3 = 0
g) tan3x + 12
cos x - 3cot 2 x
π
−
= 3
2 a) 2sin23x + sin2x – 2 = 0 b) 4sin42x + 12cos22x – 7 = 0
c) cos( 2
4
x+π
) + sin( 2
4
x+π ) = (4 - 2 2 )sinx + 2 - 4 d) cos(2 2
3
x+ π
) + 3cos(
6
x−π ) – 2 = 0 e) 12
sin x = cotx + 3 f) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos
2x + 1 g) sin4x+ cos4x = sinxcosx h) 2tanx – 2cotx = 3
m) 3/ sin2x -2 3 cotx = 6 n) sin6x + sin6(9
2π −x) = 1
2sinxcosx
Dạng II: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1 sin2x - 3 cos2x = - 3 2 3 sinx + cosx = 1 3 3 sin3x – cos3x = 2
4 sinx - 3 cosx = 0 5 2sinx – 5cosx = 2 6 3sin2x – 2cos2x = 2
7 2 sin4x + 2 sin( 4
2
x−π
2
x+π ) - 3 cos(π−2x) = 1
9 ( sinx - 3 cosx )(1 + cosx ) = sin2x 10 3 sin5x – cos5x = 2sin3x
11 6cosx (1 – sinx) – 2sin2x + 9sinx – 7 = 0
Dạng III: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:
1 sin2x – 3sinxcosx + 2cos2x = 0 2 2sin2x + 8sinxcosx + 3cos2x = -1
3 3sin22x + 3 3 sin4x – 3cos22x = 5 4 sin23x – 8sin3xcosx3x + 7cos23x = 0
5 3 sin2x + 2sin2x = 0 6 2sin2x + sinxcosx + 3cos2x – 2 = 0
7 3 sin2x + sin2x - 3 cos2x = 1 8 ( 3 -1)sin2x - 3 sin2x + ( 3 +1)cos2x = 0
9 1
cos x = 4sinx + 6cosx 10 3sin2x – cos2x + 2( 3 +1)cos2x – 4 - 3 = 0
11 4sin3x + 3sin2xcosx – sinx – cos3x = 0 12 sin3x + 2sin2xcosx + sinxcos2x – 4cos3x = 0
13 2sin3x - sin2xcosx + 2sinxcos2x – cos3x = 0 14 sin3x + 3cos3x + sinx = 0
Dạng IV : Phương trình dạng a(sinx ±cosx) + bsinxcosx = c
1 sinx + cosx – 4sinxcosx – 1 = 0 2 3(sinx + cosx) + sin2x + 3 = 0 3 4sinxcosx – 2(sinx + cosx) + 1 = 0
4 (sinx + cosx )3 - 2 (1 + sin2x) + sinx + cosx - 2 = 0 5 cosx + 1
cos x + sinx +
1
sin x =
10 3
6 sinxcosx + sinx – cosx - 1 = 0 7 2sin2x - 4 2 (sinx – cosx) – 5 = 0
8 2 (sinx + cosx) = tanx + cotx 9 sin3(
4
x−π ) = 2 sinx
Vấn đề 2: Phương trình lượng giác khác
8sin
cos sin
x
2
cos cos 1 cos
x
− −
Trang 212 sin 3 sin
cos 2 sin 2
1 cos 2
x
π, v x= -π/6 +kπ, v x= 2π/3 +kπ.
14 (2sinx – 1)( 2cosx+2sinx+1)= 3 - 4cos 2 x 15 3tan3x + cot2x = 2tanx + 2/sin4x.
16 3sin3x - 3cos9x = 1+ 4sin 3 3x 17 sin22x – cos28x = sin(17 10
2π + x)
18
sin cos
cos 2
2 cos sin
x
1 cos 4 sin 4 2sin 2 1 cos 4
+
20 tan tan 3x x+ =2 tan2x 21 cos 3 tan 5x x=sin 7x
2 tan cot 3
sin 2
x
+ = + 23 tanx+cotx=2 sin 2( x+cos 2x)
24 cot2 tan2 16 1 cos 4( )
cos 2
x x
x+ x= x+π π −x
26 cos10x+2cos24x+6cos3x.cosx=cosx+8cosx.cos33x
27 1 tan+ x=2 2 sinx 28 (2cosx−1)(sinx+cosx)=1
29 x x cos x.sinx
4
1 cos
sin3 = + 3 30 4(cos4 x+sin4 x)+ 3sin4x=2
31 3 sin( tan )
2cos 2 tan sin
x
+
3
tanx=cotx+2 cot 2x
33 3sin3x− 3cos9x=1+4sin33x 34
4
1 4 cos
+
x x
35
4
2 3
cos cos 3
sin
sin3 x x+ 3 x x= 36 sin3 x.sin3x+cos3 x.cos3x=sin34x
37
x
x x
x
cos
1 3 cos 2 sin
1 3
sin
2
2
sin 2
tan 2 sin 4cos
2
x x
−
39 cos7x.cos5x− 3sin2x=1−sin7x.sin5x 40.sin tan 2
2
x
41 3sin cos 4cot 1 0
2
x
x+ x+ + = 42 sin 2x+cos 2x+tanx=2
43 sin4 x+cos4 x+cos2x=0 44 6sinx−2cosx=6sin2x.cosx
45 5cos4 x+3cos3x.sinx+6cos2 x.sin2 x−cox.sin3x+sin4 x=2
2
3 2 cos 2 sin
1+ 3 + 3 =
48 sin3 x+cos3 x=sin2x+sinx+cosx 49 sinx−cosx +4sin2x=1
50 2 tan( x−sinx) =sinx+cosx 51 cotx−tanx=sinx+cosx
52 tan2 x(1 sin− 3x)+cos3x− =1 0 53
x
x x
x
3
3
sin 1
cos 1 2 cos 1
2 cos 1
−
−
= +
−
2
3 1 sin
x
π
55 2sinx+cotx=2sin 2x+1 56 sinx−cosx + sinx+cosx =2
57 cos2x+5=2(2−cosx) (.sinx−cosx) 58 tanx+tan2x+tan3x+cotx+cot2 x+cot3x=6
1 sin 4 cos 3
6 sin
4
cos
+ +
+ +
x x
x
x 60 3tan 2 x + 4sin 2 x - 2 3tanx – 4 sinx + 2 = 0
sin sin 3 sin sin 3
4
x+ x= x x 62 sinx + cosx = 2(2 – sin 7 2x)
Vấn đề 3: Phương trình LG chứa tham số
Trang 31 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
2m(sinx + cosx) + cosx – sinx + 2m 2 +3/2 =0 m = ±1/ 2
2 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn [ ]0;π
(2sinx – 1)( 2cos2x + 2 sinx + m) = 3 - 4 cos 2 x m=0vm∈ −∞ − ∪ +∞( ; 1) (3; )
1 cos 2x m= cos 1 tan2x + x
a Giải phương trình khi m = 1 ; b m = ? để phương trình có nghiệm trong đoạn
3
;
0 π
2 cos4x=cos23x+asin2 x
a Giải phương trình khi a = 0 ; b a? để phương trình có nghiệm
12
;
0 π
3 3 tanx+1 sin( x+2cosx) =m(sinx+3cosx)
a Giải phương trình khi m = 5 ; b m=? để phương trình có nghiệm duy nhất
∈ 2
;
0 π
x
4 Cho phương trình: 4k(sin6 x+cos6 x−1)=3sin6x
a Giải phương trình khi k = -4 ; b k? để phương trình có 3 nghiệm ∈−4 ;4
π π
5 cos3 x−sin3 x=m
a Giải phương trình khi m = -1 ; b m = ? phương trình có đúng 2 nghiệm −
4
; 4
π π
6 m? phương trình có nghiệm 2 ( )
2
3 3tan tan cot 1 0 sin x+ x m+ x+ x − =
7 m? phương trình sau vô nghiệm 2 ( )
2
1 cot cot tan 2 0 cos x+ x m+ x+ x + =
cos
x
a Giải phương trình khi a = ½ ; b a? phương trình có nhiều hơn một nghiệm thuộc
2
;
0 π
Vấn đề 4: Hệ thức trong tam giác
1 Cho ∆ABC thoả:
2
c
a b c
+ − và sinA.sinB = 3/4 CMR: ∆ABC đều.
2 Cho ∆ABC thỏa 1 osB 2 2
sinB 4
− CMR : ∆ABC cân
3 CMR: ∆ABC thỏa mãn hệ thức : a)tanA + tanB = 2cot
2
C
hoặc b) 1 osB 2
1-cosB 2
a c
− thì ∆ cân tại C
4 Cho ∆ABC có 3 cạnh và 3 góc thỏa : a)
sin sin sin sin
b) cosB + cosC =
2
b c+
CMR : ∆vuông
5 Cho ∆ABC thỏa tan
2
b c
+ CMR:∆ABC vuông hoặc cân tại A.
6 CMR: Trong ∆ABC nếu cotA, cotB, cotC theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì a 2 , b 2 , c 2 cũng tạo thành cấp số cộng
Trang 41 Tìm x ∈[0;14] nghiệm đúng phương trình: cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (D-02)
2 Giải phương trình: sin (2 ) tan2 os2 0
x c
π
3 Giải phương trình: (2cosx-1)(2sinx+cosx) = sin2x – sinx (D-04)
4 Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos( x-
4
π
) sin(3x-
4
π
) - 3/2 = 0 (D-05)
5 Giải phương trình: cos3x+cos2x-cosx-1=0 (D-06)
6 Giải phương trình: cos3 x + sin 3 x + 2sin 2 x = 1 ( dự bị D1-06)
7 Giải phương trình: 4sin3 x + 4sin 2 x + 3sin2x + 6cosx = 0 ( dự bị D2-06)
8 Giải phương trình: 2 cos x 2 3 sin x cosx 1 3(sin x2 + + = + 3 cosx) (db A1-07)
sin 2x sin x 2cot g2x
2sin x sin 2x
10.
2
x cos 2 4 2
x cos 4
2
x
−π
−
−π
(db B1-07)
x sin
x
cos x cos
x 2
(db B2-07)
12 x sin 2
− π
(db D-07)
13.
4sin( ) 3
2
x
π π
14. sin 32 x c− os 42 x=sin 52 x c− os 62 x (B-02)
c otx-tanx+4sin2x=
16. 5sinx− =2 3(1 sin ) tan− x 2x (B-04)
18 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; π) của pt : 2 2 3
4sin 3 cos 2 1 2cos ( )
x
19 Giải phương trình :2 2 cos (3 ) 3cos sin 0
4
x−π − x− x=
( db A2-05)
tan( ) 3tan
x
x
(db B2-05)
x x
x
22 sin 2x+cos 2x+3sinx−cosx− =2 0 (db D2-05)
23. cotx + sinx(1+ tanx.tan
2
x
24 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của pt : 5(sinx + os3x+sin3x
1 2sin 2
c
x
+ ) = cos2x+3 (A-02)
25 Giải phương trình: cotx – 1 = cos 2 2 1
sin sin 2
x
26 cos 3 cos 22 x x−cos2 x=0 (A-05)
27
2(cos sin ) sin cos
0
2 2sin
x
28 (1 sin+ 2x) cosx+ +(1 cos )sin2x x= +1 sin 2x (A-07)