Toán 1 toán2 (1)

Page | 12 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC.

Page | 1

TOÁN CAO CẤP A1 CHƯƠNG 0: SỐ PHỨC

1 CÔNG

THỨC CẦN

NHỚ

1) Công thức căn bản: z = a + bi 2) Dạng lương giác: z = r(cosφ + isinφ)

Với: r = √𝑎2+ 𝑏2 {

cosφ = 𝑎

𝑟

sinφ = 𝑏𝑟

−𝜋 ≤ φ ≤ π

3) Dạng mũ: z = r𝑒𝑖φ

2 Phép lũy

thừa số phức

𝑧𝑛 = 𝑟𝑛𝑒𝑛𝑖φ = 𝑟𝑛(cos𝐧φ + isin𝐧φ) BTVD: Ví dụ 0.4 trang 5 (Giáo trình cô Thanh Hải)

3 Phép khai

căn 𝑛√𝑧 = {𝑤𝑘𝜖𝐶: 𝑤𝑘 = √𝑟𝑛 (cos (φ + k2π

n ) + 𝐢sin (

φ + k2π

n ))

Với k = 0, 1, 2,3…n-1

BTVD: Ví dụ 0.5 trang 6 (Giáo trình cô Thanh Hải)

CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1:

Giới hạn

Một số giới hạn cơ bản

Trang 17 và 19

Lưu ý: 𝒍𝒏𝒃𝒏 ≤ 𝒏𝒂 ≤ 𝒃𝒏 ≤ 𝒏!

Vô cùng bé (dùng cho dạng 𝟎𝟎)

_VCB tương đương: trang 22 _Ngắt bỏ VBC cấp cao hơn _Lưu ý: tổng quát là nếu x => xo u(x) tiến tới 0 thì có

thể áp dụng công thức VBC tương đương đối với u(x) như với x

Vô cùng lớn: _Ngắt bỏ VCL cấp thấp hơn Dạng lim 𝟎𝟎 Cách 1: Dùng LLH

Cách 2: Dùng VCB Cách 3: Dùng L’Hospital Dạng ∞∞,

0.∞ = ∞𝟏

𝟎

=∞

∞

Dùng L’Hospital hoặc VCL

Dạng Lim f(x) u(x)

PP: đặt y = f(x) u(x)

Lấy ln 2 vế, đưa về dạng quen thuộc

(Tính xong nhớ trả về e mũ)

Page | 2

VẤN ĐỀ 2:

Sự liên tục

của hàm số

Dạng 1:

Liên tục tại điểm

VD: 𝑓(𝑥) = {𝑔(𝑥)𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 𝑎

ℎ(𝑥)𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 𝑎 xét sự liên tục của hàm số tại a

Giải:

_D = …

_F(x) liên tục tại a khi và chỉ khi:

Giới hạn phải a= giới hạn trái a = f(a)

Dạng 2:

Điểm gián đoạn

Gọi a là điểm gián đoạn của f(x) (như Vd trên) đặ𝑡 ℎ = | lim

𝑥→𝑎 −𝑓(𝑥) 𝑣à lim

𝑥→𝑎 −𝑓(𝑥) | Nếu:

+ h = 0: điểm gián đoạn bỏ được +h > 0: a gọi là điểm nhảy, h là bước nhảy

CHƯƠNG 2: VI PHÂN - ĐẠO HÀM

Các vấn đề

về đạo hàm

1 Phương pháp dùng định nghĩa: f’(𝑥𝑜) = lim

𝑥→𝑥𝑜

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥𝑜) 𝑥−𝑥𝑜

2 Bảng đạo hàm cơ bản trang 29

3 Đạo hàm cấp cao của tích 2 hàm trang 33

4 Đạo hàm cấp cao trang 34

5 Đạo hàm cấp 1 và 2 của y’x theo x(t) và y(t) trang 34

*(Giáo trình cô Thanh Hải)

Khai triển

Taylor

Khai triển

𝑓𝑘(0) 𝑘!

𝑛 𝑘=0 +∝ (𝑥𝑛)

_Cách 2: Dùng công thức trang 38

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN

Tích phân

cơ bản

_Công thức cơ bản: Trang 49 _Công thức từng phần: Trang 51

_Một số dạng khác: Trang 53

_Dạng lượng giác t = tg(x/2): Trang 56 _Thứ tự ưu tiên: Log -> Đa -> Lượng -> Mũ

Page | 3

Công thức

Newton

Leibnitz

Ứng dụng

của tích

phân

_ Công thức Newton Leibnitz Trang 59

_Ứng dụng: tham khảo

Tích phân

hoặc b tiến tới vô cực

Dạng: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑎∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ℎ𝑜ặ𝑐 ∫∞𝑏 −∞+∞𝑓(𝑥)𝑑𝑥

PP: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim

𝑏→ ∞∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎𝑏

∞

còn lại làm tương tự

Loại 2:

Điểm gián đoạn

Dạng: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑡ạ𝑖 𝑎 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑏 ℎà𝑚 𝑓(𝑥)𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑥á𝑐 đị𝑛ℎ𝑎𝑏

PP: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim

𝜀→ 0∫𝑎+𝜀𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ℎ𝑜ặ𝑐

𝑏

𝜀→ 0∫𝑎𝑏−𝜀𝑓(𝑥)𝑑𝑥

KHẢO

SÁT SỰ

HỘI TỤ

1) Các tính chất cơ bản

➢ Nếu lim

𝑏→ ∞∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎𝑏 𝐻ữ𝑢 ℎạ𝑛 => ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑁𝑔ượ𝑐 𝑙ạ𝑖 𝑙à 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì

➢ I = ∫𝑎∞𝑑𝑥𝑥∝ (a > 0 và ∝ thuộc R) = {𝑎

1−∝

∝−1 < ∞ 𝑘ℎ𝑖 ∝ > 1 => ℎộ𝑖 𝑡ụ

+∞ 𝑘ℎ𝑖 ∝ ≤ 1 => 𝑃ℎâ𝑛 𝑘ì

➢ I = ∫𝑎𝑏 (𝑏−𝑥)𝑑𝑥 ∝ (∝ thuộc R) = { 𝑘ℎ𝑖 ∝ < 1 => ℎộ𝑖 𝑡ụ

𝑘ℎ𝑖 ∝ ≥ 1 =>𝑃ℎâ𝑛 𝑘ì

➢ I = ∫0𝑏 𝑑𝑥𝑥∝ = {

𝑏1−∝

1−∝ 𝑘ℎ𝑖 ∝ < 1 =>ℎộ𝑖 𝑡ụ

+∞ 𝑘ℎ𝑖 ∝ ≥ 1 => 𝑃ℎâ𝑛 𝑘ì

2) Tiêu chuẩn so sánh 1

_Cho f(x), g(x) không âm, thuộc 1 trg 2 dạng tịch phân suy rông

_ Giả sử 𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) trong khoảng tính tích phân, ta có:

➢ Nếu ∫𝑎+∞𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ℎộ𝑖 𝑡ụ → ∫𝑎+∞𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ℎộ𝑖 𝑡ụ

➢ Nếu ∫𝒂+∞𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì → ∫𝑎+∞𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì

➢ Nếu ∫ 𝑔(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥 ℎộ𝑖 𝑡ụ → ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥 ℎộ𝑖 𝑡ụ

➢ Nếu ∫ 𝒇(𝒙)𝒂𝒃 𝒅𝒙 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì → ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì

3) Tiêu chuẩn so sánh 2

Page | 4

_Cho f(x), g(x) xác định, không âm trên khoảng tính tích phân

*Nếu là Loại 1:

lim 𝑥→ +∞

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)= 𝐾 =

{

0 𝑡ℎì ∫ 𝑔(𝑥)+∞

𝑎 ℎộ𝑖 𝑡ụ => ∫ 𝑓(𝑥)

+∞

+∞ 𝑡ℎì ∫+∞𝑔(𝑥)

𝑎

𝑝𝑘 => ∫ 𝑓(𝑥)+∞

𝑎

𝑝𝑘

0 < 𝐾 < +∞ 𝑡ℎì 𝑐ù𝑛𝑔 ℎộ𝑖 𝑡ụ ℎ𝑜ặ𝑐 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝𝑘

*Nếu là Loại 2:

lim 𝑥→ 𝑏−ℎ𝑜ặ𝑐 𝑎+

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐾 =

{

0 𝑡ℎì ∫ 𝑔(𝑥)𝑏

𝑎

ℎộ𝑖 𝑡ụ => ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

ℎộ𝑖 𝑡ụ +∞ 𝑡ℎì ∫ 𝑔(𝑥)

𝑏

𝑎 𝑝𝑘 => ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

0 < 𝐾 < +∞ 𝑡ℎì 𝑐ù𝑛𝑔 ℎộ𝑖 𝑡ụ ℎ𝑜ặ𝑐 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝𝑘

Nếu 𝐱 → −∞ thì ngược lại

5) Chú ý 2: Nếu I = I1 + I2

➢ I1 & I2 cùng hội tụ => I hội tụ

➢ {𝐼1 → −∞𝐼2 ≤ 0 hoặc {𝐼1 → +∞𝐼2 ≥ 0 => I phân kì

➢ ∫ |𝑓(𝑥)|𝑎𝑏 ℎộ𝑖 𝑡ụ → ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 ℎộ𝑖 𝑡ụ => Hội tụ tuyệt đối

➢ ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 ℎộ𝑖 𝑡ụ nhg ∫ |𝑓(𝑥)|𝑎𝑏 phân kì => bán hội tụ

Sử dụng các tính chất: Kẹp, các tiêu chuẩn so sánh và chú ý 1, 2

CHƯƠNG 4: CHUỖI

Tổng các

dãy cơ bản

(Sn)

Tham khảo giáo trình

KSHT dựa

trên Sn

lim 𝑛→ +∞𝑆𝑛 = S hữu hạn => Hội tụ, ngược lại là phân kì

Page | 5

Một số Chú

ý (ko quan

trọng lắm)

∑+∞𝑛=1𝑈𝑛 𝑣à ∑+∞𝑛=1𝑉𝑛 hội tụ => … (trang 77)

DẠNG 1:

KSHT

chuỗi

dương

1) Định lý 1:

_ ∑+∞ 𝑈𝑛 𝑛=1 𝑣à ∑+∞ 𝑉𝑛

𝑛=1 𝑙à 2 chuỗi dương và ∑+∞ 𝑈𝑛

𝑛=1 ≤ ∑+∞ 𝑉𝑛

𝑛=1

➢ ∑+∞𝑛=1𝑉𝑛 hội tụ thì ∑+∞𝑛=1𝑈𝑛

➢ ∑+∞ 𝑼𝒏 𝒏=𝟏 pk thì ∑+∞ 𝑉𝑛

𝑛=1 pk

2) Định lý 2:

_ ∑+∞ 𝑈𝑛 𝑛=1 𝑣à ∑+∞ 𝑉𝑛

𝑛=1 𝑙à 2 chuỗi dương

lim 𝑛→+∞

𝑈𝑛

𝑉𝑛 = 𝐾 =

{

0 𝑡ℎì ∑ 𝑉𝑛 +∞

𝑛=1

ℎ𝑡 => ∑ 𝑈𝑛

+∞

𝑛=1

ℎộ𝑖 𝑡ụ

∞ 𝑡ℎì ∑ 𝑈𝑛

+∞

𝑛=1

ℎộ𝑖 𝑡ụ => ∑ 𝑉𝑛

+∞

𝑛=1

ℎ𝑡

0 < 𝐾 < +∞ 𝑡ℎì 𝑐ù𝑛𝑔 ℎộ𝑖 𝑡ụ ℎ𝑜ặ𝑐 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝𝑘

3) Tiêu chuẩn tích phân

Xét ∑+∞𝒏=𝒌𝑼𝒏 không âm và Un = f(n) là 1 hàm giảm ta có

∫𝑘+∞𝑓(𝑥)ℎộ𝑖 𝑡ụ  ∑+∞𝒏=𝒌𝑼𝒏 hội tụ

*Xét tính tăng giảm: Lấy đạo hàm f(n), nếu f’(n) <0 ∀ 𝑘 ≤ 𝑥 < +∞ thì

hàm số giảm trên (k ; +∞)

4) Tiêu chuẩn tích phân 2:

𝒏∝ {𝒉𝒕𝒖, ∝> 𝟏𝒑𝒌, ∝≤ 𝟏

+∞

𝒏=𝟏

5) Tiêu chuẩn D’Alembert

Xét ∑+∞𝒏=𝒌𝑼𝒏 dương,

lim 𝑛→+∞

𝑈𝑛 + 1

𝑈𝑛 = 𝐾 {

< 1 𝑡ℎì ℎ𝑡𝑢

> 1 𝑡ℎì 𝑝𝑘

= 1 𝑐ℎư𝑎 𝑐ó 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛

6) Tiêu chuẩn Cauchy

Xét ∑+∞𝒏=𝒌𝑼𝒏 dương,

lim 𝑛→+∞ 𝑛√𝑈𝑛= 𝐾 {

< 1 𝑡ℎì ℎ𝑡𝑢

> 1 𝑡ℎì 𝑝𝑘

= 1 𝑐ℎư𝑎 𝑐ó 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛

Page | 6

DẠNG 2:

KSHT

chuỗi tùy ý

Hội tụ tuyệt đối: Xem giáo trình/82 Sau khi lấy trị tuyệt đối sẽ loại bỏ được “dấu bất kì”, từ đó kết luận

sự hội tụ tuyệt đối Người ta thương so sánh các chuỗi với 2 chuỗi sau:

𝒏∝ {𝒉𝒕𝒖, ∝> 𝟏𝒑𝒌, ∝≤ 𝟏

+∞

𝒏=𝟏

∑ 𝒒𝒏 {𝒉𝒕𝒖, |𝒒| < 𝟏𝒑𝒌, |𝒒| ≥ 𝟏

+∞

𝒏=𝟏

DẠNG 3:

KSHT

chuỗi đan

dấu

Dạng: ∑+∞𝒏=𝟏(−𝟏)𝒏𝑼𝒏, 𝑼𝒏 > 𝟎

Un Thỏa 3 tính chất{

𝑮𝒊ả𝒎 𝑫ươ𝒏𝒈 𝒉ộ𝒊 𝒕ụ 𝒗ề 𝟎 (𝑳𝒊𝒎𝑼𝒏 = 𝟎) => Hội tụ

DẠNG 4:

KSHT

chuỗi hàm

Dạng: ∑+∞𝒏=𝟏𝒇𝒏(𝒙)

Bài toán tìm miền hội tụ:

Khái niệm: Tại 𝑥𝑜, ∑+∞ 𝒇𝒏(𝒙𝒐)

𝒏=𝟏 hội tụ => 𝑥𝑜 là điểm hội tụ Tập hợp của tất cả các điểm hội tụ gọi là miền hội tụ

DẠNG 5:

KSHT

chuỗi lũy

thừa

_Dạng: ∑+∞ 𝒂𝒏(𝒙 − 𝒙𝒐)𝒏

tại mọi x ∈ (−|𝒙𝒐|; |𝒙𝒐|) (|𝒙𝒐| gọi là bán kính hội tụ)

thỏa mãn |x| > 𝒙𝒐

Định lý Cauchy – Hadamard:

Xét chuỗi lũy thừa ∑+∞ 𝒂𝒏𝒙𝒏

𝒏=𝟏 Đặt p = lim

𝑛→+∞ |𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 | hoặc p = √|𝑎𝑛|𝑛 Bán kính hội tụ r = {

0, 𝑝 = ∞ 1

𝑝, 0 < 𝑝 < ∞ +∞, 𝑝 = 0

_Thuật toán tìm miền hội tụ:

Xét chuỗi lũy thừa ∑+∞ 𝒂𝒏𝒙𝒏

𝒏=𝟏 Bước 1: Tìm r => D Bước 2: Xét tính hội tụ tại x = r và x = -r

Bước 3: Kết luận miền hội tụ

Page | 7

TOÁN CAO CẤP A2

CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VECTO

DẠNG 1: Chứng

minh không gian

con

VD: (BT1/chương3) Các bước:

_W ⊂ 𝑅3 (ℎ𝑖ể𝑛 𝑛ℎ𝑖ê𝑛) (1) _0 ∈ 𝑊 𝑣ì 0(0, 0, 0)𝑡ℎỏ𝑎 ℎệ 𝑐ủ𝑎 đề (2) _Cho u(u1, u2, u3) ∈ 𝑊 => 𝑇ℎỏ𝑎 ℎệ v(v1, v2, v3) ∈ 𝑊 => 𝑇ℎỏ𝑎 ℎệ C/m u + v thỏa hệ (3)

_C/m Cu ∈ 𝑊 (𝑐 là hệ số bất kì) (4) (1), (2), (3), (4) => W là không gian con R3 (hay W≤ 𝑅3)

DẠNG 2: Tổ hợp

tuyến tính

VD: (BT2/chương 3) Các bước:

_Để x là thtt của u, v, w thì hệ pt:

X = ux1 + vx2 + wx3 có nghiệm _Lập ma trận

_Xét hạng, và kết luận

*Lưu ý: Bài 2c mượn ma trận để giải

DẠNG 3: Độc

lập tuyến tính,

phụ thuộc tuyến

tính

VD: (BT3/chương 3) Các bước:

_Xét hệ: u1+u2+… = 0 _Lập ma trận vuông: tính Det A +DetA = 0: Phụ thuộc tt (VSN) +Det A khác 0: Độc lập tt (1 nghiệm duy nhất) _Kết luận (Nếu có tham số thì kế luận theo tham số)

DẠNG4: gọi W

là không gian

con của R4 được

sinh bởi các

vecto u1, u2, u3

Hỏi u có thuộc W

không, tại sao?

VD: (BT5/chương 3) Các bước:

_ u có thuộc W => u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3

Page | 8

DẠNG 5: C/m B

= {u, v, w } là cơ

sở của R3

VD: (BT6/chương 3) Các bước:

_Chứng minh độc lập tuyến tính (ux1+ vx2 wx3 = 0 nghiệm

duy nhất  Det khác 0) (1)

_Mà số vecto B = DimR3 => B ⊂ 𝑅3 (2)

(1), (2) => B = {u, v, w } là cơ sở của R3

*Nếu cho tập P[x] thì dung pp mượn ma trận (Lập theo cột)

*Nếu cho tập R thì lập theo hàng bình thường

*Lưu ý: nếu số vecto của tập B > dimR3 thì vẫn có thể là cơ

sở (6c), nếu số vecto của tập B > dimR3 thì chắc chắn không

DẠNG 6: Tìm cơ

sở và số chiều

của không gian

con cho sẵn

VD: (BT7/chương 3) Các bước:

_Lập ma trận, giải hệ => x1, theo x2, x3 _Cho x2 = 1, x3 = 0 => u1

_Cho x3 = 2, x2 = 1 => u2

 u1, u2 là cơ sở của B

Số chiều = số vecto

*Lưu ý: _Nếu hệ nghiệm duy nhất (độc lập tuyến tính) thì B không có cơ sở nào

_ Nếu dung pp mượn ma trận thì phải trả lại dạng ban đầu (VD: 7c, 7d)

DẠNG 7: W

được sinh bởi

u1, u2, u3, tìm 1

cở sở và số chiều

của W

*Đây là trường hợp ma trận u1x1+ u2x2 + u3x3 = 0 có det = 0 VD: (BT8/chương3)

Các bước:

_Lập ma trận theo hang _Đưa về bậc thang => 2 vecto v1, v2 (khác 0) Xét ma trận A ngang = (v1/v2) (theo cột) có r(A) = r(A ngang)

 Độc lập tuyến tính

=> Kết luận: (lưu ý: DimW = r(A)

DẠNG 8: Tìm

cơ, sở số chiều

của ma trận

không vuông

VD: W được tạo thành bởi x1, x2, x3, thỏa hệ (1), tìm cơ sở

số chiều của W Các bước:

_Giải hệ (1) (lập ma trận) _Lấy u thuộc W => u (x1 theo …, x2, x3…)

Page | 9

_Gán giá trị cho các ẩn tự do => u1, u2 …(số vecto phụ thuộc số ẩn tự do, có 1 ẩn tự do thì chỉ có 1 vecto, 2 ẩn td thì

2 vt) Dim W = số ẩn tử do

Lưu ý: Nếu ko gian là P[x] thì phải trả về P[x]

DẠNG 9 - TỌA

ĐỘ: Cho B chứa

(u1, u2, u3) tìm

tọa độ u theo B

Các bước:

_Giải hệ u = au1 + bu2 + cu3 _[u]𝐵 = [𝑎𝑏

𝑐]

DẠNG 10 - TỌA

ĐỘ: Bài toán

ngược của dạng

9

Cho [u]𝐵 = [

𝑎 𝑏

𝑐] , 𝑐ℎ𝑜 𝐵𝑐ℎứ𝑎 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 VD: [u]𝐵 = [27

0], B = {u1=(1; 2; 0), u2=(5; 1; -1), u3=(1; 2; -1)}

Tìm u Giải:

u = au1 + bu2 + cu3  u = 2(1; 2; 0) + 7 (5; 1; -1) + 0u3

 u = (2+7*5+ 0; 2*2+7*1+0 ; -7) = (37; 11; -7)

DẠNG 11 - TỌA

ĐỘ: Tọa độ của

P[x]

Cho v1 = 1 + 3x, v2 = x+2x2, v3 = 1 + x + x2

B = 3 + 2x -3 x2 , tìm [v1]𝐵,[v2]𝐵, [v3]𝐵 Giải:

Xét hệ: X = au1 + bu2 + cu3 Tại v1

1 + 3x = a.3 + b.2.x – c.3x2

 a = 1/3, b = 3/2, c =0

 [v1]𝐵 = 1/3 + 3x/2

 Còn lại v2, v3 làm tương tự

DẠNG 12 – TỌA

ĐỘ: Ma trận

thuộc R

Cho E = {v1, v2, v3} ,B = {u1, u2, u3}

Tìm ma trận chuyển cở sở từ B sang E

Các bước:

_ Tìm [v1]𝐵,[v2]𝐵, [v3]𝐵 Xét hệ: au1 + bu2 + cu3 = X Tại X = v1 => a, b, c => [v1]𝐵 = [

𝑎 𝑏

𝑐] _Lập ma trận chuyển cơ sở: 𝑃𝐵→𝐸 = [[v1]𝐵 [v2]𝐵 [v3]𝐵]

Page | 10

LƯU Ý: (𝑷𝑩→𝑬) -1 = 𝑷𝑬→𝑩 MỘT SỐ BÀI

TOÁN NGƯỢC

CỦA MTCCS

Dạng nhỏ 1:

Cho B = {u1, u2, u3}, 𝑃𝐵→𝐸 Tìm: E

Các bước:

_Tìm v1:

Có [v1]𝐵 = [

𝑎 𝑏

𝑐]

Xét hệ: v1 = au1 + bu2 + cu3 => v1

Tương tự tìm v2, v3

Dạng 2:

Cho E = {u1, u2, u3}, 𝑃𝐵→𝐸 Tìm: B

Lấy (𝑷𝑩→𝑬) -1 = 𝑷𝑬→𝑩

 [[u1]𝐸 [u2]𝐸 [v3]𝐸] Còn lại làm tương tự Dạng nhỏ 1

DẠNG 14:

KHÔNG GIAN

EUCLIDE

Trực giao – trực chuẩn: Xem trang 26 (slide 3) Quá trình trực giao Gram – Schmit: Xem trang 27 (slide 1)

CHƯƠNG 4: Chéo hóa ma trận- Dạng toàn Phương

DẠNG 1: Chéo hóa

ma trận

Bước 1: tìm giá trị riêng 𝜆

Giá trị riêng 𝜆 thỏa: Det(A - 𝜆𝐼) = 0

Bước 2: Tìm vecto riêng

X = [

𝑥1 𝑥2 𝑥3] là vecto riêng của A thỏa hệ: (A - 𝜆𝐼)𝑋 = 0 Tại 𝜆 = 𝜆1 => (A - 𝜆1𝐼) = 0 lập ma trận và giải ra nghiệm X của hệ Dùng phương pháp gán giá trị để tìm X1 (và X2 và nghiệm kép)

Làm tương tự đối với 𝜆2, 𝜆3 … )

 Các vecto riêng X1, X2, X3

Bước 3: Đặt P = [ X1 X2 X3]

Page | 11

 D = P-1AP = [

0 0 𝜆3]

Lưu ý: Det(A k ) = Det(A) k DẠNG 2: Chéo hóa

trực giao

Bước 1: Chéo hóa ma trận Bước 2: Trực chuẩn

Với 𝜆1 (𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 đơ𝑛)𝑑ù𝑛𝑔 𝐺 − 𝑆 𝑐ℎ𝑜 1 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑋1

𝒙𝟏

||𝒙𝟏|| = (… )

_Với 𝜆2 (𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘é𝑝)𝑑ù𝑛𝑔 𝐺 − 𝑆 𝑐ℎ𝑜 2 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑢1, 𝑢2 _Dùng quá trình trực giao Gram – Schmit: Xem trang 27 (slide 1) để biến đổi u1, u2 thành v1, v2

_Trực chuẩn:

𝒗𝟏

||𝒗𝟏|| = (… ),||𝒗𝟐||𝒗𝟐 = (… )

Đặt P = [||𝒙𝟏||𝒙𝟏 ||𝒗𝟏||𝒗𝟏 ||𝒗𝟐||𝒗𝟐 ]

 D = P-1AP = [

0 0 𝜆2]

DẠNG 3: Đưa

dang toàn phương

về dạng chính tắc

bằng phép biến

đổi trực giao

_Bước 1: Dạng toàn phương của A là … _Bước 2: Chéo hóa trực giao

_Bước 3: Thực hiện đổi biến X = PY

Khi đó fct = Y-1AY = 𝜆1𝑦12+ 𝜆2𝑦22 + 𝜆3𝑦32

DẠNG 4: Dấu của

DTP, tiêu chuẩn

Sylvester

Trang 34-35

Hạng = hạng ma trận dạng chính tắc f

Page | 12 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Page | 13

Page | 14