ĐIỂM bất ĐỘNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH hàm t13

Trong chương trình toán học THPT, toán học Giải Tích là một bộ môn khó, chúng đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt và có những hiểu biết tổng quát về các khái niệm của giải tích để giải g

ĐỀ TÀI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG

PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Tháng 07 Năm 2019.

ĐỀ TÀI

ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Trong chương trình toán học THPT, toán học Giải Tích là một bộ môn khó, chúng đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt và có những hiểu biết tổng quát về các khái niệm của giải tích để giải giải thích vấn đề nào đó một cách trù mật Phương trình hàm là một lĩnh vực khó trong chương trình nâng cao của toán giải tích sơ cấp Các phương pháp giải phương trình hàm rất đa dạng và thường mang tính đặc thù, nghĩa

là chúng phụ thuộc nhiều vào giả thiết của từng bài toán cụ thể Lời giải của một bài toán về phương trình hàm thường đòi hỏi nhiều kỹ năng và kiến thức khác nhau của học sinh: kỹ năng biến đổi, kỹ năng tích hợp, các kiến thức về hàm số, nghiệm tổng quát của một số phương trình hàm cơ bản… Hiện có nhiều chuyên khảo về các phương pháp giải phương trình hàm nhưng trong hầu hết các tài liệu đó có thể thấy rằng số lượng các bài tập, ví dụ cho từng phương pháp giải còn hạn chế và cụ thể hơn đối với phương pháp giải sử dụng tính chất của Điểm Bất Động trong hàm số lại càng ít

Trên cơ sở đó chúng tôi nhận thấy rằng cần phải tìm hiểu và giải thích cụ thể hơn lớp các bài toán phương trình mà lời giải của nó dựa vào sự tồn tại điểm bất động của một ánh xạ nào đó Trong chuyên đề này chúng tôi trình bày gồm hai phần: phần một là tổng hợp một số kiến thức cơ bản về khái niệm và sự tồn tại của điểm bất động Phần hai là tổng hợp một số bài toán ứng dụng

2 Mục đích của đề tài.

Đề tài “ Điểm bất động trong phương trình hàm ” được tác giả chọn viết nhằm giới thiệu đến quý thầy giáo, cô giáo và các học sinh một số kết quả, định lý của giải tích được ứng dụng để giải quyết lớp các bài toán phương trình hàm về điểm bất động của hàm số

Đề tài này được coi như một chuyên đề để giảng dạy và bồi dưỡng cho học sinh giỏi ở trường THPT chuyên, học sinh dự thi học sinh giỏi quốc gia Tác giả rất mong nhận được góp ý trao đổi của quý thầy giáo, cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề có thể sâu sắc và hoàn thiện hơn Hy vọng đề tài sẽ góp một phần nhỏ vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trang bị thêm cho các em học sinh một mảng kiến thức giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi

Quảng Nam, ngày 20 tháng 07 năm 2019

NGƯỜI VIẾT

Nguyễn Viết Minh Sđt : 0982727076

B NỘI DUNG

I TỔNG HỢP MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

1.1 Định nghĩa.

Cho ánh xạ f X: →¡ , ( X ⊂¡ Điểm ) x0∈Xgọi là một điểm bất động của

Tập hợp các điểm bất động của f được kí hiệu là Fix f( )

Ví dụ: 1) Hàm số f x( ) =x2− +x 1có một điểm bất động, Fix f( ) { }= 1 .

2) Hàm số f x( ) =x3 có ba điểm bất động, Fix f( ) {= −1;0;1} 3) Hàm số f x( ) = +x 2 không có điểm bất động, Fix f( ) =φ.

1.2 Định lí.

Mọi hàm số liên tục f : ;[ ] [ ]a b → a b; có ít nhất một điểm bất động.

Chứng minh:

Xét hàm số g a b: ;[ ] [ ]→ a b; được xác định bởi g x( ) = f x( ) − x Do f liên tục

nên g là hàm liên tục.Ta có f a f b( ) ( ), ∈[ ]a b; nên f a( ) − ≤a 0, f b( ) − ≥b 0 hay

( ) ( ) ( ( ) ).( ( ) ) 0

tại ít nhất một điểm c∈[ ]a b; sao cho g c( ) = 0, hay phương trình f x( ) − =x 0 có ít

nhất một nghiệm Do đó tồn tại ít nhất một điểm x0∈[ ]a b; sao cho f x( )0 = x0

1.3 Định lí.

i) Nếu hàm số f a b: ;[ ] [ ]→ a b; có đạo hàm trên [ ]a b và thỏa mãn;

f x < ∀ ∈x a b

thì khi đó f có duy nhất một điểm bất động trên đoạn [ ]a b ;

ii) Cho số thực k với k∈( )0;1 và f a b: ;[ ] [ ]→ a b; là hàm số thỏa mãn

( ) ( ) , [ ];

Chứng minh:

i) Xét hàm số g a b: ;[ ] [ ]→ a b; được xác định bởi g x( ) = f x( ) −x Hiển

nhiên g x là hàm liên tục Theo định lí 1.2, tồn tại ít nhất một điểm ( ) x0∈[ ]a b; sao

cho g x( )0 =0, mặt khác g x/( ) = f x/( ) − < ∀ ∈1 0, x [ ]a b; , nên x0 là duy nhất.

ii) Nhận xét f x là một hàm liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b Thật vậy, lấy dãy số; tùy ý { }x n ⊂[ ]a b; sao cho limx n = x0

Ta có x0∈[ ]a b; và

( )n ( )o n 0

f x − f x ≤k x −x với mọi n∈¥*

Do limx n =x0

nên lim f x( )n = f x( )0

Vậy f liên tục tục trên đoạn [ ]a b ;

Theo định lí 1.2 mọi hàm số liên tục f a b: ;[ ] [ ]→ a b; tồn tại ít nhất một điểm bất động x0 Giả sử x1∈[ ]a b; cũng là một điểm bất động của f Ta có

( ) ( )

1 o 1 0

x −x ≤k x −x , suy ra x1 =x0. Vậy f có duy nhất một điểm bất động.

1.4 Định lí.

i) Nếu f là một hàm giảm thật sự trên tâp số thực X ⊂¡ thì f không có nhiều hơn một điểm bất động trên X

ii) Nếu hàm

( )

f x

không có nhiều hơn một điểm bất động trên X

Chứng minh:

i) Xét hàm số :g X →¡ được xác định bởi g x( ) = f x( ) − x Do f giảm thật

sự nên g là một hàm giảm thật sự trên X Do đó, nếu tập giá trị g X không chứa( )

giá trị 0 thì hàm số f không có điểm bất động, nếu g X( ) có chứa giá trị 0 thì hàm

số f có đúng một điểm bất động.

ii) Tương tự, hàm g x( ) f x( )

x

=

đơn điệu thật sự trên tâp số thực X ⊂¡ Do

đó, nếu tập giá trị g X không chứa giá trị 1 thì hàm số f không có điểm bất động,( )

1.5 Định lí.

Cho F u là hàm một biến thưc, ( ) h x y z t là hàm cho trước của bốn biến( , , , ) , , ,

x y z tcác định trên tập X × X × ¡ × ¡ ( trong đó X ⊂¡ ) Nếu hàm F u có( )

duy nhất một điểm bất động u0 thì mọi nghiệm của phương trình

( ) ( )

F h x y f x f y =h x y f x f y ∀x y X∈ (1.1)

( Trong đó f là hàm một biến cần tìm xác định trên X ) phải thỏa mãn phương

trình:

( ) ( )

Chứng minh:

Gả sử f x là một hàm thỏa mãn (1.1), khi đó đặt x y( ) = ∈¡ ta được

( ) ( )

F h x x f x f x =h x x f x f x ∀ ∈x X

Điều này chứng tỏ h x x f x f x( , , ( ) ( ), ) là một điểm bất động của F với mọi x X∈ .

Nhưng hàm F u có duy nhất một điểm bất động ( ) u0.Do đó ta có:

( ) ( )

h x x f x f x =u .

Nhận xét:Khi ứng dụng định lí này để giải các phương trình dạng (1.1), ta cần

chứng minh rằng phương trình F u( ) =u có duy nhất một nghiệm u0 trong một miền nào đó chứa miền giá trị của g

1.6 Định lí

cho trước của bốn biến x y z t, , , các định trên tập X × X × ¡ × ¡ ( trong đó

X ⊂¡ ) Nếu tập điểm bất động của hàm F u( ) là Fix F là tập không quá đếm( )

được thì mọi nghiệm của phương trình

( ) ( )

F h x y f x f y =h x y f x f y ∀x y X∈ (1.2)

( Trong đó f là hàm liên tục một biến cần tìm xác định trên X ) phải thỏa mãn

phương trình h x x f x f x( , , ( ) ( ), ) =u0 với u0 là điểm bất động nào đó thuộc Fix F ( )

Chứng minh:

Gả sử f x là một hàm liên tục thỏa mãn (1.2), khi đó đặt x y( ) = ∈¡ ta được

( ) ( )

F h x x f x f x =h x x f x f x ∀ ∈x X

Điều này chứng tỏ h x x f x f x( , , ( ) ( ), ) thuộc tập Fix F( ), ∀ ∈x X. Do h và f là các hàm liên tục nên g x( ) =h x x f x f x( , , ( ) ( ), ) là một hàm liên tục trên X , hơn nữa X

là một khoảng nên g X phải là một tập con khác rỗng của ¡ Nếu ( ) g X có nhiều( )

hơn một điểm thì g X là một khoảng có độ đo dương và do đó ( ) g X không đếm( )

được điều này mâu thuẩn với việc Fix F là tập không quá đếm được, nên ( ) g X( )

không thể có nhiều hơn một điểm Vậy định lí đã được chứng minh

II CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG.

2.1 Bài toán 1.

Tìm tất cả các hàm :f ¡ →¡ thỏa mãn:

(i) f f x( ( ) + y) =xf y( ) + f f x( ( ) + f y( ) ),∀x y, ∈¡

(ii) f có một điểm bất động.

Giải: Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn yêu cầu bài toán Do f có một điểm bất

động nên ta giả sử a là một điểm bất động của f

Khi đó: f a( ) = ⇒a f x( ) + =a f x( ) + f a( ), ∀ ∈x ¡

Thay y a= vào điều kiện (i) của bài toán ta được:

( )

Do đó f có điểm bất động duy nhất là 0.

Thay x=0 vào điều kiện (i) của bài toán ta được: f y( ) = f f y( ( ) ),∀ ∈y ¡ , Suy ra

( )

thỏa yêu cầu bài toán

2.2 Bài toán 2.

Tìm tất cả các hàm :f ¡ →¡ ,thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) f là một hàm giảm thật sự trên ¡

(ii) f x( + f y( ) ) = f x( ) +y, ∀x y, ∈¡

Giải: Từ điều kiện (ii) của bài toán ta chọn x y= =0 ta được ( )

( 0 ) ( )0

f f = f Vậy f ( )0 là một điểm bất động của f Theo định lí 1.4, từ điều kiện (i) ta suy ra f ( )0 là một điểm bất động duy nhất của f trên ¡ .

Từ điều kiện (ii) của bài toán ta chọn x y= ta được f x( + f x( ) ) = f x( ) +x,

x

∀ ∈¡ điều này chứng tỏ f x( ) +x cũng là một điểm bất động của f Theo định lí

1.5 thì ta phải được f x( ) + =x f ( )0 hay f x( ) = f ( )0 −x Thay vào biểu thức hàm

đã cho ta thu được:

( )0 ( ( )0 ) ( )0 0( ) 0

f − −x f − =x f − + ⇔x x f = Vậy f x( ) = −x

Thử lại f x( ) = −x thỏa 2 điều kiện của bài toán, do đó f x( ) = − ∀ ∈x, x ¡ là nghiệm duy nhất của phương trình

2.3 Bài toán 3 (IMO 1983).

Tìm hàm số :f ¡ →¡ thỏa mãn hai điều kiện sau:

( )

và f xf y( ( ) ) = yf x( ), ∀x y, ∈¡ +.

Giải: Từ điều kiện (ii) của bài toán ta chọn x y= =1 ta được: ( )

( 1 ) ( )1

f f = f Vậy f ( )1 là một điểm bất động của f

Lại cho y= f ( )1 ta được:

( )

( 1 ) ( ) ( )1 ( ( )1 ) ( ) ( )1

f xf f = f f x ⇒ f xf = f f x .

Mặt khác f xf( ( )1 ) = f x( ) nên ta được: f x( ) = f x f( ) ( )1 ⇒ f ( )1 =1 ( do

( ) 0

f x > ) Cho x y= vào điều kiện thứ hai của bài toán ta được:

( )

Suy ra: xf x là điểm bất động của hàm số f ( )

Giả sử x và y là hai điểm bất động của hàm số thì f xy( ) = f xf y( ( ) ) = yf x( ) =xy.

Điều này cho thấy xy cũng là điểm bất động của hàm số f

Hơn nữa nếu x là điểm bất động thì 1 f ( )1 f 1 f x( ) xf 1

f

  =

 ÷

  tức là

1

x cũng là điểm bất động của hàm số f Điều này chứng tỏ 1 là

điểm bất động duy nhất của hàm số f

Thật vậy: Giả sử x là điểm bất động của hàm số f

+ Nếu x>1 thì lim ( )n lim n

+ Nếu x<1 thì

Điều này mâu thuẩn với điều kiện (i) Từ đó ta suy ra: xf x( ) =1 hay

( ) 1

f x

x

=

Thử lại thấy thỏa yêu cầu bài toán Vậy f x( ) 1, x

x

2.4 Bài toán 4 (IMO 1994)

Tìm tất cả các hàm f : 1;(− +∞ → − +∞) ( 1; ) sao cho các điều kiện sau được

thỏa mãn:

(i) f x( + f y( ) +xf y( ) ) = y+ f x( ) + yf x( ) ∀ ∈x S

(ii)

( )

f x

Giải: Từ điều kiện (ii) ta nhận thấy phương trình điểm bất động f x( ) =x có

nhiều nhất là 3 nghiệm: một nghiệm nằm trong (−1;0), một nghiệm bằng 0 , một

nghiệm nằm trong khoảng (0;+∞)

Giả sử a là một điểm bất động của f Trong điều kiện (i) chọn x y a= = ta

được: f (2a a+ 2) =2a a+ 2 Vậy 2a a+ 2 là một điểm bất động của f Đặt ( ) 2 2

+ Xét trong khoảng (−1;0), hàm g a có ( ) g a/( ) = +2 2a> ∀ ∈0, x ( )0;1 , suy

ra hàm g a đồng biến và nhận giá trị trong khoảng ( ) (−1;0), cho nên nếu tồn tại

điểm bất động thì điểm đó là duy nhất

Do đó ta suy ra:2a a+ 2 = ⇔ =a a 0hoặc a= 1 Vậy trong khoảng (−1;0)

không tồn tại điểm bất động

+ Xét trong khoảng (0;+∞) Chứng minh tương tự, ta nhận thấy không có

điểm bất động nào trong khoảng (0;+∞) .

Như vậy 0 là điểm bất động duy nhất của hàm số ( nếu có)

Cho x y= vào (i) ta được: f x f x( + ( ) +xf x( ) ) = +x f x( )+xf x( ), ∀x∈ −( 1;+∞).

Do đó với mọi x∈ − +∞( 1; ) thì x+ +(1 x f x) ( ) là điểm bất động của hàm số Theo

định lí 1.5 thì x+ +(1 x f x) ( ) = ∀ ∈ − +∞0, x ( 1; ) Suy ra: f x( ) 1 x

x

= − + Thử lại

thấy thỏa yêu cầu bài toán Vậy ( ) , x ( 1; )

1

x

f x

x

2.5 Bài toán 5

Tìm tất cả các hàm liên tục f xác định trên ¡ thỏa mãn phương trình sau:

( ) ( ) ( )

Giải: Chọn x y= thay vào biểu thức hàm ta được:

3 1 3 1 ,

f x x+ = f x x+ ∀ ∈x ¡

Đặt F u( ) =u3 thì F u là hàm liên tục trên ¡ Hơn nữa hàm ( ) F u( ) =u3 có 3

điểm bất động hay tập Fix F( ) {= − 1;0;1} .

Từ biểu thức hàm ta suy ra:

F f x x+ y + f y = f x + f y y+ x ∀x y∈ ¡

Theo định lí 1.6 ta suy ra f x( ) (3x+ =1) u0 với u0 là một điểm nào đó thuộc

( )

Fix F

Nếu u0 =0 ta có f x( ) = ∀ ∈0, x ¡ Thử lại ta được f x( ) = ∀ ∈0, x ¡ thỏa yêu cầu bài toán

Nếu u0 =1ta có ( ) 1 , \ 1

x

+ ¡   Rõ ràng hàm này không liên

tục trên ¡ , nên không thỏa yêu cầu bài toán

Tương tự với u0 = −1 ta được hàm không thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy f x( ) = ∀ ∈0, x ¡ là nghiệm duy nhất của phương trình

2.6 Bài toán 6

Tìm tất cả các hàm liên tục f xác định trên ¡ thỏa mãn phương trình sau:

( ) ( )

Giải: Chọn x y= thay vào biểu thức hàm ta được:

( ) ( )

Hay sin( ( 2 1) ( ) ) ( ( 2 1) ( ) ),

Đặt ( ) sin

2

thì F u là hàm liên tục trên ¡ Hơn nữa hàm( )

( ) sin

2

có 3 điểm bất động hay tập ( ) ;0;

Từ biểu thức hàm ta suy ra:

( ) ( )

Theo định lí 1.6 ta suy ra ( 2 ) ( )

0

1

với u0 là một điểm nào đó thuộc

( )

Fix F

Nếu u0 =0 ta có f x( ) = ∀ ∈0, x ¡ Rỏ ràng hàm f x( ) = ∀ ∈0, x ¡ là hàm liên tục trên ¡ và thỏa yêu cầu bài toán

Nếu u0 2

π

=

ta có

( ) ( 2 ) ,

x

π

Hàm này liên tục trên ¡ nhưng không thỏa mãn biểu thức hàm của bài toán

Tương tự với u0 2

π

−

=

ta được hàm liên tục trên ¡ nhưng không thỏa mãn biểu thức hàm của bài toán

Vậy f x( ) = ∀ ∈0, x ¡ là nghiệm duy nhất của phương trình

2.7 Bài toán 7 ( IMO 1996 )

Tìm tất cả các hàm số :f ¥ →¥ sao cho:

( )

Giải : Cho m n= =0 ta có: f f( ( )0 ) = f f( ( )0 ) + f ( )0 ⇒ f ( )0 =0 Bây giờ

ta cho n=0 thì f f m( ( ) ) = f m( ),∀ ∈m ¥ Vậy ta có quan hệ hàm như sau:

( )

( )

1

f m f n f m f n f





=

Nếu f không đồng nhất 0 thì từ f f m( ( ) ) = f m( ),∀ ∈m ¥.Ta suy ra f m( )

là một điểm bất động của hàm số f

Giả sử a và b là hai điểm bất động của hàm f thì

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

Như vậy tập các điểm bất động bất biến qua phép cộng

Gọi a là điểm bất động khác 0 bé nhất của hàm f

+ Nếu a=1 tức f ( )1 =1 thì dễ thấy f ( )2 =2 ( bằng cách cho m n= =1). Bằng phương pháp quy nạp toán học ta được: f n( ) =n, ∀ ∈n ¥

+ Nếu a>1 tức là f a( ) =a Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng

minh được f ka( ) =ka k,∀ ≥1 Ta cũng chứng minh được tập các điểm bất động đều

có dạng ka k, ≥1 ( lưu ý: a là điểm bất động nhỏ nhất của hàm số) Thật vậy, nếu n

là điểm bất động khác thì n ka r= + (0 r a≤ < ) Khi đó theo (1) và tính chất điểm bất

động của ka , ta có:

Vì r a< mà r lại là điểm bất động, a là điểm bất động nhỏ nhất nên r =0. Chứng tỏ các điểm bất động đều có dạng ka k∀ ≥1 (2)

(2) nên ta có f n( )i = n a i với n0 =0, n i∈¥ .

Lấy bất kỳ n∈¢+ ta có thể viết n k= a+i 0( ≤ <i a) Theo quan hệ hàm của bài

toán thì f n( ) = f i ka( + ) = f i( + f ka( ) ) = f i( ) +ka n a ka= i + =(n i +k a) .

Ta kiểm tra hàm f như vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán Thật vậy với

,

(0≤ ,i j a< ) thì f m( + f n( ) ) = f la( + +j f ka i( + ) ) =ka i+ + f f la i( ( + ) ).

Nhận xét: Xuất phát từ bài toán này ta có thể mở rộng bài trên theo một cách

tổng quát thông qua bài toán sau đây và ta có thể giải bài toán này theo cách tổng quát ngắn gọn hơn

2.8 Bài toán 8 Cho hàm số :f ¥ →¡ sao cho tồn tại x0∈¥ thỏa mãn tính các

chất sau: (i) f x( )0 =x0 ( x0 là một điểm bất động của f ).

(ii) f x( 0+ = +n) x0 f n( ) với mọi số nguyên không âm n

,

(Trong đó [ ]x là phần nguyên của x và không vượt quá x ).

Giải: Từ điều kiện (ii) của bài toán, cho n=0 ta được f x( )0 = +x0 f ( )0 kết

hợp với điều kiện (i) ta suy ra f ( )0 =0

Bây giờ ta chứng minh bằng quy nap rằng f kx( 0 + =r) kx0 + f r( ) với mọi số nguyên

dương k và r∈{0,1, ,x0 −1} Thật vậy, đẳng thức trên đúng với k =1 Giả sử đẳng

thức đúng đến k, với k ≥1 Ta sẽ chứng minh dẳng thức đúng khi k +1 Từ điều kiện (ii) của bài toán ta có:

( )

( 1 0 ) ( 0 0 ) 0 ( 0 ) 0 0 ( ) ( 1) 0 ( )