MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bất PHƯƠNG TRÌNH hàm t01

Tham gia đợt viết chuyên đề cho hội thảo Đồng bằng Bắc Bộ 2019 này, tôi xin phép viết về một số phương pháp giải bất phương trình hàm.. Vài kiến thức lưu ý Điều này tương tự như bên phươ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM

A Phần MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Mảng dạy về Phương trình hàm hay Bất phương trình hàm là mảng dạy khá vất vả cho giáo viên.Lúc này thì tài liệu có đã nhiều nên đỡ vất vả hơn Tuy nhiên, các tài liệu hay, cập nhật thì không nhiều Tham gia đợt viết chuyên đề cho hội thảo Đồng bằng Bắc Bộ 2019 này, tôi xin phép viết về một số phương pháp giải bất phương trình hàm Nói là viết, nhưng thực chất là tôi tổng hợp lại các nguồn để thầy cô mình đỡ tốn công Nếu thầy cô thấy được thì lấy làm tài liệu dạy, nếu không thì tùy thầy cô mà chỉnh lại cũng đỡ hơn

2 Mục đích của đề tài

Mục đích viết đề tài này gồm:

- Thứ nhất, có tài liệu để cá nhân tôi dùng trong dạy bồi dưỡng HSG Toán vòng Tỉnh, vòng Quốc Gia

- Thứ hai, có bài viết để gửi cho hội thảo Đồng Bằng Bắc Bộ 2019, để thầy cô nào cần thì có dùng và trao đổi chuyên đề cho nhau

- Thứ ba, là việc viết chuyên đề này để cá nhân tôi được làm việc, được soạn giảng, được nghiên cứu

B Phần NỘI DUNG

I Phương pháp 1: Dùng phép thế

a Vài kiến thức lưu ý

Điều này tương tự như bên phương trình hàm, phép thế là một kỹ thuật đơn giản mà rất hiệu quả

để thu được các hệ quả hướng đến việc xác định được hàm số

+ Khi vận dụng phương pháp cần chú ý sử dụng kết quả vừa có được

+ Khi thực hiện ta có thể:

* Hoặc cho các biến ,x y nhận các giá trị bằng số Thường các giá trị đặc biệt là 0 1 2; ;± ±

* Hoặc thế các biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểu thức cần thiết Chẳng hạn, nếu trong phương (bất) trình hàm có mặt f x y( + ) mà muốn có f(0) thì ta có thể thế

y bởi −x; muốn có f x( ) thì cho y=0 , muốn có f nx( ) thì thế y bởi (n−1)x.

+ Chú ý là để xác định được giá trị của hàm số f tại 1 điểm x từ một bất đẳng thức hàm, ta cần sử dụng0

ý tưởng kẹp hai phía giá trị của f x ( )0

b Các bài toán minh họa

1 Xác định các hàm số f (x) liên tục trên ¡ thoả đồng thời các điều kiện sau:

Vậy f x( )= ∀ ∈0, x ¡ Thử lại thấy đúng.

2 Cho trước hàm số h x( )=ax a; ∈¡ Xác định các hàm số f (x) liên tục trên ¡ thoả đồng thời các

điều kiện sau:

Thử lại thấy thoả điều kiện (2.1) và (2.2)

3 Cho a>0 Xác định các hàm số f (x) liên tục trên ¡ thoả đồng thời các điều kiện sau:

Vậy ( )f x =a x;∀ ∈x ¡ (3.1) thoả điều kiện bài toán.

4 Xác định các hàm số f (x) liên tục trên ¡ thoả đồng thời các điều kiện sau:

y g x g y x

2

)(2

)()2

5 Xác định các hàm số f :¡ →¡ liên tục trên ¡ thoả: = ∈ { − } ∀ ∈

( )a và

22

7 Xác định các hàm số f (t) liên tục trên ¡ thoả: + ( ) max{ 2 2 ( ) ;}

Kết hợp với (7”), ta có f x( )=x3;∀ ∈x ¡ Thử lại thấy thoả điều kiện bài toán.+

Nhận xét: Điều khẳng định trên cho ta một kết luận tương ứng sau:

Nếu có một bất đẳng thức cổ điển cho cặp số x, ; chẳng hạn như y x3≥ x y xy2 + 2− y3; ∀x y, ∈¡ thì từđiều kiện ( ) max{ 2 2 ( ) ;}

Trong (1) cho y= =z 0 ta được 2 ( )f x + f(0) 3 ( )≥ f x suy ra: f x( )≤ f(0),∀ ∈¡x (2)

Lại cho y =x và z= −x ta được f(2 ) 2 (0) 3 (0)x + f ≥ f suy ra: f x( )≥ f(0),∀ ∈x ¡ (3)

Từ (2) và (3) ta được f x( )= f(0)= ∀ ∈C, x ¡ Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy f x( )= ∀ ∈C, x ¡ là hàm số cần tìm (C: là hằng số)

9 Tìm hàm số f x( ) thỏa: f x y( + ≥) f x f y( ) ( ) ≥2019x y+ với mọi x y, ∈¡ (*)

Thay x=0;y=0 vào (*) ta có : f( )0 ≥  ( )0 2 ≥20190 =1 ( )1

f x

f x

Từ (4) và (6) ta suy ra : f x( )=2019x Đảo lại xét hàm số f x( )=2019x

Ta nhận thấy f x( ) thỏa yêu cầu của bài toán

( )( )

≡( )

f x

Ta lần lượt thực hiện các bước chọn ẩn như sau:

a/ Cho x= = =y z 0 ta nhận được f( )0 − 2( )0 ≥14 hay f( )0 = 12

b/ Choy= =z 0 ta nhận được f x( )≤12 vớ i mọi x

Thử lại thấy hàm số f x( )≡ ∀ ∈x x, ¡ thỏa mãn các yêu cầu đề bài.

15 OLP Tốn Chân Á Thái Bình Dương 1994

Tìm tất cả các hàm sốf : ¡ ® ¡

thoả mãn đồng thời các điều kiện:

i/ f(1) 1; ( 1)= f − = −1; ( )f x ≤ f(0),∀ ∈x (0;1)

ii/ f x y( + )≥ f x( )+ f y( ),∀x y, ∈¡

Ta thấy f x( ) 0≡ là một nghiệm bài toán

Xét trường hợp f x( ) 0≡/ , khi đó tồn tại a để f a( ) 0≠ Từ (1), ta có: f a( ) ( ( ))2 ≥ f a 2>0

Thay y a x= 2; =1 vào (1), ta được f(1) 1≥

Mặt khác, thay x= =y 1 vào (1) ta cũng có f(1) ( (1))≥ f 2 nên: f(1) 1=

Thay x= =y 0 vào (1) và (2), ta lần lượt có f(0) ( (0))≥ f 2; f(0) 2 (0)≥ f nên: f(0) 0=

Từ đây, thay y bởi y− vào (1), ta có f xy( )≤ f x f y( ) ( ) nên: f xy( )= f x f y( ) ( ),∀x y, ∈¡

Thay x bởi −x ; thay y bởi y− vào (2), ta có f x y( + )≤ f x( )+ f y( ) nên

f x y+ = f x + f y ∀x y∈¡

Hàm f vừa cộng tính, vừa nhân tính và không đồng nhất 0, nên theo các kết quả quen thuộc, ta có:

f x = ∀ ∈¡x x Thử lại, ta thấy thỏa mãn.

Tòm lại, có 2 hàm số thỏa mãn yêu cầu là f x( ) 0≡ và f x( )= ∀ ∈x x, ¡

a/ Chứng minh f x( ) không phải là đơn ánh trên ¡

b/ Chứng minh f x( )≥ −1 với mọi x∈¡

Từ (1) và (4) cho x=1 ta được f(2)= −1 hoặc f(2) 2=

Từ (1) và (4) cho x= −1 ta được f( 2)− = −1 hoặc f( 2) 2− =

Từ đây ta có: f(0), ( 2), (2)f − f phải có hai giá trị bằng nhau

=> f x( ) không phải là đơn ánh trên ¡

b/ Giả sử tồn tại x sao cho 0 f(2 )x0 < −1

Lại có: f x2( 03+x0)≤ f(2 ) 2 1x0 + < , trái với (a)

Vậy f x( )≥ −1 với mọi x∈¡

II Phương pháp 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a Vài kiến thức lưu ý

Trong giải toán bất phương trình hàm, tính đơn điệu của hàm số là 1 tính chất mạnh mà ta có thể khai thác

Hay hs trên là nghịch biến trên ( ;0 +∞).

VD: Cho hai hàm số f x( ) và g x( ) cùng xác định và đồng biến trên khoảng I

b Định lý:

Nếu y f x= ( ) tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trên D và f u( )= f v( ) thì u v= .

c Một số lưu ý:

- Nếu f cộng tính và đơn điệu trên ¡ (hoặc ¡ +) thì f x( )=ax a, ∈¡

- Nếu f đơn điệu thực sự thì f là đơn ánh

- Nếu ta dự đoán được công thức hàm số, chẳng hạn f x( )=g x( ) thì có thể xét f x( )> g x( ) và

f x <g x , sau đó sử dụng tính đơn điệu của hàm f để dẫn tới điều vô lý

Nếu f đơn điệu và ta đã có công thức của f trên tập số hữu tỉ ¤ thì dùng kỹ thuật chọn hai

dãy hữu tỉ đơn điệu ngược nhau, rồi sau đó chuyển qua giới hạn

b Các bài toán minh họa

18 Romania District Olympiad 2011

Tìm tất cả các hàm số f:[0;1] → ¡ thoả điều kiện: x y− 2≤ f x( ) − f y( ) ≤ −x y, ∀x y, , [0;1] ∈

(1)

- Kí hiệu P u v( ; ) chỉ việc thay thế x bởi u , thay y bởi v vào (1)

- Từ (1) ta có: lim ( ) ( ) 0 lim[ ( ) ( )] 0 lim ( ) ( )

y x f x f y y x f x f y y x f y f x

- Như vậy f là hàm số liên tục trên [0;1] Giả sử ,a b là hai số thuộc [0;1] sao cho f a( )= f b( ) Khi

đó P a b( ; )⇒ −(a b)2 ≤ ⇒ =0 a b, suy ra f là đơn ánh Kết hợp f liên tục nên suy ra f là đơn điệu

thực sự

- Thấy rằng nếu f thỏa (1) thì f x( )+c và −f x( )+c cũng thỏa (1), do đó có thể giả sử f(0) 0= và f

là hàm đơn điệu tăng

Mà g tăng thực sự nên x2 < y2 suy ra g−1 tăng thực sự Từ đó: f x( )= f g g( ( −1( )))x do≤(1)g−1( ).x (2)

Do g−1 tăng thực sự nên với x g f x≤ ( ( )), ta có: g−1( )x ≤g−1( ( ( )))g f x = f x( ) (3)

Từ (2) và (3) suy ra f x( )=g−1( ),x ∀ ∈x ¡ Dễ thấy hàm này thỏa Vậy f = g−1 là hàm duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán

a n

→+∞ = +∞

1

23

III Phương pháp 3: Chuyển qua giới hạn

a Vài kiến thức lưu ý

Việc xét các điểm đặc biệt luôn là một kỹ thuật thông dụng khi giải phương trình hàm và bất phương trình hàm Bên cạnh các điểm hữu hạn như 0,1 thì điểm ∞ là một điểm đặc biệt có thể khai

thác Nếu nắm vững bản chất giới hạn thì nhiều bất phương trình hàm giải được bằng phép chuyển qua giới hạn Xin ghi lại một số lý thuyết hàm liên tục:

a/ Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng( )a b x, , 0∈( )a b,

Hàm số f x( )được gọi là liên tục tại x nếu 0 lim ( )0 ( )0

x x f x f x

.Trường hợp 0

thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm x 0

Vậy f x( ) liên tục tại x 0 lim ( ) lim ( )0 0 ( )0

điểm x khi không tồn tại 0 0

b/ Định lí 1: Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b Khi đó:

i) f x( ) bị chặn trên đoạn [ ; ]a b , nghĩa là tồn tại số M >0 sao cho: f x( ) ≤M x,∀ ∈  a b, 

ii) f x( ) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ ; ]a b

iii) ∀ ∈c f a f b( ), ( ) , ∃ ∈x0 a b f x, : ( )0 =c

Nếu f a f b( ) ( ) 0< thì tồn tại x0∈a b f x, : ( )0 =0

d/ Định lý 2: Nếu f :R→R là một hàm liên tục, cộng tính: f x y( + =) f x( )+ f y( ) (1),

x y

∀ ∈R thì f x( )=ax∀ ∈x R (với a c= onst tuỳ ý)

* Hệ quả: Nếu f x( ) liên tục trên ¡ (hoặc ¡ +) và thỏa mãn:

- Nếu f x( ) liên tục và đơn ánh thì f x( ) đơn điệu thực sự

- Nếu có công thức của f x( ) trên tập X⊂¡ và X trù mật trong ¡ thì ta cũng có công thức của f x( )

trên ¡

b Các bài toán minh họa

- Vì f x( ) 0,≤ ∀ ∈x ¡ nên nếu x<2 (0)f thì f x( ) 0.≥ suy ra f x( ) 0,= ∀ <x 2 (0)f (4)

- Lại thế y= −f(0); x=3 (0) 1f − vào (3) ta được: 0= f(2 (0) 1)f − ≤ f f( (0))

Kết hợp với f f( (0)) 0≤ suy ra f f( (0)) 0=

Mặt khác trong (1) cho y=0 ta có f x( )≤ f f x( ( )),∀ ∈x ¡

Do đó: f(0)≤ f f( (0))≤ f f f( ( (0)))= f(0)

Từ đây suy ra f(0)= f f( (0)) 0.= Vậy từ (4) có f x( ) 0,= ∀ ≤x 0

23 OLP Sinh viên Quốc tế 2001

Chứng minh rằng không tốn tại hàm sốf : ¡ ® ¡

Nếu như f f x( ( )) 0,≤ ∀ ∈x ¡ thì với bất kì y<0 ta có: f x y( + )≥ f x( )+yf f x( ( ))≥ f x( )

Như vậy f là hàm giảm Từ đó do f(0) 0> ≥ f f x( ( )) suy ra f x( ) 0,> ∀ ∈x ¡ , mâu thuẩn.

Vậy phải tồn tại x∈¡ sao cho f f x( ( )) 0.> Cố định x này và cho y→ +∞ trong (1) ta được:

IV Phương pháp 4: Sử dụng dãy số

a Vài kiến thức lưu ý

Nếu như phép thế là một kĩ thuật thông dụng khi giải các bất phương trình hàm có nhiều biến tự

do thì với bất phương trình hàm (và phương trình hàm) có một biến tự do, kĩ thuật dãy số và lặp có thể giúp ta xác định giá trị hàm số tại một điểm hoặc những bất đẳng thức hàm chặt hơn

3/ Cho f x( ) là một biểu thức phụ thuộc vào x, và cho A là một hằng số Để chứng minh f x( )≥A ta

xây dựng một dãy số ( )u n n sao cho ( )f x ≥u n,∀n ( ( )f x >u n,∀ncũng được) và lim n

Từ (1) lấy y=x ta được f x( )≤ f(2 )x ≤ f x( ),∀ ∈x ¡ , nghĩa là f(2 )x = f x( ),∀ ∈¡x

Từ đây thay x bởi 2

Vậy f là hàm hằng trên ¡ , thử lại thấy thỏa mãn

26 Cho hàm sốf :[0;+¥ ® ¡) là một hàm liên tục sao cho f(0) 0= và thoả mãn:

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mọi n∈¥* thì: ( )f x ≥αn ,x x∀ >0 (4)

Do (2) nên (4) đúng khi n = 1 Giả sử đã có (4) khi n k= Kết hợp với (1) suy ra với mọi x>0 ta có:

Vậy (4) cũng đúng khi n k= +1. Theo nguyên lý quy nạp suy ra (4) đúng với mọi n∈¥*

Tiếp theo ta chứng minh

Giả sử tồn tại số thực k thỏa mãn bài toán

Khi đó vì

4( ) ,

4( ) ,3

f x ≥ ∀ ∈x ¡

Từ (*) thay x bởi

34

Theo nguyên lý quy nạp suy ra: ( )f x ≥u n,∀ =n 1,2, ,∀ ∈x ¡

Cũng bằng nguyên lý quy nạp ta chứng minh được dãy ( )u tăng và bị chặn trên (bởi số n

4

3 ) nên có giới

hạn Suy ra

4lim

Vậy số k lớn nhất phải tìm là

4

x n

  ta có:

0 0

2 2

thì f x( )>a x1 Khi đó:

2 1

12

a

Dùng quy nạp, ta chứng minh được: ( )f x >a x n n ,∀ ≥1 với ( )a xác định bởi: n

Dễ thấy lima n =1 nên từ ( )f x >a x n n ,∀ ≥1 suy ra f x( )≥x. Vậy ( )f x ≥ ∀ ∈x x, ¡ /.+

C Phần KẾT LUẬN

1 Rút ra những vấn đề quan trọng của đề tài

Những kết luận quan trọng nhất về nội dung, ý nghĩa khi thực hiện chuyên đề “Một số phương pháp giải bất phương trình hàm” là tôi đã đưa ra các phương pháp có thể giải các bất phương trình

hàm Chuyên đề có phân tích khá đầy đủ và chi tiết phương pháp và cách thức áp dụng các kiến thức liên quan trong việc giải các bài toán Chuyên đề này chúng tôi cũng đã cập nhật và tổng hợp những dạng toán mới nhất trong các kì thi Olympiad của các nước, khu vực và quốc tế về chủ đề bất phương trình hàm Hệ thống các bài tập đưa ra theo thứ tự tăng dần độ khó để người đọc thấy được ứng dụng đặc biệt cũng như hướng tư duy có liên quan đến vận dụng kiến thức cũng như kết hợp các thao tác tư duy khác nhau để giải toán

Các bài tập có lời giải là những bài tập đặc trưng nhất cho các dạng toán về bất phương trình hàm trong các kì thi gần đây, các bài tập này phù hợp với những buổi dạy về bất phương trình hàm cho

học sinh đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia Hy vọng rằng chuyên đề “Một số phương pháp giải bất phương trình hàm” này sẽ góp một phần nhỏ vào quá trình giảng dạy bồi

dưỡng đội tuyển phần phương trình hàm và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để chuyên đề được hoàn thiện hơn

2 Đưa ra những đề xuất, ý kiến.

Để giảng dạy có hiệu quả phần bất phương trình hàm giáo viên cần trang bị cho học sinh những kiến thức nền tảng của tất cả các mảng đại số, giải tích và số học có liên quan Đối với học sinh lớp 10 giáo viên cần giảng dạy đầy đủ và chi tiết các chuyên đề về phương (bất) trình hàm đơn giản nhất để hình thành thói quen cũng như các thao tác tư duy của môn học, theo chúng tôi có thể chọn ra một số cuốn sách để giảng dạy như: phương trình hàm của tác giả Nguyễn Trọng Tuấn, Functional Equations của tác giả B J Venkatachala…

Để giảng dạy hiệu quả nhất phần phương (bất) trình hàm thì giáo viên nên chọn các ví dụ phù hợp nhất và phân tích chi tiết cho các em cách sử dụng các kiến thức liên quan, cách dự đoán tính chất đặc trưng và tại sao lại sử dụng các tính chất đó trong tình huống như vậy

Chuyên đề này cũng được kế thừa các chuyên đề cùng về chủ đề này, đồng thời chuyên đề này cũng đã đưa ra hệ thống bài tập tương đối cập nhật của các kì thi học sinh giỏi Cách giải quyết vấn đề trong chuyên đề này được đưa ra theo phương hướng cũng như yêu cầu đặt ra trong các kì thi học sinh giỏi những năm gần đây

MỤC LỤC