MỘT số bài TOÁN PHƯƠNG TRÌNH hàm LIÊN tục t02

MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN TỤClựa chọn một số phương pháp để giải một số phương trình hàm liên tục.. Mục đích của đề tài Trong chuyên đề này tôi cung cấp tới học sinh một số k

MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN TỤC

lựa chọn một số phương pháp để giải một số phương trình hàm liên tục.

2 Mục đích của đề tài

Trong chuyên đề này tôi cung cấp tới học sinh một số kiến thức liên quan tớimối quan hệ giữa giới hạn hàm và giới hạn dãy, hàm liên tục cộng tính, định lí giớihạn kẹp và hàm liên tục đơn điệu Sau đó cho học sinh áp dụng các kiến thức đó vàogiải một số phương trình hàm liên tục

B NỘI DUNG

I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ

1 Mối quan hệ giữa giới hạn hàm và giới hạn dãy

Các bài toán phương trình hàm được giải bằng cách sử dụng một định lý quenthuộc của giải tích, thể hiện mối quan hệ giữa giới hạn hàm và giới hạn dãy

Định lý 1 Cho hàm số f xác định trên khoảng ( ; )a b ; x0 � ( ; )a b tuỳ ý Khi đó

a) Điều kiện cần và đủ để xlim ( )x0 f x A

�  là với mọi dãy số ( )a n hội tụ về x0 ta đều có lim ( )n

sẽ chỉ ra tính cộng tính của cac hàm liên tục, sau đó áp dụng định lí dưới đây

Tiếp tục lần lượt thay y x và y nx (với *

n�N tuỳ ý) vào (1) suy ra

 , với ( )q n là một dãy số hữu tỷ,

khi đó f rx( ) nlim (f q x n ) nlim (q f x n ( )) rf x( )

3 Định lí giới hạn kẹp (Sandwich Limit Theorem)

Định lí 3 Cho ba dãy số      a n , b n , c n . Nếu a n � �b n c n, n�� *và lima n  limc n L

thì limb n L.

Hệ quả Nếu a n �b n, n�� *và limb n  0 thì lima n  0.

4 Hàm liên tục đơn điệu

Định lý 4 Giả sử f là một hàm xác định và liên tục trên khoảng [ ; ]a b Khi đó vớimọi số thực M nằm giữa f a( ) và f b( ) đều tồn tại ít nhất một số c� ( ; )a b sao cho

f c M

Định lý 5 Giả sử f là một hàm xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b Khi đó nếu f

là đơn ánh trên khoảng ( ; )a b thì f là đơn điệu

Chú ý: Định lí 5 vẫn đúng nếu ta thay khoảng ( ; )a b bởi đoạn [a;b] hoặc tập số thực

Trong (1) lấy y x ta được 0  f  0  f x x   f x  f   x f x f   x ,  x 0

1

cx

cx cx

f x  e  ��x Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy các hàm số thỏa mãn đề bài là: f x    1 e cx,  ��x và f x    �� 1, x với c làhằng số tùy ý

Bài 2 Tìm tất cả các hàm số liên tục f : � � � thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

Trong  1 lấy y x ta được f  2x  2.2019x f x ,  ��x .  2

Trong (1) lấy y 2x và sử dụng (2) ta được

Trong (1) cho x y 0, ta được f  0  0.

Trong (1) lấy x 0, ta được f y   f   y 2f y , y� � � f y   f  y , y� �

Trong (1) lấy y x ta được f  2x  4f x ,  ��x .

Trong (1) lấy x 2 ,y ta được f  3y  f y   2 ��f  2y  f y � ��, y �

Theo nguyên lí quy nạp toán học suy ra f nx  n f x2  , x�� ,n 1, 2, (2)

Trong (2) lấy x 1, ta được f n  n f2  1

2 1

Với mọi số thực dương x,khi đó tồn tại dãy số hữu tỉ dương  r n n�1 sao cho nlimr n x.

Nhận xét: Trong 3 bài toán trên ta có cách giải chung như sau

+) Thiết lập công thức cho hàm trong tập số tự nhiên

+) Thiết lập công thức cho hàm trong tập số nguyên

+) Thiết lập công thức cho hàm trong tập số hữu tỉ

Từ đó chuyển qua giới hạn để thiết lập công thức tương tự cho hàm trong tập số thực.Chú ý rằng tính liên tục không có tác dụng đối với các phương trình hàm trên tập sốhữu tỉ Tuy nhiên nếu biết chắc chắn là hàm liên tục, ta có thể thiết lập công thức chohàm trong tập số hữu tỉ và suy ra công thức tương tự trong tập số thực

Bài 4 Tìm tất cả các hàm số liên tục f : � � � thỏa mãn

Bài 5 Tìm tất cả các hàm số liên tục f : � � � thỏa mãn:

Nếu f giảm ngặt thì ta có: 2x a  2x f x   f f x     f a ,  ��x mâu thuẫn Do

đó f tăng ngặt, suy ra với mọi x 0 ta có: f x   f x   2x f f x     f a .

Do f tăng ngặt nên từ đây ta có x a với mọi x 0, mâu thuẫn

Tương tự trong trường hợp f x    ��a x, , ta cũng thu được điều mâu thuẫn Như

vậy f là toàn ánh, do đó f là song ánh

Trong (2) tiếp tục thay x bởi g x  thì thu được: 2g x2  g x     ��x 0, x .

Từ đó bằng qui nạp ta chứng minh được: 2g n2 x g n1 x g x n    �� 0, n .

Xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: f tăng ngặt

Dễ thấy f x n  và g x n  cũng tăng ngặt Do f  0  0 nên g 0  0 và g n 0  0.

Với mỗi số thực x 0 ta có g x n  g n 0  0 nên

Nếu 2x f x   0 thì bằng cách chọn n lẻ và n� �  ,ta sẽ thu được điều mâu thuẫn.

Còn nếu 2x f x   0 thì bằng cách chọn n chẵn và n� �  ,ta cũng thu được kết quả

Dễ thấy f 2n x tăng ngặt, f2n1 x giảm ngặt và f n 0  0.

Với mỗi x 0, ta có f2n x  f2n 0   0 f2n1 0  f2n1 x nên

Nếu x f x   0 thì bằng cách cho n� �  ,bất đẳng thức vế trái sẽ không thể thỏa

mãn Còn nếu x f x   0 thì bằng cách cho n� �  , bất đẳng thức vế phải sẽ không

thể thỏa mãn

Do đó, ta có f x   x, với mọi x 0.

Chứng minh tương tự, ta cũng có f x   x với mọi x 0.

Như vậy, trong trường hợp này, ta tìm được f x     ��x x, Hàm này thỏa mãn các

yêu cầu của bài toán

Bài 6 Tìm tất cả các hàm số liên tục f : 0;  � � 0;  � thỏa mãn đẳng thức

f ��    � �� M n

Trong đẳng thức này, cho n� �  , ta được f  1 M.

Chứng minh tương tự, ta cững có f  1 m. Do đó M m. Điều này chứng tỏ f làhàm hằng trên đoạn  0;1

Cho n� �  , ta được f x  �c x,  �0;  �. Hàm này thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 7 Tìm tất cả các hàm số liên tục f : � � � thỏa mãn đẳng thức

Từ đây, bằng quy nạp, ta chứng minh được   *

Trong đẳng thức trên, cố định x và cho n� �  , sau đó sử dụng tính liên tục của f, ta

suy ra f  0  0. Từ đây, bằng cách thay x y z,  x vào (1), ta được

 

f f x x   f x  ��x

Do f x  �0 nên tồn tại x0 sao cho f x 0 � 0

Xét dãy  a n được xác định bởi a0  x a0 , n1  f  2a n a n.

Còn nếu f x 0  0 thì ta có kết quả ngược lại

Nhưng trong cả hai trường hợp này, ta đều thấy rằng f x  không bị chặn, mà f liêntục nên nó toàn ánh

Đến đây, bằng cách thay y z  0 vào (1), ta có 2f f x    f x    �� 0, x . Do f

toàn ánh nên ta có:   ,

2

x

f x    ��x Thử lại, ta thấy thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm f x   0 và   ,

Từ  y m m0 là một dãy bị chặn dưới của x n nó có xu hướng đến giới hạn y� với y�� 0.

Từ tính liên tục của g với   lim n lim m 1 .

Điều đó cho thấy f y   f x n ,  �y I n.

Bây giờ ta qui nạp theo giá trị giảm dần trên r mà f có giá trị f x n trên tất cảkhoảng I n. Giả sử rằng đối với một số r�0;n 1 , ta có f y   f x n cho y I�s với

.

r s n �

Do tính liên tục và f y   f x n , y�x r1 ;  �. Chia thành các trường hợp sau:

Trường hợp 1 Xét r  1.

Đối với y I�r, xét các dãy  y m m�0 với y0  y y, m1 g y m .

Nếu tất cả các dãy y n nằm trong I r thì dã  y m m�0 là tang và bị chặn bởi x r1 Nó có xuhướng tiến tới y� với y��x r1 ,g y �  y�. Vì vậy y� x r1. Mặt khác, ta cũng có

Theo định lí giá trị trung gian tồn tại y' � y x; với g y '  y. Bây giờ ta mô phỏng

theo các tham số được sử dụng trong trường hợp r n . Với y I�0 có một dãy  y m m�0

với y0  y và g y m1  y m, m. Từ g y 0  y0 chuỗi tăng và tiến tới giới hạn y� với

1

r

y�x

Hơn nữa, kết hợp với giả thiết

  cos 2  2cos 2 1 2cos cos   

� � là tập trù mật trong � Điều này cho thấy g là hàm

hằng trong phạm vi định nghĩa của nó

Nhưng g là hàm lẻ nên g t   0 với mọi t không là bội nguyên của 

Nhận xét: Từ bài 4 đến bài 9 ta đã sử dụng dãy số vào giải phương trình hàm Trong

quá trình sử dụng dãy số vào giải phương trình hàm ta lưu ý một số vấn đề sau

Trong nhiều trường hợp, ta cần tìm công thức tổng quát của hàm số, khi đó mộttrong các hướng đi mà ta nghĩ đến là thiết lập một bất đẳng thức dạng a n �f x  �b n, ở

đây    a n , b n là hai dãy được chọn sao cho bất đẳng thức trên đúng với mọi n (ứng

với mỗi x cố định) Lúc này, nếu lima n  limbn L x  thì bằng cách chuyển sang giới

hạn, ta sẽ tìm được công thức tổng quát của f x  và L x .

Nếu cần suy xét một tính chất nào đó của f x  , ta có thể thiết lập một đẳngthức dạng A f  �a B f n  , trong đó A f B f   , là hai biểu thức của x và f x , còn

 a n là dãy được chọn sao cho bất đẳng thức trên đúng mọi n (ứng với mỗi x cốđịnh) Lúc này, dựa trên sự hội tụ của a n ta có đưa ra nhiều kết luận cho A f  và

Thử lại ta thấy hàm số f t   at C C, � � , t� � thỏa mãn (1).

Bài 11 Tìm tất cả các hàm số liên tục f : � � � thỏa mãn

f xy  f x y  f xy x  f y x y��

Giải

Giả sử f : � � � là một nghiệm hàm.

Viết lại (1) dưới dạng f xy x   f xy   f x y   f y , x y, �� 2 

Trong (2) thay y bởi xy, ta thu được

  ,

f x ax b x  ��

Thử lại ta thấy hàm f x  ax b x  �� , thỏa mãn điều kiện (1) với mọi số thực a b,

Bài 12 Tìm tất cả các hàm số liên tục f : � � � thỏa mãn

Trong (3) cho u v  0;u x v ;  0, ta được h 0  0,h   x h x .

Vì vậy (3) được viết thành h u   h v h u v  , u v, �� 4 và h x  liên tục trên �

Phương trình (4) là là phương trình hàm Cauchy nên h t  Ct, với C là hằng số và

1 1 2

1 1 2

Vì f là hàm liên tục trên  0;1 nên với dãy  x n �0;1 sao cho limx n  1 thì

 1 limxn lim  n lim  0 0.

Do đó f x    � 0, x  0;1 , thử lại thỏa mãn

Nhận xét: Trong bài toán trên ta đã sử dụng định lý giới hạn kẹp để giải.

Bài 14 Tìm tất cả các hàm số liên tục f : � � � thỏa mãn, với mọi số thực a b, saocho a b , luôn tồn tại c� a b; sao cho: f c  � max f a f b   , .

Vì A� và bị chặn nên tồn tại   inf ,A   sup A Tồn tại dãy số  x n n�1 trong  a b;

sao cho limn x n supA ,

��   và tồn tại dãy  y n n�1 trong đoạn  a b; sao cho

Như vậy c và f c  M, điều này mâu thuẫn với cách chọn , do đó  a.

Nếu  b thì theo giả thiết tồn tại d�;b sao cho:

Như vậy d  và f d  M, điều này mâu thuẫn với cách chọn  , do đó  b.

Do đó, f a   f b  Vậy f là hàm hằng trên � Thử lại thấy thỏa mãn

Nhận xét: Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp phần tử cực biên để giải bài

Giả sử f : � � � là một nghiệm hàm.

Dễ thấy f là đơn ánh trên tập R; thật vậy nếu f x( ) 1  f x( ) 2 sẽ dẫn đến f x2( )1  f x2( )2

Kết hợp với (1) suy ra 6x1  6x2 �x1x2 Vậy f là liên tục nên f là hàm đơn điệutrên tập R

Thay x 0 vào (1) có f f( (0))  f(0), suy ra f(0) 0  Bây giờ ta xét hai trường hợp

TH1: f là đơn điệu giảm

Với x là một số thực tuỳ ý, ta xây dựng dãy (x n): x0 x x; n  f x n( ) Đây là một dãy

truy hồi tuyến tính cấp hai x n1  x n 6x n1 có phương trình đặc trưng:

2 ( ) 2 ( ( ) 3 )

3

k k

TH2: f là đơn điệu tăng, trường hợp này khó hơn ta sẽ xét hàm nghịch đảo 1

f

Chú ý rằng Với x 0 ta có f x( )  f(0) 0  Lần lượt cho x� �  , x� �  và lấy

giới hạn 2 vế của (1) ta được, chú ý rằng x 0 � ( )f x  f(0) 0  (và x 0 �

2

3

k k

3

k k

f x  x f x  x   �Nk

Cho k� �  và lấy giới hạn các vế của các bất đẳng thức trên ta được

Làm hoàn toàn tương tự, nếu x 0 ta cũng có f x( ) 3  x 0

Thử lại, ta thấy f x( ) 3 �x và f x( ) �  2x thoả mãn đề bài

Bài 16 Xác định hàm số f : R � R liên tục trên tập R và thoả mãn:

f x f y  y f x x y, �R (1)

Giải:

Giả sử f : � � � là một nghiệm hàm

Thay x 0vào (1) được f(9 ( )) 4f y  y f(0) (2)

Từ (2) dễ dàng suy ra f là đơn ánh Tiếp tục thay y 0vào (1) được

a a

Tương tự f không có giới hạn hữu hạn khi x� � 

Mặt khác, f là hàm đơn điệu, ta có f tăng

Trong trường hợp đó, ta có 0 x n x n2 mâu thuẫn với f x n  f x n2.

Điều đó cho thấy c2  0 khi x0 c1 và x1 c r1 1 Từ đó f x  r x1

Tương tự nếu f giảm thì f x  r x2

Nhận xét: Trong một số bài toán trên ta đã áp dụng các định lí về hàm liên tục đơn

điệu để giải bài tập

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Tìm tất cả các hàm số f : R � R liên tục trên tập R và thoả mãn

cho việc sử dụng các phương pháp trên, chắc chắn còn nhiều thiếu sót và hạn chế Rấtmong sự đóng góp ý kiến của bạn bè, đồng nghiệp để việc giảng dạy chuyên đềphương trình hàm cho học sinh được hiệu quả hơn

Tôi trân trọng cảm ơn !

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Chuyên khảo phương trình hàm – ThS Nguyễn Tài Chung – ThS.NGƯT Lê HoànhPhò

5 Chuyên đề “ Một số kỹ thuật sử dụng định lý giới hạn kẹp” – Kiều Đình Minh

6 Chuyên đề “Một số bài toán phương trình hàm liên tục” - Trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng