ứng dụng lí thuyết điểm bất động trong hình nón vào phương trình tích phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Thân Văn Đính ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG HÌNH NÓN VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011... L

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Thân Văn Đính

ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG HÌNH NÓN VÀO PHƯƠNG TRÌNH

TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

L ỜI CẢM ƠN

sâu sắc và chân thành nhất vì sự tận tình giúp đỡ và chỉ bảo của Thầy dành cho tôi trong suốt thời gian làm luận văn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt khóa học

Tôi xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô Phòng Khoa học-Công nghệ và Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin kính gửi đến Sở Giáo Dục và Đào Tạo Bình Phước, Ban Giám Hiệu trường THPT Chu Văn An lời cảm ơn chân thành vì đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô trường THPT Chu Văn An

và đặc biệt là các Thầy trong Tổ Toán; các bạn học viên cao học lớp Giải tích

làm luận văn

Sau cùng tôi xin kính gửi đến gia đình tôi cùng những người thân của tôi tất cả tình cảm yêu thương và lòng tri ân sâu sắc nhất, nơi đã tạo cho tôi niềm tin, nghị lực và là chỗ dựa vững chắc nhất giúp tôi hoàn thành khóa học cùng với luận văn này

Vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự nhận xét và chỉ bảo của Quí Thầy Cô và sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp

L ỜI CAM ĐOAN

Mặc dù trong quá trình làm luận văn này, tôi đã nghiên cứu, tìm hiểu và tham khảo ở sách vở, các bài báo toán học của các tác giả và luận văn của các khóa trước, tôi có sử dụng các kết quả đã được chứng minh để hoàn thành luận văn của mình nhưng tôi xin cam đoan không sao chép các luận văn đã có và tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình

3.Phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và phạm vi của đề tài.0T 70T

MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN0T 9

Chương 2 : MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NÓN0T 15

M Ở ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Phương trình tích phân phi tuyến đã được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm và nghiên cứu, trong đó phải kể đến Dajun Guo, V.Lakshmikantham, Shaefer, Stuart, William, Legget Nhận thấy phạm

ngành khoa học khác như : Phương trình tích phân phi tuyến dạng lan truyền bệnh dịch mô tả sự lây lan bệnh dịch; Phương trình tích phân phi tuyến xuất hiện trong vật lí hạt nhân; Phương trình tích phân phi tuyến mô

3.Phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và phạm vi của đề tài

a Phương pháp nghiên cứu : Tham khảo sách, các bài báo liên quan và dựa

trên sự hướng dẫn của giảng viên

b Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Phương trình tích phân phi tuyến là một mảng khá rộng nhưng do còn hạn chế về nhiều mặt và do phạm vi cho phép của đề tài nên luận văn chỉ trình bày một số kết quả sau đây

Chương 1 : Trình bày các định nghĩa và tính chất cơ bản của nón

Chương 2 : Trình bày một số định lí điểm bất động trong hình nón, bao gồm:

C hương 3 : Là nội dung trọng tâm của luận văn, trình bày những ứng dụng trực

M ỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

• E : không gian Banach thực

• Mes(G) : độ đo của tập G

• co(A) : bao lồi của A, co(A) =

• i(A, U, X) : chỉ số điểm bất động của A trên U ứng với X

• deg(A, U, p) : bậc topo, bậc Leray – Schauder của A trên U tại điểm p

• C(G) : không gian các hàm liên tục trên G

• L(G): không gian các hàm khả tích trên G

Chương 1 NÓN VÀ CÁC TÍNH CH ẤT CỦA NÓN

1.1 Nón chuẩn (Normal cones)

Định nghĩa 1.1.1

(i) x ∈ P, λ ≥ 0 thì λx ∈ P

(ii) x ∈ P, -x ∈ P thì x = θ, trong đó θ là phần tử không trong E

• Một nón P được gọi là thể nón ( solid cone) nếu nó có chứa điểm trong,

o

≠ ∅

• Một nón được gọi là nón sinh (generating) nếu E = P – P, tức là mọi phần

• Mỗi nón P trong E xác định một thứ tự riêng phần trong E cho bởi

(ii) Có một hằng số γ > 0 sao cho x+ y ≥γ.max{x , y},∀x y, ∈ ; P

(iii) Có m ột hằng số N > 0 sao cho θ ≤ x ≤ y thì x ≤ N y , tức là ⋅ là nửa

(vii) M ọi đoạn [x , y] = { z ∈ E : x ≤ z ≤ y} là bị chặn

Chứng minh ( Xem: [1], page 3 – 5)

1.2 Nón chính quy (Regular cones) và nón chính quy đủ (Fully Regular Cones)

Định nghĩa 1.2.1

Định nghĩa 1.2.2

(iii) P là chính quy đầy đủ

Chứng minh ( Xem: [1], page 10 – 12)

Định lí 1.2.3 Cho P là nón trong E P là nón chính quy nếu và chỉ nếu điều kiện

sau được thỏa :

=

 

 

tại z ∈ E sao cho :

1

, 1, 2,3,

n i i

P

Chứng minh (Xem: [1], page 18 – 20)

Chương 2 : MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NÓN

2.1 Điểm bất động của ánh xạ đơn điệu

a Điểm bất động của ánh xạ tăng

Cho P là nón trong không gian thực E và “ ≤ ” là thứ tự xác định bởi nón P và D

là tập con của E

Định nghĩa 2.1.1

γ(A(S)) < γ(S), với mọi tập bị chặn S ⊂D, γ(S) > 0 (2.1.2)

Nhận xét

co ngặt ( strict-set-contraction ) và nếu A là co ngặt ( strict-set-contraction ) thì A

Định lí 2.1.1

Giả sử rằng một trong hai điều kiện sau thoả:

(HR1R) P là nón chuẩn và A là cô đọng ( condensing );

Bây giờ ta chứng minh rằng {uRnR} hội tụ về x*∈E và

* *

Ax =x

vậy γ(S) = γ(A(S))

là hằng số định nghĩa trong nón chuẩn P

*

u m → x m→ ∞

*

P

D A là ánh xạ tăng nên u0≤ ≤x v0 thì Au0 ≤ Ax≤ Av0, nghĩa là u1≤ ≤x v1

Cho các điều kiện của định lí 2.1.1 được thoả Giả sử rằng A chỉ có một

b Điểm bất động của ánh xạ giảm

Định lí 2.1.2 Giả sử

(ii) Aθ ≥ θ và A 2 θ > ε 0 Aθ, trong đó ε 0 > 0 và θ là phần tử không của E

(iii) Với mỗi x ≥ αAθ, ( α = α(x) > 0 ) và 0 < t < 1, thì tồn tại η = η(x,t) > 0

P> θ Hơn nữa, xây dựng được

(iii) dẫn đến tồn tại số ηR0R > 0 sao cho :

Từ xR0R ≥ θ, ta có θ ≤ AxR0R≤ A θ, nghĩa là uR0R≤ xR1R≤ uR1R; theo tính duy nhất của A, ta

Khi P là thể nón (solid cone), định lí 2.1.5 vẫn đúng nếu ta thay giả thiết (iii)

P> θ và hơn nữa, xây dựng được

Gi ả thiết (iii) của định lí 2.1.3 tương đương với :

Mọi bao lồi đóng không rỗng của E là một co rút (retract) của E Đặc biệt, mọi nón trong E là co rút của E

Ch ứng minh định lí 2.2.1 và hệ quả 2.2.1 ( Xem[5], page 353-367 và[4]).

Định lí 2.2.2

Cho X là một co rút của không gian Banach thực E Khi đó, với mọi tập con

kiện sau :

(i) i(A,U,X) = 1 n ếu Ax ≡ yR0R ∈ U, v ới mọi x ∈ U

(ii) i(A,U,X) = i(A,UR1R,X) + i(A, UR2R,X), trong đó, UR1R, UR2R là các tập mở

không giao nhau của U sao cho A không có điểm bất động trên

(iv) i(A,U,X) = i(A,U∩Y,Y) n ếu Y là một co rút của X và ( ) A U ⊂ Y

Hơn nữa, cho

M = {(A,U,X) : X là co rút c ủa E, U mở bị chặn trong X, A: U → X

đến (iv)

động của A trên U tương ứng với X

Ch ứng minh

Trước hết, ta chứng minh tính duy nhất của chỉ số điểm bất động

( , , ) ( , , )

d f U p =i A+ p U E , (2.2.1)

d(f,U,p) có 4 tính chất đặc trưng bậc Leray – Schauder (xem [1], trang 261 và [4]) và do đó, theo tính duy nhất của bậc Leray –Schauder, ta có

d(f,U,p) = deg(I – A, U, p) (2.2.2)

Lấy p = θ trong (2.2.1) và (2.2.2), ta được

i(A,U,E) = deg(I – A, U, θ) (2.2.3)

i(A,U,X) = deg(I – A.r, BRRR∩ rP

P

(U), θ) = deg(I-A.r , BRRR∩r(U), θ),

nghĩa là i(A,U,X) không phụ thuộc cách chọn R

Đặt, h(t,x) = x – H(t,x), trong đó H(t,x) = r[tA.r(x) + (1-t)A.rR1R(x)]

0

H(0,x) = r[ArR1R(x)] = A.rR1R(x) và H(0,x) = r[Ar(x)] = A.r(x), ta có

Điều này chỉ ra rằng i(A,U,X) không phụ thuộc cách chọn r

261 và [4]), ta có thể suy ra chỉ số điểm bất động xác định bởi (2.2.5) có các tính

Định lí 2.2.3

Ngoài các tính chất (i) – (iv), chỉ số điểm bất động còn có các tính chất sau:

(v) i(A,U,X) = i(A,UR0R,X) v ới bất kỳ UR0R là t ập con mở của U sao cho A

(vi) Nếu i(A,U,X) ≠ 0, thì A có ít nh ất một điểm bất động trong U

Ch ứng minh

i(A,U,X) = i(A,∅,X) = 0 , và do đó (vi) được chứng minh

b Định lí điểm bất động của ánh xạ mở rộng và thu hẹp nón

Trong mục này, cho P là nón của không gian Banach thực E Do đó, P là một

Đặt H(t,x) = tAx Khi đó, H : [0, 1] × (P∩ Ω) → P liên tục và tính liên tục

Theo định lí 2.2.1, ta có thể mở rộng B tới một ánh xạ hoàn toàn liên tục từ

inf 0

y M y

giả thiết (a) Vậy, (2.2.16) được chứng minh

theo giả thiết (b) và tính chất bất biến đồng luân, ta có:

b c t

Khi đó, (2.2.13) thỏa, tức là i(A, P∩Ω, P) = 0

Đặt B = A trong bổ đề 2.2.2 thì điều kiện (a) và (b) của bổ đề 2.2.2 đúng

-1

P

kiện (ii) Do vậy, (2.2.13) được suy từ bổ đề 2.2.2

và

Ch ứng minh

Do đó, theo (2.2.23) và hệ quả 2.2.1, ta có :

i(A, P∩Ω2 , P) = 0 (2.2.24)

Định lí 2.2.5 (định lí điểm bất động của sự mở rộng và thu hẹp nón)

2

Ta có thể giả sử rằng, A không có điểm bất động trên P∩ ∂Ω và 1 P∩ ∂Ω Khi 2

Khi đó, A có ít nhất một điểm bất động trong P∩ Ω Ω( 2\ 1)

Chứng minh

2

đó, (2.2.22) thỏa

0 sao cho xR1R – AxR1R = tR1RuR0R, thì xR1R≥ tR1RuR0R và xR1R≥ AxR1R, và vì vậy, x1∈P u0, điều này

P

> 0

2 3 Định lí điểm bất động bội (Multiple Fixed point theorems)

Từ định lí 2.2.4 và 2.2.5 ta có hai kết quả sau:

Giả sử rằng Ax≤x,∀ ∈ ∩ ∂Ωx P 3 Khi đó, A có ít nhất hai điểm bất động xP

A : XR1R→ X là hoàn toàn liên t ục, A(XR1R) ⊂ XR1R và A không có điểm bất động trên

i(A, XR1R, XR1R) = i(A, U, XR1R) (2.3.3)

biến đồng luân thì

Từ (2.3.2), (2.3.3) và (2.3.4) ta suy ra (2.3.1)

Chương 3 : ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Trong phần này, ta sẽ ứng dụng các định lí điểm bất động đã trình bày trong chương 2 và một số tính chất của nón để xét sự tồn tại nghiệm nghiệm không âm

3.1 Phương trình tích phân của dạng đa thức

Phần này, ta xét phương trình tích phân

Dễ thấy, u(x) ≡ 0 là nghiệm tầm thường của phương trình (3.1.1) Để thuận tiện,

ta đưa các điều kiện của nhân(kernel) k(x,y) như sau :

k(x,y) ≥ εR0Rk(z,y), ∀y,z ∈ G

1 1

( ) , 0, 0, 0

, khi ( )

n n

, khi ( )

n n

inf i ( ) 0

x G a x

1 0

toàn liên tục và (3.1.9) thỏa Do đó tồn tại R > 0 sao cho (3.1.11) thỏa

1

i , ,

i L i

(i’) Nhân k(x,y) th ỏa (HR2R)

(ii’’) aRiR(x) ≥ 0, aRiR(x) ∈ L, αRiR < 1, (i=1,2,3, ,m) và trong số aR i R(x), (i = 1,2,

Ch ứng minh

liên tục trên G, với x ∈ D 1 \ D 2

k(x,y) ≥ τ, (x,y) ∈ DR1R× DR1R, (3.1.16)

0 1

1, ( ) 0, \

( ( )) ( , ) ( )[ ( )] i

i D

A εψ x ≥ ∫k x y a y εψ y α dy

i mesD

i 1,

m

i L i

=

≤ ∀ ≥

Cho k(x,y) = a(x).b(y), trong đó a(x) là liên tục không âm và không đồng

không tầm thường của phương trình (3.1.1) thì

G

u x =a x ∫b y a u y +a u y dy (3.1.22)

Và do đó, u(x) phải có dạng u(x) = γa(x), với γ > 0 Thay u(x) = γa(x) vào

Định lí 3.1.4

Giả sử

(ii) Hàm liên tục không âm aRiR(x) thỏa

1

( ) 0

m i i

Bây giờ, giả sử rằng phương trình (3.1.1) có nghiệm khác là uP

αα

Ta sẽ chứng minh tR0R≥ 1 Th ật vậy, nếu 0 < tR0R < 1 thì ta có :

01

i G

1 11

3.2 Giá tr ị riêng và vectơ riêng

Trong phần này, ta sẽ xét nghiệm của phương trình tích phân sau :

như sau :

(HR4R) Tính không âm, liên t ục của nhân k(x,y) là đối xứng trên G × G và tồn

(ii) Hàm f(u) liên tục trên 0 ≤ u ≤ δ, (δ > 0), f(0) = 0 và f+'(0) xác định

khác không

Khi đó, tồn tại εR0R > 0 và ηR0R > 0 sao cho phương trình (3.2.1) có một nghiệm

vì nếu không thì tồn tại uRrR ∈ P∩ SRrR sao cho ηR0RuRrR = AuRrR và do đó (3.2.2) đã được

2 1

đảm bảo rằng ánh xạ tích phân tuyến tính

liên tục trên G, với x ∈ (D 1 \ D 2 ) ∪ (D 1 * \ D 2 * )

là hoàn toàn liên tục từ C(G) vào C(G), (xem ví d ụ, [3], trang 70-91.) và do đó A

Định lí 3.2.2

Giả sử

(i) Nhân k(x,y) th ỏa (HR2R) ho ặc (HR4R) ho ặc (HR5R)

(ii’) Hàm f(u) là liên t ục trên 0 ≤ u ≤ δ, (δ > 0), f(0) = 0 và '

(0)

λr r u ( )x = Au r( ),x u r( )x ∈C G( ), u r( )x ≥0, u r =r, λr ≥N (3.2.10)

Ch ứng minh

Như trong chứng minh của định lí 3.2.1, ta chỉ cần chứng minh định lí 3.2.2

Trong đó, * 1

2

N mesD

xét [-f(u)] thay cho f(u)

Định lí 3.2.3

(a) Nhân k(x,y) th ỏa (HR1R)

(b) Hàm f(u) liên t ục trên 0 ≤ u < δ (δ > 0), f(0) = 0 và f(u) ≠ 0 v ới 0 < u < δ

k x y f u y dy mesG G

'

r r r

Định lí 3.2.4

(a) Nhân k(x,y) th ỏa (HR1R)

(b) Hàm f(u) liên t ục và không âm hoặc không dương trên 0 ≤ u < +∞, f(0)= 0, f(u) ≠ 0 v ới u > R, (R > 0)

-1

P

, phương trình (3.2.1) có một nghiệm liên tục không

Ch ứng minh

Tương tự như trong chứng minh của định lí 3.2.3 , ta có thể giả sử rằng

f(u) ≥ 0 v ới u ≥ 0 và f(u) > 0 v ới u > R Cho trước r > RεR0RP

3.3 Phương trình tích phân phi tuyến dạng lan truyền bệnh dịch

với tỷ lệ tuần hoàn thay đổi theo mùa Trong phương trình này, x(t) đại diện cho

cá nhân bị nhiễm bệnh trong dân cư tại thời điểm t, f(t, x(t)) đại diện cho số bệnh

nhân vẫn còn lây bệnh

tìm nghiệm không âm, không tầm thường có chu kỳ của phương trình (3.3.1) Bây giờ, ta xây dựng một số điều kiện cho hàm f(t,x) như sau:

(HR1R) f(t, x) là không âm, liên t ục trên -∞ < t < +∞ và x ≥ 0

(HR2R) f(t,0) = 0 v ới -∞ < t < +∞ và tồn tại ω ≥ 0 sao cho f(t + ω, x) = f(t,x) với

x

f t x

a t x

f t x

a t x

00

Cuối cùng, áp dụng định lí 2.2.6 ta suy ra A có điểm bất động trong

( R \ r)

Định lí 3.3.2

Khi đó, phương trình (3.3.1) có ít nhất hai nghiệm liên tục, không âm, không tầm

Mặt khác, từ (3.3.22) ta có :

Nh ận xét : Ta có thể tìm được hàm thỏa các tính chất của định lí trên

e

b s ds

ω τ

c s ds

ω τ

Khi đó, phương trình (3.3.1) có ít nhất một nghiệm dương x(t) liên tục và tuần

i t

b s ds

ω τ

b s ds

ω τ

trong đó, c là hằng số và S(x,y) là hàm không âm bị chặn trên 0 ≤ x, y ≤ 1, thỏa

( , )lim

0

( , )( ) 1 ( ) , ( 0,1, 2, )

Theo điều kiện (ii) ta có

tích phân phi tuyến :

Do đó, điều kiện (ii) của định lí 2.1.2 được thỏa

Cuối cùng, (3.4.4) được suy trực tiếp từ (3.4.11) và (3.4.13)

Nhận xét : Ta có thể tìm được hàm R(x,y) thỏa tất cả các điều kiện của định lí

trên

Ví dụ : R x y( , )=c x( −y) (13 x+3y−sinx+2x y2 ) hoặc

15( , ) ( ) ln(1 )

R x y =c x−y + +x y

K ẾT LUẬN

gian Banach thực, trình bày một số định lý điểm bất động trong hình nón và ứng dụng của các định lý đó vào bốn loại phương trình tích phân phi tuyến

Trọng tâm của luận văn này là trình bày ứng dụng của một số định lý điểm bất động xét trong hình nón vào việc xét nghiệm không âm, liên tục của bốn loại phương trình tích phân phi tuyến đã trình bày

Phương trình tích phân phi tuyến là một mảng khá rộng, nhưng do giới hạn phạm vi đề tài và trình độ của tác giả còn có hạn nên chắc chắn trong nội dung

Tôi hy vọng, nếu có điều kiện sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm về nội dung này

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

[1] Dajun Guo, V Lakshmikantham, Nonlinear problems in abstract cones, Academic Press, Inc, London 1988

[2] Dajun Guo, Nonlinear Functional Analysis, Shandong Sci Tech Publishing House, China, 1985

[3].Dajun Guo, Properties of the Nemitskii operator and its applications,

Adv.Math, 1963

[4] Deimling, Nonlinear functinonal analysis, Springer – Verlag, New York,

1985

[5] Dugunji, An extension of Tietze’s Theorem, Pacific J Math., 1(1951)

[6] Dunford, N., and Schwartz, J T., Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience Publishers, New York, 1958

[7] Hardy, G H., Littlewood, J.E., and Polya, G., Inequalities, Cambridge

University Press, 1934

[8] Schaefer, H.H, Topological vector spaces, Springer – Verlag New York,

1971