ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Với việc chỉ ra tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp hội tụ về điểm bất động đó, nguyên lý điểm bất động Banach cùng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

-

LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHẤP ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG SỰ TỔN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 1 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DÂN KHOA HỌC: PGS TS LÊ HOÀN HÓA

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2007

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả luận án

Lê Thị Phương Ngọc

LỜI CÁM ƠN

Tôi vô cùng biết ơn PGS TS Lê Hoàn Hoa, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thầy đã giảng dạy, hướng dẫn và tận tình giúp đỡ tôi về mọi mặt trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy thật sự là Người Cha nghiêm khắc của tôi trong việc chỉ bảo và rèn luyện cho tôi những đức tính cần có của người làm khoa học

Tôi biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Thành Long, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp HCM, về sự giúp đỡ tận tình và sự chỉ bảo vô cùng quý báu cũng như rất nghiêm khắc của Thầy cho tôi trong nghiên cứu khoa học Thầy đã cho tôi cơ hội để tham gia đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ bản và sinh hoạt học thuật theo các hướng nghiên cứu mà Thầy đang chủ trì, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt luận án

Tôi xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Nhà Khoa học là các thành viên trong các Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn và cấp Nhà nước, là các chuyên gia Phản biện độc lập và chính thức của luận án, đã cho tôi những nhận xét, đánh giá và bình luận quý báu cùng với những chỉ bảo, đề nghị quan trọng tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận án một cách tốt nhất

Tôi kính gửi đến Quý Thầy Cô trong và ngoài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đồng kính gửi đến Ban Tổ chức các hội nghị khoa học về Toán học lời cám ơn trân trọng, trong suốt thời gian qua, tôi luôn nhận được sự giúp đỡ của Quý Thầy Cô trong học tập, trong nghiên cứu cũng như cho tôi điều kiện thuận lợi để tìm kiếm tài liệu và tham dự các hội nghị khoa học

Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ môn Toán Giải tích và Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học của Trường Đại học Sư phạm Thành phố

Hồ Chí Minh, đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và bảo vệ luận án, những lời cám ơn chân thành và trân trọng

Tôi chân thành và trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô và các chuyên viên ở Vụ Đại học và Sau Đại học của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn tất các thủ tục quan trọng trong quá trình bảo vệ luận án

Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Đoàn Trường, Ban Chủ nhiệm Khoa

Tự nhiên và các Phòng Ban khác của Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang, nơi tôi giảng dạy, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về vật chất cũng như tinh thần để tôi hoàn thành tốt các nhiệm vụ của nghiên cứu sinh, những lời cám ơn sâu sắc và trân trọng

Tôi thành thật cám ơn các Anh Chị đồng nghiệp và các Người thân của tôi đã giúp đỡ tôi về mọi mặt Gia đình tôi cũng là nguồn động viên to lớn của tôi

Tôi thật sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tất cả những Người đã chỉ bảo, quan tâm động viên

và giúp đỡ tôi về mọi mặt

Nghiên cứu sinh

Lê Thị Phương Ngọc

MỤC LỤC

BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1:ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL'SKII VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 10

1.1 Giới thiệu 10

1.2 Định lý điểm bất động kiểu KrasnosePskii 11

1.3 Sự tồn tại nghiệm 14

1.4 Nghiệm ổn định tiệm cận 22

1.5 Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm 28

1.6 Một trường hợp tổng quát 35

Chương 2: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU LERAY-SCHAUDER VÀ NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CẤP HAI CÓ CHẬM 47

2.1 Giới thiệu 47

2.2 Các kiến thức chuẩn bị 48

2.3 Khảo sát bài toán giá trị biên 3 điểm có đối số chậm (2.1.1)-(2.1.2) 49

2.4 Khảo sát bài toán giá trị biên "hỗn hợp" có đối số chậm (2.1.1)-(2.1.3) 61

2.5 Khảo sát bài toán giá trị đầu có đối số chậm 67

Chương 3: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO BÀI TOÁN HỖN HỢP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF 75

3.1 Giới thiệu 75

3.2 Các không gian hàm và kết quả chuẩn bị 78

3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 81

3.4 Sự hội tụ cấp hai với f = f(r, u),B = B(z) 95

3.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé 107

KẾT LUẬN 123

DANH MỤC CỒNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 126

Tài liệu tham khảo 127

(X, |.|n) Không gian vectơ X với họ nửa chuẩn đếm được |.|n

(X, d) Không gian metric X với metric d

(E, |.|) Không gian Banach E với chuẩn |.|

|| ||x Chuẩn trên không gian Banach X

C[a,b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [ a , b ]

C1[a,b] Không gian các hàm số thực khả vi liên tục trên đoạn [ a , b]

C0(Ω) ≡ C(Ω) Không gian gồm các hàm số u : Ω → liên tục trên Ω

Cm( ̅) Không gian các hàm số u ∈ C m

và liên tục đều trên Ω , với mọi đa chỉ số α , | α | ≤ m

C([a, b]; E) Không gian các hàm liên tục u : [ a , b ] → E

C( +; E) Không gian các hàm liên tục u : R + → E

f : X → Y, f |A Anh xạ thu hẹp của ánh xạ f trên tập A ⊂ X

L1[a, b] Không gian các hàm số thực x ( t ) sao cho

|x(t)| khả tích Lebesgue trên [ a , b ]

Lp(0, T; X), 1 ≤ ≤ ∞ Không gian các hàm đo được u : (0, T ) → X sao cho

∞ với 1 ≤ p < ∞ với p = ∞

u + f(t, ut, u (t)) = 0 Phương trình vi phân hàm cấp hai được xét trong chương 2,

u là ẩn hàm theo t, ut là hàm có đối số chậm,

u', u" lần lượt chỉ đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2 của u theo t

u(t) ≡ u(r, t) Ham theo hai biến r , t xét trong chương 3,

Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng, Bổ đề KKM, đem đến một cách chứng minh đơn giản nguyên lý điểm bất động Brouwer và đặc biệt hơn nữa, bổ đề KKM và nguyên

lý điểm bất động Brouwer là hai kết quả tương đương nhau Từ sự xuất hiện của bổ đề KKM, cùng những kết quả sâu sắc trong các công trình nghiên cứu của Ky Fan làm nền tảng, lý thuyết KKM hình thành, phát triển và được sử dụng rộng rãi như một công cụ hữu ích cho lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị, lý thuyết biến phân, toán kinh tế v.v

Với việc chỉ ra tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp hội tụ về điểm bất động đó, nguyên lý điểm bất động Banach cùng các hệ quả và các mở rộng của nó đã được vận dụng rất phổ biến và thành công trong chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực của giải tích

Trên cơ sở nghiên cứu ứng dụng của các định lý điểm bất động và tìm cách mở rộng chúng để giải các bài toán trong các lớp không gian khác nhau, lý thuyết điểm bất động được phát triển không ngừng thành một lý thuyết đa dạng, phong phú bao gồm nhiều định lý điểm

bất động của các ánh xạ như ánh xạ co, nén, ánh xạ không giãn, ánh xạ tăng, v.v., cùng nhiều

mở rộng

của các nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị, trong mối liên hệ chặt chẽ với nguyên lý biến phân Ekland, nguyên lý min-max, lý thuyết KKM, lý thuyết bậc tôpô, V.V., tổng quan

về các vấn đề này có thể tìm thấy trong các tài liệu như [12, 17, 18, 44] và trong nhiều công trình nghiên cứu của các nhà Toán học mà tiêu biểu là s Park [48, 50, 54], s Park, Đ H Tân [51, 52], s Park , B.G Rang [49], L.A.Dung, D H Tân [15]

Chính từ sự phát triển đó, cùng với các tác động tích cực của các lý thuyết khác, mà lý thuyết điểm bất động luôn được xem là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ vật lý học, hoa học, sinh học, cơ học Việc ứng dụng lý thuyết điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân và tích phân được mở đầu bằng những kết quả nổi tiếng của Picard và Peano vào cuối thế kỷ 19, trong đó xét bài toán Cauchy cho phương trình vi phân với vế phải thoa mãn điều kiện

Lipschitz (định lý Picard) hoặc điều kiện liên tục (định lý Peano) Ứng với hai bài toán này, hai định lý điểm bất động của Banach và Schauder thật sự là công cụ hữu hiệu

Nguyên lý ánh xạ co của Banach: [17]

M Hơn nữa với mỗi x0 ∈ M cho trước, dãy lặp {Tn

x0} hội tụ về x* Định lý Schauder: [25]

Cho K là tập con khấc rỗng, lồi, đóng của không gian Banach E và T : K → K là ánh xạ liên

Kết hợp hai định lý đó, Krasnosel'skii đã chứng minh được:

Định lý Krasnosel'skii: [61]

Cho M là tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của không gian Banach X Giả sử U : M →

X là ánh xạ co và C : M → X là toán tử compact, nghĩa là: c liên tục và C(M) chứa trong một

Sau khi xuất hiện định lý Krasnosel'skii, người ta đã xét đến sự tồn tại nghiệm của các

phương trình tích phân chứa tổng hai số hạng với các hàm dưới dấu tích phân tương ứng thoa điều kiện Lipschitz và điều kiện liên tục, mở ra nhiều công trình nghiên cứu về các định lý điểm bất động kiểu

Krasnosel'skii và ứng dụng, chẳng hạn như [3, 4, 7, 8, 13, 21, 53]

Áp dụng định lý Schauder, lý thuyết bậc và lý thuyết dựa trên các ánh xạ cốt yếu -

"Topological Transversality", Leray và Schauder đã chứng minh các định lý điểm bất động kiểu Leray-Schauder, trong đó nguyên lý về sự loại trừ phi tuyến cho ánh xạ compact

"Nonlinear alternative" là công cụ quan trọng để thiết lập các nguyên lý tồn tại nghiệm của một số bài toán giá trị biên [46]

Các ứng dụng cụ thể khác của các định lý điểm bất động trong việc nghiên cứu tính giải được của các lớp phương trình như phương trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn như [12, 17, 18, 25, 46, 61], trong các công trình khoa học công bố trên nhiều tạp chí của rất nhiều tác giả, như: Abdou [1], Avramescu [3, 4], Burton [7, 8], Henriquez [20], Liu, Naito, N.v Minh [28], Pavlakos, Stratis [55], Raffoul [13], còn có thể tìm thấy nhiều công trình khác đăng trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước đã sử dụng phương pháp điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm Để dễ truy cập, chúng tôi xin nêu các bài số 06/2000, 24/2001, 71/2002, 04/2003, 22/2004, 79/2005, hay 3, 8, 13, 19,

21, 22, 24, 34, 36, 57 thuộc Voi 2006, v.v., trong "Electronic J Differential Equations" làm

ví dụ, ở đó các định lý ánh xạ co, định lý Schauder, định lý Krasnosel'skii trên một nón, định

lý Darbo, V.V., được áp dụng Ngoài ra, còn có các tạp chí chuyên về lĩnh vực này mới được xuất bản gần đây, chẳng hạn như 'Tixed Point Theory and Applications" năm 2004 của nhà xuất bản Hindawi, "Journal of Fixed Point Theory and Applications" năm 2007 của nhà xuất bản Springer

Chính vì vậy, đề tài luận án của chúng tôi nghiên cứu là cần thiết và có ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng

Trong luận án này, chúng tôi áp dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lý luận về tính compact thông dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm và các vấn đề liên quan đến nghiệm cho ba bài toán thuộc lý thuyết phương trình tích phân, vi phân và đạo hàm riêng sau đây:

Phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra;

Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm; Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán Lử Kirchhoff trẽn màng tròn đơn vị

Sau đây là phần giới thiệu tổng quát về ba bài toán nói trên

1 Bài toán thứ nhất đề cập đến phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra:

(0.0.1)

ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|,R+ = [0, ∞), q : R+ → E;

f : R+ E → E;G, V : ∆ E → E được giả sử là các hàm liên tục và

= {(t,s) ∈R+ R+,s≤ t}

Trường hợp E = Rd và hàm V(t, s, x) tuyến tính theo biến thứ ba, phương trình (0.0.1) đã được nghiên cứu bởi Avramescu và Vladimirescu [4] Các tác giả đã áp dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii trong [3, Định lý K'"] để chứng minh sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân:

Trường hợp (0.0.1) có f = 0 và V(t, s, x(s)) = V(s, x(s)), sự tồn tại nghiệm của phương trình

đã được nghiên cứu bởi Hóa và Schmitt [21], cũng bằng cách sử dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii

Phương trình (0.0.1) có tính tổng quát hơn cho lớp phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra được xét trong [4, 21] Để thu được sự tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, chúng tôi đã chứng minh một định lý kiểu Krasnosel'skii làm công cụ kết hợp với việc

sử dụng định lý Banach trong không gian Préchet và giải các bất phương trình tích phân Volterra phi tuyến Kết quả này chứa các kết quả tương ứng trong [4, 21] như các trường hợp riêng và đã được công bố trong [N4] Một ví dụ minh hoa về sự tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (0.0.1) trong không gian Banach E — C[0,1], trong đó f ≠ 0 V(t,s,x) không tuyến tính theo biến thứ ba, cho thấy kết quả đạt được mạnh hơn kết quả trước đó

Ngoài ra, áp dụng định lý Krasnosel'skii - Perov về tính compact và liên thông của tập các điểm bất động, chúng tôi nghiên cứu tính compact và liên thông của tập nghiệm hay còn gọi

là tính chất Hukuhara-Kneser Kiểu cấu trúc này của tập nghiệm cũng được nghiên cứu trong [5, 11, 43, 58, 59] dựa trên định lý Aronszajn hoặc định lý về tính compact và liên thông của tập các điểm bất động được nêu bởi Deimling, [12, tr 212] Kết quả thu được ở đây chứa đựng một kết quả đã công bố trong [N3] như một trường hợp riêng, ứng với q = 0, f = 0, V(t,

s, x(s)) = V(s, x(s)), và đã gửi công bố trong [N8]

Nhờ tính chất của tập liên thông trong không gian Banach ([25, tr.316]), tính liên thông của tập nghiệm của (0.0.1) có một ý nghĩa quan trọng Đó là, nếu (0.0.1) có hai nghiệm phân biệt thì sẽ có một lực lượng continuum các nghiệm khác nhau về điều này, một ví dụ minh hoa được trình bày, trong đó nêu ra được 3 nghiệm phân biệt

Mặt khác, sự mở rộng của bài toán đang xét cũng được nghiên cứu Chúng tôi chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phương trình:

(0.0.3)

và với π(t) = t, hay nói cách khác f(t,x(t),x(w(t))) = f(t,x(t)) sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, đồng thời tính compact, liên thông của tập nghiệm của (0.0.3) cũng được chỉ ra Kết quả này đã trình bày trong [N4, N8]

2 Bài toán thứ hai đề cập đến phương trình vi phân hàm cấp hai có chậm:

= , (0) = 0, (0.0.7) trong đó ϕ ∈ C = C{[-r, 0]; R), 0 < ε < 1, α ∈ R

Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình

vi phân hàm đã được nhiều tác giả nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau trong đó có

sử dụng phương pháp điểm bất động, chúng tôi xin giới thiệu các tác giả của [19, 39, 45, 46,

57, 62] và các tài liệu tham khảo nêu ra ở đó

Trong [45], Ntouyas chứng minh sự tồn tại nghiệm cho phương trình vi phân hàm

Và gần đây, Ma [39] và Yong-Pin Sun [57] đã nghiên cứu bài toán giá trị biên

ở đây f : [0,1] X R → R là hàm liên tục, liên kết với một trong những điều kiện biên

hoặc

Các bài toán cho phương trình vi phân hàm cấp hai có chậm: (0.0.4)-(0.0.5), (0.0.4)- (0.0.6)

là các bài toán ba điểm biên ở một dạng khác, có thể xem đó là một mở rộng của [39, 57] - / chứa thêm thành phần có chậm, trên cơ sở dạng bài toán có chậm được nêu trong [45, 62]

Ở các bài báo [45, 62], các tác giả đã nghiên cứu bài toán có chậm với vế trái tổng quát hơn

và với điều kiện biên dạng khác So với [45]- chỉ xét vấn

đề tồn tại nghiệm, và [62]- xét sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của

nghiệm cho bài toán hai điểm biên, thì vấn đề chúng tôi nghiên cứu ở đây có phần đa dạng hơn Tiếp thu ý tưởng và kỹ thuật trong các bài báo nói trên, ngoài nghiên cứu về tồn tại nghiệm bằng cách áp dụng định lý Leray-Schauder, chúng tôi còn đề cập đến sự tồn tại duy nhất nghiệm - bằng cách áp dụng nguyên lý ánh xạ co và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cho bài toán ba điểm biên (0.0.4)- (0.0.5) và bài toán giá trị đầu (0.0.4)- (0.0.7) Sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên hỗn hợp (0.0.4)- (0.0.6) cũng được thiết lập Ngoài ra, tiếp tục sử dụng định lý Krasnosel'skii - Perov, chúng tôi nghiên cứu tính chất Hukuhara-Kneser của tập hợp nghiệm của bài toán giá trị đầu Toàn bộ các kết quả này đã được công bố trong [N2]

3 Bài toán thứ ba là bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử

Kirchhoff:

(0.08)

trong đó hằng số h > 0,

và các hàm số B, f, ̃0, ̃1 là cho trước

Đây là một sự tiếp nối của các công trình nghiên cứu về phương trình sóng như [6, 14, 23, 32,

33, 35, 36, 37, 38, 40, 47] Trong các công trình này, các tác giả đã sử dụng phương pháp xấp

xỉ Galerkin kết hợp với phương pháp điểm bất động và lý luận về tính compact thông dụng

để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Sự tồn tại nghiệm địa phương được chứng minh dựa vào định lý Schauder và nói chung chưa được trình bày tường minh Bài toán (0.0.8) được xét gồm hai phần Phần thứ nhất về tồn tại và duy nhất nghiệm được nghiên cứu bằng phương pháp tương tự trên nhưng ở bước xấp xỉ tuyến tính (hoặc không tuyến tính khi xét một trường hợp riêng) thì được thực hiện theo nguyên lý ánh xạ co, thu được nghiệm duy nhất trên

toàn đoạn [0,T] Trường hợp tổng quát, chúng tôi thu được một dãy lặp hội tụ mạnh (cấp một) về nghiệm của bài toán trong các không gian hàm Sobolev có trọng thích hợp Để có được sự hội tụ và đánh giá sai số là cấp hai, chúng tôi đã xét một trường hợp riêng và xây dựng một dãy lặp phi tuyến Phần thứ hai chỉ ra một khai triển tiệm cận theo một tham số nhiễu xuất hiện ở các số hạng phi tuyến thuộc vế phải và vế trái của phương trình sóng đến một cấp phụ thuộc vào cấp của tính trơn của dữ kiện Kết quả nhận được tổng quát tương đối các kết quả trong [14, 33, 36, 37, 38] và được công bố trong [N5, N6], gửi công bố trong [N7]

Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chương chính (1-3), kết luận, danh mục các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo Kết quả chúng tôi thu được ở trên cho ba bài toán sẽ được trình bày lần lượt trong các chương Ì, 2 và 3 với nội dung tóm tắt như sau: Chương Ì trình bày một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii và định lý này được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân dạng Volterra Kết quả đạt được mạnh hơn những kết quả trước đó, điều này được minh họa bởi một ví dụ, đồng thời vẫn còn đúng trong trường hợp tổng quát Mặt khác, tính chất Hukuhara-Kneser của phương trình tích phân nói trên cũng được đề cập và một ví

dụ được nêu ra về phương trình có nhiều hơn hai nghiệm

Trong chương 2, áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder về sự loại trừ phi tuyến và nguyên lý ánh xạ co, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối

số chậm Cũng với phương pháp này, sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp và bài toán giá trị đầu cho phương trình đang xét cũng được nghiên cứu Đối với bài toán giá trị đầu, sự duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cũng được thiết lập và hơn nữa, với các điều kiện đã cho, tập nghiệm không chỉ khác rỗng, mà còn là tập compact và liên thông

Chương 3 xét bài toán giá trị biên-ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff Trước hết, bài toán được liên kết với một dãy quy nạp tuyến tính mà sự tồn tại nghiệm địa phương được chứng minh bằng phương pháp Galerkin, nguyên lý ánh xạ co và lý luận về tính compact thông dụng trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp Từ đó, tính giải được và giải được duy nhất của bài toán được thiết lập Tiếp theo, chúng tôi sẽ

đặt các điều kiện để thu được một thuật giải lặp cấp hai hội tụ Sau hết là khai triển tiệm cận theo tham số bé £ đến cấp N + 1 cho nghiệm yếu của bài toán

Toàn bộ các kết quả nêu ra trong luận án được công bố trong [N2-N6] và gửi công bố trong [N7, N8] Ngoài ra, các nội dung và phương pháp nghiên cứu của luận án cũng được thể hiện, vận dụng cho các phương trình dạng khác và đã được công bố trong [NI, N9, N10]

Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáo trong các hội nghị:

- Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin học ĐHSP Tp HOM, 22/12/2002

- The International Conference ôn Differential Equations and Applications, HCM City 25/08/2004

22 Hội nghị toàn quốc lần thứ hai về Ưng dụng Toán học, Hà Nội 2322 25/12/2005

CHƯƠNG 1:ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL'SKII VÀO

là tập hợp compact, liên thông Một ví dụ về phương trình (1-1.1) có nhiều hơn hai nghiệm cũng được nêu Cuối cùng, trong mục 1.6, một sự mở rộng của bài toán đang xét cũng được nghiên cứu Chúng tôi chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phương trình:

(1.1.2)

và với π(t) = t, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận đồng thời tính compact, liên thông của tập nghiệm của (1.1.2) cũng được trình bày Kết quả thu được là tổng quát hơn các kết quả tương ứng trong [4, 21]

Phần lớn nội dung của chương đã được công bố trong [N4], riêng kết quả về cấu trúc tập nghiệm thì được công bố trong [N3] như một trường hợp riêng và gửi công bố trong [N8]

1.2 Định lý điểm bất động kiểu KrasnosePskii

Các định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii, như ([3, Định lý K'"]) và ([21, Định lý 3]), là sự mở rộng của định lý Krasnosel'skii Một trong những hướng mở rộng định lý

Krasnosel'skii là thay thế không gian Banach bởi một không gian tổng quát hơn, chẳng hạn là không gian Fréchet Đó là không gian vectơ tôpô lồi địa phương X với tôpô được sinh ra bởi một metric ả bất biến qua một phép tịnh tiến và (X, d) là đầy đủ Một cách thuận lợi để xây dựng không gian Fréchet là dựa trên khái niệm nửa chuẩn [3, lo, 12, 60] Mỗi một không gian vectơ X với một họ nửa chuẩn |.|„ đếm được có tính chất: ∀x ∈ X, x ≠ 0,∃ n ∈ N*, |x|n ≠ 0,

sẽ là một không gian metric đầy đủ với

metric

và ta có [X,|.|n) là không gian Fréchet Trong không gian này, định lý Banach được phát biểu như sau:

Định lý Banach trong không gian Eréchet: ([3, Dinh lý B])

Cho (X, |.|n) là một không gian Fréchet, M ⊂ X đóng và U : M → M là ánh xạ co, nghĩa là:

Khi đó U có duy nhất một điểm bất động

Kết hợp hai định lý ([3, Định lý K'"]) và ([21, Định lý 3]), chúng tôi thu được định lý sau: Định lý 1.2.1 Giả sử (X, |.|n) là không gian Fréchet và U, C : X → X là hai toán tử thoa mãn các điều kiện sau:

(i) U là toán tử co, ứng với họ nửa chuẩn ||.||n tương đương với họ nửa chuẩn |.|n

(ii) C hoàn toàn liên tục nghĩa là C liên tục và biến các tập bị chặn thành tập compact tương đối

(iii)

Khi đó U + C có điểm bất động

Chứng minh định lý 1.2.1 Trước hết ta chú ý rằng, từ điều kiện (i), toán tử

(I — U)-1 được xác định và liên tục Hai họ nửa chuẩn ||.||n,|.|n tương đương nên tồn tại các số thực K1n, K2n > 0 sao cho

Suy ra

(a) Tập hợp {|x|n,x ∈ A) bị chặn khi và chỉ khi {||x||n,x ∈ A} bị chặn,

với A ⊂X,∀n∈ N*

; (b) Với mọi dãy (xm) trong X, với mọi n ∈ N*

, vì

nên (xm) hội tụ về X ứng với |.|n khi và chỉ khi (xm) hội tụ về x ứng với

|| ||n

Từ đó (ii) cũng được thoa mãn ứng với (X, || ||n) Mặt khác, ta cũng có:

Suy ra tương đương với

Bây giờ ta chứng minh U+C có điểm bất động

Với mỗi a ∈ X ta định nghĩa toán tử Ua : X → X bởi Ua(x) = U(x) + a Dễ thấy rằng Ua là toán tử co và do đó, với mỗi a ∈ X,Ua có duy nhất một điểm bất động, ký hiệu là (a), thế thì

Gọi U0 là điểm bất động của U Với mỗi x ∈ X, xét ở đây

Với mỗi n ∈ N* cố định, với mọi m ∈ N*, ta có

từ đó bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được với mọi ra ∈ N*,

(1.2.1)

trong đó Như đã nói ở trên, (iii) được thỏa mãn ứng với (X, ||.||n), nên với

số > 0, tồn tại ̃> 0, (ta chọn ̃ > ||u0||n) sao cho

Khi đó u0 ∈ D và D là tập con lồi đóng và bị chặn của X

Với mỗi X ∈ D và với mỗi n ∈ N*, ứng với hai trường hợp trên, ta thấy:

Nếu ||x-u0||n ≤ r1n thì bởi (1.2.1), (1.2.3) ta có

(1.24)

Nếu thì bởi (1.2.1), (1.2.2) ta lại có

(1.2.5)

Ta thu được ,(u0) ∈ D với mọi x ∈ D

Hơn nửa, do Uc(x) là toán tử co, dãy {u0) hội tụ về điểm bất động duy nhất ϕ (C(x) ) của

UC(x) , khi ra m→ ∞ , ta suy ra được ϕ(C(x)) ∈ D,∀x ∈ D) Như vậy, (I - U)-1 C(D) ⊂ D

Áp dụng định lý Schauder, toán tử (I — U)-1 C có điểm bất động trong D, đó cũng chính là điểm bất động của U + C trong D Định lý 1.2.1 được chứng minh □

1.3 Sự tồn tại nghiệm

Giả sử X = C(R+ ; E) là không gian gồm tất cả các hàm liên tục từ R+ vào E Trên X xét họ nửa chuẩn

Khi đó (x, |x|n) là không gian metric đầy đủ với metric

và (x, |x|n) là không gian Fréchet

Xét trên X một họ nửa chuẩn khác là ||x||n được định nghĩa như sau:

ở đây

n ∈ (0,n) và hn > 0 là các số tuy ý Hai họ nửa chuẩn |x|n, ||x||n là tương đương vì

Ta thiết lập giả thiết sau:

(A1) Tồn tại một hằng số L ∈ [0,1) sao cho

(A2) Tồn tại một hàm liên tục w1 : → R+ thỏa mãn

(A3) G là hoàn toàn liên tục sao cho G(t,.,.) : I J → E liên tục đều theo t trên mỗi đoạn bị chặn tuy ý của [0,00), với bất kỳ các tập bị chặn I⊂ [0, 00) và J ⊂ E: nghĩa là: Trên mỗi đoạn

bị chặn tuy ý của [0; ∞), với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho với mọi t1,t2 cùng thuộc đoạn

bị chặn đó,

(A4) Tồn tại một hàm liên tục 2 : ∆ → R+ sao cho

đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuy ý của

Định lý 1.3.1 Giả sử (A1) — (A4) đúng Khi đó phương trình (1.1.1) có ít nhất một nghiệm

trên [0,00)

Chứng minh định lý 1.3.1 Chứng minh gồm các bước 1 - 4

Bước 1 Trên X, xét phương trình

(1.3.1) Khi đó ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.3.2 Giả sử (A1) đúng Khi đó phương trình (1.3.1) có một nghiệm duy nhất

là ánh xạ co với hệ số co là L trên không gian Fréchet (X, |x|n) Áp dụng định lý Banach, Φ có duy nhất một điểm bất động ξ ∈ X Bồ đề được chứng minh

Bằng phép đổi biến X = y + ξ, ta có thể viết phương trình (1.1.1) dưới dạng

(1.3.2)

ở đây

y, ỹ ∈ X,

Do đó, tương tự như chứng minh của [4, Bổ đề 3.1 (2)], ta sẽ chứng minh được U là toán tử

kn—co, tương ứng với họ nửa chuẩn ||.||n Thật vậy, ta cố định một số nguyên dương tuy ý n

∈N*

Với mọi t ∈[0,γn] với γb ∈ (0, n) sẽ được chọn sau, ta có

ở đây

Suy ra

(1.3.3) Với mọi t ∈ [γn,n], tương tự, ta cũng có

thì kn < 1 Khi đó (1.3.6) dẫn đến U là toán tử kn-co tương ứng với họ nửa chuẩn ||.||n

Bước 3 Chứng minh C : X → X là hoàn toàn liên tục Trước hết, ta chứng tỏ C liên tục Với

mỗi y0 ∈ X, giả sử (ym)m là dãy trong X sao cho

Cố định n ∈ N* Đặt K = {(ym + )(s) : s ∈ [0,n],m ∈ N} Khi đó K là compact trong E Thật vậy, lấy ((ymi + ξ) (si))i là một dãy tuy ý trong K

Không mất tính tổng quát, có thể giả sử rằng và

Ta có

điều này chứng tỏ trong E Nghĩa là K

là compact trong E Với bất kỳ ε > 0, vì G liên tục trên tập compact [0, n] [0, n] K, nên tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi u, V ∈ K, |u — v| < δ,

Mặt khác nên có số nguyên dương m0 sao cho với mọi m > m0,

Suy ra rằng với mọi t [0, n), với mọi m > m0,

Nên | | , với mọi m > m0, và như thế tính liên tục của C được chứng minh Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng C ánh xạ mội tập bị chặn thành tập cpmpact tương đối Để kiểm tra một tập con của X là compact tương đối, chúng tôi xin nhắc lại điều kiện sau

Bổ đề 1.3.3 ([22, Mệnh đề 1])

Giả sử X = C(R+;E) là không gian Fréchet được định nghĩa như trên

và A là tập con của X Với mỗi n ∈ N*

, giả sử Xn = C([0,n]; E) là không gian Banach gồm tất

cả các hàm hên tục u : [0,n] → E, với chuẩn ||u|| =

∈ {|u(t)|} và An = {x|[0,n] : X ∈ A}

Tập hợp A trong X là compact tương đối nếu và chỉ nếu VỚI mọi n ∈ N*

, An đẳng hên tục trong Xn và vớt bất kỳ s ∈ [0,n], tập hợp An(s) = {x(s) : x ∈ An} compact tương đối trong E

Đây là mệnh đề được phát biểu trong [22] nhưng không được chứng minh chi tiết Chứng minh bổ đề 1.3.3 như sau, trong đó có sử dụng định lý Ascoli-Arzela ([26]):

Cho E là không gian Banach với chuẩn |.| và s là tập con compact của một không gian metric Giả sử CE ( ̃) là không gian Banach gồm tất cả các ánh xạ liên tục từ ̃vào E với chuẩn ||x|| — sup{|x(s)|, s ∈ S}

Tập hợp A trong CE( ̃) là tập compact tương đối khi và chỉ khi A đẳng liên tục và với mọi s ∈ ̃, tập hợp A(s) = {x(s) : x ∈ A) compact tương đối trong E

,An đẳng liên tục trong Xn và với mọi s G [0,n], tập hợp An(s) = {x(s) : x ∈ An} compact tương đối trong E Lấy (xk)k là một dãy tuy ý trong A

Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một dãy con hội tụ của (xk)k

Trong không gian Banach Xn = C([0, n} ; E), do An đẳng liên tục và với mọi s ∈ [0,n], An(s)

= {x(s) : x ∈ An} là compact tương đối trong E nên áp dụng định lý Ascoli-Arzela ([26]) ta có

An là tập compact tương đối trong Xn

Bởi tính duy nhất của giới hạn, ta dễ thấy rằng x2|[0,1]=x1 = X1

Với n = 1, vì A1 là tập compact tương đối trong không gian Banach X1 = C([0,1]; E) nên tồn nên tồn tại một dãy con của (xk)k, ký hiệu là ( )k sao cho

trong X1, khi k →

Với n = 2, cũng vì A2 là tập compact tương đối trong không gian Banach X2 = C([0,2];E) nên tồn tại một dãy con của (xk )k, ký hiệu là {xf )k sao cho

trong X2, khi k → tại một dãy con của (xk )k , được ký hiệu là sao cho

Bởi tính duy nhất của giới hạn, ta dễ thấy rằng x2|[0,1] =x1

Như thế ta đã có dãy con của (xk)k, sao cho

Suy ra, với mọi n ∈ N*

, bằng phương pháp quy nạp, ta có thể thiết lập được một dãy con của (xk)k sao cho

Đặt = Khi đó (yk)k là một dãy con của (xk)k và (yk)k hội tụ về x trong X, ở đây x được định nghĩa bởi

x(t) = xn (t), nếu t ∈ [0,n], ∀n ∈ N*

Chiều ngược lại là hiển nhiên và do đó bổ đề 1.3.3 được chứng minh xong Bây giờ, ta tiếp tục chứng minh bước 3 Giả sử Ω là một tập con bị chặn của X Ta phải chứng tỏ rằng với mỗi n ∈ N*

,

(a) Tập hợp (CΩ)n đẳng liên tục trong Xn

Đặt S = {(y +ξ )(s) : y ∈ Ω, s e [0, n]} Thì S bị chặn trong E Vì G hoàn toàn liên tục, tập hợp G([0, n]2 S) compact tương đối trong E và do đó G([0, n]2 S) bị chặn Nên có số

Mn > 0 sao cho

|G(t,s,(y + ξ)(s))|≤ Mn,∀t,s ∈ [0,n],∀y ∈ Ω (1.3.7) Với bất kỳ y ∈ Ω, với mọi t1, t2 ∈ [0, n],

(1.3.8)

Bởi giả thiết (A3) và (1.3.7), đánh giá (1.3.8) chứng tỏ rằng (CΩ)n đẳng liên tục trong Xn

(b) Với mọi t ∈ [0,n], tập hợp (CΩ)n (t) = đối trong

Theo trên, tập hợp G([0,n]2 X S) compact tương đối trong E, suy ra rằng G([0,n]2 x S) là compact trong E, nên conv G([0, n]2 X S) cũng là tập com-pact trong E, ở đây conv G([0, n]2

X S) là bao lồi đóng của G([0, n]2 X S) Với mọi t G [0, n], với mọi y ∈ Ω, ta suy ra từ

(1.3.12)

Từ đó, với mọi t ∈ [0, n],

(1.3.13)

compact tương

Suy ra rằng, nếu ta chọn μn > max{ ̃ | | } thì với |y|n > μn, ta có

(1.3.14)

Áp dụng định lý 1.2.1, toán tử U + C có một điểm bất động y trong X Suy ra phương trình (1.1.1) có ít nhất một nghiệm x = y + ξ trên [0, oo) Định lý 1.3.1 được chứng minh hoàn toàn □

1.4 Nghiệm ổn định tiệm cận

Nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) được định nghĩa như sau

Định nghĩa: Một hàm ξ được gọi là một nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) nếu với bất kỳ

Khi đó, áp dụng định lý 1.3.1, phương trình (1.1.1) có nghiệm trên [0, ∞) Mặt khác, nếu x là một nghiệm của (1.1.1) thì, như trong bước 1 của chứng minh định lý 1.3.1, y = x — ξ thỏa mãn phương trình (1.3.2) Suy ra rằng với mọi t ∈ R+,

Nhƣ vậy, nếu vế phải của (1.4.5) tiến đến 0 khi t → +00 thì ξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) Từ đó ta thu đƣợc kết quả sau về sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận:

Chứng minh định lý 1.4.1 Đƣợc suy ra từ chú ý 1.1 ở trên □

Chú ý 1.2 Điều kiện (1.4.6) nêu trên là hợp lý Chẳng hạn với các giả thiết sau thì điều kiện

Bởi (H3), ta cũng có

(1.4.8) dẫn đến

(1.4.9) Hơn nữa, từ (1.4.8), (H3)(iii) ta suy ra rằng

(1.4.10)

Mặt khác, bởi

và các giả thiết (H2), (H3)(iii), ta có

(1.4.11)

Vậy, từ (1.4.7), (1.4.9)-(1.4.11) ta có kết luận

= 0, được suy ra từ giả thiết H3(iii)1 : ∫ ds <+

Chú ý 1.4 Sau đây là ví dụ minh họa sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận

cho phương trình có dạng tổng quát hơn so với dạng phương trình trong [4, 21]

{|u(δ)|}

Xét phương trình (1.1.1) với các hàm được cho cụ thể như sau:

sao cho với mỗi x ∈ X = C(R+; E), với mọi t, s ≥ 0 (s ≤ t), ∀δ ∈ [0,1],

ở đây k < là một hằng số dương

Trước hết ta có chú ý rằng, với bất kỳ x,y ∈ X = C(R+; E), với mọi t,s≥0 (s ≤ t),∀δ ∈ [0,1],

Để trình bày một cách chi tiết hơn, chúng tôi sẽ chỉ ra một nghiệm x ( t ) của (1.1.1)

và xét tính ổn định tiệm cận của nghiệm này Xét X ∈ X = C (R+; E ) sao cho với

mọi t ∈ K+,

Ta có thể kiểm tra mà không khó khăn rằng hàm X được định nghĩa như trên là một nghiệm của (1.1.1) Ngoài ra,

Mặt khác, bởi

với mọi x , y ∈ X , với mọi t ∈ R+, ∀ξ ∈ [0,1], ta nhận được

với mọi n ∈ N* Như vậy, phương trình

có duy nhất một nghiệm ξ(t) ∈ X Đây là một nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) Rõ ràng,

∀δ ∈ [0, 1],

nên dẫn đến

1.5 Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm

Đây là tính chất của tập nghiệm đã xét trong [N3] cho phương trình tích phân xem như là một trường hợp riêng của (1.1.1), trong đó lý thuyết bậc tôpô của trường vectơ compact được vận dụng Với phương pháp tương tự, mục này đề cập đến tính Gompact, liên thông của tập nghiệm của phương trình (1.1.1) Kết quả thu được đã gửi công bố trong [N8] ơ đây, chúng tôi sẽ áp dụng định lý Krasnosel'skii - Perov và các bổ đề sau:

Định lý Krasnosel'skii - Perov:([25, tr.312]) Cho (E,|.|) là không gian Banach thực, D là tập

con mở và bị chặn của E với biên ∂D và bao đóng ̅

Giả sử T : ̅ → E là toán tử hoàn toàn hên tục thỏa các điều kiện:

(i) T không có điểm bất động trên ∂D và deg(I — T, D, 0) ≠ 0

(ii) Với mọi ε > 0, tồn tại một toán tử hoàn toàn liên tục Tε sao cho với mọi x ∈ ̅,

|T£(x) — T(x)| < ε và sao cho với mỗi h mà |h| < ε, phương trình X = Tε (x) + h có nhiêu nhất một nghiệm trên ̅

Khi đó tập các điểm bất động của T khác rỗng, compact và liên thông

Bổ đề 1.5.1 ([61, tr 49]) Giả sử M là tập con đóng khác rỗng của không gian metric X, Y là

một không gian đinh chuẩn và f : M → Y là toán tử liên tục Khi đó tồn tại một toán tử liến tục g : X → Y sao cho

(i) g(X) ⊂ cof(M), ở đây cof(M) là bao lồi của f{M);

(ii) g(x) = f(x),∀x ∈ M

Bổ đề 1.5.2 ([12, tr 53]) Giả sử E, F là các không gian Banach, D là một tập con mở của E

và f : D → F liên tục Khí đó với mỗi ε > 0, tồn tại một ánh xạ Lipschitz địa phương fε:D→F sao cho

và fe{D) là tập con của bao lồi đóng của f(D)

Ta có kết quả sau

[0, ∞) khác rỗng, compact và liên thông

(1.1.1) có nghiệm trên [0, oo) Vì vậy tập hợp nghiệm của phương trình (1.1.1) trên [0, ∞) khác rỗng

Ta biết rằng, nếu x là một nghiệm của (1.1.1) thì theo bước 1 của chứng minh định lý 1.3.1,

Bước 1 Tập hợp nghiệm của phương trình (1.5.1) trên mỗi đoạn [0,n] compact liên thông

được cố định, sử dụng các kết quả nhận được trong mục 1.3, ta

có U là toán tử kn- co, C là toán tử hoàn toàn liên tục trên Xn - C([0, n]; E), đây là không gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục từ [0,n] vào E với chuẩn ||.||n, tương đương với chuẩn |.|n thông thường như đã xét trong mục 1.3

Bằng các lập luận tương tự như trong chứng minh định lý 1.2.1, nhưng với một thay đổi nhỏ trong cách chọn tập Dn như sau

ứng với việc chọn r'2n sao cho ta sẽ được Dn là tập con lồi, mở và bị chặn của Xn với biên ∂Dn và bao đóng ̅n sao cho (I—U)-1 C( ̅n) ⊂ Dn Sau đó, áp dụng định

lý Schauder, (I — U)-1C có điểm bất động trong ̅n (nhưng hiển nhiên là không thuộc ∂Dn) Đặt T = (I — U)-1

C Mỗi điểm bất động của T cũng là điểm bất động của U + C và cũng chính là nghiệm của (1.5.1) trên [0, n] Vì thế, chứng minh của bước này sẽ hoàn thành nếu ta chứng minh được tập tất cả các điểm bất động của T là compact và liên thông

Sau đây, ta sẽ xét toán tử T : ̅n → Xn Rõ ràng T là toán tử hoàn toàn liên tục và không có điểm bất động trên ∂Dn

thì K* bị chặn trong E Nên bao đóng của K* cũng bị chặn trong E

Theo bổ đề 1.5.1, có ánh xạ liên tục G* là mở rộng của ánh xạ ra

[0, n]2 X E, ở đây H|A là ký hiệu ánh xạ thu hẹp của G trên A, sao cho

Áp dụng bổ đề 1.5.2, với ε > 0 được xét ở trên, có ánh xạ Lipschitz địa phương Gε trên [0, n]2 X E sao cho với mọi s, t ∈ [0, n], với mọi X ∈ E

(1.5.4)

và

Vì G hoàn toàn liên tục nên G ([0,n]2 ̅ ) là tập compact tương đối Suy ra

Gε ([0, n]2 E) compact tương đối Do đó Gε hoàn toàn liên tục Định nghĩa toán tử

Cε : Xn → Xn như sau:

(1.5.5)

và đặt

= ( I - U )- 1 (1.5.6) Khi đó Tε hoàn toàn liên tục

Từ (1.5.1), (1.5.4), (1.5.5) ta có, ∀y ∈ ̅n,∀t ∈ [0,n],

(1.5.7) Nên

dẫn đến

(1.5.8) Kết hợp (1.5.3), (1.5.8), ta được

y1(t) = y2(t), ∀t∈ [0,n] (1.5.11)

Rõ ràng

nên

suy ra

y1(0) = y2(0) (1.5.12) Đặt

(1.5.13)

Bởi (1.5.12), b ≥ 0 Thế thì 0 ≤ b ≤ n Ta cần chứng tỏ rằng b = n

Giả sử xảy ra b < n Vì Gε Lipschitz địa phương, nên có số r > 0 sao cho Gε là ánh xạ

Lipschitz với hằng số Lipschitz là ra trên [0,n]2 Br, ở đây Br = {z∈E: |z-y1 (b)|<r}

Các hàm y1,y2,ξ liên tục, do đó có ζ > 0 sao cho b + ζ ≤ n và y1(s) + ξ(s), y2(s) + ξ(s) ∈ Br

Perov, bước 1 được chứng minh

Bước 2 Tập hợp nghiệm của phương trình (1.5.1) trên [0,∞) compact, liên thông

Chứng minh Trước hết, ta chú ý rằng nếu y(t) là một nghiệm của (1.5.1) trên [0,∞) thì

y|[0,n](t) là một nghiệm của (1.5.1) trên [0,n], với mọi n ∈ N* Mặt khác, với mọi n ∈ N*

, với mỗi nghiệm yn của (1.5.1) trên [0,n], ta luôn chỉ ra được một nghiệm y* của (1.5.1) trên [0,∞) sao cho y*|[0,n] = yn Thật vậy, ta xét phương trình

(1.5.15)

Áp dụng định lý 1.2.1, với lập luận tương tự như trong chứng minh định lý 1.3.1, ta chứng minh được (1.5.15) có một nghiệm y(t) trên [n, ∞) Định nghĩa y* : [0,∞) → E bởi

Rõ ràng, y* là một nghiệm của (1.5.1) trên [0,∞) và y*|[0,n] = yn

Gọi s là tập nghiệm của (1.5.1) trên [0,∞) Ta đã có S khác rỗng cần chứng minh S compact

và liên thông, ơ đây ta chỉ xét tập S sao cho với mỗi n ∈ N*

, tập hợp Sn = {y| [0,n] : y ∈ S} ⊂

̅n với ̅n được xác định như ở bước 1 Điều này cũng có nghĩa là phương trình (1.5.1) được xét trên miền xác định là D = ⋂ ∈ ̅̅̅̅

Theo bước 1, Sn compact và liên thông trên Xn = C([0,n]; E) Sử dụng bổ đề 1.3.3,

do Sn compact trên Xn với mọi n ∈ N*

, ta có S là compact tương đối trong X = C([0,∞); E) Hơn thế nữa S đóng Thật vậy, giả sử {yk} là một dãy trong s hội tụ về y0) khi k → ∞, khi đó

yk|[0,n] → y0|[0,n]- Vì yk|[0,n] ∈ Sn và Sn compact, ta thu được y0|[0,n] ∈ Sn Suy ra, y0 ∈ S Từ

đó S là tập compact

Ta chỉ còn phải chứng minh S liên thông

Giả sử S không liên thông Khi đó có hai tập Sa, Sb khác rỗng, compact và rời nhau sao cho

s = Sa ∪ Sb Đặt

Rõ ràng với mọi n ∈ N*, khác rỗng và Sn =

Mặt khác và là hai tập đóng Ta kiểm tra tính chất này như sau:

Giả sử {yk} là một dãy trong hội tụ về y0, khi k → ∞ Tương ứng, ta sẽ có một dãy { }

trong Sa sao cho |[0,n] = yk Do Sa compact, tồn tại một dãy con { .} của { } sao cho

hội tụ về y trong Sa Điều này dẫn đến khi i → ∞ Suy ra y0 =

Thế thì đóng Tương tự, đóng

Hơn nữa, từ các tính chất nói trên của Sa

, Sb và tính liên tục của hàm d(x, y), tồn tại y0a ∈ Sa

, y0b ∈ Sb

sao cho

Do đó, từ định nghĩa của metric d(x, y) như trong mục 1.3, ta suy ra tồn tại n0 ∈ N* sao cho

có giao bằng rỗng Như thế Sn0 không là tập liên thông, vô lý Bước 2 được chứng minh Như

vậy, định lý 1.5.3 được chứng minh hoàn toàn □

Chú ý 1.5 Từ chứng minh của định lý 1.5.3 ta thấy rằng nếu cho thêm giả thiết G là

Lipschitz địa phương thì (1.1.1) có duy nhất nghiệm

Chú ý 1.6 Chúng tôi trình bày một ví dụ thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.5.3 và có ít

nhất hai nghiệm, ở đây G không phải là Lipschitz địa phương Trong trường hợp này có một

continuum các nghiệm khác nhau của (1.1.1) chứa hai nghiệm đã cho

Khi đó (1.1.1) có dạng:

Rõ ràng, do phương trình có ít nhất

hai nghiệm X1, X2 với