Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương trình

Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-

LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 1 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2007

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

W X

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS LÊ HOÀN HOÁ

Phản biện 1: GS TSKH PHẠM KỲ ANH

Trường Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội

Phản biện 2: GS TSKH NGUYỄN CANG

Đại học Quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh

Phản biện 3: PGS TSKH ĐỖ HỒNG TÂN

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nước họp tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

vào lúc giờ ngày tháng năm 2007

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

- Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh

- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của Giải tích,với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912),Banach (1922), Schauder (1930) Đây là một lý thuyết phong phú, đa dạng bao gồmnhiều định lý điểm bất động của các ánh xạ như ánh xạ co, nén, ánh xạ không giãn,ánh xạ tăng, v.v., cùng nhiều mở rộng của các nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ

đa trị, với sự phát triển không ngừng trong mối liên hệ chặt chẽ với nguyên lý biếnphân Ekland, lý thuyết KKM, lý thuyết bậc tôpô, v.v Chính từ sự phát triển đó

mà lý thuyết điểm bất động luôn được xem là công cụ quan trọng trong việc nghiêncứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ vật lý học, hoáhọc, sinh học, cơ học Việc ứng dụng lý thuyết này để chứng minh tồn tại nghiệmcủa các phương trình vi phân và tích phân được mở đầu bằng những kết quả nổitiếng của Picard và Peano vào cuối thế kỷ 19, trong đó xét bài toán Cauchy chophương trình vi phân với vế phải thoả mãn điều kiện Lipschitz (định lý Picard)hoặc điều kiện liên tục (định lý Peano) Ứng với hai bài toán vừa nêu, hai định lýđiểm bất động Banach và Schauder thật sự là công cụ hữu hiệu Kết hợp hai định

lý đó, Krasnosel’skii đã chứng minh định lý Krasnosel’skii và từ đó các định lý điểmbất động kiểu Krasnosel’skii được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều công trình,như [Avramescu, Electronic J Qualitative Theory of Diff Equat., 5 (2003), 1-15],[Hoá, Schmitt, Results in Math., 25 (1994), 290-314] Áp dụng định lý Schauder,Leray và Schauder đã chứng minh các định lý điểm bất động kiểu Leray-Schauder,trong đó nguyên lý loại trừ là công cụ quan trọng để thiết lập các nguyên lý tồntại nghiệm của một số bài toán giá trị biên [Donal O’Regan, Theory of singularboundary problems, 1994]

Ý nghĩa quan trọng của các định lý điểm bất động trong ứng dụng đã được trìnhbày ở nhiều tài liệu, như [Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applica-tions I], và được thể hiện qua nhiều công trình nghiên cứu của nhiều tác giả như:Avramescu, Burton, Liu, Raffoul, Sehie Park, Đ H Tân (nguồn MathSciNet), v.v.,trong đó các tác giả hoặc nghiên cứu sâu sắc về lý thuyết điểm bất động, hoặc đãvận dụng các định lý điểm bất động để giải các bài toán đặt ra Còn có thể tìm thấynhiều công trình khác đăng trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước đã sử dụngphương pháp điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm của các phương trình

Để dễ truy cập, chúng tôi xin nêu các bài số 06/2000, 24/2001, 71/2002, 04/2003,22/2004, 79/2005, hay 3, 8, 19, 21, 22, 24 thuộc Vol 2006, trong "Electronic J Dif-ferential Equations" làm ví dụ, ở đó các định lý ánh xạ co, định lý Schauder, định

lý Krasnosel’skii trên một nón, định lý Darbo, v.v., được áp dụng Ngoài ra, còn cócác tạp chí chuyên về lĩnh vực này mới được xuất bản gần đây, như "Fixed PointTheory and Applications" năm 2004 của nhà xuất bản Hindawi, "Journal of FixedPoint Theory and Applications" năm 2007 của nhà xuất bản Springer

Chính vì vậy, đề tài luận án của chúng tôi nghiên cứu là cần thiết và có ý nghĩa

về mặt lý thuyết và áp dụng

Trong luận án này, chúng tôi áp dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lýluận về tính compact thông dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm và các vấn đề liênquan đến nghiệm cho ba bài toán thuộc lý thuyết phương trình tích phân, vi phân

và đạo hàm riêng sau đây: Bài toán liên quan đến phương trình tích phân phi tuyếndạng Volterra; Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân hàmcấp hai có đối số chậm; Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứatoán tử Kirchhoff trên màng tròn đơn vị

Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chương chính (1-3), kết luận, danhmục các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo Kết quả chúng tôithu được cho ba bài toán nêu trên sẽ được trình bày lần lượt trong các chương 1, 2

và 3 với nội dung tóm tắt như sau:

Chương 1 trình bày một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii và định lý nàyđược áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệmcận của phương trình tích phân dạng Volterra Kết quả đạt được mạnh hơn nhữngkết quả trước đó, điều này được minh họa bởi một ví dụ, đồng thời vẫn còn đúngtrong trường hợp tổng quát Mặt khác, tính compact, liên thông của tập nghiệmcủa phương trình tích phân nói trên cũng được đề cập và một ví dụ được nêu ra vềphương trình có ít nhất hai nghiệm, khi đó sẽ có một lực lượng continuum của cácnghiệm chứa hai nghiệm này

Trong chương 2, áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder và nguyên lý ánh

xạ co, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liêntục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phương trình vi phân hàm cấp hai cóđối số chậm Cũng với phương pháp này, sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biênvới điều kiện biên hỗn hợp và bài toán giá trị đầu cho phương trình đang xét cũngđược nghiên cứu Đối với bài toán giá trị đầu, sự duy nhất nghiệm, sự phụ thuộcliên tục của nghiệm cũng được thiết lập và hơn nữa, với các điều kiện đã cho, tậpnghiệm không những khác rỗng, mà còn là tập compact và liên thông

Trong chương 3, sử dụng một hệ quả của nguyên lý ánh xạ co và phương phápxấp xỉ Galerkin, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bàitoán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff đồng thờixây dựng được dãy lặp tuyến tính (hoặc phi tuyến) hội tụ mạnh cấp một ( hoặc cấphai) về nghiệm đó trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp Ngoài ra, mộtkhai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số nhiễu xuất hiện trong số hạngKirchhoff ở vế trái và số hạng phi tuyến ở vế phải của phương trình sóng đến mộtcấp phụ thuộc vào cấp của tính trơn của dữ kiện cũng được chỉ ra

Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong [N2-N6] và gửi công bốtrong [N7, N8] Ngoài ra, các nội dung và phương pháp nghiên cứu trong luận áncũng được thể hiện và vận dụng cho các phương trình dạng khác trong [N1, N9,N10] Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáo trongcác hội nghị: - Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin học ĐHSP Tp HCM, 22/12/2002,

- The International Conference on Diff Equat and Appl., HCM City 22-25/08/2004,

- Hội nghị toàn quốc lần thứ hai về Ứng dụng Toán học, Hà Nội 23-25/12/2005

Chương 1

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL’SKII VÀO PHƯƠNG TRÌNH

TÍCH PHÂN1.1 Giới thiệu

Trong chương này, chúng tôi xét phương trình tích phân Volterra phi tuyến:x(t) = q(t) + f (t, x(t)) +

Z t 0

V (t, s, x(s))ds +

Z t 0G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+, (1.1.1)

ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|, R+ = [0, ∞), q : R+ → E; f : R+× E →E; G, V : ∆ × E → E được giả sử là liên tục và ∆ = {(t, s) ∈ R+× R+, s ≤ t} Đây

là bài toán tổng quát hoá các bài toán đã được nghiên cứu bởi Hoá-Schmitt (1994),với f = 0, V (t, s, x) = V (s, x), và Avramescu-Vladimirescu (E J Diff Equat., 2005,

126, 1-10), với E = Rd và hàm V (t, s, x) tuyến tính theo biến thứ ba

Chương 1 gồm 6 mục Trong mục 1.2, một định lý điểm bất động kiểu nosel’skii được chứng minh Áp dụng định lý này, các mục 1.3, 1.4 nghiên cứu sựtồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) Trong mục 1.5,với giả thiết như ở mục 1.3, tập nghiệm của (1.1.1) được chứng tỏ là tập compact,liên thông Các ví dụ minh hoạ đã được nêu Cuối cùng, trong mục 1.6, một sự mởrộng của bài toán đang xét cũng được nghiên cứu Chúng tôi chứng tỏ sự tồn tạinghiệm của phương trình:

Kras-x(t) = q(t) + f (t, Kras-x(t), x(π(t))) +

Z t 0

V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds+

Z t 0G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+,

Định lý 1.2.1 Giả sử (X, |.|n) là không gian Fréchet và U, C : X → X là hai toán

tử thoả mãn các điều kiện:

(i) U là toán tử co, ứng với họ nửa chuẩn ||.||n tương đương với họ nửa chuẩn |.|n

(ii) C hoàn toàn liên tục nghĩa là C liên tục và biến các tập bị chặn thành tậpcompact tương đối.

(iii) lim

|x| n →∞

|Cx| n

|x| n = 0, ∀n ∈ N∗.Khi đó U + C có điểm bất động

γn ∈ (0, n) và hn > 0 là các số tuỳ ý Hai họ nửa chuẩn |x|n, ||x||n là tương đương

Ta thiết lập các giả thiết sau:

(A1) Tồn tại hằng số L ∈ [0, 1) sao cho

|f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R+.(A2) Tồn tại hàm liên tục ω1 : ∆ → R+ thoả mãn

|V (t, s, x) − V (t, s, y)| ≤ ω1(t, s)|x − y|, ∀x, y ∈ E, ∀(t, s) ∈ ∆

(A3) G là hoàn toàn liên tục sao cho G(t, , ) : I × J → E liên tục đều theo t trênmỗi đoạn bị chặn tuỳ ý, với bất kỳ các tập bị chặn I ⊂ [0, ∞) và J ⊂ E; nghĩalà: Trên mỗi đoạn bị chặn tuỳ ý của [0, ∞), với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, saocho với mọi t1, t2 cùng thuộc đoạn bị chặn đó,

|t1 − t2| < δ ⇒ |G(t1, s, x) − G(t2, s, x)| < ε, ∀(s, x) ∈ I × J

(A4) Tồn tại hàm liên tục ω2 : ∆ → R+ sao cho lim|x|→∞ |G(t,s,x)|−ω2 (t,s)

|x| = 0,đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuỳ ý của ∆

Định lý 1.3.1 Giả sử (A1) − (A4) đúng Khi đó phương trình (1.1.1) có ít nhấtmột nghiệm trên [0, ∞)

(ii) Nếu có một hàm eξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) thì mọi nghiệm x của(1.1.1) đều là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1).

Trong mục này, giả sử (A1) − (A4) đúng và giả sử thêm các điều kiện

t

0 b(s)ds

Z t 02e−R

ω1(t, s) + ω4(t, s)|ξ(s)|ds + 1

1 − L

Z t 0

ω3(t, s)ds,

b(t) = 2

(1 − L)2

Z t 0

Chú ý 1.4 Chúng tôi xin nêu ví dụ minh hoạ về sự tồn tại nghiệm và tồn tạinghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) trong đó f 6= 0, V (t, s, x) không tuyến tínhtheo biến thứ ba và E là không gian Banach tổng quát, cho thấy kết quả đạt đượcmạnh hơn kết quả trước đó

Ví dụ Giả sử E = C([0, 1]; R) với chuẩn thông thường |u|E = sup

ζ∈[0,1]

{|u(ζ)|}

Xét phương trình (1.1.1) với các hàm q, f, V, G được cho như sau:

Với mỗi x ∈ X = C R+; E
, với mọi t, s ≥ 0 (s ≤ t), ∀ζ ∈ [0, 1],

1.5 Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm

Tính chất này của tập nghiệm đã được xét trong [N3] cho phương trình tíchphân xem như là một trường hợp riêng của (1.1.1), trong đó lý thuyết bậc tôpô củatrường vectơ compact được vận dụng Với phương pháp tương tự, mục này đề cậpđến tính compact, liên thông của tập nghiệm của phương trình (1.1.1) Áp dụngđịnh lý Krasnosel’skii - Perov và các bổ đề 1.5.1, 1.5.2, chúng tôi chứng minh định

lý 1.5.3 Kết quả thu được đã gửi công bố trong [N8]

Định lý Krasnosel’skii - Perov:(Krasnosel’skii, Zabreiko, Geometrical Methods

of Nonlinear Analysis, 1984)

Cho (E, | · |) là không gian Banach thực, D là tập con mở và bị chặn của E vớibiên ∂D và bao đóng D Giả sử T : D → E là toán tử hoàn toàn liên tục thoả cácđiều kiện:

(i) T không có điểm bất động trên ∂D và deg(I − T, D, 0) 6= 0

(ii) Với mọi ε > 0, tồn tại toán tử hoàn toàn liên tục Tε sao cho |Tε(x) − T (x)| < ε,với mọi x ∈ D, và sao cho với mỗi h mà |h| < ε, phương trình x = Tε(x) + h cónhiều nhất một nghiệm trên D

Khi đó tập hợp các điểm bất động của T là khác rỗng, compact và liên thông

Bổ đề 1.5.1 (Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, I, 1986)Giả sử M là tập con đóng khác rỗng của không gian metric X, Y là một không gianđịnh chuẩn và f : M → Y là toán tử liên tục Khi đó tồn tại một toán tử liên tục

g : X → Y sao cho

(i) g(X) ⊂ cof (M ), ở đây cof (M ) là bao lồi của f (M );

(ii) g(x) = f (x), ∀x ∈ M

Bổ đề 1.5.2 (Deimling, Nonlinear Functional Analysis, 1985) Giả sử E, F là cáckhông gian Banach, D là một tập con mở của E và f : D → F liên tục Khi đó vớimỗi ε > 0, tồn tại một ánh xạ Lipschitz địa phương fε : D → F sao cho

|f (x) − fε(x)| < ε, ∀x ∈ D

và fε(D) là tập con của bao lồi đóng của f (D)

Định lý 1.5.3 Giả sử (A1) − (A4) đúng Khi đó tập hợp nghiệm của phương trình(1.1.1) trên [0, ∞) khác rỗng, compact và liên thông

Chú ý 1.5 Từ chứng minh của định lý 1.5.3 ta suy ra rằng nếu cho thêm giả thiết

G là Lipschitz địa phương thì (1.1.1) có duy nhất nghiệm

Chú ý 1.6 Chúng tôi trình bày một ví dụ thoả các điều kiện của định lý 1.5.3 và

có ít nhất hai nghiệm, ở đây G không là Lipschitz địa phương Trong trường hợpnày có một continuum các nghiệm khác nhau của (1.1.1) chứa hai nghiệm đã cho

Ví dụ Cho E = R Xét phương trình (1.1.1), trong đó q(t) = 0; V (t, s, x) = −32x;G(t, s, x) = x13; f (t, x) =

V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds+

Z t 0G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+,

(1.6.1)

ở đây q : R+ → E; bf : R+× E × E → E; G, V : ∆ × E × E → E là các hàm liêntục và ∆ = {(t, s) ∈ R+× R+, s ≤ t}, đồng thời các hàm số π, σ, χ : R+ → R+ cũng

là các hàm liên tục Ta thành lập các giả thiết:

(I1) Tồn tại một hằng số L ∈ [0, 1) sao cho

| bf (t, x, u) − bf (t, y, v)| ≤ L

2 |x − y| + |u − v|
, ∀x, y, u, v ∈ E, ∀t ∈ R+.(I2) Tồn tại hàm liên tục ω1 : ∆ → R+ sao cho

|V (t, s, x, u)−V (t, s, y, v)| ≤ ω1(t, s) |x−y|+|u−v|
, ∀x, y, u, v ∈ E, ∀(t, s) ∈ ∆

(I3) G hoàn toàn liên tục sao cho G(t, , , ) : I × J1 × J2 → E liên tục đều theo

t trên mọi đoạn bị chặn tuỳ ý, với bất kỳ các tập con bị chặn I ⊂ [0, ∞) và

J1, J2 ⊂ E

(I4) Tồn tại một hàm liên tục ω2 : ∆ → R+ sao cho lim|x|+|u|→∞ |G(t,s,x,u)|−ω2 (t,s)

|x|+|u| = 0,đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuỳ ý của ∆

(I5) 0 ≤ π(t) ≤ t, 0 ≤ σ(t) ≤ t, 0 ≤ χ(t) ≤ t, ∀t ∈ R+

Định lý 1.6.1 Giả sử (I1) − (I5) đúng Khi đó (1.6.1) có nghiệm trên [0, ∞)

Tiếp theo, ta xét sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.6.1) được định nghĩanhư trong mục 1.4 Ở đây, giả sử (I1) − (I5) đúng và giả sử thêm

t

0 p(s)ds

Z t 02e−R

ω1(t, s) + ω4(t, s)+ ω1(σ(t), s) + ω4(σ(t), s) + ω1(χ(t), s) + ω4(χ(t), s)2ds,e(t) =

h

ω3(t, s)ds + ω3(σ(t), s) + ω3(χ(t), s)

ids,

Khi đó tồn tại hàm ξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.6.1) Hơn nữa mọi nghiệmcủa (1.6.1) cũng là nghiệm ổn định tiệm cận

Cuối cùng, ta cũng có kết quả sau đây về cấu trúc tập nghiệm của (1.6.1)

Định lý 1.6.3 Giả sử (I1) − (I6) đúng Khi đó tập hợp nghiệm của phương trình(1.6.1) trên [0, ∞) khác rỗng, compact và liên thông

? Ta có lưu ý rằng định lý Krasnosel’skii -Perov là một công cụ mạnh để nghiêncứu đặc trưng tôpô của tập nghiệm trong trường hợp tổng quát Tuy nhiên nó chưa

đủ tinh để nhận được các tính chất đẹp hơn như tính liên thông đường, liên thôngđường gấp khúc hoặc tính lồi của tập nghiệm trong trường hợp cụ thể

Chương 2

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU LERAY-SCHAUDER VÀ NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ

CO VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CẤP HAI CÓ CHẬM

2.1 Giới thiệu

Giả sử C = C [−r, 0]; R), với r > 0 cho trước, là không gian Banach gồm tất cảcác hàm liên tục φ : [−r, 0] → R, với chuẩn ||φ|| = sup{|φ(θ)| : −r ≤ θ ≤ 0} Vớimỗi hàm liên tục u : [−r, 1] → R và với mỗi t ∈ [0, 1], ta ký hiệu ut để chỉ một phần

tử thuộc C được xác định bởi ut(θ) = u(t + θ), θ ∈ [−r, 0] Xét phương trình vi phânhàm cấp hai có đối số chậm sau

u00 + f (t, ut, u0(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, (2.1.1)

ở đây f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục, với một trong những điều kiện biên

u0 = φ, u(1) = α[u0(η) − u0(0)], (2.1.3)hoặc với điều kiện đầu

trong đó φ ∈ C, 0 < η < 1, α ∈ R

Các bài toán này là sự tổng quát hoá bài toán ba điểm biên được nghiên cứu bởi

Ma (1998) và Sun (2004), trên cơ sở các bài toán ba điểm biên và hai điểm biênđược nghiên cứu bởi Ntouyas (1995) và Zhang (1995)

Chương 2 gồm có 5 mục Mục 2.2 trình bày các ký hiệu và các kiến thức chuẩn bị

Áp dụng định lý của Leray-Schauder "Nonlinear alternative", các định lý về sự tồntại nghiệm của bài toán ba điểm biên (2.1.1)-(2.1.2) được trình bày trong mục 2.3.Ngoài ra, tính duy nhất nghiệm - dựa trên nguyên lý ánh xạ co và sự phụ thuộcliên tục của nghiệm cũng được thiết lập Các mục 2.4, 2.5 được xem như là một ápdụng của các phương pháp đã sử dụng trong các chứng minh của mục 2.3, ở đâychúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.1.1) với điều kiện biênhỗn hợp (2.1.3) hoặc với một điều kiện đầu (2.1.4) Đối với bài toán giá trị đầu(2.1.1)-(2.1.4), sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cũng đượcxét Từ đó, áp dụng định lý Krasnosel’skii - Perov, tập nghiệm của bài toán giá trịđầu được chứng tỏ là khác rỗng, compact và liên thông Toàn bộ các kết quả củachương đã được công bố trong [N2]

2.2 Các kiến thức chuẩn bị.

Chứng minh trong các mục tiếp theo cần đến định lý và các bổ đề sau:

Định lý 2.2.1 (" Leray-Schauder nonlinear alternative ") Cho E là không gianBanach, Ω là một tập con mở và bị chặn của E với 0 ∈ Ω Giả sử T : Ω → E làtoán tử hoàn toàn liên tục Khi đó, hoặc tồn tại x ∈ ∂Ω sao cho T x = λx, với một

số λ nào đó mà λ > 1, hoặc T có một điểm bất động x ∈ Ω

Bổ đề 2.2.2 [Ma] Cho trước η ∈ (0, 1) và giả sử y ∈ C[0, 1] Khi đó bài toán

u00 + y(t) = 0, t ∈ (0, 1),u(0) = 0, u(1) = u(η),

có một nghiệm duy nhất được cho bởi:

(η − s)y(s)ds+ t

1 − η

Z 1 0(1−s)y(s)ds, t ∈ [0, 1]

Bổ đề 2.2.3 Cho trước η ∈ (0, 1) và α, β ∈ R Giả sử y ∈ C[0, 1] Khi đó bài toángiá trị biên hỗn hợp

u00 + y(t) = 0, t ∈ (0, 1),u(0) = 0, u(1) = α(u0(η) − u0(0)) + β,

có một nghiệm duy nhất được cho bởi:

u(t) = −

Z t 0(t − s)y(s)ds − αt

Z η 0y(s)ds + βt + t

Z 1 0(1 − s)y(s)ds, t ∈ [0, 1]

Bổ đề 2.2.4 Giả sử y ∈ C[0, 1] Khi đó bài toán giá trị đầu

u00 + y(t) = 0, 0 < t ≤ 1,u(0) = 0, u0(0) = 0,

có một nghiệm duy nhất cho bởi: u(t) = −R0t(t − s)y(s)ds, t ∈ [0, 1]

Chứng minh các bổ đề này không khó khăn, trong đó bổ đề 2.2.2 được nêu trong[Ma, Electronic J Diff Equat., 1998, 34, pp 1-8]

2.3 Khảo sát bài toán giá trị biên 3 điểm có đối số chậm (2.1.1)-(2.1.2)

Định lý 2.3.1 Cho f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục Giả sử có các hàm sốkhông âm p, q, r ∈ L1[0, 1] sao cho

(H1) |f (t, u, v)| ≤ p(t)kuk + q(t)|v| + r(t), ∀(t, u, v) ∈ [0, 1] × C × R,

(H2) 2−η1−ηR01(1 − s)p(s)ds + 1−η1 R0η(η − s)p(s)ds < 1,

(H3) R01[p(s) + q(s)]ds +1−η1 R01(1 − s)[p(s) + q(s)]ds +1−η1 R0η(η − s)[p(s) + q(s)]ds < 1

Khi đó bài toán giá trị biên (2.1.1)-(2.1.2) có ít nhất một nghiệm.

Định lý 2.3.2 Cho f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục Giả sử có các hàm sốkhông âm p, q, r ∈ L1[0, 1] và các hằng số thực k, l ∈ [0, 1] sao cho (H2) đúng và( ˜H1) |f (t, u, v)| ≤ p(t)kukk + q(t)|v|l + r(t), ∀(t, u, v) ∈ [0, 1] × C × R,

( ˜H3) Q(k)A2 + Q(l)B2 < 1,

ở đây

A2 =

Z 1 0

p(s)ds + 1

1 − η

Z 1 0

(1 − s)p(s)ds + 1

1 − η

Z η 0(η − s)p(s)ds,

B2 =

Z 1 0

q(s)ds + 1

1 − η

Z 1 0

(1 − s)q(s)ds + 1

1 − η

Z η 0(η − s)q(s)ds,

và Q(µ) =

(

0, 0 ≤ µ < 1,

1, µ = 1

Khi đó bài toán giá trị biên (2.1.1) − (2.1.2) có ít nhất một nghiệm

Định lý 2.3.3 Giả sử f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục và thoả mãn điềukiện Lipschitz trên [0, 1] × C × R như sau:

|f (t, u, v) − f (t,u,e ev)| ≤ θ(ku −euk + |v −ev|),với θ là hằng số không âm

Nếu 2(1 + 1−η2 )θ < 1, thì bài toán (2.1.1)-(2.1.2) có nghiệm duy nhất

Chú ý rằng định lý 2.3.3 vẫn còn đúng đối với bài toán giá trị biên

ở đây L là hằng số không âm

Định lý 2.3.4 Giả sử f : [0, 1] × C × R × R → R là hàm liên tục Nếu (2.3.2)-(2.3.4) đúng thì nghiệm của bài toán (2.3.1) phụ thuộc liên tục vào λ