Định lí điểm bất động trong không gian g metric đầy đủ

Lí do chọn đề tài Như đã biết, nguyên lí điểm bất động đã được Banach phát biểu và chứng minh từ năm 1922 là một trong những định lý quan trọng nhất của giải tích hàm cổ điển.. Trong cá

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

LÊ THỊ TRANG

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu trong luận văn là trung thực Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Tác giả

Lê Thị Trang

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Tác giả

Lê Thị Trang

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảmơn ii

Mục lục iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Bố cục của luận văn 2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHÔNG GIAN G METRIC 3

1.1 Không gian G Metric 3

1.2 Một số tính chất cơ bản 4

1.3 Tôpô của không gian G Metric 7

1.4 Sự hội tụ trong không gian G metric 9

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G METRIC ĐẦY ĐỦ 13

2.1 Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian G metric 13

2.2 Định lý điểm bất động trong không gian G metric đầy đủ 14

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Như đã biết, nguyên lí điểm bất động đã được Banach phát biểu và chứng minh từ năm 1922 là một trong những định lý quan trọng nhất của giải tích hàm cổ điển Nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động đóng một vai trò rất quan trọng bởi vì nó tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực quan trọng như phương trình vi phân, vận trù học, toán kinh tế Trong các nghiên cứu về sau, các tổng quát khác nhau về không gian metric đã được đưa ra bởi một số nhà

toán học như Gahler [3] (không gian 2 – metric) và Dhage [2] (không gian D –

metric) Năm 2004, Mustafa và Sims [6] đã chỉ ra rằng hầu hết các kết quả liên quan đến các tính chất tôpô của D metric là không chính xác Để sửa chữa những hạn chế này, họ đã đưa ra một khái niệm mới, thích hợp hơn, được gọi là

G metric Đồng thời, Mustafa và các cộng sự ([7-8]) đã nghiên cứu một số định lí điểm bất động đối với các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co khác nhau trên không gian G metric Việc tổng quát hóa một số kết quả của Mustafa, đã được thực hiện bởi S.K Mohanta [4] Trong đó tác giả đã chứng minh một số định lí điểm bất động trong không gian G metric đầy đủ

Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Định lý điểm bất

động trong không gian G metric đầy đủ”

Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu và trình bày một số kết quả về điểm bất động trên các không gian G metric đầy đủ

3 Phương pháp nghiên cứu

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [4] và [9], gồm 40trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống một vài tính chấtcủaG

metric,tôpô của không gian G metric, sự hội tụ trong không gian G metric

và ánh xạ liên tục trong không gian G metric

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại chi tiết các kết quả nghiên cứu của S.K Mohantavề điểm bất động trong không gian G

metric đầy đủ

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHÔNG GIAN G METRIC

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm về G metric trên một tập E và một số tính chất cơ bản của nó

1.1 Không gian G Metric

Năm 2004, Mustafa và Sims [6] đưa ra một khái niệm mới là không gian

G metric, đồng thời chomột số ví dụ về không gian G metric và một số tính chất của nó Tác giả đã chỉ ra rằng các không gian G metric được trang

bị tôpô Hausdorff, cho phép chúng ta xem xét một số khái niệm tôpô như dãy hội tụ, dãy Cauchy, ánh xạ liên tục, tính đầy đủ

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian G metric là cặp ( , )E G , trong đó E là một tập khác rỗng và G E: 3 là một hàm sao cho với mọi r s t a E , , , , các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

Hàm G như trên được gọi là một G metric trên E

Các tính chất trên có thể được giải thích dễ dàng theo nghĩa của không gian metric Cho ( , )E d là một không gian metric và G E: 3 là hàm số được xác định bởi

G r s t d r s d r t d s t với mọi r s t E , , Khi đó ( , )E G là một không gian G metric Trong trường hợp này, G r s t( , , )

G

nghĩa là với một điểm ta khơng thể cĩ chu vi dương, và (G2) tương đương với khoảng cách giữa hai điểm khác nhau khơng thể bằng 0 Hơn nữa, vì chu vi của một tam giác khơng phụ thuộc vào thứ tự các đỉnh của nĩ, nên ta cĩ (G4).Cuối cùng,(G5) là mở rộng của bất đẳng thức tam giác sử dụng một đỉnh thứ tư

Ví dụ 1.1.2 Mỗi tập E khác rỗng cĩ thể được trang bị mộtG metric rời rạc, được xác định với mọi r s t E , , , bởi

0,( , , )

1,

nếu r s t

G r s t

trong các trường hợp khác

Ví dụ 1.1.3 Nếu G là G metric trên E thì G :E3 [0, ) xác định bởi

( , , )( , , )

Một trong những tính chất hữu ích nhất của G metric là bổ đề sau

Bổ đề 1.2.1.Nếu ( , )E G là khơng gian G metric thì

0 G r r s( , , ) G r s t( , , ) 0 G r r s( , , ) 0 Theo(G2)nếu r s thì ( , , ) G r r s 0, do đó ( , , )G r r s 0 kéo theo r s

Vì G là đối xứng theo các biến của nó nên ta cũng chứng minh được rằng nếu

t s thì r t Do đó, s r t , điều này mâu thuẫn với giả thiết s t

( , , ) ( , , ) ( , , ),( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ),( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

3

G r s t G s t a G r a t G a s t 

8)Theo (3), G r s t( , , ) G r s a( , , ) max{ ( , , ), ( , , )}.G a t t G t a a Khi đó, theo

1.3 Tôpô của không gian G Metric

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu tôpô Hausdorff của một không gian

G metric.Đối với tập hợp E bất kì, ta thấy rằng từ metric tùy ý trên E, ta có thể xây dựng nên mộtG metric.Ngược lại, đối với bất kỳ G metric G trên

E, hàm số

( , ) ( , , ) ( , , )

G

d r s G r s s G r r s , xác định một metric trên E , metric d Gđược gọi là liên kết vớiG, thỏa mãn

( , , ) s( )( , , )G 2 ( , , )

Tương tự,

1( , , ) ( )( , , ) 2 ( , , )

Ví dụ 1.3.2 Cho E là một tập khác rỗng và G dis là G metric rời rạc trên E Với a0 E tùy ý và mọi 0, ta có các tính chất sau:

Mệnh đề 1.3.4.Cho ( , ) E G là một không gian G metric, với bất kỳ a E và

0, ta có

(1) nếu ( , , ) G a r s thì r s, B a G( , ),

(2) nếu s B a G( , ) thì tồn tại 0 sao cho B s G( , ) B a( , )

Từ (2) của Bổ đề 1.3.4 suy ra họtất cả các G hình cầu

{B a G( , ) :a E, 0}

là cơ sở của một tôpô ( )G trên E, tôpô G metric

Mệnh đề 1.3.5.Cho ( , ) E G là một không gian G metric, với mọi a E và

0, ta có

1 3

Một tập hợp con U Elà một G lân cận của một điểma E nếu tồn tại

0 sao choB a G( , ) U

Một tập hợp con U E là G mởnếu nó là tập rỗng hoặc nó là G lân cận của tất cả các điểm của nó

Một tập hợp con U E là G đóng nếu phần bù của nó \ E U là G mở

1.4 Sự hội tụ trong không gian G metric

Định nghĩa 1.4.1.Cho ( , )E G là không gian G metric,r E và { }s n E Dãy{ }s n gọi làG hội tụ đếns , và viết { } G

n

s s hoặc s n s, nếu

,lim ( , , )n m 0

n m G s s s , tức là với 0, n0 sao cho G s s s( , , )n m , với

mọi ,n m :n m, n0 (khi đó, s gọi là G giới hạn của { }s n )

Định nghĩa 1.4.2 Cho ( , )E G là không gian G metric, dãy{ }s n Eđược gọi là G Cauchy nếu với mỗi 0, tồn tại N sao cho G s s s( , , )n m lvới mọi , ,n m l N

Mệnh đề 1.4.3.Giới hạn của dãy G hội tụ trong không gian G metric là duy nhất

Mệnh đề 1.4.4.Mỗi dãy hội tụ trong không gian G metric là một dãy Cauchy Chứng minh.Cho ( , ) E G là không gian G metric và { }s n E là dãy hội tụ

đến s E Khi đó với 0tùy ý,theo định nghĩa, tồn tại n0 sao cho

( , , )

3

G s s s với mọi n m, n0 Theo ( )G4 ,( )G5 và Bổ đề 1.2.1, với mọi n m k, , n0, ta có,

Mệnh đề 1.4.5.Cho ( , ) E G là không gian G metric và { }s n E là một dãy hội tụ, s E Khi đó, các điều kiện sau là tương đương

n G s s s và lim ( ,n n 1, ) 0

n G s s s ( )g lim ( ,n n 1, n 1) 0

n G s s s và lim ( ,n n 1, ) 0

n G s s s ( )h lim ( ,n n 1, n 1) 0

, lim, ( , , )n m 0

n m m n G s s s ( )i

, lim, ( , , )n m 0

n m m n G s s s ( )h ( )g Hiển nhiên với m n 1

( )g ( )b Theo( )G5 và ( )G4 , với mọi n , ta có

Bổ đề 1.4.6.Nếu ( , ) E G là không gian G metric và { }s n E là một dãy thì

các điều kiện sau đây là tương đương

Định nghĩa 1.4.8 Cho ( , )E G và ( , ) E G là các không gian G metric và ánh

xạf E: E Khi đó f được gọi là G liên tục tại một điểm a E nếu với

0 tùy ý, tồn tại 0 sao cho s t E , ; G a s t( , , ) kéo theo ( ( ), ( ), ( ))

G f a f s f t Hàm f là G liên tục trên E khi và chỉ khi nó là

G liên tục tại mọi a E

Định nghĩa 1.4.9 Cho ( , )E G là không gian G metric Ánh xạ R E : E

được gọi là G liên tục tại a E nếu { ( )} G ( )

CHƯƠNG 2

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN

G METRIC ĐẦY ĐỦ

2.1 Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gianG metric

Định lý 2.1.1 ([1]).Cho ( , ) E G là không gian G metric đầy đủ và

:

R E E là một ánh xạ sao cho tồn tại k [0,1) thỏa mãn

G Rs Rt Ru kG s t u với mọi s t u E , , (2.1)

Khi đó R có một điểm bất động duy nhất

Chứng minh Giả sử s0 E là một điểm tùy ý và { }s n n 0là dãy sao cho

Theo Hệ quả 4.1.1 trong [1],{ }s n là dãy Cauchy trong ( , )E G Vì ( , ) E G là đầy

đủ, nên dãy { }s n hội tụ, do đó tồn tại u E sao cho { }s n u Ta sẽ chỉ ra u là

một điểm bất động của R Bằng cách sử dụng (2.1), với mọi n 0 ta có,

Do đó,theo Bổ đề 1.2.3, u Ru Ta sẽ chứng minh u là điểm bất động duy

nhất của R Giả sử ngược lại, tồn tại một điểm bất động khác v E Nếu

v s thì ( , , ) G v v u 0 Từ (2.1) và k 1 ta có

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ),

G v v u G Rv Rv Ru kG v v u G v v u điều này là mâu thuẫn Do đóu là điểm bất động duy nhất của R 

Định lý 2.1.2.Cho ( , ) E G là không gian G metric đầy đủ và R E : E là một ánh xạ sao cho tồn tại k [0,1) thỏa mãn

( , , ) ( , , )

G Rs Rt Rt kG s t t với mọi s t E ,

Khi đó R có một điểm bất động duy nhất

Chứng minh Định lý 2.1.2 tương tự như cách chứng minh Định lý 2.1.1

2.2 Định lý điểm bất động trong không gian G metric đầy đủ

Trong phần này chúng tôi trình bày một số định lí điểm bất động đối với các tự ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co khác nhau trong không gian G

metric đầy đủ

Z.Mustafa, H Obiedat và F Awawdeh [9] đã chứng minh kết quả sau:

Định lí 2.2.1 Cho ( , ) E G là một không gian G metric đầy đủ, và

với mọi s t u E , , , trong đó với 0 k1 k2 k3 k4 1

Khi đó R có duy nhất điểm bất động (gọi là z , tức là Rz z) trong E và R

là G liên tục tại z

Mở rộng kết quả này, ta có kết quả sau

Định lý 2.2.2 ([4])Cho ( , ) X G là không gian G metric đầy đủ và R E: E

với mọi s t u E , , , trong đó k k k k k1, , , ,2 3 4 5 0với k1 k2 k3 k4 2k5 1

Khi đó R có duy nhất một điểm bất động z E và R là G liên tục tại z Chứng minh Lấy s0 E tùy ý và xác định dãy{ }s n bởi n( )0

( , , )n m l ( , ,n m m) ( , ,l m m).

Chon m l , , , ta đượcG s s s( , , )n m l 0.Vì vậy,{ }s n là dãy G Cauchy

Vì ( , )E G là không gian đầy đủ, nên tồn tại z E sao cho { }s n làG hội tụ

1

( , , ), ( , , ),max ( , , ), ( , , ),

điều này là mâu thuẫn vì 0 k3 k4 k5 1 Vậyz Rz

Để chứng minh tính duy nhất củaz , ta giả sử tồn tại w z sao cho w=w R , khi đó (2.2) trở thành

1

2( , w, w) ( , w, w)

3 ( , , ) 4 ( ,n n, n)

k G z z z k G t Rt Rt

5

( , , ), ( , , ),max ( , , ), ( , , ),

Chon , ta được G z Rt Rt( , n, n) 0 và theo Mệnh đề 1.4.5, dãy (Rt n)là

G hội tụ đến z Rz Do đó theo Mệnh đề1.4.10, Rlà G liên tục tại z

Hệ quả 2.2.3 Cho ( , ) E G là không gian G metric đầy đủ, và R E: E , là ánh xạ thỏa mãn vớim N :

với mọi s t u E , , ,ở đó k k k k k1, , , ,2 3 4 5 0 với k1 k2 k3 k4 2k5 1

Khi đó R có một điểm bất động duy nhấtz E và R là m G liên tục tạiz

Chứng minh Theo Định lý 2.2.2, ta thấy rằng R có duy nhất một điểm bất m

Chú ý 2.2.4.Định lý 2.2.1 là sự mở rộng củaĐịnh lí 2.1 trong [10], trong đó

Định lí 2.1[10] nhận được bằng cách lấy k5 0trong Định lí 2.2.2

Định lý 2.2.5 Cho ( , ) E G là một không gian G metric đầy đủ và R E: E

lấy giới hạn khi n m l , , , ta nhận đượcG s s s( , , )n m l 0.Do đó,{ }s n là dãy

G Cauchy Vì( , )E G là không gian đầy đủ nên tồn tại z E sao cho { }s n là

G hội tụ đến z Giả sử Rz z , khi đó ta có

Lấy giới hạn khi n và sử dụng tính chất hàm G là liên tục theo tất cả các biến của nó, ta có

( , , ) ( 2 ) ( , , ),

điều này là mâu thuẫn vì 0 k1 2k2 k3 k5 1 Vậyz Rz

Đối với tính duy nhất của z , ta giả sử tồn tại w z sao cho w R w, khi đó theo (2.6) ta có

tại z

Nhận xét Định lý 2.2.5 là mở rộng của Định lí 2.9 trong [10], ở đó Định lí 2.9 thu được bằng cách lấy k2 k3 k4 k5 0 trong Định lí 2.2.5

Áp dụng Định lý 2.2.5, ta có các kết quả sau đây

Hệ quả 2.2.6 Cho ( , ) E G là một không gian G metric đầy đủ và R E: E

1 2 3 4 5

2k 2k 2k k 2k 1 Khi đó R có duy nhất một điểm cố định z E

và R là m G liên tục tại z

Hệ quả 2.2.7 Cho E là không gian G metric đầy đủ Giả sử [0,1) sao

Định lý 2.2.8 Cho ( , ) E G là một không gian G metric đầy đủ và R E: E

là ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau

G Rs Rt Ru

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),max

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , )

n k

dãyG Cauchy trong không gian đầy đủ( , )E G nên G hội tụ đến z E

Giả sửRz z , khi đó

1 1

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),max

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),( , , ), ( , , ), ( , , ), (

( , , )

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),max

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )

Chon , ta được G Rt z z( n, , ) 0, do đó theo Mệnh đề 1.4.5, dãy{Rt n}là

G hội tụ đếnz Rz Từ đó theo Mệnh đề 1.4.10, Rlà G liên tục tại z

z E và Rm là G liên tục tại z

Chứng minh Chứng minh dựa theoĐịnh lý 2.2.8 và sử dụng lập luận tương tự

như trong Hệ quả 2.2.3

Định lý 2.2.10 Cho ( , ) E G là không gian G metric đầy đủ và R E: E là ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau

( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ),max ( , , ) ( , , ) ( , , ),