hệ thống các bài tập theo các phương pháp chứng minh phương trình hàm t05

Lý do chọn đề tài Phương trình hàm là một trong những chuyên đề quan trọng và rất hay xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, tuy nhiên rất ít tài liệu trình bày đầy đủ và hệ thống bài

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM

MỤC LỤC

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 3

PHẦN II NỘI DUNG 5

1 Một số kiến thức cơ sở 5

2 Một số phương pháp giải phương trình hàm 6

2.1 Phương pháp thế biến 6

2.2 Phương pháp thêm biến 14

2.3 Sử dụng tính chất đơn ánh,toàn ánh, song ánh của hàm số 18

2.4 Phương pháp truy hồi 23

2.5 Phương pháp quy nạp 25

PHẦN III PHẦN KẾT LUẬN 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm là một trong những chuyên đề quan trọng và rất hay xuất hiện trong các

đề thi học sinh giỏi, tuy nhiên rất ít tài liệu trình bày đầy đủ và hệ thống bài tập để học sinh khắcsâu Vì vậy tôi viết chuyên đề này để giúp học sinh có cái nhìn tổng thể hơn về phương trình hàm.Trong chuyên đề này, tôi đã nhắc lại một số kiến thức cơ sở của phương trình hàm Đồng thời hệthống các bài tập theo các phương pháp chứng minh phương trình hàm

sở nào nhanh nhất và hiệu quả nhất

Thông qua chuyên đề “Một số phương pháp giải phương trình hàm” chúng tôi cũng rấtmong muốn nhận được góp ý trao đổi của các bạn đồng nghiệp, các bậc cha mẹ học sinh và các emhọc sinh Chúng tôi mong muốn đề tài này góp một phần nhỏ để việc dạy phần toán “Phương trìnhhàm” một cách hiệu quả nhất và giúp các em học sinh có khả năng vận dụng một số phương pháp

cơ bản vào giải các bài toán phương trình hàm một cách tốt nhất

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đáp ứng yêu cầu về việc học tập và nghiên cứu cho học sinh trong ba năm học liên tiếp:2016-2017, 2017-2018, 2018-2019, góp phần nâng cao số lượng và chất lượng HSG môn toán tạicác kỳ thi: HSG vòng tỉnh, HSG đồng bằng duyên hải bắc bộ, HSG QG lớp 12 Tuy nhiên, do giớihạn về chương trình, điều kiện về giáo viên, cơ sở vất chất nên đề tài chưa được triển khai rộngtrong các trường THPT trong phạm vi rộng

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là học sinh các lớp chuyên Toán 10, 11, 12; đội tuyển thichọn HSG lớp 12 vòng tỉnh, đội tuyển HSG tham dự kỳ thi chọn HSG QG lớp 12 môn Toán họccủa các trường THPT Chuyên Ngoài ra còn có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên vàphụ huynh học sinh có nhu cầu tìm hiểu về phương trình hàm

dự thi quốc gia

6 Phương pháp nghiên cứu

Chuyên đề sử dụng các phương pháp nghiên cứu chủ yếu sau:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu chuyên về tổ hợp đặc biệt là các tài liệu liên quan đến số học, đại số, dãy số, và các tạp chí trong và ngoài nước; tài liệu từ Internet

- Phương pháp trao đổi, tọa đàm (với giáo viên, học sinh các lớp chuyên toán)

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

7 Cấu trúc của chuyên đề

Chuyên đề bao gồm 3 phần chính như sau:

Phần I Đặt vấn đề

Phần II Nội dung

Phần III Kết luận và kiến nghị

PHẦN II NỘI DUNG

Cho A � , x được gọi là cận trên của A nếu với mọi R a�A thì a x� Cận trên bé nhất

nếu có của A được gọi là cận trên đúng của A, kí hiệu là supA

Cho A � , x được gọi là cận dưới của A nếu với mọi R a�A thì a x� Cận dưới nhất nếu

có của A được gọi là cận dưới đúng của A, kí hiệu là infA

Ánh xạ :f A � được gọi là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh B

1.5.4 Hàm đơn điệu

Hàm số f x 

được gọi là hàm tăng trên  a b;

nếu với mọi x x1, 2� a b;

được gọi là hàm tăng ngặt trên  a b;

nếu với mọi x x1, 2� a b;

mà x1 x2

thì f x 1  f x 2

Hàm số f x 

được gọi là hàm giảm trên  a b;

nếu với mọi x x1, 2� a b; mà x1� thìx2

 1  2

f x �f x

Hàm số f x 

được gọi là giảm ngặt trên  a b;

nếu với mọi x x1, 2� a b; mà x1 thìx2

2 Một số phương pháp giải phương trình hàm

Do đó, (1) trở thành

 2 2    2 2 , ,

f x y  f x  f y x y R�

Từ đây suy ra với mỗi giá trị x�R thì ta có hoặc là f x  0 hoặc là y x2002. Ta sẽ chỉ ra rằng

để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì bắt buộc phải có đồng nhất

  0, R

f x � x�hoặc

  2002, R

f x �x x�Thật vậy, vì f  0 0 trong cả hai hàm số trên, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử tồn tại0

a� sao cho f a 0 và tồn tại b0 sao cho

  2002

f b  b

(vì chỉ cần thay x0 vào quan hệ (1) ta nhận được hàm f là hàm chẵn).

Khi đó thế x a  và y  vào (1) ta được b

Bài tập 2.1.4 (Áo 1996) Tìm tất cả các hàm số : f R � thỏa mãn điều kiện R

Bài tập 2.1.5 (Hàn Quốc 2003) Tìm tất cả các hàm số : f R � thỏa mãn: R

Do f x  �0

nên tồn tại một giá trị y sao cho 0 f y 0  �a 0 Khi đó từ quan hệ (4) ta có

Vì vế phải là hàm bậc nhất nên xa f a   có tập giá trị là toàn bộ R

Do đó, hiệu f x a    f x ) cũng có tập giá trị là toàn bộ R , khi x R�

Từ đây ta thấy với mỗi x R� thì hoặc là f x  �0

hoặc là f x  x2 Ta chứng minh nếu f thỏa

mãn yêu cầu bài toán thì f phải đồng nhất với hai hàm số trên Nhận thấy f  0 0, từ đó thay0

x ta được f y   f  y , �y R, hay f là hàm chẵn

Giả sử tồn tại a�0,b� sao cho 0 f a 0, f b   b2 , khi đó thay x a y ,   ta được b

Do đó xảy ra điều mâu thuẫn Thử lại thấy hàm số f x  �0

thỏa mãn yêu cầu

Bài tập 2.1.7 (Belarus 1995) Tìm tất cả các hàm số f R: �R thỏa mãn

 

1 f 0  f x y    f f x y      f x y   f x f y   xy,Đơn giản ta được

f x  ax b Thay vào quan hệ hàm ban đầu suy ra a1,b0

Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là f x    �x x, R

Bài tập 2.1.8 (VMO 2005) Hãy xác định tất cả các hàm số f R: �R thỏa mãn điều kiện

Suy ra mâu thuẫn, suy ra f    x f x , �x R.

Từ đây suy ra f  0 0 , nếu tồn tại x0 � sao cho 0 f x 0 x0 thì từ (10) ta suy ra

Ta sẽ chứng minh f x  x là nghiệm duy nhất của bài toán dựa vào một chuỗi các sự kiến sau.

Trước tiên nhận thấy f không thể là hàm hằng

Thay y0 ta nhận được

Suy ra f là hàm cộng tính Do đó f x  mx n

Thay vào (1), ta thu được 2ma2mb3n m a m b mn n 2  2   với b là hằng số.,

Suy ra 2m m 2 nên m hoặc 0 m 2

Nếu m0, thì n0, suy ra f x  0

Nếu m2, thì f x  2x n

2.2 Phương pháp thêm biến

Đôi khi, trong quá trình xử lí các bài toán phương trình hàm, ta có thể thêm một vài biến phụ vào để phép thế trở nên linh hoạt hơn, từ đó phát hiện được nhiều tính chất thú vị của hàm giúp ích cho việc giải toán

Bài tập 2.2.1 Tìm tất cả các hàm số f :��� thỏa mãn

,

}1

Đảo vị trí của x và z trong phương trình với chú ý giá trị của biểu thức f y(  f x( ) f z( ) và A vẫn không đổi, ta được

( ) ( ( )) | ( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( )

f x f f z z x xf z  f z f x yxf z zf x Xem hai vế của phương trình là hai đa thức ẩn y Hai đa thức này có giá trị bằng nhau với mọi y

nên đồng nhất với nhau, từ đó ta có

( ) ( ), ,

zf x xf z x z��

Suy ra f x( )kx ( k là hằng số thực nào đó) với mọi x ��

Tiếp theo, ta sẽ tìm giá trị của k Thay f x( )kx trở lại phương trình hàm đã cho, ta được:

Do đó k � Vậy có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu là 1 f x( )x và f x( ) x.

Bài tập 2.2.2 (IMO shortlist, 2007) Tìm tất cả các hàm số : f ��� thỏa mãn

mọi x Thay trở lại phương trình đã cho, ta được:0

k x ky k x y ky x yhay

k k y  y

Do đó k Vậy có duy nhất một hàm số thảo mãn yêu cầu là 2 f x( ) 2 x.

Bài tập 2.2.3 (IMO shortlist, 2011) Tìm tất cả các hàm số , : f g � �� thỏa mãn

trong đó kg(1)a Suy ra f x( )xg x( ) b 2ax kx 2  với mọi x�� ax b

Thay trở lại phương trình đã cho, ta được

So sánh hệ số của x2 ở hai vế, ta được k2 k Suy ra k hoặc 0 k 1

Với k , ta có 0 a   ax b (2x y b ) với mọi x y, ��. So sánh hệ số của y ở hai vế Ta được0

b  Từ đó, so sánh hệ số của x ở hai vế, ta cũng có a Vậy trong trường hợp này, ta có0( ) 0

f x � vậy trong trường hợp này, ta có f x( ) 0� và g x( ) 0� Thử lại thõa mãn.

Với k  , ta có:1

(x y ) a x y(    ) b a x   ax b (2x y y b )(  ), x y, ��,hay

Lời giải

Từ giả thiết, dễ thấy f là hàm đơn ánh Thay x bởi

( )( ) 1

f x

zf x  vào phương trình đã cho rồi khai triển hai vế, ta được

( )( ) 1 ( ) 1

[( ) ( ) 1] ( ) [ ( ) ( )] 1, , , 0.

x x c f y z    x c x f y  f z  x y z Xem hai vế của phuương trình trên là cá đa thức ẩn x hai đa thức này có giá trị bằng nhau với mọi0

x nên đồng nhất với nhau, từ đó bằng cách so sánh hệ số của x2 ở hai vế, ta suy ra

( ) ( ) ( ), , 0

f y z  f y  f z y z Kết quả này chứng tỏ f là hàm cộng tính từ � vào R 

Suy ra f x( )kx ( k là hằng số dương nào đó) Thay trở lại phương trình đã cho, ta được

Do đó k  vậy có duy nhất một hàm số thỏa mãn yêu cầu là 1 f x( )x.

2.3 Sử dụng tính chất đơn ánh,toàn ánh, song ánh của hàm số

Bài tập 2.3.1 (VMO 2016) Tìm tất cả các số thực a để tồn tại hàm sô f :��� thỏa mãn:

Cho y1, ta tính được a2016.2017 Thử lại, ta thấy với số a trên thì hàm số f x( ) 2016 x

thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho

Vậy có hai giá trị thỏa mãn yêu cầu của đề bài là a và 0 a2016.2017.

Bài tập 2.3.2 (VMO 2017) Tìm tất cả các hàm f :� �� thỏa mãn hệ thức:

Từ đây có thể thấy hàm f là một hàm song ánh Do đó, tồn tại duy nhất số thực a để f a( ) 0

Thay x a vào phương trình (1), ta được:

( ( )) ,

f af y ay  ��y (3)

Trong (3), cho y0, ta được f af( (0)) 0  f a( ).

Từ đó, do f là đơn ánh nên af(0)a Suy ra a hoặc 0 f(0) 1 .

Xét trường hợp a , tức 0 f(0) 0 Thay y0 vào (1), ta được f(f x( )) 2 ( ) f x .

Do f toàn ánh nên ta có f x( ) 2x với mọi x �� Tuy nhiên, khi thử lại, hàm này không thỏa mãn phương trình (1) Do đó a� , suy ra 0 f(0) 1 .

Thay x vào (1), ta được 0 f( 1) 2  .

Thay y a vào (3), ta được a2  f(0) 1 , suy ra 1a ( do f( 1) 2  ), tức f(1) 0 .

Do f(1) 0 nên phương trình (2) có thể viết lại dưới dạng

( ( )) , (2 )

Thay y bởi f y( ) vào (1) và sử dụng (2'), ta được:

Do đó, từ kết quả trên, ta suy ra được f x( )  x 1 với mọi x� 2

Ta có: f(3) 2 Thay y3 vào (2'), ta được f( 2) 3  .

Vậy f x( )  x 1 với mọi x �� Thử lại ta thấy hàm này thỏa mãn các yêu cầu của bài toán.

Bài tập 2.3.3 (Việt Nam TST 2004) Tìm tất cả các giá trị của a , so cho tồn tại duy nhất một hàm

số f :� �� thỏa điều kiện:

Từ điều này ta thu được f( b) 0 Lại thay y b vào (1) ta được

Vậy với mọi ,x y� �3 1 , ta có: g xy( )g x g y( ) ( ).

Như thế, ta chỉ cần chỉ ra một song ánh g là đủ, vì khi đó

(3 1) 1( )

Rõ ràng song ánh g như vậy thỏa mãn đề bài.

2.4 Phương pháp truy hồi

Bài tập 2.4.1 (Putnam 1988) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm số xác định trên tập các

số thực dương, nhận giá trị thực dương và thỏa mãn

Lời giải

Với mỗi số thực dương cố định, ta xây dựng dãy như sau

Khi đó, từ đẳng thức ở giả thiết ta suy ra dãy thỏa mãn phương trình truy hồi hay

Đến đây, giải phương trình đặc trưng của dãy , ta được hai nghiệm là 2 và -3

Do đó, trong đó, các hằng số tìm được phụ thuộc vào

Tuy nhiên, nếu , thì tồn tại đủ lớn sao cho (ta có thể thấy được dễ dàng bằng cách chọn chẵn đủlớn nếu , và chọn lẻ đủ lớn nếu ) Do vậy, Thành ra

Suy ra , thay hai giá trị này vào đẳng thức ta được Dẫn đến

Và vì điều này đúng với mọi dương nên

Bài tập 2.4.2 (VMO 2012) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

nên điều kiện iii) ở giả thiết được viết lại là

Bằng cách giải như ở hai bài toán trên, ta tìm được Đến đây, nếu có thêm giả thiết (như bài toán 1)thì bài toán gần như giải quyết xong

Thật vậy, trong iii), thay ta thu được , suy ra, và Tức là Hơn nữa,

Thành ra

Như vậy, theo lập luận như ở bài toán 1, ta phải có

Và kéo theo Thay bởi trong đẳng thức sau cùng này, ta được

Bài tập 2.4.3 (VMO 2003) Gọi là tập tất cả các hàm số sao cho

Tìm số lớn nhất sao cho với mọi , ta luôn có

Lời giải

Nếu (với nào đó) thì

Phương trình này có hai nghiệm là 1 và

Do đó, , suy ra

Hơn nữa, do nên , suy ra

Mặt khác, nếu thì , dẫn đến

Do đó, có thể được thay bởi

Từ đó, ta xây dựng dãy như sau

Thế thì, theo lập luận ở trên, nếu thì Do đó, số lớn nhất cần chọn là

Trở lại với dãy , không khó để chỉ ra nó là một dãy tăng, bị chặn trên, và có giới hạn bằng Vậy

1( 2) ) 1

f n

f n

n n

2 2

f x

x thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Bài tập 2.5.2 (China 1996)Cho hàm số f :��� thỏa mãn điều kiện

PHẦN III PHẦN KẾT LUẬN

1 Kết luận

Chuyên đề này đã trình bày một số phương pháp giải phương trình hàm thông qua các ví dụ

là các câu hỏi trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tề Tôi đã áp dụng tài liệu này trongquá trình giảng dạy chuyên đề phương trình hàm cho lớp 12 Toán 1- Trường THPT Chuyên QuốcHọc Huế Thông qua các ví dụ các em học sinh có thể tự học, tự tìm tòi để định hướng được phươngpháp các bài toán phương trình hàm mới Từ đó có thể học tốt hơn trong các tiết học bồi dưỡng vàđạt thành tích cao hơn trong các kì thi học sinh giỏi

Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô tổ Toán, đã động viên, giúp đỡ và đónggóp nhiều ý kiến quý báu cho bài viết

2 Các đề xuất và kiến nghị được đề xuất, rút ra từ chuyên đề

Chuyên đề này cũng đã đưa ra hệ thống bài tập tương đối cập nhật của các kì thi học sinhgiỏi Quốc gia và Quốc tế Trong quá trình viết tài liệu không thể tránh một số sai sót, mong quýThầy cô và các bạn đóng góp để chuyên đề hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Tài Chung, Lê Hoành Phò (2013), Chuyên Khảo Phương Trình Hàm, Nhà xuất

bản Đại học Quốc gia Hà Nội

[2] Tạp chí toán học tuổi trẻ

[3] Đề thi học sinh giỏi VMO 2002-2019

[4] Các nguồn tài liệu từ internet: www.mathlinks.org; www.diendantoanhoc.net