He phuong trinh on dai hoc cuc hot

Phơng pháp cộng đại số : Dựa vào đặc điểm của hệ mà ta nhân hai vế của một phơng trình hoặc cả hai phơng trình của hệ rồi cộng hoặc trừ vế với vế nhằm triệt tiêu một ẩn , ta tìm đợc ẩn c

2/ Cách giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn

Có rất nhiều cách giải , trong đó có ba cách hay dùng là :

2.1 Phơng pháp cộng đại số : Dựa vào đặc điểm của hệ mà ta nhân hai vế của một phơng

trình hoặc cả hai phơng trình của hệ rồi cộng hoặc trừ vế với vế nhằm triệt tiêu một ẩn , ta tìm đợc ẩn còn lại

2.2 Phơng pháp thế : Rút một ẩn từ một phơng trình sau đó thế vào phơng trình còn lại 2.3 Phơng pháp định thức cấp 2 ( Đặc biệt thích hợp với bài toán biện luận nghiệm của

* Nếu D = 0 mà Dx hoặc Dy ≠ 0 thì hệ (I) vô nghiệm

Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn

•Chú ý : Ta có thể dùng máy tính cá nhân để tìm ra nghiệm để kiểm tra kết quả

m 2

m 3m - 1y

3.1.Số nghiệm của hệ ( I ) phụ thuộc vào số nghiệm của pt (*)

• Nếu pt (*) vô nghiệm thì hệ đã cho vô nghiệm

• Nếu pt (*) có nghiệm duy nhất x0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x0 ; y0)

• Nếu pt (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì hệ đã cho có 2 nghiệm phân biệt (x1 ; y1) và (x2 ; y2)

3.2 Hoàn toàn tơng tự ta có thể rút x theo y ở pt bậc nhất (1) rồi thế vào phơng trình bậc hai (2) , ta đa về pt bậc hai ẩn y : A1 y 2 + B 1 y + C 1 = 0 (*)

Đáp số : x = 0 ; x = 2/3

4/ Bạn đọc tự giải

Đáp số : x = - 1 ; x = 2

1/ Nhận dạng : Hệ đối xứng loại I đối với x và y là hệ thoả mãn khi ta thay x bởi y và

y bởi x thì các phơng trình của hệ không thay đổi

3/ Cách giải hệ phơng trình đối xứng loại I

•B ớc 1 : Phân tích các phơng trình của hệ để xuất hiện các biểu thức : tổng (x + y) và

•B ớc 3 : Khi đó x , y là nghiệm của phơng trình : t 2 – St + P = 0

4/ Một số biểu thức đối xứng của x , y và cách phân tích





1/ Nhận dạng : Hệ đối nửa xứng loại I đối với x và y là hệ chứa các biểu thức :

3/ Cách giải hệ phơng trình nửa đối xứng loại I

•B ớc 1 : Phân tích các phơng trình của hệ để xuất hiện các biểu thức : hiệu (x - y) và tích xy







⇔ 2

2S + 3P = - 13S + S - 10 = 0

1/ Nhận dạng : Hệ đối xứng loại II đối với x và y là hệ thoả mãn khi ta thay x bởi y và

y bởi x thì phơng trình thứ nhất của hệ thành phơng trình thứ hai của hệ và ngợc lại

2/ Ví dụ :

1/

2 2

2x + xy = 3x2y + xy = 3y

•B ớc 1 : Trừ từng vế của hai phơng trình và đặt nhân tử chung (x – y ) bao giờ ta cũng

2x + xy = 3x2y + xy = 3y

y = 1- x

Vậy nghiệm của phơng trình là : (2;2) ; (0 ; 0)

2/ Hoàn toàn tơng tự thì nghiệm của phơng trình là : (1 ; 1)

Trừ từng vế hai phơng trình cho nhau ta đợc pt :

2x2 – 3x – (2y2 – 3y) = y2 – 2 – (x2 - 2) ⇔ 3(x - y)(x + y) – 3( x – y) = 0

x 11- x 0

y 1 1- y 0

•B ớc 2 : Nhận xét (0 ; 0) không phải là nghiệm của hệ đã cho nên ta chia hai vế của (*)

cho y2 , ta đợc pt : (a1d2 – a2d1)

2xy

 

 ữ

  + (b1d2 – b2d1)

xy





• Trừ vế với vế hai phơng trình ta đợc pt : x2 + 9xy – 22y2 = 0 (*)

• Nhận xét (0 ; 0) không phải là nghiệm của hệ đã cho nên ta chia hai vế của (*) cho y2 , ta



+ Tr ờng hợp 2 : x

y = - 11 ⇔ x = - 11y Thế vào phơng trình (2) của hệ ta đợc :

(- 11y)2 + (- 11y).y + 2y2 = 8 ⇔ 112y2 = 8 ⇔ y2 = 1

14 ⇔

1

y = 141

• Trừ vế với vế hai phơng trình ta đợc pt : 4x2 - 13xy + 3y2 = 0 (*)

• Nhận xét (0 ; 0) không phải là nghiệm của hệ đã cho nên ta chia hai vế của (*) cho y2 , ta



• Trừ vế với vế hai phơng trình ta đợc pt : 6x2 - 12xy + 2y2 = 0 (*)

• Nhận xét (0 ; 0) không phải là nghiệm của hệ đã cho nên ta chia hai vế của (*) cho y2 , ta

Khi gặp hệ phơng trình cha phải ở các dạng đã biết thì bằng các phơng pháp :

• Đặt ẩn phụ (chú ý đặt điều kiện cho ẩn phụ )

Các hệ phơng trình khác

(S 4P)S = 3S(S 2P) = 15

3 3

Nhận xét : Đây không phải hệ đẳng cấp bậc hai

Ta biến đổi nh sau :

(x - 3x) + (y + 4y) = 1 3(x - 3x) - 2(y + 4y) = 3

+ Đạo hàm : f’(t) = 1 + 12

t > 0 với ∀ t ∈ D ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên D + Nhận thấy pt (1) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y

• Với điều kiện (*) thì hệ đã cho ⇔

3x y = y 23xy = x 2

 

 ữ

  - 14

2xy

 

 ữ

xy

− hoặc x

y =

13 Sau đó xét từng trờng hợp (dành cho bạn đọc)

• Bạn đọc tự giải tiếp với chú ý u ≥ 0 ; v ≥ 0

• Đây là hệ đối gồm một pt bậc nhất và một pt bậc hai đối với u và v

• Bạn đọc tự giải tiếp với chú ý u ≥ 0 ; v ≥ 0

 

 ữ

  - 17

2xy

11/

(2x + y) - 5(4x - y ) + 6(2x - y) = 0

12x + y + = 3

u + = 3 (2)v

⇔ (x – y)(x + y) – y(x + y) – (x + y) = 0 ⇔ (x + y)(x – 2y – 1) = 0 ⇔ x – 2y – 1

x +1

(x + y) 2 1y

(x + y)1

(x + y)1(x + y) + (x - y) + 3

3 (x y) 2 (x - y) 7

(x + y)1

3 (x y) (x - y) 13

(x + y)1

=



 − + − =



⇔ [ ]

(x - 1)(y - 2) - (x - 1) + (y - 2) 21(x 1) (y 2) 38

• Cho hàm số : y = f(t) đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên tập D

• Khi đó nếu : f(x) = f(y) ⇒ x = y ( với x , y ∈ D)

Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp

dùng tính đơn điệu của hàm số

Xét trờng hợp f(t) đồng biến trên D (nghịch biến làm tơng tự )

Theo giả thiết thì có : f(x) = f(y) (1)

+) Nếu x > y thì f(x) > f(y) (vì hàm f(t) đồng biến ) nên (1) không thoả mãn

+) Nếu x < y thì f(x) < f(y) (vì hàm f(t) đồng biến ) nên (1) không thoả mãn

+ Đạo hàm : f’(t) = 1 + 12

t > 0 với ∀ t ∈ D ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên D + Nhận thấy pt (1) ⇔ f(x) = f(y) ⇒ x = y

• Thay vào pt (1) , ta đợc : 2x = 3 – x ⇔ x = 1 • Vậy nghiệm của hệ là : (1 ; 1)

5/ Hoàn toàn tơng tự phần 4 (lấy pt (1) trừ pt (2)) Đáp số (1 ;1)

6/ Hoàn toàn tơng tự phần 4 (lấy pt (1) trừ pt (2)) ( Bạn đọc tự giải )

Đáp số : (1 ; 1) ; (2 ; 2)

7/ Đáp số : ( π ; π )

•B ớc 1 : Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

•B ớc 2 : Sử dụng phơng pháp thế , phơng pháp đặt ẩn phụ để đa hệ đã cho về các

hệ đã biết cách giải đã giới thiệu ở phần trớc và giải

•B ớc 3 : Kết luận nghiệm của hệ

Chú ý : Đối với hệ phơng trình lôgarit , ta phải đặt điều kiện cho biểu thức trong dấu





Hệ phơng trình mũ và lôgarit

4 - 4.4 2 + 2 = 1 4.2 - 3.2 = 16

y x

2 = 2log (x - y) + log (x + y) 1

5

y x 3

2 = 2log (x - y)(x + y) 1

5

y x

2 2 3

2 = 2log (x - y ) 1

Đây là hệ đẳng cấp bậc hai , bạn đọc hoàn toàn giải đợc

• Đối chiếu ĐK (*) , nghiệm của hệ là : (2 ; 1)

⇔ (1 + log32)log2(x + y) = 1 + log32 ⇔ log2(x + y) = 1 ⇔ x + y = 2 (**)

• Kết hợp (**) với pt (1) của hệ , ta đợc nghiệm của hệ là : (3

2 ;

1

2) 7/

log = 13x - y

= 53x - y

10/ 14 4

1log (y - x) - log = 1

x = y

Đây chỉ là những bài tập các em tham khảo ! hi vọng nó sẽ có ích đối với các em !

Chúc các em thành công !