các hệ phương trình thi đại học cólờigiải

phương pháp giải hệ phương trình thi đại họg trình thi đại hoc có lời giải phương pháp dùng hpt trong bđt,các dạng hệ phương trình thi đại học,các dạng phương trình và hệ phương trình thi đại học,các dạng phương trình và hệ phương trình thi đại học,các phương pháp giải hệ phương trình thi đại học

= +

+

4 2

4 2

2 2

xy y

x

y y

x

= +

−

+

8 2

2 4

4 2

2 )

xy y

x

y xy

y x

−

= +







= +

+

= +

+

= +

+

+

⇔

4 2

2 4

6

4 2

2 4

2

4 2

2 4

6 2

4 2

2 4

12 )

( 4 )

(

4 2

2 4

8 4

4 )

(

2 2

xy y

x

y x

xy y

x

y x

xy y

x

y x

y x

xy y

x

y x

y x

xy y

x

x y

y x

− +

− +

−

=

⇔

1 2 2

4 )

6 (

2 )

6 (

2 4

6

4 )

2 ( 2

) 2

( 2 4

2

x x

x y

x x

x x

x y

x x

x x

x y

y x

o y

x

x y

φ

Nhận xét :Bài toán nhìn chung dễ cần khéo léo tạo ra được phương trình bậc 2 có ẩn là (x+y).Đây là chìa khóa của bài toán.

) 0 ,

( 2

1

1 )

(

2 2

xy y

x

xy

x

y y

x

y

x xy

y x

y x

y x

+Đặt x-y=a;xy=b.Hệ phương trình (!) trở thành

2

) 1 (

2

0

2

b a

o ab

o b

o a

b a

o ab

a

b a

a b

a

2

1 )

2 (

2

2

b a

o b

xy

o y

x

b a

o b

b

b

o a

2 1

1

2

) 1 (

2

2 2

y x

xy

y x

y x

a b

b a

o b

x

y x

5 1

2

5 1

2

5 1

1 2

5 1

1 1

1 )

1 (

1

2

y x y x

x y

x

o x

x

x y

x x

x y

1 2 1 2 1

) 1 ( 2 1

) 1 ( 2 1 2

6 2

) 2 (

2

0 2

0 )

2 (

6 4

0 4

4

3 2

6 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

y x y x y x y x y

y x

y y

y x

y x

y x

y xy

y xy

x

y xy

y x

2

( 2

1 2

1 2

1 2 2 2

1 2 2 2

1 4

1 6

) 2

1 ( 2 1

2 1

) (

6 12

6 3

1 3

2

) (

1 6

2 1

3 2

6 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

y

x y x t

x x

t x

x t

t t

x t x

như thế ta có thể giải các hệ phương trình đẳng cấp Xem xét và đưa ra kết luận các biến đều chung một bậc

và cách đặt khéo léo y=tx ta có thể đưa về phương trình đơn giản để giải

Ví Dụ 4:

Với x=o suy ra hệ vô nghiệm.Với x0 Đặt y=tx

phương trình trở thành

−

⇔

2 3

5

3 2

3

2

2 2

y xy

y xy

x

≠

Nhận xét:với cách nhìn nhận đúng đắn ta thấy hệ trên số bậc của từng biến bằng nhau nên ta nghĩ ngay đến hệ đẳng cấp.

−

⇔

2 3

5

3 2

3

2 2

2

2 2

2 2

t x

t x

t x

t x

−

⇔

14 14 14

14 5 14 14 14

14 5 2 1 2 1 14

14 5 5 1 14

14 5 5 1 1 2 1 2

) (

) 5 3

( 3 2 ) 2 3 1 (

) (

1 2

5 3

1 3

2 3 1

22

22

22

y x y x

y x y x x t x t

x t x t

t t

t t

x

t

t x

t t

(+)

Với x=0 suy ra phương trình vô nghiệm với x0

Đặy y=tx suy ra hệ trở thành







= +

=

−

16 3

2

7

2 2

3 3

xy y

=

−

⇔

16 3

2

7

2 3

3

3 3

3

t x

t x

x x

t

1 16

3 2

1 7

) (

2

) (

0 8

11 16

2

) (

1 7

21 16

2

3

3

2 3

y x x t

t t

t t

Nhận xét:Hệ áp dụng công thức tổng quát và đưa về hệ cơ bản Chúng ta có thể giải hệ đưa về tích hoặc dùnh casio

Sau đây là dạng tổng quát công thức cho hệ đẳng cấp:

Xét hệ khi x=0 hệ vô nghiệm

+

= +

+

•

p fy

exy dx

d cy

bxy

ax

2 2

2 2

Đặt y=tx,ta được hệ theo

= +

−

25 )

)(

(

13 )

)(

(

2 2

2 2

y x

y x

y x

y x







= +

2 3

y x

y

xy x

= +

−

6 8

11 3

1

3

2 2

2 2

y xy

x

y xy

x

− +

=

+

⇔

5 5 5 5 0 0

5 0

0 10

2

10

) (

) (!

0 10

) (

0 )

10 )(

(

) (

) (

10 )

( )

)(

(

) ( 10 10

3

2 3

2 2

2 2

2 2

2 3

2 3

y x

y

y

y y

y x

x y

x y

y x

y x

y x

xy y

xy x

y x

y x y

x xy y

xy x

y x

x y

x y

y xy

x

NHẬN XÉT :Phương trình

trên có thể sử dụng cách ép nhân tử để làm

ra được đây kà hệ đẳng cấp Với cách khác thì hệ

sẽ trở nên rất phức tạp.Hệ đẳng cấp đa số chỉ có một cách giải đơn giản mà chúng toi

đã nêu ở phần đầu.

−

= +

+

11 3

12 3

2

2 2

2 2

y xy

x

y xy

−

= +

−

= +

+

⇔

3 3 3

3 5 3 3 3

3 5 2 1 2 1 3

3 5 5 1 1 2 (%) 5

1 2

(%)

36 12

12 11

33 22

(%)

1 11

3 1

1 12

3 2

11 3

12 3

2

22

22

22

222

2

222

2

y x y x

y x y x x k x k

k k

k k

k k

x

k

k x

k k

k x k

x x

k x k x x

Với x=o suy ra hệ vô nghiệm với x khác 0 Đặt y=kx hệ trở thành

11 9

3 4

5

3

2 2

2 2

x xy

y

y xy

x

+ +

(*)

2 1

(*)

24 33

27 24

30 18

) (

1 6

8 11

9

1 3

4 5

3

6 8

11 9

3 4

5 3

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

x k

k k

k k

k k

x

k

k k

x k

x k

x

k x k

x x

Ví Dụ 11:

Với x=0 suy ra phương trình vô nghiệm với x khac

−

= +

−

6 8

11 3

1

3

2 2

2 2

x xy

x

y xy

−

= +

−

6 8

11 3

1

3

2 2

2

2 2

2 2

x t

x x

t x

t x

x

Ví Dụ 12:

Với x=0 suy ra hệ

vô nghiệm với x khác

0 Đặt y=tx hệ trở thành

6 1 1 1 (*) 6

1 1

1 6

8 11

3

(*)

1 1

3

2

2 2

y x y x x t

x t

t t

x

t x

t t

+

= +

+

18 3

2

11 2

3

2 2

2 2

y xy

x

y xy

x

= +

+

⇔

(*) 15

694 7

15

694 7

(*)

1 18

3 2

1

1 11

2 3

18 3

2

11 2

3

2

2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

t t

x

t

t t

t x t

x x

t x t

x x

Từ đó ta có thể dễ dành tìm được (x,y) Nhậx xét:Hai bài toàn trên đều là hệ đẳng cấp với công thức tổng quát về đẳng cấp ta có thể giải một cách gọn gàng Bài toán trên rất dễ nếu chúnh ta

có được chìa khóa của bài toán

+

=

+

6 5

2

2 3

2 3

2 3

xy x

x y

y y

x x

Từ đó ta dễ dàng tìm được t,x,y đây là bài tập tương tự như càc bài toán khác đã nêu ở trên Đây là bài toán đồng bậc 3 suy ra ta có thể dùng công thức đẳng cấp để giải quyết

2 3

3

2 3

3 3

3 3

1 6

5 1

1 2

1

6 5

2

x

t t

t

t x

x

t x

t x

t x

x

Với x=o suy ra hệ vô nghiệm với x=0 Đặt y=tx hệ trở thành







= +

y x

y y

x x





= +

3

t x

x

tx t

x x

x

+ +

3 3

1 1

0

(*)

) 1 1

(

(*) 6

5

0 )

1 (

2 2 2

2

2 2 3

3 2 2

x

x

x t t x

t x t

x x

x

t x

t x x

t t

x x

x

εφ εφ

Từ đó ta có thể dễ dàng tìm được x,y Nhậx xét: Đây là hệ đẳng cấp không mẫu mực ta thấy khi đãt ẩn phụ thì hệ không trở thành đồng bậc Mẳc

dù vậy với một chút khéo léo ép nhân tử ta có thể hoàn thành bài toán

1 1

3

x tx

y

y x

x

($) Cộng vế theo

vế rồi ép thành nhân tử ta ra được bài toán đẹp x theo t

Nhận xét :Đây là dạng toán không mẫu mửc của hệ đẳng cấp.Sau đây

là 20 bài toán áp dụng cho hệ đẳng cấp

BÁI TOÁN ÁP DỤNG

3

x tx

x t

x tx

t x

= =

⇔

1 2

) ( 0

2 ($)

($) 1

2

0 1

0

2

5 1

1 1

1 2

0 1

0 1

3

3 2

3 2

x tx

l x

t

x x t

x tx

t x t x x

x t

x tx

t x

x t

εφ

3 3

8

2 2

3 3

y x

y y

x x

−

= +

−

1

1

2 3

2 2

3 4

xy x

y x

y x

y x

x

=

+

6 5

1

2 4

3

3 2

y x

x

y y

+

10 5

5

9 2

6

2 2

2

2 2

y x

x

x xy

y

4 4

x y

y x

y x

+

34

8 4

4

4 2

2

y x

x y

=

+

2 2

2

2 2

5 1

6

x y

x

x xy

y

Bài 7: