Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình (Trường đại học Phương Đông)

Đối với những những phương trình, bất phương trình không có dạng chuẩn như trên, ta thực hiện: - Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa, - Chuyển vế sao cho 2 vế đều không âm, - Bình phương

Đối với những những phương trình, bất phương

trình không có dạng chuẩn như trên, ta thực hiện:

- Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa,

- Chuyển vế sao cho 2 vế đều không âm,

- Bình phương cả hai vế để khử căn

2 2

2x 1 0(2x 1) 2x 3x 1

x 07

x 48

2x 6 x 1 2 x 12x 6 x 1 2 (2x 6)(x 1) 4(x 1)

2 (2x 6)(x 1) x 1 x 14(2x 6)(x 1) (x 1)

7x 18x 25 0

x 1

x 125

x7

Ví dụ 3: Giải các phương trình, bất phương trình sau:

7

x 72

được phương trình hệ quả do phương trình đầu chưa

biết có nghiệm hay không?

 Bài toán cũng có thể giải:

x 0

x 02x 2 0

6x 8x 2 4x 12x2x 4x 2 0

 Bài toán vẫn có thể giải theo cách biến đổi tương đương nhưng so với cách này thì phức tạp

 Nếu khi giải cách phương trình ở phần trước cảm thấy khó khăn trong việc giải các điều kiện và sợ

“sót điều kiện” thì ta cũng có thể giải bằng phương trinh hệ quả sau đó thử lại

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

t x 1 4 x 2 (x 1)(4 x)

t 5(x 1)(4 x)

t 3x 4 2 2x 5x 33x 2 2x 5x 3 t 4

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

t4

x       1 0 x 1 x 1

Ta đặt: 2

ux ,v x21 (u, v0) Phương trình trở thành :

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

x

x 02

 Lưu ý các phương pháp giải hệ phương trình

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

x 25 x x 25 x 30

y 35 x x y 35Khi đó phương trình chuyển về hệ sau:

3 3

2 2

1

21

Khi đó phương trình chuyển về hệ sau:

2 2

2x 4x 0

x 32x 4x

Với hai cách giải cách 1 và cách 2 ta đều chuyển

phương trình về một hệ phương trình đối xứng loại 2

để giải quyết bài toán

Cách 3 cho ta một cách giải tự nhiên nhất khử căn

bằng cách bình phương hai vế Vấn đề đặt ra là khi

đưa về phương trình (*) bậc 4 có nghiệm không đẹp và

ta phải tách thành tích hai phương trình (**) Vậy làm

thế nào chúng ta có thể tách được ??? Có 2 phương

pháp giải quyết vấn đề này:

 Phương pháp 1: (khả năng phản xạ tính toán)

Giả sử phương trình bậc 4:

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0

và có phân tích thành

(x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = 0Lúc đó, bằng đồng nhất hệ số ta có:

 Phương pháp 2: (khả năng bấm máy tính bỏ túi)

Sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm bằng máytính (CALC)

 Dạng tổng quát của bài toán:

Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y

Sáng tạo: Khi thay a, b, f (x) là các số ta có được

các bài toán về phương trình

27 27.3x 8 27x 54x 36x 54

3 3

1x1

4x

x2

2(t 1)(8t 5t 2) 0

22x 6x 7 0

    (VN)

22x 6x 2 4 3x

2

4x37x 18x 14 0

Nhận xét ta dễ dàng nhẩm được x2 là nghiệm phương trình nên tách và nhân liên hợp ta được:

NHÂN LƯỢNG LIÊN HIỆP

2x

x 21(3 9 2x )  

54x 8 4 3x 2 x 2

54x 1 3 2 3x 2

54x 1 3 2 3x 2

x 2 0 x 2

0 (*)5

 Tuy nhiên, cách làm này thì việc chứng minh

(*) vô nghiệm tương đối khó khăn (dành cho bạn đọc)

3

2 2

2x

x 21(3 9 2x )  

2(3 9 2x )

x 212

   

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

1 x 2  4 x 2x25x 1 (1) Điều kiện: x 2 0

2x x 1

04x (x 1) 2x (x 1)

2 3 3

0

12 x 3(x 24) 3 x 24 9

2 3 3

3

x 24(x 24) 4 x 24 0

Phương pháp: Chủ yếu bằng cách sử dụng công cụ

đạo hàm hoặc sử dụng bất đẳng thức để tìm nghiệm

phương trình vô nghiệm

 Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

23(x 1) 4 5 x 1 9 4 9 5

x 4x 5 3 2

2 4

 Thế vào phương trình còn lại giải tìm x hoặc y

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau đây:

Tới đây ta có hai cách giải:

Cách 1: Có tổng, tích nên áp dụng định lý Viet đảo:

x, y là nghiệm của phương trình: X2SX P 0

y 32

x y

x2

39x 3x 5 0

Ta phải khử căn bằng cách nhân lƣợng liên

hiệp để xuất hiện nhân tử xy

Đặt ytx

2 3

 Nếu hệ gồm phương trình trên và phương trình

dưới đồng bậc thì ta có thể giải theo phương pháp này

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

2 2

x 1

y x 2 1y

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:

1

2 2

2

1 5x

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm

Cho hàm số yf x  liên tục trên tập D

Yêu cầu Khai thác

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m sao

cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

 

x 0 x 0

1lim f x lim 3x 4

 

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị của m thỏa

mãn yêu cầu bài toán là m 9

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Bất phương trình đã cho có nghiệm

Bảng biến thiên của hàm số f x 

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng

ym trên Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm    2 m 2

Vậy: 2 m2

1 x  8 x  1 x 8 x   mĐiều kiện:   1 x 8

2f(t)

f x m 15m có nghiệm x  1;4

1;4max f x m 15m

Bài 8 (B2-05) Giải phương trình sau:

Bài 11 (B1-06) Giải bất phương trình sau:

23x 2  x 1 4x 9 2 3x  5x2

Bài 12 (D2-06) Giải bất phương trình sau:

2

x2 7 x 2 x 1   x 8x 7 1 

Bài 13 (A1-08) Giải bất phương trình sau:

2(2x 1)2x 1 3 2x

Bài 17 (A-09) Giải bất phương trình sau:

Bài 20 (D2-10) Giải bất phương trình sau:

y 23y

xx3x

Bài 9 (B2-06) Giải hệ phương trình sau:

2 2 2

3

2xy

x 2x 92xy

x 1 y 8 x(x 4) y

x(x y 1) 3 0

5(x y) 1 0

III BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ m:

Bài 1 Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

Bài 3 (B-06) Tìm m để phương trình sau có hai

nghiệm thực phân biệt:

Bài 5 (B-07) Chứng minh với mọi giá trị dương của

tham số m phương trình luôn có hai nghiệm thực dương:

2

x 2x 8  m(x 2)

Bài 6 (D-07) Tìm giá trị của tham số m để hệ

phương trình sau có nghiệm thực:

Bài 11 (D2-07) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Bài 12 (A-08) Tìm các giá trị của tham số m để

phương trình sau có đúng hai nghiệm thực

x5