TICH PHAN HAM AN ,KE

SỞ GD HÀ NỘI Cho là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn Biết rằng Hướng dẫn giải Chọn D... Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. Mệnh đề nào dưới đây

HÀM CHẴN, LẺ

Câu 1 Nếu hàm số y f x  liên tục và là hàm số chẵn trên a a;  (a0) thì  d

a a

I f x x



0

a

f x x

0

a

f x x

Câu 2 Nếu hàm số y f x  liên tục và là hàm số lẻ trên a a;  (a0) thì  d

a a

I f x x



0

a

f x x

0

a

f x x

2

Câu 3 Nếu hàm số y f x  liên tục và là hàm số chẵn trên  thì  

d 1

m x m

f x

a







 (với m0,a0) bằng:

A  

0

d

m

f x x

0

1

m x

f x x

a 

m m

f x x

Câu 4 Cho hàm số y f x  liên tục trên 2; 2 và có đồ thị đối xứng

qua gốc tọa độ như hình dưới đây Biết 0  

2

d 2

f x x





  2

0

d

I  f x x

A I 2 B I 4 C I 0 D I 2

Câu 5 Cho hàm số y f x  liên tục và là hàm số lẻ trên 1;1 Biết1  

0

f x x

1 d



Câu 6 Cho hàm số y f x  liên tục và là hàm số chẵn trên 1;1 Biết 0  

1

d 2

f x x





0 d

I  f x x

Câu 7 Cho hàm số y f x  liên tục trên 2; 2 và có đồ thị đối xứng qua trục tung như hình dưới đây Biết

 

2

0

12 d 5

f x x

2 d



Câu 8 Cho hàm số f x  liên tục trên  và có 2  

0

d 3

1

2 d





I f x x

A I  0. B 3.

2

I  C I  3. D I  6.

Lời giải





 f x dx  f x dx là do hàm f  2x là hàm chẵn



I f x dx f x dx f x dx Vì 2x 2 ,x  x  0;1

Đặt t2xdt2dx Đổi cận: 0 0

  



   



Khi đó 2   2  

3

I f t dt f x dx Chọn C.

Câu 9 (SỞ GD HÀ NỘI) Cho là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn Biết rằng

Hướng dẫn giải Chọn D

Vì là hàm số chẵn nên

Xét tích phân

Đặt

Đổi cận: x  1 u 2; x  3 u 6

Vậy

ĐỎI BIẾN

Câu 10 Cho số thực a0 Giả sử hàm số ( )f x liên tục và luôn dương trên đoạn  0; a thỏa mãn

( ) ( ) 1

f x f a x Tính tích phân

0

1

a

f x





3

a

2

a

3

a

I  D I a

 

1

d 8







3

1

2 d 3

1

d





11.

 

a

a

 

3

1

2 d 3

d

2

u



Giải: Đặt t = a – x dt = -dx;

1

( )

f t

f t

Câu 11 Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  1;9 thỏa mãn 3  

1

f x dx

9 3

3 3

x

f  dx

 

 Tính tích phân

 

9

1

I f x dx

3

Câu 12 Cho 2  

1

d

 f x x a Tính

6 3

d 3

x

I  f  x

 

 

 theo a

A I a B I3a C

3

a

I  D I 9a

Câu 13 Cho hàm số f(x) liên tục trên [1; 2] và f(x) + f(3 – x) = 6x2 – 18x + 21 Hãy tính tích phân

2

1

If(x)dx

Giải: Ta có

2

2 2 (6x – 18x  21)dx (f(x)f(3 x))dx

Suy ra

8f(x dx) f(3x)dx Đặt t = 3 – x dt = -dx, đổi cận Suy ra

8f(x dx) f(t) dtf(x dx) f(x) dx2 f(x) dx I = 4

Câu 14 Cho biết

2 2 0 xf(x )dx4

3 2 f(z)dz0

16 9

f( t )dt

6

t 

4 0 f(x)dx



Giải: Ta có

xf(x )dx 4 f(x )d(x ) 4 f(t)d(t) 4

2 0 f(x)dx8



f( t )dt

6 2 f( t )d( t ) 6 2 f(x)d(x) 6 f(x)d(x) 3



If(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx   8 0 4 12

Câu 15 Cho hàm số f x  liên tục trên  thỏa mãn f x  f10 x, x và 7  

3

4

f x dx

 Tính tích phân

 

7

3

.

I x f x dx

A I 40 B I  80 C I  20 D I 60

I t f t dt t f t dt f t dt t f t dt

I = 10.4 – I  I = 20

Câu 16 Cho hàm số y f x  liên tục trên  thỏa f x  f   x e xex, x  Tính 2  

2 d



A  2 2

2

I  e e B 2 2

I  e e C 2 2

I e e D  2 2

2

I  e e

Câu 17 Cho hàm số y f x  liên tục trên  thỏa f   x 2017f x e x Tính 1  

1 d



A

2 1 2018

e I

e



2 1 2018

e I

e



I e

Câu 18 Cho hàm số y f x  liên tục trên  thỏa f x  f   x 2 2cos 2 , x  x  Tính

 

3

2

3

2

d

I f x x







A I  6 B I 0 C I  2 D I 6

 I  f t t I   f x   f x dx

2





hàm chẵn

Câu 19 Cho 6  

0

d 12

0

3 d



I f x x

3

I  D.I 12

Câu 20 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [1; 3] thỏa mãn 3  

1

f x x

3 1

'( )

2

2 ( )

f x dx

f x 

đó giá trị của f(3) là:

Lời giải:

t f x  t f x  tdt f x dx

(3) 3

(3)

2

f f

f

t

 

3

1

3

1

f x x  f  f  f   f   f

Từ (1) suy ra f(1) > 0 vì nằm trong căn, nên từ (2) suy ra f(3) > 8, trong 4 đáp án chỉ có C thỏa f(3) =

9 và f(1) = 1

Câu 21 Biết hàm số f x  liên tục trên  và có 2017  

0

 Giá trị của tích phân

2017 1

2 2

0

1

e

x

x





A I  1. B I  2. C I  4. D I  5.

Lời giải Đặt  2 

2

2

   





Khi đó 2017   2017  

Câu 22 Cho hàm số f x  liên tục trên  và thỏa mãn 2   3   1 2

4

x

 Tính tích phân 2  

2

d





10

10

20

20

I   Lời giải Lấy tích phân hai vế của biểu thức 2   3   1 2

4

x

 , ta được

2

1

4 4

x





2



  Đặt t   x   dt dx Đổi cận: 2 2.

    



   



.



2



Câu 23 Ký hiệu F x  là một nguyên hàm của hàm số cos

2

x y

x

 trên khoảng 0; Khi đó tích phân

4

1

cos 2 d

x

x

A I  2 F 8  F 2

B I  2 8 F  F 2 C I  2 8 F  2 F 2 D

   

I  F  F

Lời giải Xét

4 1

cos 2 x

x

2

2

x

 





   

 Đổi cận

.

   



   



Khi đó

2 2

     

2

2

Câu 24 Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn  

1 3 0

f x x 

1 2

1 6

2 d 13

 

1

2 3 d

A I  6. B I  7. C I  8. D I  9.

1

2

2

1

2

t x

1 3

26.

f x dx 



Tích phân 1 2  3

0

.

3

3

t  x    dt x dx  x dx  dt

   



   

1

1

3

Câu 25 Cho hàm số f x  có đạo hàm trên , thỏa mãn f 1  a f ,  2  b với a b ,   và a b  , 0 Giá trị của

tích phân  

 

2 1

' d

f x

f x

A I   b a B I  lnb a  . C ln b

I a

I b



Lời giải Đặt t  f x    dt f x dx '  Đổi cận  

 



a a

Câu 26 Cho hàm số f x  có đạo hàm trên  và thỏa mãn f2016 a, f2017 b a b ;   Giá trị

   

2016

2014 2017

A I  b 2017  a 2017 B I  a 2016  b 2016 C I  a 2015  b 2015 D I  b 2015  a 2015

Lời giải Đặt t  f x    dt f x d x     Đổi cận:  

 

.





Khi đó 2015 2014 2015 2015 2015

b b

I  t dt  t  a  b Chọn C

Câu 27 (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết

5 1

f x dx





 Tính giá trị của

2 0 [ (5 3 ) 7]dx

P f  x 

Hướng dẫn giải

Để tỉnh P ta đặt

5 3

3

dt

t x dx

  

   

nên

.15 7.(6) 19

dt



chọn đáp án D

ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT

Câu 28 Cho ,  d 12,  d 4

a b c f x x f x x Khi đó,  d

c a

f x x

Câu 29 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  1;3 , f  1 3, f  3 7 Tính 3  

1

d

I  f x x

A I 2 B I 8 C I 4 D I 1

Câu 30 Tìm số dương b để  2

0

d

b

I  xx x có giá trị lớn nhất

A b1 B b2 C b3 D b4

Câu 31 Choy f x ,yg x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [0; 2] và

2 0 ( ) ( ) 2

g x f x dx 

2

0

( ) ( ) 3

g x f x dx 

2 0 [ ( ) ( )

I  f x g x dx

A I  1 B I 6 C I 5 D I 1

Giải:

[ ( ) ( ) [ '( ) ( ) ( ) '( )] 2 3 5

I  f x g x  dx  f x g x  f x g x dx  

Câu 32 Cho hàm số y  f x  có 1  f x '  4 với mọi x  2;5 Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định

đúng?

A 3  f 5  f 2  12. B   12 f 5  f 2  3.

C 1  f 5  f 2  4. D   4 f 5  f 2  1.

Lời giải Đầu tiên ta phải nhận dạng được     5  

2



 

1  f x '  4,   x 2;5  1 dx  f x dx ' 4 dx



Vậy 3  f 5  f 2  12. Chọn A

Câu 33 Cho f , g là hai hàm liên tục trên  1;3 thỏa:3    

1

f x  g x x

1

2f x g x dx6

Tính 3    

1

d

f x g x x

Hướng dẫn giải Chọn C

f x  g x x  f x x g x x

2f x g x dx 6 2 f x dx g x dx6

1 d

u f x x, 3  

1 d

vg x x

Khi đó 3     3   3  

f x g x x f x x g x x  

Câu 34 Tìm f 9 , biết rằng    

2 x 0

f t dtx cos x



A.   1

f 9

6

  B.   1

f 9

6

f 9

9

f 9

9



Đáp án A

Ta có: F t f t dt  F' t   f t , đặt        

2 x

2 0

G x  f t dtF x F 0 Suy ra    2  2

G ' x F' x 2xf x

2xf x   x sin  x cos x

6

         Suy ra   1

f 9

6

 

Câu 35 (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f x g x là các hàm số liên tục trên đoạn ( ), ( )  2; 6 và thỏa mãn

( ) 3; ( ) 7; ( ) 5

f x dx f x dx g x dx

A.

6

3

[3 ( )g x  f x dx( )] 8

3 2 [3 ( ) 4]f x  dx5

6 ln 2 [2 ( ) 1] 16

e

f x  dx

6 ln 3 [4 ( ) 2 ( )] 16

e

f x  g x dx



Hướng dẫn giải

( ) ( ) f( ) 10

f x dx f x dx x dx

Ta có:

[3 ( )g x  f x dx( )] 3 g x dx( )  f x dx( ) 15 7 8

[3 ( ) 4]f x  dx3 f( )x dx4 dx  9 4 5

6

e

f x  dx f x  dx x dx dx  

6

e

f x  g x dx f x  g x dx x dx g x dx  

Nên D sai

Chọn đáp án D

Câu 36 (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử 1  

0

d 3

f x x

0

d 9

f z z

f t t f t t

Hướng dẫn giải Chọn C

f x x  f t t

f z z  f t t

           

f t t f t t f t t f t t f t t f t t

f t t f t t

Câu 37 ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho f , g là hai hàm liên tục trên  1;3 thỏa:

    3

1

f x  g x x

1

2f x g x dx6

1

d

f x g x x

Hướng dẫn giải Chọn C

f x  g x x  f x x g x x

2f x g x dx 6 2 f x dx g x dx6



1 d

u f x x, 3  

1 d

vg x x

f x g x x f x x g x x  

DẠNG KHÁC

Câu 38 Nếu  

x a

f t dt

x

t  

 với x0 thì hệ số a bằng :

Giải:

Cách 1: chọn x = a  

a a

f t d

a t

Cách 2: Giả sử  

a

x f t dt x

F t F x F a a



 

x a

f t dt

t

  2

1

( )

f

f x x x x

x x

Câu 39 Cho hàm số f x  liên tục trên [-1; 4] và có đồ thị như hình vẽ Khi đó 4  

1



A 5 2

I 

B 11 2

I 

C I  5.

D I  3.

Lời giải Gọi A 1;0 , 0;2 , 1;2 ,   B C  D 2;0 , 3; 1 , E   F4; 1 ,   H 1;0 , K   3;0 , 4;0 L



(do f x  0,    x  1;2 và f x  0,   x 2;4)

1.2.1 2.1 1.2.1 1.1.1 1.1 5

ABO OBCH HCD DKE EFLK

Câu 40 Cho hàm số y f x  liên tục trên  a b; có đồ thị như hình Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A  d

b

a

f x x

 là diện tích hình thang cong ABMN B  d

b a

f x x

 là diện tích tam giác cong ABP

C  d

b

a

f x x

b a

f x x

 là độ dài đoạn MN

Câu 41 Cho hàm số y f x  liên tục trên  a b; có đồ thị như hình và f x g x  Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

O

- 1

4 3 2 1

2

- 1

y

x

A  d

b

a

g x x

b a

g x x

 là diện tích hình thang cong ABMN

C  d

b

a

g x x

b a

g x x

 là độ dài đoạn cong AB

b a

b

f x g x g x dx f x f b f a BM MP BP

a

Câu 42 Cho hàm số y f x  xác định trên 0;18 có đồ thị như hình

0

x

S x  f t dt  x Khi đó S 6 có giá trị là :

Giải :

6 0

S f t dt

Lưu ý f(x) và f(t) đều có cùng một đồ thị

Từ hình vẽ nhận thấy

6 0

S f t dtchính là diện

tích 1

4 hình tròn bán kính bằng 6

2 6

4

Câu 43 Cho hàm số y f x  xác định trên 0;18 có đồ thị như hình

Đặt      

0

x

S x  f t dt  x Khi đó S 18 có giá trị là :

A 9 18 B 1818 C 6 18 D 18 36

Giải :

S  f t dt f t dt f t dt, Từ hình vẽ thấy

12 0 ( )

f t dt

 là diện tích nửa hình tròn bán kính 6, 18

12

( )

f t dt

 là diện tích tam giác vuông

2 6 6.6

Câu 44 Cho hàm số y f x  liên tục trên  0; 4 có đồ thị trên  0; 4 như hình dưới

Tính 4  

0 d

f x x

Giải :

0

f x x f x x f x x

Gọi S1 là diện tích hình thang phía trên trục Ox    1

0

2 d

f x xS

 , S2 là diện tích hình tam giác phía dưới trục Ox    2

4 2 d

f x x S



  4

0

f x x S S 

Câu 45 Cho hàm số y f x  liên tục trên  0; 4 có đồ thị trên  0; 4 như hình dưới

Đặt    

0 d

a

G a f x x,    

2 d

a

H a  f x x với a 0; 4 Tính G a H a 

0

2

0

2

a

G a H a  f x xf x x f x x f x xf x x Gọi S1 là diện tích hình thang phía trên trục Ox   1

2 0

2 1

2

f x x S 

Câu 46 Cho hàm số y f x  liên tục trên 2;3 có đồ thị trên 2;3 như hình dưới

1 d

a

M a  f x x Tìm giá trị của M 1

A M   1 1 B M  1 0 C  1

2

M  

D Không tồn tại M 1

Câu 47 Cho hàm số y f x  liên tục trên 2;3 có đồ thị trên 2;3 như hình dưới

1 d

a

M a  f x x Tìm giá trị của của M 2

A  2

4

M  

B  2

4

M   

2 4

M   

Câu 48 Cho hàm số y f x  liên tục trên 2;3 có đồ thị trên 2;3 như hình dưới

giá trị của 3  

2 d

f x x

 bằng :

A 5

4



4



2



2



Câu 49 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình Biết 3  

1

d 2, 3

f x x

 và F x  f x , x  0; 4 Tính hiệu F 3 F 0

Giải :

3

d ' d ( ) (3) (0)

0

f x x F x xF x F F

1

f x x f x x f x xS 

hình chữ nhật như hình bên

(3) (0) 1*2 2,3 4,3

Câu 50 Cho hàm số y f x  xác định trên , thỏa mãn f x 0,  x  và f ' x 2f x 0 Tính

 1

f  , biết rằng f 1  1

A 2

e B 3

e D 3

 

'

f x

Lấy tích phân hai vế, ta được  

'

f x

ln  f 1  ln  f 1  4 ln1 ln  f 1  4

              

ln  f 1  4 f 1 e

         Chọn C

Câu 51 (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số y f x( ) có đồ thị y f x( ) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành

độ a b c như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A ( )f c  f a( ) f b( ) B ( )f c  f b( ) f a( )

C ( )f a  f b( ) f c( ) D ( )f b  f a( ) f c( )

Hướng dẫn giải Chọn A

Đồ thị của hàm số y f x( ) liên tục trên các đoạn  a b ;

và  b c , lại có ; f x( ) là một nguyên hàm của f x( )

Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( ) 0

y f x y

x a

x b







 



 



 



là:

b a

S  f x x f x x  f x  f a  f b

Vì S1 0 f a  f b   1

Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( ) 0

y f x y

x b

x c







 



 



 



là:

c b

S  f x x f x x  f x  f c  f b

   

S   f c  f b  2

Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1S2  f a  f b  f c  f b  f a  f c   3

Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A

(có thể so sánh f a với   f b dựa vào dấu của f x( ) trên đoạn  a b và so sánh ; f b với   f c dựa vào dấu của f x( ) trên đoạn  b c ) ;

Câu 52 Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ Tính

4 1 '( ) d

f x x



Giải:

Với x thuộc khoảng (1; 2) đồ thị f(x) đi lên nên f(x) đồng biến nên f’(x) > 0,

với x thuộc khoảng (2; 4) đồ thị f(x) đi xuống nên f(x)

nghịch biến nên f’(x) < 0 Do đó:

f x x f x x f x x f x x f x x

Câu 60 Cho y = f(x) liên tục trên [1; 2] thỏa f(1) = -1 và 2

(x1) '( )f x  f x( )3x 2x Giá trị f(2)là

y

3 y f x( )

Giải:

2

[(x1) '( )f x  f x dx( )]  (3x 2 )x dx (x1) ( ( ))d f x  f x dx( ) 4

Câu 61 Cho y = f(x) liên tục trên [1; 2] thỏa f(1) = -2ln2 và 2

( 1) '( ) ( )

x x f x  f x x x Giá trị (2) ln 3

f  a b (a, b là các phân số tối giản) Tính a2 + b2

A 25

9

5

13 4

Giải:

2

2

1

1

x

x



TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Câu 53 Trong các hàm số f x  dưới đây, hàm số nào thỏa mãn đẳng thức

0

.cos d sin 2 sin d

A   2

6

f x  x B   4

2

x

f x   C   4

2

x

f x  D   3

2

f x  x

0

Từ đó suy ra   3

f x  x nên chỉ có   4

2

x

f x  là thỏa mãn Chọn C

Câu 54 Cho hàm số y  f x  có đạo hàm f x '  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 và 1  

0

Tính tích phân 1  

0

' d

Lời giải Xét 1  

0

I  f x dx Đặt t  x     t 2 x  2 tdt  dx

   



   

0

I  tf t dt  A

Tính 1  

0

'

A tf t dt Đặt

'

Khi đó  1 1    

0 0

Câu 55 Cho hàm số f x  thỏa mãn 1   

0

x f x dx

 và 3f 1  2f 0  2 Tính 1  

0

I f x dx

A I 1 B I   5 C I   1 D I 5

Giải: đặt

2 '

1

0

Từ giả thiết suy ra 2 – I = 3 hay I = -1

Câu 56 Cho hàm số y f x  thỏa 1   

0

A x f x x và 2f  1  f  0 2 Tính 1  

0 d

I  f x x

A I 8 B I  12 C I  8 D I 12

Câu 57 Biết F x  là một nguyên hàm của f x  thỏa mãn   2017  

1



  2018

0

d

I   x f x x

A I 2018 B I 2019 C I 2017 D I 2016

Giải: đặt

dv f x dx v F x

Câu 58 Cho hàm số y f x  thỏa 2    

0 sin x f x dx f 0 1



0

I x f x x





A I 1 B I 1 C I 0 D I 2

Giải: đặt

'

dv f x dx v f x

Câu 59 Cho hàm số y f x  với f  0  f  1 1 Biết 1      

0

d

x

e f x  f x xae b

Qa b

A Q0 B Q2 C Q1 D Q 2

e f x  f x x e f x x e f x x I I

Với I2 Đặt

'

dv f x dx v f x

Câu 60 Cho hàm số f x thỏa mãn  

2 0 (x3) '( )f x dx50

 và5 2f 3 0f 60 Tính

2 0 ( )

f x dx

A I 10 B I  8 C I 12 D I 12

Giải: đặt

3 '

dv f x dx v f x

2 ( 3) '( ) 50 ( 3) ( ) ( ) 50

0

x f x dx  x f x  f x dx

5 (2) 3 (0)f f f x dx( ) 50 60 f x dx( ) 50 f x dx( ) 10