Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn

ĐỀ TÀI NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN MÔN: TOÁN HỌC... Sự đổi mới phương pháp dạy và học ở trường trung học phổ thông Đổi mới phương pháp dạy h

ĐỀ TÀI

NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN

MÔN: TOÁN HỌC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY TRINH _

ĐỀ TÀI GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN

NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN

TÁC GIẢ: NGUYỄN ĐÌNH TÂM

TỔ: TOÁN - TIN

SỐ ĐTDĐ: 0976.559.628

Tháng 4 năm 2022

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

1 Sự đổi mới phương pháp dạy và học ở trường trung học phổ thông 1

2 Thực trạng dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn 1

3 Đổi mới kiểm tra đánh giá, thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh vào các trường Đại học 2

4 Chọn đề tài nghiên cứu 2

II PHẠM VI ĐỀ TÀI 2

III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 3

V KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU 3

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3

B NỘI DUNG 4

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1 Công thức tính tích phân 4

2 Tính chất của tích phân 4

3 Phương pháp tính tích phân 4

II ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP 6

II.1 QUY TẮC 1: 6

II.2 QUY TẮC 2: 8

II.3 QUY TẮC 3: 10

II.4 QUY TẮC 4: 12

II.5 QUY TẮC 5: 14

III PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 15

III.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: 15

III.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: 18

III.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3: 20

III.4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4: 23

III.5 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5: CÓ HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, CÓ CẬN ĐỐI XỨNG 24

III.6 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 : 27

IV PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 28

V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 35

VI TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 39

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 45

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

A MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Sự đổi mới phương pháp dạy và học ở trường trung học phổ thông

Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng được cái gì qua việc học Để đảm bảo được điều đó, phải thực hiện chuyển từ phương pháp dạy học theo lối

"truyền thụ một chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất Tăng cường việc học tập trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên - học sinh theo hướng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực

xã hội Bên cạnh việc học tập những tri thức và kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ đề học tập tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp

Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông tin ), trên

cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp đặc thù của môn học để thực hiện Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào cũng phải đảm bảo được nguyên tắc

“Học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức(tự chiếm lĩnh kiến thức) với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”

Việc sử dụng phương pháp dạy học gắn chặt với các hình thức tổ chức dạy học Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình thức tổ chức thích hợp như: học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ở ngoài lớp Cần chuẩn

bị tốt về phương pháp đối với các giờ thực hành để đảm bảo yêu cầu rèn luyện kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, nâng cao hứng thú cho người học

Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy học môn học tối thiểu đã qui định Có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm nếu xét thấy cần thiết với nội dung học và phù hợp với đối tượng học sinh Tích cực vận dụng công nghệ thông tin trong dạy học

2 Thực trạng dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn

Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà ở đó hàm số bị ẩn đi Tức là hàm số không được cho dưới dạng tường minh là một công thức

Thông qua quan sát, nghiên cứu, thăm dò một số ý kiến tôi nhận thấy thực trạng dạy và học chủ đề tích phân hàm ẩn của giáo viên và học sinh bên cạnh những thuận lợi cũng còn những khó khăn tồn tại như:

- Học sinh có cảm giác “sợ” nên không quyết tâm học và rèn luyện mảng kiến thức này

- Học sinh không biết bắt đầu từ đâu, thực hiện những hoạt động nào để giải quyết bài toán

Trong các đề thi đánh giá năng lực, thi tốt nghiệp THPT học sinh thường gặp một số câu về tính tích phân của hàm ẩn và các bài toán có liên quan, đây là các bài ở mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo được cho các em có năng lực, linh hoạt hơn trong việc tính tích phân và nâng cao tư duy trong giải toán nhằm lấy được điểm cao hơn trong bài thi

Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh trường THPT Nguyễn Duy Trinh (các lớp tôi trực tiếp giảng dạy) về các bài toán tính tích phân của hàm ẩn, đã thu được kết quả như sau:

12A 45 5 11,1 15 33,3 25 55,6 0 0 0 0 12A1 45 1 2,2 10 22,2 30 66,7 4 8,9 0 0 12A6 44 0 0 5 11,4 30 68,2 8 18,2 1 2.2 Như vậy số lượng học sinh nắm bắt dạng này không nhiều, có rất nhiều em chưa định hình được lời giải do chưa có được nguồn kiến thức và năng lực cần thiết

3 Đổi mới kiểm tra đánh giá, thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh vào các trường Đại học

Hiện nay không chỉ kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, học sinh còn trải qua các kỳ thi đáng giá năng lực để được tuyển sinh vào các trường Đại học Điều này đòi hỏi học sinh phải thay đổi cách học, cách tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách chủ động, sáng tạo đáp ứng yêu cầu trong thời đại mới

4 Chọn đề tài nghiên cứu

Tích phân hàm ẩn là chủ đề mới, thường xuất hiện trong các kỳ thi đánh giá năng lực, kỳ thi chọn học sinh giỏi, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, … Hiện nay rất ít tài liệu viết về chủ đề tích phân hàm ẩn thể hiện đầy đủ, phù hợp với đa số học sinh trung học phổ thông

Từ tầm quan trọng, thực trạng, qua thực tế giảng dạy và nghiên cứu tài liệu tôi

đã chọn đề tài: “Góp phần hình thành và phát triển năng lực Toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn” để nghiên cứu

II PHẠM VI ĐỀ TÀI

- Chương 3 giải tích 12

III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu những khó khăn, thuận lợi về mặt tư duy của học trò khi tiếp cận chủ đề tích phân hàm ẩn Rèn luyện cho học sinh kỹ năng trình bày một bài toán theo hình thức

tự luận và cách để giải nhanh một bài toán theo hình thức trắc nghiệm Phát triển tư duy suy luận, tư duy thuật toán và phát huy tính tích cực, sáng tạo khi giải toán góp phần hình thành và phát triển năng lực Toán học cho học sinh

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Học sinh lớp 12 - Học sinh ôn thi đánh giá năng lực, ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông trường THPT Nguyễn Duy Trinh

- Giáo viên dạy môn toán bậc THPT

V KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU

1 Từ 20 tháng 10 năm 2021

đến 10 tháng 12 năm 2021

Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu

Bản đề cương chi tiết

2 Từ 11 tháng 12năm 2021

đến 01 tháng 1 năm 2022

Đọc tài liệu lí thuyết viết

cơ sở lý luận

Tập hợp tài liệu lý thuyết

3 Từ 02 tháng 1 năm 2022

đến 01 tháng 2 năm 2022 Trao đổi với đồng nghiệp và đề xuất sáng kiến Tập hợp ý kiến đóng góp của đồng nghiệp

4 Từ 02 tháng 2 Năm 2022

đến 15 tháng 2 năm 2022 Dạy thử nghiệm ở các lớp 12A, 12A1,12A6

Thống kê các kết quả thử nghiệm

5 Từ 16 tháng 2 năm 2022

đến 15 tháng 4 năm 2022 Hoàn thiện đề tài Đề tài chính thức

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Trao đổi với đồng nghiệp, với học trò, dự giờ thăm lớp để tìm hiểu thực trạng về việc học tập chủ đề tích phân hàm ẩn

- Tìm hiểu các tài liệu về bài toán liên quan đến tích phân hàm ẩn, các sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học, tìm các đề thi thử tốt nghiệp trung học phổ thông của các trường, các Sở, đề thi đánh giá năng lực, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông của Bộ để hình thành cơ sở lý thuyết

- Trao đổi với đồng nghiệp về những giải pháp sẽ thực hiện trong đề tài

- Trực tiếp dạy thực nghiệm các lớp 12A, 12A1,12A6

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Công thức tính tích phân

b ba

a

f x dx F x F b F a

* Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi b

a

f x dx

b

a

f t dt

 Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến

số

2 Tính chất của tích phân

Giả sử cho hai hàm số f x và g x liên tục trên K a b c là ba số bất kỳ thuộcK Khi đó ta có :

1

a

a

f x dx 



2

f x dx  f x dx

3

f x dx f x dx f x dx

4

f x g x dx f x dx g x dx

kf x dx k f x dx

6 Nếu f x    x a b thì :

b

a

f x dx   x a b



x a b f x g x f x dx g x dx

8 Nếu   x a b Nếu M f x Nthì

b

a

M b a  f x dx N b a 

3 Phương pháp tính tích phân

3.1 Phương pháp đổi biến

3.1.1 Phương pháp đổi biến dạng 1

*Định lí

Nếu hàm số u u x đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a b sao cho

f x dx g u x u x dx g u du  thì:

u b b

I f x dx  g u du *Phương pháp chung

 Bước 1: Đặt u u x du u x dx

 Bước 2: Đổi cận : x b u u b

x a u u a



 Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u

I f x dxg u x u x dx    g u du

3.1.2 Phương pháp đổi biến số dạng 2

*Định lí

Nếu 1) Hàm x u t có đạo hàm liên tục trên  

2) Hàm hợp f u t được xác định trên  

3) u a u  b

Khi đó: b

a

I f x dx f u t u t dt

*Phương pháp chung

 Bước 1: Đặt x u t

 Bước 2: Tính vi phân hai vế : x u t dx u t dt

Đổi cận: x b t



 Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t

Vậy: b

a

I f x dx f u t u t dt  g t dt G t G G

3.2 Phương pháp tích phân từng phần

*Định lí

Nếu u x và v x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên a b thì:

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

b

a

udv

 uvb

a

a

vdu



*Phương pháp chung

 Bước 1: Viết f x dx dưới dạng udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f x làm u x và phần còn lại dv v x dx

 Bước 2: Tính du u dx và vdvv x dx

 Bước 3: Tính b

a

vu x dx

uv a

* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần

Đặt u theo thứ tự ưu

tiên:

Lốc-đa-mũ-lượng

b x a

P x e dx

a

P x xdx

a

P x xdx

a



Chú ý: Nên chọn u là phần của f x mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv v dx

là phần của f x dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm

II ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

II.1 QUY TẮC 1:

- Nếu u u x và v v x thì uv u v uv  

- Nếu f x g x   h x thì f x g x h x dx

Ví dụ 1 Cho f x có đạo hàm trên   thỏa mãn f x  x f x  với

x  

   Biết f  , tính tích phân I f x dx

Hướng dẫn : Ta có

f x  x f x   x f x  x f x   x f x  

x

x



 Khi đó



Nhận xét: Nếu u x là biểu thức cho trước thì ta có

u x f x  u x f x u x f x 

Đặt v x u x  ta được u x f x   v x f x u x f x  (*) Như vậy nếu biểu thức có dạng v x f x u x f x  ta có thể biến đổi đưa về dạng u x f x  Khi đó

ta có bài toán tổng quát như sau:

Cho A x B x ; g x là các biểu thức đã biết Tìm hàm số f x thỏa mãn

A x f x B x f x  g x (**)

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**) u x f x   g x

Trong đó u x được chọn sao cho :



u x G x c

   (với G x là một nguyên hàm của A x

B x )từ đây ta sẽ chọn được biểu thức u x

Ví dụ 2 Cho f x có đạo hàm trên   thỏa mãn f  và

f x x f x   x với   x  .Tính tích phân I f x dx

Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u x Ta có

x

nên ta chọn u x x , khi đó ta có lời giải như sau:





Khi đó x f x  x dx x f x  x c

  x f x  x  f x  x

khi đó I f x dx x dx x  

Ví dụ 3 Cho f x có đạo hàm trên   thỏa mãn x f x x f x   ex với

x  

   Biết f  , tính tích phân e Ix f x dx

Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u x Ta có

x

x

x



x

   nên ta chọn u x xex, khi đó ta có lời giải như sau:

Ta có xe f xx  xex  f x xe f x x   exxe f x xe f xx  x 

e  x f x xf x  xe f x  e  e  xe f x e dx

xe f x e c

   do f  e e e e c   c xe f xx e x f x ex

x

Khi đó I x f x dxe dx ex  x e e

Bài tập tương tự

1 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng  thỏa mãn điều kiện

f  và x  f x  f x    Tính x f

2 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng   và thỏa mãn đẳng thức

x



 với mọi x   Tínhf II.2 QUY TẮC 2:

- Nếu u u x và v v x thì u u v uv

   

 

- Nếu f x h x

g x





f x

h x dx

g x 

Hệ quả: Nếu u u x thì u

 

   

 

  với u 

f x





f x 

Ví dụ 1 Cho hàm số f x  , liên tục trên đoạn   và thỏa mãn f 

x f x   x f x với   x   Tính tích phân I f x dx

f x





 Khi đó



Ví dụ 2 (ĐỀ THPT QG NĂM 2018-BGD ) Cho hàm số f x thỏa mãn f   và

f x  x f x   x Giá trị của f bằng

Hướng dẫn: Chọn B

f x





x C

f x

f x

Ví dụ 3 Cho hàm số f x  thỏa mãn điều kiện f x  x f x và

 

f Tính tổng S f  f f  f  f

Hướng dẫn: Ta có f x  x f x f x x

f x



f x

f x



f x

     Vì f     C

Vậy f x

Bài tập tương tự

1 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   và thỏa mãn f   và

f x xf x   x x f x     Tính tích phân xf x dxx   

2 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   đồng thời thỏa mãn f  

và f x f x x  Tính T f  f

3 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   thỏa mãn f  và

f x  x f x  xf x   x   Giá trị của f x dx bằng

4 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   thỏa mãn f  và

f x  f x  f x  với mọi x     Tính diện tíchS của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x  x 

II.3 QUY TẮC 3:

- Nếu u u x thì u u

u





 với u 

- Nếu  f x   h x thì f x h x dx

Ví dụ 1 Cho hàm số f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn   thỏa mãn

f x  f x ,   x   và f  Tính tích phân  f x dx

Hướng dẫn: +) Từ giả thiết, ta có

f x

f x

+) Lại có

f    C f x  x f x dx x dx x 

Ví dụ 2 Cho hàm số f x liên tục, không âm trên R và thỏa mãn

f x f x  x f x   với   x R và f  Tính I f x dx

Hướng dẫn: Ta có

f x f x

f x







       Do f   c nên ta có

(vì f x không âm trên R ) Khi đó If x dx x x  dxx x  dx

Ví dụ 3 Cho hàm số f x đồng biến, có đạo hàm trên đoạn   và thoản mãn

x x f x  f x  với   x   Biết f  , tính I  f x dx

Hướng dẫn: Do f x đồng biến trên đoạn   f x     x  

Ta có x x f x f x  x  f x f x  , do x     và

f x     x  

f x 

f x

