Bài dạy GTLN GTNN chọn lọc (L12)

Tìm M để MA+MB lớn nhất D A B M Hướng dẫn: Trên tia AM lấy D để cho MD=MB Ta có góc MDB = góc MBD Suy ra góc AMB=MDB+MBD=2ADB Vậy góc ADB=1/2.AMB không đổi Điểm D di động trên cung tròn

Tìm GTLN và GTNN của các loại hàm số sau:

* A) Hàm tuyệt đối:

Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:

1) yx2 3x2 ,x  10;10

(giá trị tuyêt đối toàn phần)

Giải:

y x  x x 

3

2

y x y  x

Các giá trị đặc biệt của x là 10;3/2,10

Ứng với y1 là 72, 1/4 và 132

Suy ra 1/4≤yy1≤y132

Suy ra 0≤yy≤y132

Min(y)=0 (x=1 hay x=2)

Max(y)=132 (x=10)

2) y x x21 ,x  2; 2

(giá trị tuyệt đối bộ phận)

Giải:

y x  x   x   x

y x  x   x

1

1 0

2

y   x  (bị loại)

2

1 0

2

y   x

Các giá trị đặc biệt của x là 2; 1; 1; 2; ½

Ứng với các giá trị của y là 1; 1; 1; 5; 5/4

Min(y)=1 (khi x=1)

Max(y)=5 (khi x=2)

3) yx2 4x x2 4x3 ,x  1; 4

Hướng dẫn: xem bài 2

4) 1, 0; 4

1

x

x





Giải:

,

x





3

5

Min(y)=0 (khi x=1) Max(y)=3/5 (khi x=4)

5) 2 , 0; 4

x

x





Giải:

x

x

Những giá trị đặc biệt của x là 0; 2; 4 Ứng với y là 2; 0; 2/9

Min(y)=0 (khi x=2) Max(y)=2 (khi x=0)

B) Hàm hữu tỷ:

Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:

1

x y x





(dạng(ax+b)/Q 2 hay P 2 /Q 2 với Q 2 >0 với mọi x)

Giải:

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên của y…

1

x

x

Với y=0 cho ta giá trị x=0 để y(0)=0 Với y≠0, phương trình (1) cho ta điều kiện:

         Min(y)=1/2 khi x=1/(2y)=1 Max(y)=1/2 khi x=1/(2y)=1 2)

2 2

1 1

x x y

x x

 



Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2

x y

x x





Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2

4) 22 1

1

x y

x x





 

2 Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2

x

y

x x





Giải:

1 2

2

( 2)

x



2

y

 

1

2 2 6 2 10

x

2 2

2

( 2)

x

 

2

y

 

2

x



Khi x=2 ta có y=0

Min(y)= 1

6 2 10

  khi x= 2 10

Max(y)= 1

6 2 10 khi x= 2 10

C) Hàm chứa căn dạng:

Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:

1) y x x21,x   3; 3

Giải:

2

1 1

y

 

Giải y’=0 vô nghiệm

( 3) 3 2

Min(y)= (y  3) 3 2

Max(y)= ( 3)y  3 2

2) y x 1 x x,   3;1

(Chỉ có 1 căn của P 1 thì đặt t là căn ấy)

Giải:

Đặt t 1 x; 0 t 2; x 1 t2

yt  t  t

1

2

y t y  t

  Min(y)=1 và Max(y)=5/4

3) y(2x 8) x x, 1; 4 Hướng dẫn: xem bài 2

4) yx x1 , x0;1 Hướng dẫn: xem bài 2

5)

1

x y

x





Giải:

1

x

x      

1

x

Lập biến thiên của y1 với x<1 hay x≥0

Ta có : y≥0 và y≠1 Nên Min(y)=0 và không tồn tại Max(y)

D) Hàm lượng giác:

Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:

1) y2sinxcos 2 ,x x0;

Giải:

  2

2sin 2sin 1, 0;

Đặt t=sinx, 0≤yt≤y1

y=g(t)=2t2+2t+1, y’=4t+2 có nghiệm t=1/2

g(0)=1, g(1)=1, g(1/2)=3/2

Min(y)=1 khi t=0 hay t=1 ứng với x=0 hay x=

Max(y)=3/2 khi t=1/2 ứng với x=/6 hay x=5/6

2

y x  x x  

Giải:

1 2cos 2

y   x

1

0 cos 2

y   x  x  k

Do 0 x  nên chỉ có

3

x

y(0)=0; y()=, y(/3)=2 3 3

6

 

Min(y)= y(0)=0

Max(y)= y()=

3) y x2sin ,x x0;

Hướng dẫn:

1 2cos

2 2sin

x y



 



0 cos

y   x  x 

y(0)=0; y()=  ; 2 2 3 3

y    

Min)y)= y(0)=0

y    

4) sin tan 2 , 0;

4

y x x x x  

Giải:

2

2

cos

x

2 2

2 2

(cos 1)(cos cos 1)

cos (1 cos )(sin cos )

0 cos

y

x

x



y       

  Min(y)=y(0)=0

5) ytan(sin ),x x0; Giải:

2

1 tan (sin ) cos

y  x  x

0

2

y   x (0) 0

2

y 

  , ( ) 0y  

Min(y)= (0) 0y  Max(y)= tan(1)

2

y

  6)

2 2

2 cos

y

x





Giaỉ:

sin 2 1 cos 2 1

1 cos 2 2

2

y

x









3 sin2x+cos2x

5 cos 2

y

x







(mẫu số luôn dương)

sin2x+(1 y)cos2x=5 y 3

(dạng ax+by=c cho điều kiện a 2 +b 2 >=c 2 )

Từ phương trình ta có:

1 (1  y) (5y 3) 2

24y  28y 7 0 7 154 7 154

* Min(y)= 7 154

12





từ đó suy ra sự tồn tại của x

* Max(y)= 7 154

12





từ đó suy ra sự tồn tại của x

7) sin cos

1 cos

y

x







Hướng dẫn: xem bài 6

2 cos

x y

x







Hướng dẫn: xem bài 6

9) ysin2 xsinx cos 2x1

Hướng dẫn: t=sinx, 1≤yt≤y1

10) ysin3xcos3x3(sinxcos )x

Hướng dẫn: t=sinx+cosx,  2  t 2

suy ra

2

1 2sin cos sin cos

2

t

2

sin cos (1 sin cos )

2

t t

x x t  x x  

3 6 3

2

y   với  2  t 2

11) Tìm k để GTNN của sin 1

2 cos

y

x





 nhỏ hơn 1 Giải:

sin 1

2 cos

x





Ta có

2

k   y     y  

Giá trị nhỏ nhất của y là 1 2 1

2

k

2

k

k

E) Ápdụng bất đẳng thức:

1) Cho x>0, tìm GTNN của 2 1

y x

x

Giải:

2 3

3

x x

2

( )

2

x

2) Cho x>0, tìm GTNN của 3 1

y x

x

Hướng dẫn: xem bài 1

3) Cho x>0, tìm GTLN của y x 21 x Giải:

2

y x  x  x  x

3

y      

Min y  x  x x 

4) Cho x>0, tìm GTLN của y x 20091 x Hướng dẫn: xem bài 3

5) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3 Tìm GTNN và LN của y a 2b2c2

Giải:

9=(a+b+c)2<=3(a2+b2+c2) suy ra y>=3

Min(y)=3 khi a=b=c=1

3 3 3

a b c

   và a,b,c không âm nên các giá trị a/3, b/3 và c/3 thuộc [0;1]

Do đó

1

Max(y)=9 khi Max(a;b;c)=3 và 2 số còn lại bằng 0 6) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3 Tìm

GTNN và LN của y ab bc ca  

5 Giải:

ta có 9=(a+b+c)2 >= 3(ab+bc+ca)

suy ra ab+bc+ca<=3

Max(y)=3 khi a=b=c=1

Hiển nhiên ab+bc+ca>=0

Min(y)=0 khi Max(a;b;c)=3, hai số còn lại bằng 0

7) Cho a,b,c là 3 số dương và a+b+c=3 Tìm

GTLN, GTNN của y 1

ab bc ca



Giải:

Từ bài 6 ta có 1 1

3

Min(y)=1/3 khi a=b=c=1

Cho b=c=1/n và a=3-2/n

Ta có

y

2

2 2

n

n



Khi n tiến ra + thì y tiến ra +

Vậy không có GTLN của y

8) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3 Tìm

GTNN, GTLN của y abc

Giải:

Ta có 3     a b c 33 abc  abc  1

Max(y)=1 khi a=b=c=1

Min(y)=0 khi Max(a;b;c)=3, hai số còn lại bằng 0

9) Cho a,b,c là 3 số dương và a+b+c=3 Tìm

GTNN của y 2 12 2 2

Giải:

3

3

y



1

y

Min(y)=1 khi a=b=c=1

10) Cho x,y,z là 3 số dương Tìm GTNN cùa

         

Giải:

         

2

P

yz zx xy

2

P

xyz

2

xyz

xyz xyz

2

2

9 ( )

xyz

Min(P)=9/2 khi a=b=c=1

G) Bất đẳng thức trong hình học:

1) Cho điểm M trên cung lớn AB của đường tròn (C) Tìm M để MA+MB lớn nhất

D

A

B M

Hướng dẫn: Trên tia AM lấy D để cho MD=MB

Ta có góc MDB = góc MBD Suy ra góc AMB=MDB+MBD=2ADB Vậy góc ADB=1/2.AMB không đổi Điểm D di động trên cung tròn (L) chứa góc AMB/

2 và nhận AB làm dây cung

AD = MA+MD=MA+MB dài nhất khi AD là đường kính của (L), khi đó tam giác ABD vuông tại B và M là trung điểm AD cho ta MA=MB, M chính là trung điểm của cung lớn AB trên đường tròn (C)

2) Cho tam giác nhọn ABC Lấy điểm M trên cạnh

BC D và E lần lượt là đối xứng của M qua các

đường thẳng AB và AC Định M để DE ngắn nhất

Giải:

D

E

A

M

Do tính đối xứng: góc DAB=MAB và MAC=CAE

Suy ra góc DAE=2.BAC không đổi

Và AD=AM=AE

Nên khi M thay đổi thì tam giác ADE cân ở A, góc

đỉnh A không đổi, nên các tam giác ADE đồng

dạng với nhau

Với một điểm M’ khác ứng với D’ và E’ ta có:

Để cho D’E’ nhỏ nhất trong các DE thì ta chọn

AM’ nhỏ nhất chính là đường cao AH của ABC

3) Cho tam giác ABC, tìm các điểm A’,B’,C’ lần

lượt trên các cạnh BC,CA,AB sao cho chu vi

A’B’C’ nhỏ nhất

Giải:

D

E

A

A'

C'

B'

Ta tạm cố định điểm A’ trên BC

Dựng các điểm D và E là đối xứng của A’ qua các

đường thẳng AB và AC

Ta có A’C’=C’D và A’B’=B’E

Suy ra chu vi A’B’E’ là bằng độ dài đường gấp

khúc DC’B’E lớn hơn hay bằng DE

Chu vi này (khi cố định D’) đạt nhỏ nhất khi D,E,B’,C’ thẳng hàng