De thi HSG Toan Nam Dinh cac nam

Chứng minh rằng a - blà một số chính phơng... 1 Chứng minh rằng 6 mặt phẳng lần lợt đi qua trung điểm của mỗi cạnh và vuông góc với cạnh đối diện của tứ diện ABCD luôn đồng qui tại một

Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh

NAM Định Năm học 2004 –2005

****** Môn Toán – Lớp 10 chuyên

Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)

CÂU I ( 4,0 điểm)

Giả sử a, b, c là các số nguyên khác không; sao cho phơng trình

ax2 + by2 + cz2 = 0 có nghiệm nguyên (x, y, z) khác (0, 0, 0) Chứng minh rằng: Phơng trình ax2 + by2 + cz2 = 1 có nghiệm hữu tỉ (x, y, z)

Câu II (4điểm)

Cho a và b là các số nguyên sao cho có hai số nguyên liên tiếp c và d để: a – b = a2c - b2d Chứng minh rằng a - blà một số chính phơng

CÂU III ( 5,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực không âm sao cho a + b + c = 1 Chứng minh

rằng : a 2 + b 2 + c 2 + 2 3 abc ≤ 1

CÂU IV ( 7,0 điểm)

Cho đờng tròn (O, R) Giả sử có 6 đờng tròn thay đổi nằm bên trong (O;R)

là (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) thoả mãn tính chất : chúng lần lợt tiếp xúc trong với (O, R) tại A1, A2, A3, A4, A5, A6 ; đồng thời đờng tròn (I1) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I2), đờng tròn (I2) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I3), đờng tròn (I3) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I4), đờng tròn (I4) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I5), đờng tròn (I5) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I6), đờng tròn (I6) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I1)

1) Chứng minh rằng: A1A2.A3A4.A5A6 = A2A3.A4A5.A6A1

2) Cho đờng tròn (I , r) nằm bên trong (O;R) Gọi d = OI; chứng minh rằng: Tồn tại 6 đờng tròn (I1), (I2), (I3), (I4), (I5), (I6) thoả mãn tính chất đã nêu ở đề bài và

đồng thời 6 đờng tròn này lại đều tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I , r) khi và chỉ khi ( R – r )2 – d 2 = 34 Rr

-Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh

NAM Định Năm học 2004 –2005

****** Môn Toán – Lớp 11 chuyên

Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)

CÂU I ( 4,0 điểm)

Chứng minh bất đẳng thức:

2

1 y 1 x 1

xy 1 y x 2

1

2

+ +

− +

≤

−

) )(

(

) )(

(

Luôn đúng với mọi số thực x, y

CÂU II ( 4,0 điểm)

Cho dãy số ( an ) đợc xác định: a1 =

2

1

và n a n 1

n 2

3 n 2

a = − − , khi n∈ Nvà n>1

Với mỗi n ∈N* , gọi bn = ∑

=

n 1

a Chứng minh dãy số ( bn ) có giới hạn

CÂU III ( 4,0 điểm)

Xác định hàm số R

2

1 0

f : ( ; ) → , liên tục và thoả mãn điều kiện:

f(xy) = xf(x) + yf(y) với mọi x, y thuộc khoảng ( 0;

2

1

)

CÂU IV ( 5,0 điểm)

Trong không gian, cho tứ diện ABCD

1) Chứng minh rằng 6 mặt phẳng lần lợt đi qua trung điểm của mỗi cạnh và vuông góc với cạnh đối diện (của tứ diện ABCD) luôn đồng qui tại một điểm 2) Giả sử tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm bên trong tứ diện ABCD Chứng minh rằng tồn tại một cạnh của tứ diện ABCD để O nhìn cạnh

đó dới một góc α sao cho cos α ≤ −13

CÂU V ( 3,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực x và y sao cho x 2 + y 2 ≤ π , ta đều có :

cosx + cosy ≤ 1 + cos(xy)

Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh

NAM Định Năm học 2004 –2005

****** Môn Toán – Lớp 12 chung

Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)

Câu I ( 6 điểm)

Cho hàmsố f(x) = − 2 mx − x 2 + x + 2 m , với m là tham số

1) Khi m =

2

3

− ; hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số 2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R

Câu II ( 4 điểm)

Tính tích phân I = ∫

+

1

2

dx 1 e 1 x x

1 x

) )(

(

Câu III (7 điểm)

Trên mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy; cho đờng parabol (P) có

ph-ơng trình: y = x2 và đờng tròn (C) có phơng trình: x2 + y2 – 2x – 6y + 1=0 1) Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt

2) Cho điểm A(1, 6) thuộc đờng tròn (C) Hãy lập phơng trình đờng tròn đi qua

điểm M( 2, - 1) và tiếp xúc với đờng tròn (C) tại điểm A

3) Giả sử đờng thẳng (d) thay đổi đi qua điểm A sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt T1 , T2 Gọi (d1) , (d2) thứ tự là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm T1 ,

T2 Biết rằng (d1) cắt (d2) ở điểm N; hãy chứng minh điểm N nằm trên một đ-ờng thẳng cố định

Câu IV (3 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực x thuộc khoảng ( 0 ; 1

2 −

π ) , ta đều có:

3 cos x sin( x + 1 ) − 3 cos( x + 1 ) sin x > 3 cos x cos( x + 1 )

-Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh

NAM Định Năm học 2004 –2005

****** Môn Toán – Lớp 11 chung

Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)

Câu I (6 điểm)

x

x 2 1 x

x 2 1

= +

−

−

1) Khi m = 0; hãy tìm tất cả các nghiệm x ∈( - 50 ; -

2

1

) của phơng trình

2) Xác định m để phơng trình có nghiệm x ( ; )

2

1 2

1

π +

∈

Câu II (3 điểm)

Biết rằng số đo 3 góc trong của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân với công bội q = 2 Gọi (O, R) là đờng tròn ngoại tiếp và G là trọng tâm của tam giác ABC

1) Tính độ dài đoạn OG theo R

2) Biết R = 57; hãy tính gần đúng số đo diện tích tam giác ABC ( lấy đến 5 chữ số sau đấu phảy)

Câu III (3 điểm)

Cho tam giác ABC thỏa mãn :

2

3 4 2

A 2

C 2

B 3

2+ (cos +cos )−sin = +

Hãy xác định số đo các góc của tam giác ABC

Câu IV (8 điểm)

Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau tại O Gọi

A1 , B1 , C1 thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

1) Chứng minh tam giác A1B1C1 là tam giác nhọn

2) Biết số đo 3 góc của tam giác ABC là A, B, C Gọi α là số đo của góc nhị diện [ C1 , OA1 , B1 ] ; tìm cosα theo B và C

3) Gọi d là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh OA, OB, OC và gọi h là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 đờng cao của tam giác ABC

Chứng minh : h d h

3

6

<

≤

-Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh

NAM Định Năm học 2004 –2005

****** Môn Toán – Lớp 10 chung

Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)

Câu I ( 6 điểm)

Giải và biện luận bất phơng trình sau theo tham số m :

x + 2 ( mx + 3 m − 2 ) ≥ 0

Câu II ( 3 điểm)

Giải phơng trình : x 2 + x − 2 = x 3 − 1 − x + 1

Câu III (5 điểm)

Chứng minh rằng với tam giác ABC , ta luôn có hệ thức:

ab

c gB ac

b gA bc

a

cot cot

Câu IV ( 3 điểm)

Cho hệ phơng trình :











= + +

= + +

= + +

x c bz az

z c by ay

y c bx ax

2 2 2

Với ẩn ( x, y, z) và các hệ số thực a, b, c trong đó a≠0

Chứng minh rằng: Nếu (b – 1)2 – 4ac < 0 thì hệ đã cho vô nghiệm

Câu V ( 3 điểm)

Cho tam giác ABC là một tam giác đều và điểm M thay đổi thuộc miền trong của tam giác đó Gọi A1 , B1 , C1 thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh BC, CA, AB

Chứng minh: 3(MA2 + MB2 + MC2)≥ 4( MA1 + MB1 + MC1)2

-

sở giáo dục và đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh

************** Môn toán lớp 12 THPT- đề chung

Thời gian làm bài 150 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (5 điểm)

Cho hàm số : y= x 3 - 2x 2 + (2m+1)x - 2m , ( Với m là tham số )

1) Khi m=0 , gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành độ x=0, gọi (d') là đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Tìm cosin của góc giữa (d) và (d').

2) Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau.

Bài 2 (4 điểm)

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng elip (E) có phơng trình :

1

x + y = và đờng tròn (C) có phơng trình : x + y = 162 2 Từ điểm M trên (C) ta kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (E) là MT 1 và MT 2 với tiếp điểm theo thứ tự là T 1 và T 2

1) Khi M có hoành độ x M = 4, hãy viết phơng trình các đờng thẳng MT 1 và MT 2

2) Khi M thay đổi trên (C), hãy tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ M đến đờng thẳng T 1 T 2

Bài 3 (3 điểm)

Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hình lăng tru tam giác đều OBC.O'B'C' biết : C(1;0;0), O'(0;0;1) và B nằm ở góc phần t thứ nhất của mặt phẳng toạ độ Oxy Gọi M, N, E theo thứ tự là trung điểm các cạnh

BC, CC', C'O'

Xác định toạ độ của điểm P thuộc đờng thẳng OO' để PM=PE Với điểm P vừa tìm đợc , hãy tính thể tích khối tứ diện PMNE.

Bài 4 (5 điểm)

1) Giải phơng trình : 1 3

2

x

x

+ − −

2) Giải phơng trình : tg x2 cos 2

e + x= với ( ; )

2 2

x∈ −π π

.

Bài 5 (3 điểm)

1) Chứng minh rằng : Nếu a là số dơng sao cho bất phơng trình a x ≥ + 1 x, nghiệm đúng với mọi x≥ 0

thì a e≥

2) Tìm tất cả các số dơng a là điều kiện cần và đủ để bất phơng trình : a x≥ + 1 x, nghiệm đúng với mọi số thực x.

-//

đề chính thức