225 đề thi hsg toán lớp 7 các tỉnh

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 (225 đề thi cấp trường, cấp huyện, cấp thành phố dành cho học sinh lớp 7 và các lớp bồi dưỡng nâng cao toán có lời giải chi tiết). tài liệu bao gồm 1025 trang chứa các dạng toán thường gặp trong đề thi.

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

THANH OAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 Năm học 2014-2015 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

(không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết

ĐÁP ÁN HSG 7 THANH OAI 2014-2015 Câu 1

Xét khoảng x 4, ta có (1) trở thành:  2x    7 x 3,5(không thuộc khoảng đang xét)

3

x có giá trị nhỏ nhất bằng 5 tại x2Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của B bằng – 6 tại x 2

Câu 4

a) Do AB; AC là trung trực của AB

Nên AI = AD; AD=AJAI AJ AIJ cân tại A

   là tia phân giác của LDK

c) Chứng minh được KC là phân giác ngoài tại đỉnh K của tam giác DLK Chứng minh được DC là phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác DLK Suy ra LClà tia phân giác trong tại đỉnh L của tam giác DLK

2

2 1 1

K L

J

I

D A

Mà AB cũng là phân giác ngoài tại đỉnh L của tam giác LDK

Hay CL vuông góc với AB tại L

Chứng minh tương tự : BK vuông góc với AC tại K

d) Chứng minh được IAJ  2BAC (không đổi)

*AIJcân tại A có IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nến cạnh bên AI nhỏ nhất Ta có AI ADAH(AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC) Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi DH

Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ nhất

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆT YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

xAy có tia phân giác Az Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại

H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M Chứng minh:

a) K là trung điểm của AC

b) KMClà tam giác đều

ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 VIỆT YÊN 2012-2013 Câu 1

2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x (x là số tự nhiên khác 0)

Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là a, b, c

B

ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 HẠ HÒA NĂM 2010-2011 Bài 1

  với mọi x, y nên A2010.

Dấu “=” xảy ra khi 2; 20

5

Vậy GTNN của A là Amin  2010 khi 2; 20

b) Vì hai góc ACB và BCx là hai góc kề bù nên hai tia phân giác của chúng vuông góc với nhau 0

K

B

C A

PHÒNG GD & ĐT

TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015

MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1 (4 điểm)

x





 Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất b) Tìm x sao cho

a) K là trung điểm của OC

b) KMClà tam giác đều



 nhỏ nhất Xét x  15 0thì 27 0

15

Xét x  15 0thì 27 0.

15

 Vậy

27 15

x nhỏ nhất khi x 15 0Phân số 27

M  O MKC    KMCđều c) OMCvuông tại MMCOnhọnOCPtù (Hai góc MCO OCP; bù nhau)

Xét trong OCPcó OCPtù nên OP > OC

M

H

C

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI

Năm học 2013-2014 Môn thi: TOÁN Bài 1 (5 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Bài 3 (3 điểm) Tìm xbiết:

Bài 5 (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) Tia phân giác góc B

cắt AC ở D Kẻ DH vuông góc với BC Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K Chứng minh rằng:

ĐÁP ÁN HSG 7 THANH OAI NĂM 2013-2014 Bài 1

C B

TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN

Năm học : 2013-2014 Môn: Toán 7 Câu 1 (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A có góc C bằng 0

30 Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho góc BCM bằng 2

3góc ACB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc CBN bằng 2

3góc ABC Gọi giao điểm của CM và BN là K

ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 XUÂN DƯƠNG 2013-2014 Câu 1

a) Trong dãy số có

6 3

81 0

9   do đó tích bằng 0 b) Ta có x  2 1

5 x

 mà

10

5 xcó tử không đổi nên phương trình có giá trị lớn nhất

khi mẫu nhỏ nhất 5 x là số nguyên dương nhỏ nhất khi 5    x 1 x 4

3) Xét tam giác vuông ANB có 0 0 0 0

F

K

N M

B

A

C

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN 7 Câu 1 (2,0 điểm)

CBx , trên tia Bx lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng BM và BA tỉ lệ với

1 và 2 Lấy điểm D bất kỳ thuộc đoạn thẳng BM Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI tại N Chứng minh rằng: a) DN vuông góc với AC

b) 2 2

BH CI có giá trị không đổi khi D di chuyển trên đoạn thẳng BM

c) Tia phân giác của góc HIC luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5 (1,5 điểm)

a) Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2

2p p là các số nguyên tố b) Trong một bảng ô vuông gồm có 5 5  ô vuông, người ta viết vào mỗi ô vuông chir một trong 3 số 1;0; 1  Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau

ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN 7 TAM DƯƠNG 2016-2017 Câu 1

3x 2lớn nhất khi 3x2nhỏ nhất Mà xnguyên, 3x2dương và 3x 2chia 3 dư

b) Ta thấy đa thức f x( )nếu có nghiệm xa(a khác 0) thì x acũng là một nghiệm của f x( )nên f x( )có 2m nghiệm

Mà đa thức f x( )có đúng ba nghiệm phân biệt nên một trong ba nghiệm sẽ bằng

0 Thay x 0vào đa thức đã cho ta được: 2

Câu 4

a) Từ M kẻ tia My vuông góc với BC và cắt tia Bx tại A’

Tam giác BMA’ vuông cân tại M nên MB BA: ' 1: 2 

Suy ra AA'nên AM vuông góc với BC

Tam giác ADC có AM và CI là đường cao nên N là trực tâm của tam giác ADC Suy ra DN vuông góc với AC

b) Ta có AMB AMC c g c( )nên AB = AC và góc 0

45

ACBTam giác ABC vuông cân tại A và có 0

90

H, I là hình chiếu của B và C trên AD nên H=I=900

Suy ra AIC BHA c h g n(  ) BH AI

HIC HIM MIC IMlà tia phân giác HIC

Vậy tia phân giác của HICluôn đi qua điểm M cố định

Câu 5

a) Với p 2thì 2

2p p    4 4 8không là số nguyên tố Với p 3thì 2

2p p    8 9 17là số nguyên tố Vơi p 3thì p là số nguyên tố nên p lẻ nên 2 1

2p  2 k  2(mod 3)

N I

H

A

M B

C D

2p p là hợp số Vậy với p 3thì 2

2p p là số nguyên tố

b) Ta có 5 cột, 5 hàng và 2 đường chéo nên sẽ có 12 tổng

Mỗi ô vuông chỉ nhận một trong 3 số 1;0 hoặc – 1 nên mỗi tổng chỉ nhận các giá trị từ - 5 đến 5 Ta có 11 số nguyên từ - 5 đến 5 là – 5; - 4 ; ….;0;1;….5

Vậy theo nguyên lý Dirichle phải có ít nhất hai tổng bằng nhau (đpcm)

PHÒNG GD & ĐT TÂN LẠC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN LỚP 7 Bài 1 (4 điểm)

ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 TÂN LẠC 2015-2016 Bài 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2014 2016 x 0, suy ra 2014  x 2016(2)

Từ (1) và (2) suy ra A 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2015

Bài 3

4x   3 29  4x  32 x    8 x 2Thay vào tỉ lệ thức ta được: 2 16 25 49 25 49 2

Mặt khác AEFcó AN vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên cân tại A, suy ra EMFA Mà BDEMFA(đồng vị) nên BDEE, Do đó BDE cân tại B, suy ra BD = BE (2)

E  A EBA do đó CBEcân tại CCBCE

Gọi F là trung điểm CDCBCECFFD

1

2 1

2 1

2

1

3 2 1

Tam giác CEF cân tại C, lại có 0 0

THCS Tam Hưng ĐỀ THI OLYMPIC

Bài 5 (5 điểm)

a) Cho tam giác ABC, vẽ đường cao AH Vẽ ra phía ngoài của tam giác

ABD ACE ABDACE

1) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại

K Chứng minh CD vuông góc với BK 2) Chứng minh ba đường thẳng AH BE CD, , đồng quy b) Cho hai điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB = CD Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng Chứng minh rằng MA MD MB MC

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 7 TAM HƯNG 2013-2014 Bài 1

a) Chỉ rõ được x  5 0;1; 2, chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng

- Trường hợp có 1 số âm tính được x  4

- Trường hợp có 3 số âm tính được x  3





b) Biến đổi được 3 n m  4 4

Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 có 6 trường hợp

Suy ra điều phải chứng minh

b) Cộng vế theo vế suy được điều cần chứng minh

*Trường hợp MAD, Gọi I là trung điểm của BC

Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IMINvà ta có IBIC

  

*Chứng minh được IMA IND c g c( ) MAND

- Điểm C nằm trong MDNchứng minh được ND MD NCMC

- Chứng minh IBM  ICN c g c( )suy ra MA MD MB MC

TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 Năm học: 2013-2014 Câu 1 (5 điểm) Cho a c

C , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm

D sao cho HDHB Từ C kẻ CE vuông góc với AD Chứng minh:

a) Tam giác ABD là tam giác đều

b) AH CE

c) EH song song với AC

ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 BÍCH HÒA 2013-2014 Câu 1

A

C

Suy ra DE = DH Tam giác DEH cân ở D

Hai tam giác cân ADC và DEH có : ADCEDH(hai góc đối đỉnh ) do đó

ACDDHEở vị trí so le trong , suy ra EH/ /AC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NGA SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: TOÁN Câu 1 ( 4 điểm) Tìm x biết:

 

 

  và

13 1 83

 

 

 c)

19 20

Câu 4 (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở A Gọi M là trung điểm BC, điểm

E nằm giữa M và C Kẻ BH, CK cùng vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh rằng:

a) BH = CK

b) MBH MAK

c) Tam giác MHK là tam giác vuông cân

d) Khi E di động trên đoạn thẳng MC thì 2 2

BH CK luôn không đổi

Câu 5 (1 điểm) Cho ba số chính phương x y z; ; Chứng minh rằng

A xy yz zx

ĐÁP ÁN HSG 7 NGA SƠN 2009-2010 Câu 1

3  7

Do ABCvuông cân nên 0

45

ABC  AMBvuông cân tại MMAMB

Xét MBHvà MAKcó: BH AK(chứng minh câu a)

MBH MAK (cùng phụ với AEB); MA = MB (chứng minh trên)

HMB HMA KMAKMHHMAKMH 

Từ (1) và (2)  MKHvuông cân tại M

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ACK ta có:

Vậy khi E di động trên đoạn thẳng MC thì tổng 2 2

BH KC luôn không đổi

Câu 5 Theo đề bài x y z; ; là 3 số chính phương Mà một số chính phương khi chia cho 3 hoặc cho 4 đều chỉ có thê dư 0 hoặc dư 1

Do đó trong 3 số chính phương x; y; z khi chia cho 3 phải có hai số có cùng số dư, nên 3 số xy y; z z; xphải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 suy ra

xyyzzx 3

Chứng minh tương tự ta cũng có xyyzzx 4

Mà  3, 4  1nên Axyyzzx12

PHÒNG GD&ĐT THIỆU HÓA

Đề chính thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 Năm học 2016-2017 Câu 1 (4,0 điểm) Tính hợp lý

Câu 5 sau (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB3cm AC, 4cm.Điểm I nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC Tính

MB

ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 THIỆU HÓA 2016-2017 Câu 1

        (Vì x y 0)

Câu 3

1 Vì

2 1

MANCAE Do đó AMNđều

d) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ IB BIJđềuBJ BIvà

0 60

JBIDBA suy ra IBAJBD, kết hợp BABD

Câu 5 sau

Vì I nằm trong tam giác ABC cách đều 3 cạnh nên I là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác ABC

Tam giác ABC vuông tại A nên tính BC 5cm

Chứng minh được CEI  CMICM CE

C

UBND HUYỆN KINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN – LỚP 7

Thời gian làm bài: 150 phút

3

A x y z

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC.Vẽ về phía

ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và

ĐÁP ÁN Câu 1

2019

so hang

A A B

Khi đó Acó giá trị là   2019  2019

Câu 4

1) Ta có DAC 600BACEAB(1)

Xét ADC và ABEcó: AD AB(ABD đều); DAC EAB cmt( )

(

AC  AE EACđều) DAC BAE c g c( )DCBE

2) ADC ABE(cm câu a) ABE ADC

Lại có trong BIK KBI: BKI KIB1800

Ta có trong DAK ADK: DKADAK1800;BKI DKA(đối đỉnh)

 1 AM  AN  AMNcân tại A AMNđều 0

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN

TRƯỜNG THCS ĐÀO DUY TỪ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2018-2019

Câu 2 Cho góc xOy50 ,0 điểm Anằm trên Oy Qua A vẽ tia Am Để Am song song với

Ox thì số đo của góc OAm là:

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông tại B, AB6,A30 0 Phân giác góc C cắt AB tại D

Khi đó độ dài đoạn thẳng BD và AD lần lượt là:

Câu 5 Cho a2m  4.Kết quả của 2a6m 5là:

Câu 6 Cho tam giác DEF có EF.Tia phân giác của góc D cắt EF tại I Ta có:

A DIE DIF B DEDF IDE, IDF

Câu 11 Biết rằng lãi suất hàng năm của tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm là một hàm

số theo số tiền gửi là i0,005p (trong đó i là tiền lãi thu được, p là tiền gốc gửi vào)

Nếu tiền gửi là 175000 đồng thì tiền lãi sẽ là:

A 8850 đồng B 8750 đồng C 7850 đồng D 7750đồng

Câu 12 Cho tam giác ABC cân tại A A, 20 0 Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho

b) Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây Lớp 7 Atrồng toàn

bộ 32,5% số cây Biết số cây lớp 7B và 7C trồng được theo tỉ lệ 1,5 và 1, 2.Hỏi số

cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu, biết số cây của lớp 7 Atrồng được ít hơn số cây của lớp 7B trông được là 120 cây

Bài 3 (5,0 điểm)

1 Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ

hai tia Ax By lần lượt vuông góc với , AB tại A và B Gọi O là trung điểm của đoạn

thẳng AB Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD

bằng 900

a) Chứng minh rằng ACBDCD

b) Chứng minh rằng

2

Bài 4 (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của ,A biết:

A x y  z x  xy yzzx

ĐÁP ÁN I.Trắc nghiệm

Vì  a b, 1 nên b không chứa thừa số nguyên tố k

Do đó a b chứa thừa số nguyên tố k mũ lẻa b không phải là số chính phương, trái với giả thiết nên giả sử sai

Vậy nếu a b là số chính phương và  a b, 1thì a và b đều là số chính phương

Vậy cả 3 lớp trồng được số cây là 2400 cây

Bài 3

1)

a) Gọi E là giao điểm của CO và BD

Ta có : OACOBE90 ;0 OA OB gt AOC ( ); BOE(đối đỉnh)

E

O A

C

Ta có: OCOE cmt OAC( ); OBE90 ;0 ODlà cạnh chung

Đường thẳng song song với AC cắt AB tại EBH HE

Ta có AHD HAE g c g( )ADHE AE, HD

Trong AHD có HAHD ADnên HA AEAD  1

Từ BH HE HBEvuông cân nên HBBE 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019

MÔN TOÁN – LỚP 7 Bài 1 (4,0 điểm)

x





 Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ?

Bài 4 (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 5 (5,0 điểm)

Cho ABC nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đường thẳng AD

vuông góc với AB và ADAB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE AC

1) Chứng minh rằng : BECD

2) Gọi M là trung điểm của DE tia MA cắt BC tại H Chứng minh MA, BC

3) Nếu ABc AC, b BC, a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo , , a b c

ĐÁP ÁN Bài 1

y z

 

4n 4n 4n 4n 4 4n 4   4 1 4 75n 300.4n 300(với mọi n nguyên

dương)

Nên 4n34n2 4n14nchia hết cho 300 (với n nguyên dương)

Câu 2 Điều kiện : x ,x12

Biến đổi : 27 2 2 12  3 3

2

x x

     với mọi giá trị của ,x y

Hay H 0 với mọi giá trị của ,x y

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 3x2y0và xy240

6

42

6

x k

y

x k

Bài 5

1) Chứng minh : BECD

Ta có: DACDABBAC(vì tia AB nằm giữa 2 tia AD và AC )

Mà BAD90 (0 Vì ABADtại A) nên DAC 900 BAC (1)

Ta có: BAECAEBAC(Vì tia AC nằm giữa hai tia AB và AE)

Mà CAE 900(Vì AE ACtại A) BAE900 BAC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BAEDAC

I

K F N

Xét ABE và ADC có: AB AD gt BAE( ); DAC cmt AE( );  AC gt( )

Do đó ABE ADC c g c( )BECD(hai cạnh tương ứng)

2) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN

Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F

Xét MAE và MDN có:

(

MN MA Mlà trung điểm AN); AME DMN cmt( );MEMD(M trung điểm DE)

Do đó: MAE MND c g c( )AEDN(hai cạnh tương ứng);

Và NDM MEA(hai góc tương ứng)

Mà NDM và MEA ở vị trí so le trong của hai đường thẳng AE và DN

Nên AE/ /DN(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Suy ra ADNDAE1800(vì hai góc trong cùng phía) (3)

Ta lại có: DAEDABBACEAC3600

Hay DAEBAC1800(vì DABEAC 90 ) (4)0

Từ (3) và (4) suy ra ADN BAC

Ta có: AEDN cmt( )và AE AC gt( )ACDN

Xét ABC và DAN có: AB AD gt ADN( ); BAC cmt AC( ); DN cmt( )

Do đó ABC DAN c g c( )

Suy ra DNA ACB (hai góc tương ứng) hay DNF  ACB

Ta có: DAFBADBAH 180 ( , ,0 F A H thẳng hàng)

Hay DAF BAH 900(vì BAD90 ) (5)0

Trong ADFvuông tại F có: FDADAF 900(hai góc phụ nhau) (6)

Từ (5) và (6) FDABAH

Ta có: ADN NDF FDA(vì tia DF nằm giữa 2 tia DA DN , )

(

BAC HACBAH Vì tia AH nằm giữa 2 tia AB và AC)

Mà ADN BACvà FDABAH cmt( )NDF HAC

Xét AHC và DFN có: NDF HAC cmt AC( ); DN cmt DNF( ); ACB cmt( )

Do đó: AHC DFN g c g( )

Suy ra DFN  AHC(hai góc tương ứng)